2025年線性代數(shù)綜合能力提升試題一、選擇題（每題5分，共30分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&4&t\3&6&9\end{pmatrix})，若(r(A)=2)，則常數(shù)(t)的值為（）A.6B.-6C.0D.任意實數(shù)已知向量組(\alpha_1=(1,0,0)^T)，(\alpha_2=(0,1,0)^T)，(\alpha_3=(1,1,k)^T)線性相關(guān)，則(k)的值為（）A.0B.1C.-1D.任意實數(shù)設(shè)(A)為3階方陣，且(|A|=2)，則(|A^*|=)（）A.1B.2C.4D.8二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_2x_3)對應(yīng)的矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&1&0\1&2&2\0&2&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&4\0&4&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&1&2\1&2&0\2&0&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix})設(shè)(A)為(n)階可逆矩陣，則與(A)有相同特征值的矩陣是（）A.(A^T)B.(A^{-1})C.(A^*)D.(kA)（(k\neq1)）若線性方程組(Ax=b)有唯一解，則（）A.(r(A)=r(A|b)<n)B.(r(A)=r(A|b)=n)C.(r(A)<r(A|b))D.(r(A)>r(A|b))二、填空題（每題5分，共30分）設(shè)(A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，則(A^{-1}=)________。向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,6)^T)，(\alpha_3=(3,6,9)^T)的秩為________。設(shè)(A)為3階方陣，特征值為1，2，3，則(|A-4E|=)________。已知(\alpha=(1,1,1)^T)，(\beta=(1,0,-1)^T)，則內(nèi)積((\alpha,\beta)=)________。若二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+2tx_1x_2+4x_2^2)正定，則(t)的取值范圍是________。線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2=0\x_2+x_3=0\x_1+x_3=0\end{cases})的通解為________。三、計算題（每題15分，共60分）設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&1&0\1&0&1\0&1&1\end{pmatrix})，(B=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&2\end{pmatrix})，求矩陣(X)，使得(AX=B)。求向量組(\alpha_1=(1,2,3,4)^T)，(\alpha_2=(2,3,4,5)^T)，(\alpha_3=(3,4,5,6)^T)，(\alpha_4=(4,5,6,7)^T)的一個極大無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}2&-1&2\5&-3&3\-1&0&-2\end{pmatrix})，求其特征值與特征向量。用正交變換化二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3)為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換矩陣。四、證明題（每題10分，共20分）證明：若(A)為(n)階方陣，且(A^2=A)，則(r(A)+r(A-E)=n)。設(shè)(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)是線性無關(guān)的向量組，證明：向量組(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2)，(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3)，(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1)也線性無關(guān)。五、應(yīng)用題（20分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品消耗A、B、C三種原料的數(shù)量如下表所示：產(chǎn)品原料A（kg）原料B（kg）原料C（kg）利潤（元）甲1234乙2123丙3212若工廠每天可提供原料A100kg，原料B120kg，原料C150kg，試建立線性方程組模型，求每天生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品各多少件時，總利潤最大？（只需列出方程組，無需求解）參考答案及解析（部分）一、選擇題A解析：矩陣(A)的前兩行成比例，若(r(A)=2)，則第三行需與前兩行線性相關(guān)，即(t=6)。A解析：向量組線性相關(guān)的充要條件是行列式為0，計算得(k=0)。C解析：(|A^*|=|A|^{n-1}=2^2=4)。A解析：二次型矩陣的對角線元素為平方項系數(shù)，非對角線元素為交叉項系數(shù)的一半。A解析：矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣的特征值相同。B解析：線性方程組有唯一解的充要條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等且等于未知數(shù)個數(shù)。二、填空題(\begin{pmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix})解析：利用伴隨矩陣法或初等行變換求逆矩陣。1解析：向量組中任意兩個向量成比例，秩為1。-6解析：(A-4E)的特征值為-3，-2，-1，行列式為三者乘積。0解析：內(nèi)積((\alpha,\beta)=1×1+1×0+1×(-1)=0)。(-2<t<2)解析：二次型正定的充要條件是順序主子式全大于0。(k(1,-1,1)^T)（(k\in\mathbb{R})）解析：基礎(chǔ)解系為((1,-1,1)^T)，通解為其線性組合。三、計算題解：對矩陣((A|B))進(jìn)行初等行變換：[(A|B)=\begin{pmatrix}1&1&0&1&0&0\1&0&1&0&1&0\0&1&1&0&0&2\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\0&1&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\0&0&1&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}]故(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-1\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix})。解：構(gòu)造矩陣((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4))并進(jìn)行初等行變換：[\begin{pmatrix}1&2&3&4\2&3&4&5\3&4&5&6\4&5&6&7\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&3&4\0&-1&-2&-3\0&0&0&0\0&0&0&0\end{pmatrix}]極大無關(guān)組為(\alpha_1,\alpha_2)，且(\alpha_3=2\alpha_2-\alpha_1)，(\alpha_4=3\alpha_2-2\alpha_1)。四、證明題證明：由(A^2=A)得(A(A-E)=O)，則(r(A)+r(A-E)\leqn)。又(r(A)+r(E-A)\geqr(E)=n)，且(r(A-E)=r(E-A))，故(r(A)+r(A-E)=n)。證明：設(shè)(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0)，即((k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0)。由(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無關(guān)，得方程組：[\begin{cases}k_1+k_3=0\k_1+k_2=0\k_2+k_3=0\end{cases}]系數(shù)行列式為2≠0，僅有零解，故(\beta_1,\beta_2,\beta_3)線性無關(guān)。五、應(yīng)用題設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品分別為(x_1,x_2,x_3)件，總利潤為(z=4x_1+3x_2+2x_3)。約束條件為：[\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3\leq100\2x_1+x_2+2x_3\leq120\3x_1+2x_2+x_3\l