2025年線性代數(shù)預(yù)測(cè)性維護(hù)中的異常檢測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）在預(yù)測(cè)性維護(hù)系統(tǒng)中，某電機(jī)振動(dòng)傳感器采集的三維振動(dòng)信號(hào)可表示為向量組α?=(0.12,0.35,0.08)、α?=(0.21,0.42,0.11)、α?=(0.33,0.77,0.19)，其中單位為g（重力加速度）。下列結(jié)論正確的是（）A.向量組線性無關(guān)，可用于構(gòu)建軸承故障特征矩陣B.向量組線性相關(guān)，存在非零組合系數(shù)使3α?+α?=α?C.向量組秩為2，需補(bǔ)充溫度特征構(gòu)成完整監(jiān)測(cè)向量D.向量組的格拉姆矩陣奇異，無法計(jì)算余弦相似度某化工廠離心泵的壓力傳感器7天監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)成矩陣A???（7天×3個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)），經(jīng)奇異值分解得A=UΣV?，其中Σ=diag(5.2,1.8,0.3)。若采用主成分分析（PCA）進(jìn)行降維，保留95%信息所需的最小主成分?jǐn)?shù)量為（）A.1（僅保留第一主成分）B.2（保留前兩個(gè)主成分）C.3（需保留全部主成分）D.需計(jì)算協(xié)方差矩陣特征值后確定旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷中，振動(dòng)信號(hào)的頻譜特征常用傅里葉變換轉(zhuǎn)換至頻域。設(shè)某正常軸承的振動(dòng)信號(hào)向量為x=(1,2,3,4)，故障軸承信號(hào)向量為y=(1,2,5,4)，則兩者的頻域能量差（||Fx||2-||Fy||2）的值為（）A.-12（故障信號(hào)能量降低）B.0（滿足Parseval定理，能量守恒）C.12（故障信號(hào)能量升高）D.無法計(jì)算，需先進(jìn)行快速傅里葉變換某風(fēng)力發(fā)電機(jī)齒輪箱的健康度評(píng)估模型采用二次型f(x)=x?Ax，其中x=(振動(dòng),溫度,油液黏度)?，矩陣A的特征值為λ?=0.8（振動(dòng)權(quán)重）、λ?=0.5（溫度權(quán)重）、λ?=0.3（黏度權(quán)重）。若某時(shí)刻監(jiān)測(cè)向量x=(2,1,1)?，其健康度指標(biāo)f(x)的值為（）A.3.4（正常范圍）B.4.2（輕度異常）C.5.1（重度異常）D.需通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形后計(jì)算在電機(jī)故障預(yù)警系統(tǒng)中，定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P=，其中P[i][j]表示從狀態(tài)i到j(luò)的概率（1=正常，2=預(yù)警，3=故障）。若當(dāng)前狀態(tài)向量為(0.9,0.1,0)，則24小時(shí)后的故障概率為（）A.0.03（3%）B.0.07（7%）C.0.12（12%）D.0.15（15%）二、填空題（每題5分，共25分）某液壓系統(tǒng)的壓力傳感器數(shù)據(jù)經(jīng)小波變換去噪后，得到信號(hào)向量a=(2,-1,3)和小波系數(shù)向量d=(1,4)，則原始信號(hào)的L?范數(shù)||x||?=______（保留兩位小數(shù)）。設(shè)備剩余壽命預(yù)測(cè)中，常用自回歸模型AR(p)：x?=φ?x???+φ?x???+ε?。若某水泵的流量衰減序列滿足x?=1.2x???-0.3x???，且x??=50m3/h，x??=48m3/h，則預(yù)測(cè)x??=______m3/h（提示：ε?=0，無噪聲干擾）。某生產(chǎn)線10臺(tái)電機(jī)的三相電流數(shù)據(jù)構(gòu)成矩陣B????，其協(xié)方差矩陣C=，則電流數(shù)據(jù)中相關(guān)性最強(qiáng)的兩個(gè)監(jiān)測(cè)維度是______（填寫維度編號(hào)，如"1-2"）。采用支持向量機(jī)（SVM）進(jìn)行故障分類時(shí)，核函數(shù)K(x,y)需滿足Mercer條件。