2025年線性代數(shù)無(wú)人機(jī)編隊(duì)中的協(xié)同控制試題一、理論基礎(chǔ)：線性代數(shù)在無(wú)人機(jī)協(xié)同控制中的核心應(yīng)用（一）向量空間與坐標(biāo)系變換無(wú)人機(jī)編隊(duì)的位置與姿態(tài)描述依賴(lài)于向量空間理論。設(shè)三維空間中第(i)架無(wú)人機(jī)的位置向量為(\boldsymbol{p}_i=[x_i,y_i,z_i]^T)，姿態(tài)角（滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航）構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)矩陣為(\boldsymbol{R}_i)，則其機(jī)體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的變換可表示為：[\boldsymbol{R}_i=\boldsymbol{R}_z(\psi_i)\boldsymbol{R}_y(\theta_i)\boldsymbol{R}_x(\phi_i)]其中(\boldsymbol{R}_x,\boldsymbol{R}_y,\boldsymbol{R}_z)分別為繞(x,y,z)軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。例如，繞(z)軸旋轉(zhuǎn)(\psi)角的矩陣為：[\boldsymbol{R}_z(\psi)=\begin{bmatrix}\cos\psi&-\sin\psi&0\\sin\psi&\cos\psi&0\0&0&1\end{bmatrix}]在編隊(duì)控制中，需通過(guò)坐標(biāo)變換將領(lǐng)航者無(wú)人機(jī)的路徑指令轉(zhuǎn)換為各僚機(jī)的局部坐標(biāo)系目標(biāo)，這一過(guò)程需求解線性方程組(\boldsymbol{R}_i\boldsymbol{p}_i^{\text{local}}=\boldsymbol{p}i^{\text{global}}-\boldsymbol{p}{\text{leader}})。（二）矩陣論與多智能體一致性分布式協(xié)同控制的核心是實(shí)現(xiàn)多無(wú)人機(jī)狀態(tài)的一致性，即通過(guò)局部通信使所有無(wú)人機(jī)的位置、速度等狀態(tài)收斂到同一值。設(shè)(n)架無(wú)人機(jī)的狀態(tài)向量為(\boldsymbol{x}=[\boldsymbol{x}_1^T,\boldsymbol{x}_2^T,...,\boldsymbol{x}n^T]^T)，其中(\boldsymbol{x}i=[x_i,y_i,v{xi},v{yi}]^T)包含位置與速度信息，則一致性算法可表示為：[\dot{\boldsymbol{x}}=-\boldsymbol{L}\otimes\boldsymbol{I}_2\boldsymbol{x}]其中(\boldsymbol{L})為通信拓?fù)涞睦绽咕仃嚕?\otimes)為克羅內(nèi)克積。若通信拓?fù)錇闊o(wú)向連通圖（如正方形編隊(duì)的鄰接矩陣(\boldsymbol{A})滿足對(duì)角線為0、相鄰節(jié)點(diǎn)為1），則(\boldsymbol{L}=\text{diag}(\boldsymbol{A}\mathbf{1})-\boldsymbol{A})為正定矩陣，保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。（三）特征值與控制器設(shè)計(jì)線性二次調(diào)節(jié)器（LQR）是無(wú)人機(jī)姿態(tài)控制的常用方法，其目標(biāo)是最小化性能指標(biāo)(J=\int_0^\infty(\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{Q}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{u}^T\boldsymbol{R}\boldsymbol{u})dt)，其中(\boldsymbol{Q})和(\boldsymbol{R})為權(quán)重矩陣。通過(guò)求解黎卡提方程(\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{P}+\boldsymbol{P}\boldsymbol{A}-\boldsymbol{P}\boldsymbol{B}\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P}+\boldsymbol{Q}=0)，可得到最優(yōu)控制律(\boldsymbol{u}=-\boldsymbol{R}^{-1}\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{P}\boldsymbol{x})。例如，對(duì)無(wú)人機(jī)懸停狀態(tài)的線性化模型(\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{u})，其中(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&1\g/l&0\end{bmatrix})（(g)為重力加速度，(l)為臂長(zhǎng)），特征值(\lambda=\pm\sqrt{g/l})需通過(guò)反饋控制配置為負(fù)實(shí)部以確保穩(wěn)定。二、應(yīng)用案例：四旋翼無(wú)人機(jī)編隊(duì)控制實(shí)驗(yàn)（一）正方形編隊(duì)的狀態(tài)空間建模某實(shí)驗(yàn)使用4架無(wú)人機(jī)組成邊長(zhǎng)1.1米的正方形編隊(duì)，采用領(lǐng)航者-跟隨者結(jié)構(gòu)。設(shè)領(lǐng)航者位置為(\boldsymbol{p}_0=[x_0,y_0]^T)，跟隨者(i)的期望位置為(\boldsymbol{p}_i^*=\boldsymbol{p}_0+\boldsymbolvlz771k_i)，其中(\boldsymbolg0goqpw_i)為相對(duì)偏移向量（如(\boldsymboll9ymb66_1=[0,1.1]^T)，(\boldsymbold0su7rk_2=[1.1,1.1]^T)等）。位置誤差定義為(\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{p}_i-\boldsymbol{p}_i^*)，則控制律設(shè)計(jì)為：[\boldsymbol{u}_i=-k_p\boldsymbol{e}_i-k_d\dot{\boldsymbol{e}}_i]其中(k_p,k_d)為比例-微分系數(shù)。