第四部分題型專(zhuān)練題型專(zhuān)練11相似三角形的計(jì)算與證明1.（2025·南海）如圖，已知在Rt△ABC中∠BAC＝90°.（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法在邊BC上找一點(diǎn)P，連接AP，使得△APC∽△BAC；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，不用證明）解：如答圖，點(diǎn)P即為所求.（2）應(yīng)用與求解：若AD為BC邊上的中線，且AB＝7，AC＝6，△ABD的周長(zhǎng)為16，求△ACD的周長(zhǎng).解：由條件可知BD＝CD.∵△ABD的周長(zhǎng)為16，AB＝7，∴AD＋BD＝9.∴AD＋CD＝9.∴AD＋CD＋AC＝15.∴△ACD的周長(zhǎng)為15.2.（2025·袁州）如圖，在矩形ABCD中，E為邊DC上的一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在邊BC上的點(diǎn)F處，且AD＝6.（1）求證：△ABF∽△FCE.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°.∵把△ADE沿AE翻折，點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處，∴∠AFE＝∠D＝90°.∵∠BAF＋∠AFB＝90°，∠CFE＋∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠CFE.∴△ABF∽△FCE.（2）若F為BC的中點(diǎn)，求AE的長(zhǎng).解：∵F為BC的中點(diǎn)，BC＝AD＝6，

∵AF＝AD＝6，

3.（2025·拱墅）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形ABCD的邊AB，CD上，連接EF，交對(duì)角線AC于點(diǎn)G，EF∥AD.（1）求證：△CFG∽△ABC.證明：∵EF∥AD，∴∠CFG＝∠D.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B，CD∥AB.∴∠CFG＝∠B，∠FCG＝∠BAC.∴△CFG∽△ABC.（2）若CF＝2，F(xiàn)D＝4，AD＝3，求CG的長(zhǎng).解：∵CF＝2，F(xiàn)D＝4，AD＝3，∴CD＝CF＋FD＝2＋4＝6.

4.（2025·浦東）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，連接CD，∠A＝∠DCB，E是CD上一點(diǎn)，連接BE，BE＝BD.（1）求證：△ADC∽△CEB；證明：由條件可知∠BED＝∠BDE，則∠ADC＝∠CEB，∵∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CEB.

解：由（1）可知，△ADC∽△CEB，

由條件可知∠CEF＝∠CFE，∵∠CEF＝∠DCB＋∠CBE，∠CFE＝∠A＋∠ABF，∴∠CBE＝∠ABF.由（1）知，∠BED＝∠BDE，∠BED＝∠BFC，

5.（2025·徐匯）如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BE＝CF，連接EF.（1）求證：△AEF是等邊三角形；證明：如答圖，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ADC＝∠B＝60°.∴△ABC和△ADC都是等邊三角形.∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACF＝60°.

∴△ABE≌△ACF（SAS）.∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝∠CAE＋∠BAE＝∠BAC＝60°.∴△AEF是等邊三角形.（2）延長(zhǎng)EF，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求證：AE2＝CF·AG.證明：如答圖，延長(zhǎng)EF，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵CB∥AD，CD∥AB，∴∠CEF＝∠G，∠FCE＝180°－∠B＝120°.∵FE＝FA＝AE