2025年線性代數(shù)若爾當標準形簡介試題一、單項選擇題（每題3分，共30分）設矩陣(A)為3階方陣，其特征多項式為(f(\lambda)=(\lambda-2)^3)，且(r(A-2E)=1)，則(A)的若爾當標準形為（）A.(\begin{bmatrix}2&0&0\0&2&0\0&0&2\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}2&1&0\0&2&0\0&0&2\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}2&1&0\0&2&1\0&0&2\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}2&0&0\1&2&0\0&1&2\end{bmatrix})下列矩陣中，與矩陣(\begin{bmatrix}1&1&0\0&1&1\0&0&1\end{bmatrix})相似的若爾當標準形是（）A.(\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}1&1&0\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}1&1&0\0&1&1\0&0&1\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}1&0&0\1&1&0\0&1&1\end{bmatrix})設(A)為(n)階復矩陣，其若爾當標準形中若爾當塊的總數(shù)等于（）A.(A)的特征值的個數(shù)（重根按重數(shù)計）B.(A)的線性無關特征向量的個數(shù)C.(A)的秩D.(n-r(A))矩陣(A=\begin{bmatrix}2&-1&0\1&2&0\0&0&2\end{bmatrix})的若爾當標準形為（）A.(\begin{bmatrix}2&0&0\0&2&0\0&0&2\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}2&1&0\0&2&0\0&0&2\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}2&0&0\1&2&0\0&0&2\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}2&1&0\0&2&1\0&0&2\end{bmatrix})若矩陣(A)的若爾當標準形為(\begin{bmatrix}1&1&0\0&1&0\0&0&-2\end{bmatrix})，則(A)的最小多項式為（）A.((\lambda-1)(\lambda+2))B.((\lambda-1)^2(\lambda+2))C.((\lambda-1)^3(\lambda+2))D.((\lambda-1)(\lambda+2)^2)設(A)是冪零矩陣（即存在(k>0)使得(A^k=0)），則(A)的若爾當標準形的主對角線元素（）A.全為0B.全為1C.至少有一個非零D.無法確定矩陣(A=\begin{bmatrix}0&1&0\0&0&1\0&0&0\end{bmatrix})的若爾當標準形是（）A.(\begin{bmatrix}0&0&0\0&0&0\0&0&0\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}0&1&0\0&0&0\0&0&0\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}0&1&0\0&0&1\0&0&0\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}0&0&1\0&0&0\0&0&0\end{bmatrix})設(A)與(B)相似，則下列說法錯誤的是（）A.(A)與(B)有相同的若爾當標準形B.(A)與(B)有相同的特征多項式C.(A)與(B)有相同的最小多項式D.(A)與(B)一定可對角化矩陣(A=\begin{bmatrix}3&1&0&0\0&3&0&0\0&0&3&1\0&0&0&3\end{bmatrix})的若爾當標準形中若爾當塊的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4設(A)為(n)階矩陣，若(A)可對角化，則其若爾當標準形（）A.為對角矩陣B.含有至少一個2階若爾當塊C.主對角線元素不全相同D.秩為(n)二、填空題（每題4分，共20分）矩陣(\begin{bmatrix}5&4&0&0\-1&1&0&0\0&0&5&4\0&0&-1&1\end{bmatrix})的若爾當標準形為________。設(A)為3階矩陣，(r(A-2E)=1)，(r(A-2E)^2=0)，則(A)的若爾當標準形為________。矩陣(A=\begin{bmatrix}1&2&3\0&1&4\0&0&1\end{bmatrix})的若爾當標準形中，若爾當塊的階數(shù)為________。若矩陣(A)的特征多項式為((\lambda-2)^3(\lambda+1)^2)，最小多項式為((\lambda-2)^2(\lambda+1))，則(A)的若爾當標準形中對應于特征值2的若爾當塊的最大階數(shù)為________，對應于特征值-1的若爾當塊的個數(shù)為________。