2025年線性代數(shù)政治學(xué)中的投票理論試題一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共30分）投票矩陣的秩與決策有效性設(shè)某選區(qū)有5名候選人，100位選民的偏好排序構(gòu)成5×100階矩陣A，其中A[i][j]=1表示第j位選民將第i位候選人排在首位，其余元素為0。若矩陣A的秩為3，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在3位候選人的得票完全線性相關(guān)B.投票結(jié)果可由3個(gè)獨(dú)立的偏好維度解釋C.所有選民的偏好存在3重冗余信息D.該投票系統(tǒng)必存在Condorcet贏家加權(quán)投票的特征值分析聯(lián)合國(guó)安理會(huì)改革提案中，設(shè)中美俄為常任理事國(guó)（權(quán)重3），英法為非常任理事國(guó)（權(quán)重2），其他10國(guó)為普通成員國(guó)（權(quán)重1）。若通過(guò)決議需總權(quán)重≥15，則該投票系統(tǒng)的Banzhaf權(quán)力指數(shù)矩陣的最大特征值對(duì)應(yīng)的意義是（）A.常任理事國(guó)的平均否決權(quán)強(qiáng)度B.投票系統(tǒng)的最小獲勝聯(lián)盟規(guī)模C.權(quán)重分配的帕累托改進(jìn)方向D.決策結(jié)果對(duì)常任理事國(guó)的敏感度偏好聚合的線性變換設(shè)選民對(duì)3項(xiàng)政策的偏好向量為v=[v?,v?,v?]，其中v?∈[0,1]。若采用Borda計(jì)數(shù)法（排名第1得3分，第2得2分，第3得1分），則偏好聚合過(guò)程可表示為線性變換u=Av，其中矩陣A是（）A.[\begin{bmatrix}3&0&0\0&2&0\0&0&1\end{bmatrix}]B.[\begin{bmatrix}1&1&1\1&1&0\1&0&0\end{bmatrix}]C.[\begin{bmatrix}3&2&1\2&3&1\1&2&3\end{bmatrix}]D.[\begin{bmatrix}1&0&0\1&1&0\1&1&1\end{bmatrix}]投票悖論的向量空間解釋在3位選民對(duì)A、B、C的排序偏好中，若出現(xiàn)A>B>C、B>C>A、C>A>B的循環(huán)（投票悖論），則該偏好向量組在二維空間中的幾何特征是（）A.線性無(wú)關(guān)且構(gòu)成正三角形頂點(diǎn)B.線性相關(guān)且秩為2C.共線且方向相同D.正交且模長(zhǎng)相等否決投票的零空間性質(zhì)某委員會(huì)采用否決投票規(guī)則：5名成員各提出1項(xiàng)提案，再依次否決1項(xiàng)，最終剩余提案通過(guò)。若用矩陣N表示被否決提案的指示矩陣（被否決記為1，否則為0），則N的零空間維數(shù)為（）A.1（僅1項(xiàng)提案未被否決）B.5（所有提案均可能被否決）C.0（零空間僅含零向量）D.4（與否決順序無(wú)關(guān)）特征值與投票系統(tǒng)穩(wěn)定性比較多數(shù)決（簡(jiǎn)單多數(shù)）、絕對(duì)多數(shù)（2/3以上）、加權(quán)投票三種系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣特征值，穩(wěn)定性最強(qiáng)（擾動(dòng)下結(jié)果變化最小）的是（）A.多數(shù)決（特征值分布最集中）B.絕對(duì)多數(shù)（最大特征值最?。〤.加權(quán)投票（特征值均為實(shí)數(shù)）D.三者穩(wěn)定性等價(jià)二、填空題（每題6分，共30分）偏好矩陣的秩：10位選民對(duì)4位候選人的偏好排序構(gòu)成4×10矩陣，若其中6位選民的偏好完全相同，則該矩陣的秩最大為_(kāi)_____。加權(quán)投票的核仁解：某國(guó)際組織投票規(guī)則為“一國(guó)一票，需3/5成員國(guó)同意”，現(xiàn)有15個(gè)成員國(guó)，若將成員國(guó)視為等權(quán)重向量，則該系統(tǒng)的核仁（nucleolus）對(duì)應(yīng)的最小超額值為_(kāi)_____。投票向量的正交分解：若選民偏好向量p=[5,3,1]可分解為p=p?+p?，其中p?