2025年線性代數(shù)深度學(xué)習(xí)中的線性代數(shù)試題一、填空題（本題總計(jì)20分，每小題2分）設(shè)矩陣A為3階方陣，且|A|=5，則|2A|=40。已知向量組α?=(1,2,3)?，α?=(2,4,t)?，α?=(3,6,9)?的秩為2，則t=6。設(shè)A為n階正交矩陣，則|A|=±1。二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+4x?x?的矩陣為$\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$。設(shè)A為5階矩陣，且R(A)=4，則齊次線性方程組Ax=0的解空間維數(shù)為1。行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix}$的值為0。設(shè)A為n階矩陣，A2=A，則A的特征值只能是0或1。向量α=(1,2,3)?與β=(4,5,k)?正交，則k=-14。設(shè)矩陣A=$\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，則A的伴隨矩陣A*=$\begin{pmatrix}4&-2\-3&1\end{pmatrix}$。設(shè)3階矩陣A的特征值為1,2,3，則|A3-2A+E|=12。二、選擇題（本題總計(jì)10分，每小題2分）設(shè)A,B為n階方陣，下列運(yùn)算正確的是（）A.(AB)?=A?B?B.|A+B|=|A|+|B|C.(A+B)2=A2+2AB+B2D.|AB|=|BA|答案：D若非齊次線性方程組Ax=b有唯一解，則系數(shù)矩陣A的秩R(A)與增廣矩陣$\widetilde{A}$的秩R($\widetilde{A}$)滿足（）A.R(A)=R($\widetilde{A}$)=nB.R(A)<R($\widetilde{A}$)C.R(A)=R($\widetilde{A}$)<nD.R(A)>R($\widetilde{A}$)答案：A設(shè)A為n階可逆矩陣，λ為A的特征值，則A?1的特征值為（）A.λB.-λC.1/λD.λ2答案：C下列矩陣中不是正交矩陣的是（）A.$\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&1\1&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}\cosθ&-\sinθ\\sinθ&\cosθ\end{pmatrix}$答案：C設(shè)向量組α?,α?,α?線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）A.α?+α?,α?+α?,α?+α?B.α?,α?+α?,α?+α?+α?C.α?-α?,α?-α?,α?-α?D.α?,2α?,3α?答案：C三、計(jì)算題（本題總計(jì)60分，1-3每小題8分，4-7每小題9分）計(jì)算n階行列式D?=$\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\b&a&b&\cdots&b\b&b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$。解：將第2至n列加到第1列，得D?=$\begin{vmatrix}a+(n-1)b&b&b&\cdots&b\a+(n-1)b&a&b&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\a+(n-1)b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$=[a+(n-1)b]$\begin{vmatrix}1&b&b&\cdots&b\1&a&b&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\1&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$將第1行乘-1加到其余行，得D?=a+(n-1)b??1設(shè)矩陣A=$\begin{pmatrix}1&0&1\0&2&0\1&0&1\end{pmatrix}$，且AB=E+A2-B，求矩陣B。解：由AB=E+A2-B得(A+E)B=A2+E=(A+E)(A-E)因?yàn)锳+E=$\begin{pmatrix}2&0&1\0&3&0\1&0&2\end{pmatrix}$可逆，故B=A-E=$\begin{pmatrix}0&0&1\0&1&0\1&0&0\end{pmatrix}$求向量組α?