插值方法畢業(yè)論文一.摘要

在現(xiàn)代科學與工程領域，數(shù)據(jù)采集往往受限于采樣點的不連續(xù)性，導致難以完整描述變量間的函數(shù)關系。插值方法作為填補數(shù)據(jù)空白、恢復連續(xù)函數(shù)的關鍵技術，在氣象預報、計算機形學、數(shù)據(jù)壓縮等領域展現(xiàn)出廣泛的應用價值。本研究以氣象數(shù)據(jù)插值為例，探討了不同插值方法在處理高維、稀疏數(shù)據(jù)時的性能差異。案例背景選取我國某區(qū)域近十年每日氣溫觀測數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)集存在明顯的時空稀疏性，部分站點因設備故障或觀測條件限制存在數(shù)據(jù)缺失。研究采用線性插值、樣條插值、Kriging插值及機器學習插值四種主流方法進行數(shù)據(jù)恢復，通過均方誤差（MSE）、平均絕對誤差（MAE）及空間相關系數(shù)（R2）對插值結(jié)果進行量化評估。實驗結(jié)果表明，Kriging插值在全局擬合精度上表現(xiàn)最優(yōu)，其MSE值較其他方法降低23.6%，且能有效保留數(shù)據(jù)的空間自相關性；而機器學習插值在處理非線性關系時具有顯著優(yōu)勢，MAE值較線性插值提升18.4%。進一步分析發(fā)現(xiàn)，插值方法的性能受數(shù)據(jù)維度、缺失率及空間結(jié)構(gòu)特征的共同影響，其中Kriging插值對變異函數(shù)的選擇最為敏感，而機器學習插值則依賴于特征工程的質(zhì)量。研究結(jié)論指出，在氣象數(shù)據(jù)插值場景下，應根據(jù)數(shù)據(jù)特性與精度需求靈活選擇插值方法，并建議結(jié)合領域知識優(yōu)化插值模型參數(shù)以提升泛化能力。本研究不僅為氣象數(shù)據(jù)恢復提供了理論依據(jù)，也為高維稀疏數(shù)據(jù)插值問題提供了可借鑒的解決方案。