對(duì)于多項(xiàng)式核K(x,y)=(x?y+1)2，若x=(1,2)?，y=(3,4)?，則核矩陣元素K(x,y)=______。數(shù)字孿生系統(tǒng)中，設(shè)備物理模型與虛擬模型的同步誤差常用Frobenius范數(shù)度量。設(shè)物理傳感器矩陣P=，虛擬仿真矩陣V=，則同步誤差||P-V||?=______。三、計(jì)算題（共65分）（15分）軸承故障特征提取某風(fēng)機(jī)軸承安裝三軸加速度傳感器，采樣頻率1kHz，連續(xù)采集4秒數(shù)據(jù)得到振動(dòng)信號(hào)矩陣X??????。（1）若采用滑動(dòng)窗口法提取特征，窗口大小為1024點(diǎn)，重疊率50%，計(jì)算可得到的窗口數(shù)量及每個(gè)窗口的特征向量維度（假設(shè)每個(gè)窗口提取時(shí)域特征：均值、方差、峭度）；（2）對(duì)某窗口的X軸振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變換，得到頻域向量F，已知F[100]=3+4i（對(duì)應(yīng)100Hz頻率分量），計(jì)算該頻率分量的幅值和相位；（3）若軸承外圈故障特征頻率為150Hz，采樣頻率1kHz，計(jì)算FFT點(diǎn)數(shù)為1024時(shí)該特征頻率對(duì)應(yīng)的頻域索引（保留整數(shù)）。（20分）PCA異常檢測(cè)模型某化工廠反應(yīng)釜的歷史正常運(yùn)行數(shù)據(jù)如下表（已標(biāo)準(zhǔn)化處理）：|溫度(℃)|壓力(MPa)|攪拌轉(zhuǎn)速(rpm)||----------|-----------|---------------||0.2|0.5|0.1||0.3|0.4|0.2||0.1|0.6|0.0||0.4|0.3|0.3|（1）計(jì)算協(xié)方差矩陣C；（2）求C的特征值與特征向量，確定主成分；（3）若新采集數(shù)據(jù)點(diǎn)為(0.5,0.1,0.4)，計(jì)算其在第一主成分上的投影及重構(gòu)誤差，判斷是否為異常（設(shè)閾值為0.1）。（15分）狀態(tài)空間模型預(yù)測(cè)某數(shù)控機(jī)床的主軸位移偏差可用狀態(tài)方程描述：[\begin{cases}x_{k+1}=\begin{bmatrix}1.02&0.01\0&0.98\end{bmatrix}x_k+w_k\y_k=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x_k+v_k\end{cases}]其中x=(位移偏差,漂移速率)?，w_k、v_k為零均值白噪聲。若k=0時(shí)刻x?=(0.01mm,0.002mm/min)?，y?=0.01mm，（1）預(yù)測(cè)k=1時(shí)刻的狀態(tài)向量x?|?；（2）若k=1時(shí)刻實(shí)際測(cè)量y?=0.015mm，采用卡爾曼濾波更新狀態(tài)估計(jì)x?|?（設(shè)P?|?=I，Q=0，R=0.0001）；（3）計(jì)算預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣P?|?，并分析漂移速率對(duì)位移偏差的影響。（15分）故障診斷線性方程組某化工廠的三個(gè)反應(yīng)釜共用一套冷卻系統(tǒng)，通過測(cè)量進(jìn)出口溫度差ΔT?、ΔT?、ΔT?（單位℃）判斷是否存在堵塞故障。已知正常工況下滿足：[\begin{cases}2ΔT?+ΔT?+ΔT?=15\ΔT?+3ΔT?+2ΔT?=25\ΔT?+2ΔT?+4ΔT?=30\end{cases}]（1）用克拉默法則求解正常工況下的溫度差(ΔT?,ΔT?,ΔT?)；（2）某次檢測(cè)得到(ΔT?,ΔT?,ΔT?)=(3,5,4)，計(jì)算殘差向量r=b-Ax，并判斷是否存在故障；（3）若故障時(shí)系數(shù)矩陣變?yōu)锳'（第一行變?yōu)?,1,0），分析此時(shí)方程組的解的情況（無解/唯一解/無窮多解）。四、綜合應(yīng)用題（共50分）（25分）電機(jī)故障預(yù)測(cè)性維護(hù)系統(tǒng)某汽車生產(chǎn)線電機(jī)的預(yù)測(cè)性維護(hù)系統(tǒng)包含以下模塊：（1）數(shù)據(jù)采集：電壓(U)、電流(I)、溫度(T)傳感器，采樣間隔1分鐘，構(gòu)成監(jiān)測(cè)向量x=(U,I,T)?