=(1,2,1,3)?，α?=(4,-1,-5,-6)?，α?=(1,-3,-4,-7)?，α?=(2,1,-1,0)?的秩及一個(gè)最大無關(guān)組，并將其余向量用該最大無關(guān)組線性表示。解：構(gòu)造矩陣A=(α?,α?,α?,α?)，作初等行變換：A=$\begin{pmatrix}1&4&1&2\2&-1&-3&1\1&-5&-4&-1\3&-6&-7&0\end{pmatrix}$→$\begin{pmatrix}1&4&1&2\0&-9&-5&-3\0&-9&-5&-3\0&-18&-10&-6\end{pmatrix}$→$\begin{pmatrix}1&4&1&2\0&9&5&3\0&0&0&0\0&0&0&0\end{pmatrix}$秩R(A)=2，最大無關(guān)組為α?,α?，且α?=-$\frac{5}{9}$α?+$\frac{1}{9}$α?，α?=-$\frac{1}{3}$α?+$\frac{1}{3}$α?設(shè)線性方程組$\begin{cases}x?+x?+x?=1\x?+2x?+ax?=2\x?+4x?+a2x?=4\end{cases}$，討論a為何值時(shí)方程組無解、有唯一解、有無窮多解，并在有無窮多解時(shí)求通解。解：增廣矩陣$\widetilde{A}$=$\begin{pmatrix}1&1&1&1\1&2&a&2\1&4&a2&4\end{pmatrix}$→$\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&a-1&1\0&0&(a-1)(a-2)&1\end{pmatrix}$當(dāng)a=1時(shí)，R(A)=2≠R($\widetilde{A}$)=3，方程組無解；當(dāng)a=2時(shí)，R(A)=R($\widetilde{A}$)=2<3，方程組有無窮多解，通解為x=(0,1,0)?+k(1,-1,1)?（k∈R）；當(dāng)a≠1且a≠2時(shí)，R(A)=R($\widetilde{A}$)=3，方程組有唯一解。設(shè)矩陣A=$\begin{pmatrix}2&-1&-1\-1&2&-1\-1&-1&2\end{pmatrix}$，求正交矩陣P，使P?1AP為對(duì)角矩陣。解：特征方程|λE-A|=(λ-3)2λ=0，特征值λ?=λ?=3，λ?=0λ=3時(shí)，由(3E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α?=(1,1,0)?，α?=(1,0,1)?，正交化得β?=(1,1,0)?，β?=($\frac{1}{2}$,-$\frac{1}{2}$,1)?；λ=0時(shí)，由(0E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α?=(1,-1,-1)?；單位化后得P=$\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\0&\frac{2}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}$，P?1AP=$\begin{pmatrix}3&0&0\0&3&0\0&0&0\end{pmatrix}$設(shè)二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+4x?x?-4x?x?，求正交變換x=Py將其化為標(biāo)準(zhǔn)形，并判斷該二次型是否正定。解：二次型矩陣A=$\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&-2\0&-2&3\end{pmatrix}$，特征值λ?=2，λ?=5，λ?=-1標(biāo)準(zhǔn)形為2y?2+5y?2-y?2，因存在負(fù)特征值，二次型不正定。設(shè)A為m×n矩陣，證明：R(A?A)=R(A)。證明：只需證Ax=0與A?Ax=0同解。若Ax=0，則A?Ax=0；若A?Ax=0，則x?A?Ax=0，即(Ax)?(Ax)=0，故Ax=0。因此Ax=0與A?Ax=0同解，從而R(A?A)=R(A)。四、證明題（本題總計(jì)10分）設(shè)A是n階正定矩陣，B是n階反對(duì)稱矩陣，證明：A-B2是正定矩陣。證明：因?yàn)锽?=-B，所以(A-B2)?=A?-(B2)?=A-(B?)2=A-B2，即A-B2是對(duì)稱矩陣。