2025年線性代數(shù)外星文明搜索中的信號處理試題一、低頻信號特征提取與矩陣表示2025年，低頻陣列（LOFAR）和內(nèi)努法爾（NenuFAR）望遠(yuǎn)鏡的聯(lián)合觀測將外星文明搜索的頻率范圍擴(kuò)展至10MHz至85MHz，這一頻段的電磁輻射具有能量低、傳播距離遠(yuǎn)但易受星際介質(zhì)干擾的特點(diǎn)。假設(shè)某候選信號來自距離地球12光年的Gliese581恒星系統(tǒng)，其原始信號可表示為離散時(shí)間序列x=[x?,x?,...,x?]?，其中n=1024為采樣點(diǎn)數(shù)。由于星際等離子體散射效應(yīng)，信號在傳播過程中產(chǎn)生了線性畸變，畸變矩陣A∈????滿足y=Ax+n，其中y為地面接收信號向量，n為高斯白噪聲向量（均值為0，協(xié)方差矩陣為σ2I）。1.1基變換與信號去噪（1）若A為正交矩陣，證明信號能量在變換前后保持不變，即‖y‖2=‖x‖2+‖n‖2。（2）采用小波變換對接收信號y進(jìn)行去噪處理，已知小波基矩陣W∈????為正交矩陣，變換后信號?=Wy。若噪聲能量主要集中在高頻子帶（對應(yīng)矩陣W的后k行），設(shè)計(jì)一個(gè)閾值濾波矩陣T∈????，使得去噪后的信號估計(jì)?=W?T?能保留90%的信號能量。1.2奇異值分解（SVD）的應(yīng)用（3）對畸變矩陣A進(jìn)行SVD分解，得到A=UΣV?，其中U和V為正交矩陣，Σ=diag(σ?,σ?,...,σ?)且σ?≥σ?≥...≥σ?≥0。若前r個(gè)奇異值的累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)99%（即∑σ?2/∑σ?2=0.99），求最小r值并解釋其物理意義。（4）利用截?cái)郤VD重構(gòu)畸變矩陣?=U?Σ?V??（僅保留前r個(gè)奇異值），推導(dǎo)原始信號x的最小二乘估計(jì)表達(dá)式x?=(???)?1??y，并分析該估計(jì)的均方誤差與σ2的關(guān)系。二、多源信號分離與線性方程組求解LOFAR望遠(yuǎn)鏡的52個(gè)天線單元同時(shí)接收來自不同方向的電磁輻射，其中可能包含外星文明的窄帶技術(shù)信號（如調(diào)頻載波）和天體物理背景輻射（如脈沖星自轉(zhuǎn)輻射）。假設(shè)第i個(gè)天線接收到的混合信號為y?=∑a??s?+n?（i=1,2,...,52），其中s?（j=1,2,3）為三個(gè)潛在信號源（外星信號、脈沖星信號、銀河系背景），a??為混合系數(shù)，n?為噪聲。2.1盲源分離與特征值問題（5）將混合模型表示為矩陣形式Y(jié)=AS+N，其中Y∈??2??（m為時(shí)間采樣數(shù)），A∈??2?3為混合矩陣，S∈?3??為源信號矩陣。若源信號統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且非高斯，證明通過最大化輸出信號的非高斯性可估計(jì)分離矩陣W，使得?=WY，且W滿足WA=I（單位矩陣）。（6）已知信號協(xié)方差矩陣R=YY?/m=AR?A?+σ2I，其中R?為源信號協(xié)方差矩陣（對角矩陣）。對R進(jìn)行特征值分解，得到特征值λ?>λ?>...>λ??及對應(yīng)的特征向量u?,...,u??。證明前3個(gè)特征向量張成的子空間與混合矩陣A的列空間一致，并據(jù)此構(gòu)造A的最小二乘估計(jì)。2.2稀疏信號重構(gòu)與壓縮感知（7）假設(shè)外星文明信號s?為稀疏二進(jìn)制序列（即大多數(shù)元素為0，僅在特定時(shí)間戳有脈沖），其稀疏度k=10（非零元素個(gè)數(shù)）。若采用隨機(jī)測量矩陣Φ∈????（m=50<n=200）對s?進(jìn)行壓縮采樣，得到觀測向量z=Φs?，利用基追蹤算法min‖s?‖?s.t.Φs?=z重構(gòu)信號。