通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)使閉環(huán)系統(tǒng)特征方程(\lambda^2+k_d\lambda+k_p=0)的根位于復(fù)平面左半部分，實(shí)現(xiàn)誤差收斂。（二）通信拓?fù)渑c抗干擾設(shè)計(jì)當(dāng)無(wú)人機(jī)遭遇突發(fā)干擾（如陣風(fēng)導(dǎo)致位置偏移0.3米）時(shí)，分布式控制需依賴(lài)局部信息快速重構(gòu)編隊(duì)。采用虛擬勢(shì)場(chǎng)法修正控制指令：[\boldsymbol{u}i=\boldsymbol{u}{\text{consensus}}+\sum_j\frac{\boldsymbol{p}_j-\boldsymbol{p}_i}{|\boldsymbol{p}_j-\boldsymbol{p}_i|^3}(|\boldsymbol{p}_j-\boldsymbol{p}_i|-d_0)]其中第二項(xiàng)為相鄰無(wú)人機(jī)間的排斥勢(shì)場(chǎng)（(d_0)為安全距離），通過(guò)矩陣運(yùn)算可表示為(\boldsymbol{u}=\boldsymbol{K}(\boldsymbol{L}\boldsymbol{P}+\boldsymbol{E}))，(\boldsymbol{E})為干擾誤差矩陣。實(shí)驗(yàn)表明，該方法可使恢復(fù)時(shí)間從傳統(tǒng)算法的2.3秒縮短至1.5秒，軌跡超調(diào)量降低40%。三、試題設(shè)計(jì)與解析（一）填空題若3架無(wú)人機(jī)的通信拓?fù)錇槿切谓Y(jié)構(gòu)（全連通），則拉普拉斯矩陣(\boldsymbol{L})的秩為_(kāi)_____（答案：2，提示：無(wú)向連通圖的拉普拉斯矩陣秩為(n-1)）。無(wú)人機(jī)姿態(tài)控制中，旋轉(zhuǎn)矩陣(\boldsymbol{R})需滿足______條件以保證正交性（答案：(\boldsymbol{R}^T\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I})且(\det(\boldsymbol{R})=1)）。（二）計(jì)算題已知2架無(wú)人機(jī)的通信拓?fù)溧徑泳仃?\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&1\1&0\end{bmatrix})，位置向量(\boldsymbol{p}=[1,3]^T)（單位：米），期望相對(duì)距離為2米，求一致性控制誤差(\boldsymbol{e}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{p})。解：拉普拉斯矩陣(\boldsymbol{L}=\begin{bmatrix}1&-1\-1&1\end{bmatrix})，則(\boldsymbol{e}=\boldsymbol{L}\boldsymbol{p}=[11-13,-11+13]^T=[-2,2]^T)，誤差模長(zhǎng)為(\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2})米，需通過(guò)控制律消除偏差。（三）證明題設(shè)無(wú)人機(jī)編隊(duì)的通信拓?fù)錇橛邢驑?shù)（存在一個(gè)根節(jié)點(diǎn)領(lǐng)航者），證明其拉普拉斯矩陣(\boldsymbol{L})的特征值均具有非負(fù)實(shí)部。證明：對(duì)任意非零向量(\boldsymbol{x})，有(\boldsymbol{x}^H\boldsymbol{L}\boldsymbol{x}=\sum_{i=1}^n\sum_{j\in\mathcal{N}_i}|x_i-x_j|^2\geq0)，故(\boldsymbol{L})為半正定矩陣，特征值非負(fù)。四、拓展應(yīng)用：動(dòng)態(tài)隊(duì)形變換與優(yōu)化當(dāng)編隊(duì)需從正方形轉(zhuǎn)換為直線形時(shí)，目標(biāo)位置矩陣(\boldsymbol{P}^*=[\boldsymbol{p}_1^,\boldsymbol{p}_2^,\boldsymbol{p}_3^,\boldsymbol{p}_4^])需重新定義（如(\boldsymbol{p}_i^*=[i-1,0]^T)）。通過(guò)求解二次規(guī)劃問(wèn)題(\min|\boldsymbol{P}-\boldsymbol{P}^|_F^2)（(F)為Frobenius范數(shù)），可得到平滑的軌跡過(guò)渡矩陣(\boldsymbol{P}(t)=\boldsymbol{P}_0+t(\boldsymbol{P}^-\boldsymbol{P}_0)/T)（(T)為變換時(shí)間）。結(jié)合避障約束(|\boldsymbol{p}_i(t)-\boldsymbol{p}j(t)|\geqd{\text{min}})，可轉(zhuǎn)化為線性不等式組(\boldsymbol{A}\boldsymbol{p}(t)\leq\boldsymbol)，利用單純形法求解最優(yōu)路徑。在能源優(yōu)化中，基于矩陣論的任務(wù)分配模型可表示為(\min\boldsymbol{c}^T\boldsymbol{x})，其中(\boldsymbol{x})為0-1矩陣（(x_{ij}=1)表示無(wú)人機(jī)(i)執(zhí)行任務(wù)(j)），約束條件(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\mathbf{1})保證任務(wù)全覆蓋。例如，4架無(wú)人機(jī)執(zhí)行3個(gè)偵察任務(wù)時(shí)，系數(shù)矩陣(\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{3\times12})的每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)任務(wù)的分配約束。五、關(guān)鍵技術(shù)挑戰(zhàn)耦合系統(tǒng)的解耦控制：無(wú)人機(jī)的位置與姿態(tài)存在強(qiáng)耦合（如偏航角變化影響(x,y)軸速度），需通過(guò)狀態(tài)反饋(\boldsymbol{u}=-\boldsymbol{K}\boldsymbol{x})將系統(tǒng)矩陣(\boldsymbol{A}-\