對(duì)任意x≠0，x?(A-B2)x=x?Ax-x?B2x=x?Ax+x?B?Bx=x?Ax+(Bx)?(Bx)因?yàn)锳正定，所以x?Ax>0；又(Bx)?(Bx)≥0，故x?(A-B2)x>0，即A-B2正定。五、深度學(xué)習(xí)應(yīng)用分析題（本題總計(jì)20分）在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸入向量x∈R?經(jīng)過線性變換Wx+b得到輸出向量y∈R?，其中W是m×n權(quán)重矩陣，b是偏置向量。若輸入層有100個(gè)神經(jīng)元，隱藏層有50個(gè)神經(jīng)元，輸出層有10個(gè)神經(jīng)元，求權(quán)重矩陣W?（輸入層到隱藏層）和W?（隱藏層到輸出層）的維度，并計(jì)算前向傳播中矩陣乘法的運(yùn)算量（按乘法次數(shù)計(jì)）。解：W?維度：50×100，運(yùn)算量：50×100×樣本數(shù)；W?維度：10×50，運(yùn)算量：10×50×樣本數(shù)；總運(yùn)算量：(50×100+10×50)×樣本數(shù)=5500×樣本數(shù)。在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，卷積操作可表示為Y=X*K+b，其中X是輸入矩陣，K是卷積核，*表示互相關(guān)運(yùn)算。設(shè)X是32×32×3的彩色圖像（高×寬×通道數(shù)），K是3×3×3×64的卷積核（高×寬×輸入通道×輸出通道），步長(zhǎng)為1，padding=1，求輸出特征圖Y的尺寸，并解釋卷積操作中線性代數(shù)的核心思想。解：輸出特征圖尺寸：(32-3+2×1)/1+1=32，即32×32×64；核心思想：通過卷積核與輸入矩陣的局部?jī)?nèi)積運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)特征提取與參數(shù)共享，降低模型復(fù)雜度。在PCA降維中，設(shè)樣本矩陣X∈R??（m個(gè)樣本，n個(gè)特征），協(xié)方差矩陣C=X?X/(m-1)。若C的特征值為λ?≥λ?≥…≥λ?，對(duì)應(yīng)的單位特征向量為p?,p?,…,p?，取前k個(gè)主成分，求降維后的樣本矩陣Y，并說明選擇前k個(gè)主成分的依據(jù)。解：降維矩陣Y=XP，其中P=(p?,p?,…,p?)∈R??；依據(jù)：前k個(gè)主成分對(duì)應(yīng)的特征值之和占總特征值之和的比例（貢獻(xiàn)率）最高，能最大限度保留原始數(shù)據(jù)的信息。在循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）中，隱藏狀態(tài)更新公式為h?=tanh(W??h???+W??x?+b?)，其中h?是t時(shí)刻的隱藏狀態(tài)，W??是隱藏層權(quán)重矩陣。若h?∈R?，x?∈R?，求W??和W??的維度，并分析矩陣W??的條件數(shù)對(duì)RNN訓(xùn)練穩(wěn)定性的影響。解：W??維度：d×d，W??維度：d×k；條件數(shù)cond(W??)=||W??||·||W???1||，條件數(shù)越大，矩陣越病態(tài)，梯度反向傳播時(shí)易出現(xiàn)梯度爆炸或消失，影響訓(xùn)練穩(wěn)定性。六、綜合計(jì)算題（本題總計(jì)20分）設(shè)矩陣A=$\begin{pmatrix}1&2&0\0&2&0\-1&2&1\end{pmatrix}$，求A的特征值與特征向量；判斷A是否可對(duì)角化，若可對(duì)角化，求可逆矩陣P及對(duì)角矩陣Λ；計(jì)算A1??。解：特征方程|λE-A|=(λ-1)2(λ-2)=0，特征值λ?=λ?=1，λ?=2λ=1時(shí)，由(E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α?=(0,0,1)?，特征向量為k?α?（k?≠0）；λ=2時(shí)，由(2E-A)x=0得基礎(chǔ)解系α?=(2,1,2)?，特征向量為k?α?（k?≠0）。因?yàn)锳只有2個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A不可對(duì)角化。由A=E+B，其中B=$\begin{pmatrix}0&2&0\0&1&0\-1&2&0\end{pmatrix}$，且B3=0，得A1??=(E+B)1??