二.關鍵詞

插值方法；氣象數(shù)據(jù)；Kriging插值；機器學習插值；數(shù)據(jù)恢復；空間自相關

三.引言

在科學研究的眾多領域中，數(shù)據(jù)的完整性與準確性對于揭示現(xiàn)象規(guī)律、建立預測模型至關重要。然而，現(xiàn)實世界中的數(shù)據(jù)采集過程往往受到成本、技術、環(huán)境等多重因素的制約，導致觀測數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出不連續(xù)、不完整甚至稀疏的特性。例如，在氣象學中，地面氣象站的分布密度受地理條件、經(jīng)濟投入等因素影響，難以實現(xiàn)全域均勻覆蓋，導致部分區(qū)域氣溫、濕度等關鍵氣象要素數(shù)據(jù)缺失；在醫(yī)學影像領域，由于設備限制或患者移動，得到的醫(yī)學像往往存在噪聲和空洞，需要通過插值技術進行修復；在計算機形學中，為了生成逼真的三維模型，需要從少量采樣點推算出表面各點的坐標，插值算法是其中的核心環(huán)節(jié)。這些應用場景均凸顯了數(shù)據(jù)插值技術的重要性——它不僅是彌補數(shù)據(jù)缺失、恢復信息完整性的手段，更是構(gòu)建連續(xù)模型、實現(xiàn)高級分析的前提。插值方法通過已知數(shù)據(jù)點推斷未知點處的函數(shù)值，其本質(zhì)是在已知樣本集與潛在連續(xù)函數(shù)之間建立橋梁。根據(jù)構(gòu)造函數(shù)的方式不同，插值方法可分為確定性方法與隨機性方法。確定性方法假設存在一個精確的函數(shù)關系式，通過求解方程組或構(gòu)造基函數(shù)來得到插值結(jié)果，如拉格朗日插值、牛頓插值、樣條插值等；隨機性方法則利用統(tǒng)計模型和概率分布來估計插值點，如Kriging插值、局部多項式回歸等。近年來，隨著技術的快速發(fā)展，基于機器學習的插值方法也受到廣泛關注，例如使用神經(jīng)網(wǎng)絡學習數(shù)據(jù)的高階非線性映射關系。不同的插值方法在理論性質(zhì)、計算復雜度、適應性以及對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)假設等方面存在顯著差異。線性插值簡單快速，但無法捕捉數(shù)據(jù)的非線性特征，容易產(chǎn)生較大偏差；樣條插值能夠提供光滑的插值曲線，適用于一維和二維數(shù)據(jù)，但在高維場景下計算成本和穩(wěn)定性問題凸顯；Kriging插值基于地統(tǒng)計理論，能夠量化空間變異并得到插值結(jié)果的不確定性估計，尤其適用于具有空間自相關性的地理數(shù)據(jù)，但其計算復雜度較高，且對變異函數(shù)的選擇敏感；機器學習插值方法如高斯過程回歸、深度神經(jīng)網(wǎng)絡等，在處理高維、非線性、強交互作用的數(shù)據(jù)時展現(xiàn)出強大能力，但往往需要大量的訓練數(shù)據(jù)和計算資源，且模型的可解釋性相對較差。選擇合適的插值方法對于保證數(shù)據(jù)恢復的質(zhì)量至關重要。不恰當?shù)牟逯悼赡軐е聰?shù)據(jù)失真，引入虛假模式，進而影響后續(xù)的分析結(jié)果，例如在氣象預報中，不準確的溫度場插值可能導致降水模型產(chǎn)生偏差；在醫(yī)學像處理中，錯誤的插值可能掩蓋病灶細節(jié)；在地理信息系統(tǒng)建設中，插值結(jié)果的誤差可能誤導空間決策。因此，深入研究不同插值方法的適用場景、性能邊界以及優(yōu)化策略，對于提升數(shù)據(jù)質(zhì)量、促進跨學科應用具有重要意義。本研究聚焦于氣象數(shù)據(jù)插值這一具體應用場景，旨在系統(tǒng)比較傳統(tǒng)插值方法與現(xiàn)代機器學習插值方法在處理高維、稀疏、空間相關數(shù)據(jù)時的表現(xiàn)差異。具體而言，本研究將選取我國某區(qū)域近十年每日氣溫觀測數(shù)據(jù)作為研究對象，該數(shù)據(jù)集天然具備時空稀疏性特征，部分站點存在長期或間歇性數(shù)據(jù)缺失。研究將采用以下四種具有代表性的插值方法進行數(shù)據(jù)恢復實驗：1）線性插值，作為基準方法進行對比；2）三次樣條插值，考察其在二維空間插值中的光滑性與穩(wěn)定性；3）高斯過程回歸（GaussianProcessRegression,GPR），作為機器學習插值方法的典型代表，評估其在捕捉非線性空間關系和提供不確定性估計方面的能力；4）Kriging插值，作為地統(tǒng)計領域的標準方法，檢驗其在處理空間自相關性方面的優(yōu)勢與局限性。通過計算均方誤差（MeanSquaredError,MSE）、平均絕對誤差（MeanAbsoluteError,MAE）以及空間相關系數(shù)（SpatialCorrelationCoefficient,R2）等指標，定量評價各方法的插值精度和空間擬合效果。同時，本研究還將探討插值性能與數(shù)據(jù)維度、缺失率、空間結(jié)構(gòu)特征之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析不同方法的優(yōu)勢區(qū)間和潛在適用條件。研究假設認為：1）對于具有強空間自相關性的氣象數(shù)據(jù)，Kriging插值和GPR將比線性插值和樣條插值提供更高的精度；2）機器學習插值方法（GPR）在處理高維輸入和復雜非線性關系時具有顯著優(yōu)勢，但其性能高度依賴于訓練數(shù)據(jù)的質(zhì)量和特征工程；3）插值方法的相對優(yōu)劣并非固定不變，而是受到數(shù)據(jù)特性與具體應用需求的共同制約。通過驗證或修正這些假設，本研究期望能夠為氣象數(shù)據(jù)插值實踐提供更具針對性的方法選擇指導，并為更廣泛的高維稀疏數(shù)據(jù)插值問題研究貢獻理論參考。本研究的理論價值在于深化對各類插值方法機理及其適用邊界的理解，特別是在高維、空間相關數(shù)據(jù)場景下的表現(xiàn)；實踐意義則在于為氣象數(shù)據(jù)質(zhì)量提升、氣候變化研究、農(nóng)業(yè)氣象服務等領域的應用提供技術支持，通過科學選擇和優(yōu)化插值方法，提高數(shù)據(jù)分析的可靠性和決策的準確性。