設(A)為4階矩陣，其若爾當標準形為(\begin{bmatrix}0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&0\0&0&0&0\end{bmatrix})，則(r(A)=)，(r(A^2)=)，(r(A^3)=)________。三、計算題（每題10分，共50分）求矩陣(A=\begin{bmatrix}3&1&0\-1&1&0\0&0&2\end{bmatrix})的若爾當標準形。解析步驟：（1）計算特征多項式：(\det(\lambdaE-A)=(\lambda-2)^2(\lambda-2)=(\lambda-2)^3)，特征值(\lambda=2)（三重）。（2）求(r(A-2E))：(A-2E=\begin{bmatrix}1&1&0\-1&-1&0\0&0&0\end{bmatrix})，行最簡形為(\begin{bmatrix}1&1&0\0&0&0\0&0&0\end{bmatrix})，故(r(A-2E)=1)。（3）求(r(A-2E)^2)：((A-2E)^2=\begin{bmatrix}0&0&0\0&0&0\0&0&0\end{bmatrix})，故(r(A-2E)^2=0)。（4）確定若爾當塊：特征值2的代數(shù)重數(shù)為3，幾何重數(shù)為(3-r(A-2E)=2)，故若爾當塊個數(shù)為2，且階數(shù)之和為3。又因((A-2E)^2=0)，所有若爾當塊的階數(shù)≤2。因此，若爾當塊為一個2階塊和一個1階塊。答案：(\begin{bmatrix}2&1&0\0&2&0\0&0&2\end{bmatrix})求矩陣(B=\begin{bmatrix}0&0&1\0&1&0\1&0&0\end{bmatrix})的若爾當標準形。解析步驟：（1）特征多項式：(\det(\lambdaE-B)=(\lambda-1)^2(\lambda+1))，特征值(\lambda=1)（二重），(\lambda=-1)（一重）。（2）對(\lambda=1)：(B-E=\begin{bmatrix}-1&0&1\0&0&0\1&0&-1\end{bmatrix})，(r(B-E)=1)，幾何重數(shù)為(3-1=2)，故對應兩個1階若爾當塊。（3）對(\lambda=-1)：(B+E=\begin{bmatrix}1&0&1\0&2&0\1&0&1\end{bmatrix})，(r(B+E)=2)，幾何重數(shù)為1，對應一個1階若爾當塊。答案：(\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&-1\end{bmatrix})設矩陣(C=\begin{bmatrix}2&1&0&0\0&2&1&0\0&0&2&0\0&0&0&2\end{bmatrix})，求其若爾當標準形，并指出若爾當塊的個數(shù)與階數(shù)。解析步驟：（1）特征值(\lambda=2)（四重）。（2）(r(C-2E)=3)，(r(C-2E)^2=2)，(r(C-2E)^3=1)，(r(C-2E)^4=0)。（3）若爾當塊的階數(shù)由各次冪的秩差確定：(r(C-2E)^0-r(C-2E)=4-3=1)（1階塊），(r(C-2E)-r(C-2E)^2=3-2=1)（2階塊），(r(C-2E)^2-r(C-2E)^3=2-1=1)（3階塊），(r(C-2E)^3-r(C-2E)^4=1-0=1)（4階塊）。但總階數(shù)需為4，故唯一若爾當塊為4階。答案：(\begin{bmatrix}2&1&0&0\0&2&1&0\0&0&2&1\0&0&0&2\end{bmatrix})，1個4階若爾當塊。已知矩陣(A)的若爾當標準形為(J=\begin{bmatrix}-1&1&0\0&-1&0\0&0&3\end{bmatrix})，求(A^2)的若爾當標準形。解析步驟：（1）(J)可分解為若爾當塊(J_1=\begin{bmatrix}-1&1\0&-1\end{bmatrix})和(J_2=[3])。（2）計算(J_1^2=\begin{bmatrix}1&-2\0&1\end{bmatrix})，其若爾當標準形為(\begin{bmatrix}1&1\0&1\end{bmatrix})（特征值1，幾何重數(shù)1）。（3）(J_2^2=[9])，若爾當標準形為([9])。答案：(\begin{bmatrix}1&1&0\0&1&0\0&0&9\end{bmatrix})設(A)為3階矩陣，滿足(A^3=A)，且(r(A)=2)，求(A)的若爾當標準形。解析步驟：（1）由(A^3=A)知最小多項式整除(\lambda^3-\lambda=\lambda(\lambda-1)(\lambda+1))，故特征值只能為0，1，-1，且若爾當塊均為1階（因最小多項式無重根）。（2）(r(A)=2)，故0為特征值（否則(A)可逆，(r(A)=3)矛盾），且1和-1中至少有一個非零特征值。（3）特征值個數(shù)（重數(shù)計）為3，故可能組合：0，1，1（(r(A)=2)）或0，1，-1（(r(A)=3)，舍去）。答案：(\begin{bmatrix}0&0