；（2）健康度評(píng)估：采用線性判別分析(LDA)，投影到一維空間y=w?x，其中w為最優(yōu)投影方向；（3）異常預(yù)警：當(dāng)y>閾值τ時(shí)觸發(fā)預(yù)警。已知正常樣本均值μ?=(220V,5A,45℃)?，故障樣本均值μ?=(215V,6A,55℃)?，類內(nèi)散度矩陣S_w=。（1）計(jì)算類間散度矩陣S_b=(μ?-μ?)(μ?-μ?)?；（2）求解廣義特征值問題S_bw=λS_ww，確定最優(yōu)投影方向w；（3）若某時(shí)刻監(jiān)測(cè)向量x=(218,5.5,50)?，計(jì)算投影值y并與閾值τ=0.5比較，判斷是否預(yù)警。（25分）液壓系統(tǒng)數(shù)字孿生建模某飛機(jī)液壓系統(tǒng)的數(shù)字孿生模型通過矩陣方程P=KQ描述壓力(P)與流量(Q)的動(dòng)態(tài)關(guān)系，其中K為液壓阻抗矩陣。物理系統(tǒng)采集到的壓力響應(yīng)矩陣為P_phy=，虛擬模型仿真矩陣為P_vir=。（1）計(jì)算阻抗矩陣K的最小二乘估計(jì)（已知Q=）；（2）采用奇異值分解（SVD）分析模型誤差，若P_phy-P_vir=UΣV?，其中Σ=diag(0.8,0.3,0.1)，計(jì)算誤差能量占比；（3）為提升模型精度，需補(bǔ)充傳感器數(shù)據(jù)。若新增流量傳感器Q?，構(gòu)成擴(kuò)展矩陣Q_ext=，推導(dǎo)新阻抗矩陣K_ext的最小二乘解表達(dá)式。五、證明題（共20分）（10分）證明在預(yù)測(cè)性維護(hù)的多傳感器數(shù)據(jù)融合中，若兩個(gè)傳感器的測(cè)量向量x?、x?線性無關(guān)，則融合后的估計(jì)精度（以協(xié)方差矩陣行列式度量）不低于單個(gè)傳感器的精度，即det(P??)≤det(P?)且det(P??)≤det(P?)，其中P??為融合后的協(xié)方差矩陣。（10分）證明對(duì)于平穩(wěn)的設(shè)備振動(dòng)信號(hào)，其自相關(guān)矩陣R為Toeplitz矩陣，且滿足特征值分解R=VΛV?，其中V為正交矩陣，Λ為對(duì)角矩陣（提示：利用平穩(wěn)信號(hào)的延遲平移不變性）。參考答案及解析（部分）一、單項(xiàng)選擇題B解析：計(jì)算行列式|α?α?α?|=0.12×(0.42×0.19-0.11×0.77)-0.35×(0.21×0.19-0.11×0.33)+0.08×(0.21×0.77-0.42×0.33)=0，故線性相關(guān)。驗(yàn)證得3×0.12+0.21=0.57=0.33，3×0.35+0.42=1.47=0.77×2（修正：應(yīng)為3α?+α?=(0.36+0.21,1.05+0.42,0.24+0.11)=(0.57,1.47,0.35)=α?×1.727，存在非零組合系數(shù)）。B解析：奇異值平方和代表總能量：5.22+1.82+0.32=27.04+3.24+0.09=30.37。前兩個(gè)奇異值能量占比(27.04+3.24)/30.37≈99.6%>95%，故選B。B解析：根據(jù)Parseval定理，傅里葉變換保能量，即||x||2=||Fx||2。計(jì)算得||x||2=1+4+9+16=30，||y||2=1+4+25+16=46，能量差為-16，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤（原試題選項(xiàng)設(shè)置可能有誤，正確答案應(yīng)為-16，但closest選項(xiàng)為A）。二、填空題5.48解析：原始信號(hào)x由近似分量a和細(xì)節(jié)分量d重構(gòu)，||x||?2=||a||?2+||d||?2=22+(-1)2+32+12+42=4+1+9+1+16=31，故||x||?=√31≈5.57（修正：應(yīng)為√(4+1+9+1+16)=√31≈5.57，原答案5.48可能為計(jì)算誤差）。45.6解析：x??=1.2x??-0.3x??=1.2×48-0.3×50=57.6-15=42.6（修正：原答案45.6有誤，正確計(jì)算為42.6）。（注：完整解析需結(jié)合工程實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證，此處僅展示典型思路）三、計(jì)算題（1）窗口數(shù)量=ceil(4000/512)=8（重疊50