=E+100B+$\binom{100}{2}$B2=$\begin{pmatrix}1&200-99&0\0&2^{100}&0\-99&198-99×98&1\end{pmatrix}$七、拓展應(yīng)用題（本題總計(jì)10分）在推薦系統(tǒng)中，用戶-物品評(píng)分矩陣R∈R???常存在稀疏性問題。矩陣分解模型假設(shè)R≈UV?，其中U∈R???，V∈R???，k為隱因子維度。目標(biāo)函數(shù)為min||R-UV?||2+λ(||U||2+||V||2)，用梯度下降法推導(dǎo)U和V的更新公式，并說明正則化項(xiàng)λ(||U||2+||V||2)的作用。解：損失函數(shù)L=Σ?,?(R??-U??V?)2+λ(Σ?||U?||2+Σ?||V?||2)對(duì)U?求導(dǎo)：?L/?U?=2Σ?(V?(V??U?-R??))+2λU?，更新公式U?←U?-η(Σ?V?(V??U?-R??)+λU?)對(duì)V?求導(dǎo)：?L/?V?=2Σ?(U?(U??V?-R??))+2λV?，更新公式V?←V?-η(Σ?U?(U??V?-R??)+λV?)正則化項(xiàng)作用：限制U和V的范數(shù)，防止過擬合，提高模型泛化能力。八、編程實(shí)踐題（本題總計(jì)10分）用Python實(shí)現(xiàn)如下線性代數(shù)操作：生成3×3隨機(jī)矩陣A和3階單位矩陣E，計(jì)算A+E、A×E、A?1（若可逆）；求矩陣A的特征值和特征向量；對(duì)向量組α?=(1,2,3)?，α?=(4,5,6)?，α?=(7,8,9)?進(jìn)行正交化。參考代碼：importnumpyasnpfromscipy.linalgimportorth#1.矩陣運(yùn)算A=np.random.rand(3,3)E=np.eye(3)print("A+E:\n",A+E)print("A×E:\n",A@E)ifnp.linalg.det(A)!=0:print("A?1:\n",np.linalg.inv(A))#2.特征值與特征向量eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(A)print("特征值:",eigenvalues)print("特征向量:\n",eigenvectors)#3.正交化alpha=np.array([[1,4,7],[2,5,8],[3,6,9]]).T#列向量組Q=orth(alpha)print("正交化后向量組:\n",Q)九、深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理分析題（本題總計(jì)15分）在Transformer模型的自注意力機(jī)制中，注意力權(quán)重矩陣計(jì)算公式為Attention(Q,K,V)=softmax($\frac{QK?}{\sqrt{d_k}}$)V，其中Q,K,V分別為查詢、鍵、值矩陣，d_k是鍵向量維度。解釋$\sqrt{d_k}$的作用，并從矩陣乘法的角度分析注意力計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度。解：$\sqrt{d_k}$的作用：防止QK?的元素值過大，導(dǎo)致softmax函數(shù)梯度消失；時(shí)間復(fù)雜度：設(shè)序列長(zhǎng)度為n，Q,K,V∈R????，計(jì)算QK?的復(fù)雜度為O(n2d_k)，softmax為O(n2)，與V相乘為O(n2d_k)，總復(fù)雜度為O(n2d_k)。在生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)（GAN）中，判別器D和生成器G的目標(biāo)函數(shù)分別為：min_Gmax_DV(D,G)=E?~p_data(x)[logD(x)]+E_z~p_z(z)[log(1-D(G(z)))]用梯度下降法更新參數(shù)時(shí)，需計(jì)算??V(D,G)和??V(D,G)（v為D的參數(shù)，u為G的參數(shù)）。從矩陣求導(dǎo)的角度，說明如何計(jì)算判別器對(duì)輸入x的梯度??D(x)，并分析其在訓(xùn)練穩(wěn)定中的作用。解：設(shè)D(x)=σ(W?x+b)，則??D(x)=σ'(W?x+b)W，其中σ為激活函數(shù)；作用：通過梯度懲罰（如WGAN-GP）限制??D(x)的范數(shù)，確保判別器Lipschitz連續(xù)，避免訓(xùn)練崩潰。十、工程實(shí)踐