證明當(dāng)Φ滿足有限等距性（RIP）條件時(shí)，重構(gòu)誤差‖s??-s?‖?≤C√kσ，其中C為常數(shù)。三、頻譜特征分析與線性變換外星文明的技術(shù)信號可能具有獨(dú)特的頻譜結(jié)構(gòu)，如周期性頻率跳變或特定的調(diào)制方式（如正交幅度調(diào)制QAM）。通過傅里葉變換將時(shí)域信號轉(zhuǎn)換至頻域，可提取其頻譜特征。3.1離散傅里葉變換（DFT）矩陣（8）已知長度為N的DFT矩陣F∈????的元素為F??=e^(-j2π(k-1)(l-1)/N)，證明F是酉矩陣（即F?F=NI，其中F?為共軛轉(zhuǎn)置）。若接收信號y的頻譜Y=Fy中存在一個(gè)顯著峰值（對應(yīng)外星信號的載波頻率f?），設(shè)計(jì)一個(gè)頻域?yàn)V波向量h∈??，使得濾波后的信號y_filt=F?(h⊙Y)/N能提取該載波分量（⊙表示元素相乘）。3.2特征值分解與信號分類（9）對100個(gè)候選信號的頻譜向量Y?,Y?,...,Y???∈??進(jìn)行主成分分析（PCA），計(jì)算協(xié)方差矩陣C=(1/100)∑Y?Y??。若C的前2個(gè)特征值λ?=5.2，λ?=3.8，其余特征值均小于0.1，解釋為何可用二維特征向量（v??Y?,v??Y?）對信號進(jìn)行分類（v?,v?為對應(yīng)特征向量）。（10）假設(shè)外星信號的頻譜滿足Y_alien=Fx_alien，其中x_alien為周期信號（周期T=16采樣點(diǎn)）。證明Y_alien的非零元素僅出現(xiàn)在頻率點(diǎn)k=0,N/T,2N/T,...，并設(shè)計(jì)一個(gè)基于快速傅里葉變換（FFT）的周期檢測算法。四、時(shí)頻分析與矩陣優(yōu)化星際介質(zhì)的色散效應(yīng)會導(dǎo)致信號在不同頻率上的傳播時(shí)延不同，表現(xiàn)為時(shí)頻平面上的“啁啾”現(xiàn)象。利用短時(shí)傅里葉變換（STFT）可將信號表示為時(shí)頻矩陣S∈????，其中L為時(shí)間窗數(shù)量，M為頻率分點(diǎn)數(shù)。4.1二維濾波與凸優(yōu)化（11）已知時(shí)頻矩陣S中，外星信號的能量集中在一條斜率為α的直線上（即f(t)=αt+f?），而噪聲均勻分布。構(gòu)造一個(gè)二維卷積核K∈????，使得濾波后的矩陣S_filt=SK能增強(qiáng)線性時(shí)頻特征（*表示二維卷積）。（12）以時(shí)頻矩陣S的行向量作為信號樣本，使用線性判別分析（LDA）尋找最優(yōu)投影方向w*∈??，使得類間散度與類內(nèi)散度之比J(w)=w?S_Bw/w?S_Ww最大化，其中S_B和S_W分別為類間和類內(nèi)散度矩陣。4.2張量分解與多頻段融合（13）LOFAR和NenuFAR望遠(yuǎn)鏡分別在10-250MHz和30-85MHz頻段采集到信號張量X∈??????（I=時(shí)間，J=頻率，K=望遠(yuǎn)鏡），利用CANDECOMP/PARAFAC（CP）分解將其表示為X≈∑????a??b??c??，其中R為秩，a??、b??、c??分別為時(shí)間、頻率、望遠(yuǎn)鏡模態(tài)的因子矩陣。解釋因子b??的物理意義，并設(shè)計(jì)一個(gè)基于張量分解的跨頻段信號驗(yàn)證算法。五、綜合應(yīng)用題：外星信號識別系統(tǒng)設(shè)計(jì)（14）某SETI觀測站接收到一段疑似外星文明的信號，其特征如下：時(shí)域：周期T=128ms的脈沖序列，占空比1/8；頻域：中心頻率f?=1420MHz（氫原子譜線），帶寬Δf=1kHz的窄帶信號；調(diào)制方式：二進(jìn)制相移鍵控（BPSK），符號速率1000bps。要求：①建立信號的數(shù)學(xué)模型，用向量和矩陣形式表示其通過星際介質(zhì)后的接收信號；②設(shè)計(jì)一套基于線性代數(shù)的信號處