是Borda計(jì)數(shù)向量，p?與p?正交，則p?=______。Condorcet矩陣的跡：3位候選人A、B、C的兩兩對(duì)決矩陣M中，M[i][j]表示i擊敗j的選民比例。若A>B（60%）、B>C（55%）、C>A（51%），則矩陣M的跡tr(M)=______。投票系統(tǒng)的條件數(shù)：某投票系統(tǒng)的決策矩陣條件數(shù)κ(A)=||A||·||A?1||=100，則表示當(dāng)選民偏好有1%擾動(dòng)時(shí)，結(jié)果最大可能偏差為_(kāi)_____%。三、計(jì)算題（共40分）1.偏好聚合的矩陣運(yùn)算（15分）某選區(qū)采用“approvalvoting”（贊同投票）：選民可同時(shí)贊同多位候選人，最終得票最高者當(dāng)選?，F(xiàn)有3位候選人X、Y、Z，10位選民的贊同情況如下表：選民分組人數(shù)贊同對(duì)象甲組3X,Y乙組2Y,Z丙組5X,Z（1）構(gòu)建3×10的贊同矩陣A（行表示候選人，列表示選民，贊同記為1）；（2）計(jì)算各候選人得票向量s=A·1（1為全1向量）；（3）若引入加權(quán)贊同：甲組權(quán)重1.2，乙組0.8，丙組1.0，構(gòu)建對(duì)角權(quán)重矩陣W，重新計(jì)算加權(quán)得票向量s'=A·W·1，并比較結(jié)果差異。2.投票悖論的行列式驗(yàn)證（12分）3位選民對(duì)A、B、C的偏好排序如下：選民1：A>B>C選民2：B>C>A選民3：C>A>B（1）將偏好轉(zhuǎn)換為成對(duì)比較矩陣P（P[i][j]=1若i>j，否則0）；（2）計(jì)算P的行列式det(P)，并解釋其符號(hào)與投票悖論的關(guān)系；（3）若選民3改為C>B>A，重新計(jì)算det(P)，判斷是否仍存在悖論。3.特征值與投票規(guī)則優(yōu)化（13分）某委員會(huì)擬從“簡(jiǎn)單多數(shù)”（規(guī)則1）改為“加權(quán)多數(shù)”（規(guī)則2），兩種規(guī)則的決策矩陣分別為：[A_1=\begin{bmatrix}1&1&0\1&0&1\0&1&1\end{bmatrix},\quadA_2=\begin{bmatrix}2&1&0\1&2&1\0&1&2\end{bmatrix}]（1）分別計(jì)算A?、A?的特征值λ?≥λ?≥λ?；（2）通過(guò)譜半徑ρ(A)=max|λ?|比較兩種規(guī)則的決策靈敏度；（3）若希望降低靈敏度，應(yīng)選擇哪種規(guī)則？說(shuō)明理由。四、證明題（20分）設(shè)v?,v?,...,v?是n位選民的偏好向量，均屬于m維歐式空間??。采用Borda計(jì)數(shù)法的聚合結(jié)果為b=Σ?w?v?（w?為Borda權(quán)重），多數(shù)決結(jié)果為m=sign(Σ?v?)（符號(hào)函數(shù)）。證明：（1）若所有v?共線且方向相同，則b與m同向；（2）若存在v?,v?正交，則b的模長(zhǎng)不小于m的模長(zhǎng)。五、應(yīng)用題（30分）某國(guó)際組織擬改革投票機(jī)制，現(xiàn)有兩種方案：方案甲：5個(gè)常任理事國(guó)（各1票否決權(quán)，需全體同意）；方案乙：3個(gè)常任理事國(guó)（權(quán)重3）+10個(gè)非常任理事國(guó)（權(quán)重1），總權(quán)重≥20通過(guò)。（1）分別構(gòu)建兩種方案的決策矩陣，并計(jì)算Banzhaf權(quán)力指數(shù)（提示：用特征向量表示權(quán)力分配）；（2）若某議案同時(shí)被2個(gè)常任理事國(guó)反對(duì)，分別判斷兩種方案是否通過(guò)；（3）從線性代數(shù)角度分析：方案乙的“投票冗余度”（用矩陣秩與維度差衡量）是否高于方案甲？這對(duì)決策效率有何影響？六、開(kāi)放題（20分）近年來(lái)在線投票中出現(xiàn)“策略性投票”（如故意低評(píng)熱門選項(xiàng)），導(dǎo)致結(jié)果偏離真實(shí)偏好。請(qǐng)結(jié)合線性代數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)一種“防策略投票”的聚合算法，要求：（1）用矩陣形式定義算法（包含偏好輸入、權(quán)重調(diào)整、結(jié)果輸出三階段）；（2）證明