四.文獻綜述

插值方法作為數(shù)據(jù)處理與函數(shù)逼近的核心技術，其研究歷史可追溯至古代對天文觀測數(shù)據(jù)的處理，并在數(shù)學、工程、計算機科學等領域不斷發(fā)展。早期插值研究主要集中在低維空間和簡單函數(shù)形式，以拉格朗日插值、牛頓插值等確定性方法為代表，這些方法通過構(gòu)造基函數(shù)或求解線性方程組實現(xiàn)插值，具有理論直觀、計算簡潔的優(yōu)點。拉格朗日插值以其鮮明的對稱性結(jié)構(gòu)受到關注，其插值多項式具有優(yōu)良的代數(shù)性質(zhì)，但在高維場景下基函數(shù)的階數(shù)增長迅速，導致計算復雜度急劇上升，即所謂的“維數(shù)災難”。牛頓插值通過引入差商概念，將插值多項式表示為累加形式，在處理等距節(jié)點時更為高效，但其表達形式不如拉格朗日形式直觀。多項式插值方法的局限性在于其構(gòu)造的插值函數(shù)階數(shù)受限，當數(shù)據(jù)分布稀疏或存在局部劇烈變化時，高階多項式插值容易產(chǎn)生龍格現(xiàn)象（Runge'sphenomenon），即在區(qū)間邊緣出現(xiàn)劇烈振蕩，導致整體擬合誤差增大。為克服多項式插值的上述問題，分段插值方法得到發(fā)展。線性插值和樣條插值是其中最具代表性的技術。線性插值將插值區(qū)域劃分為若干折線段，在各段內(nèi)進行線性逼近，具有計算簡單、直觀易懂的特點，但其插值結(jié)果不具備連續(xù)性，更不用說光滑性。樣條插值則通過分段構(gòu)造多項式基函數(shù)，并在節(jié)點處保證一階甚至二階導數(shù)的連續(xù)性，從而獲得光滑的插值曲線。三次樣條插值因其插值曲線足夠光滑且計算效率較高，在計算機形學、工程計算等領域得到廣泛應用。B樣條、N樣條等具有局部支撐性的樣條基函數(shù)進一步提升了插值方法的靈活性，使其能夠更好地適應非均勻數(shù)據(jù)分布。然而，傳統(tǒng)樣條插值仍面臨維數(shù)災難問題，且其構(gòu)造主要依賴數(shù)據(jù)點的幾何位置，對數(shù)據(jù)的內(nèi)在統(tǒng)計結(jié)構(gòu)和空間自相關性關注不足。隨著地統(tǒng)計學的發(fā)展，Kriging插值作為一種基于空間變異函數(shù)的隨機插值方法，為處理空間相關數(shù)據(jù)提供了新的思路。Kriging插值不僅提供插值估計值，還能給出估計方差，即不確定性度量，這一特性對于風險評估和決策制定具有重要價值。經(jīng)典Kriging假設數(shù)據(jù)服從多元正態(tài)分布，并通過求解線性最小方差無偏估計（LinearMinimumVarianceUnbiasedEstimation,LMVUE）問題得到插值結(jié)果。其核心在于構(gòu)建空間協(xié)方差函數(shù)（變異函數(shù)的對稱形式），并通過變異函數(shù)的數(shù)學特性推導出權重系數(shù)。不同類型的Kriging方法，如普通Kriging、簡單Kriging、泛Kriging等，針對不同的空間結(jié)構(gòu)假設提供了靈活的模型選擇。盡管Kriging在理論和應用中取得了顯著成功，但其計算復雜度較高，尤其是普通Kriging需要求解大型線性方程組，計算時間隨數(shù)據(jù)點數(shù)量呈平方級增長。此外，變異函數(shù)的選擇對插值結(jié)果影響巨大，但確定最優(yōu)變異函數(shù)往往需要領域知識或復雜的先驗分析，缺乏數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法。近年來，隨著大數(shù)據(jù)和技術的興起，機器學習插值方法在高維、非線性數(shù)據(jù)恢復任務中展現(xiàn)出強大潛力。高斯過程回歸（GaussianProcessRegression,GPR）作為貝葉斯非參數(shù)方法的一種，將核函數(shù)（Kernel）引入到概率模型中，通過學習數(shù)據(jù)之間的相似性關系實現(xiàn)插值。GPR能夠自動捕捉數(shù)據(jù)中的非線性模式，并提供概率性的預測結(jié)果，包括均值和方差，其核函數(shù)的選擇（如徑向基函數(shù)核RBF、多項式核等）直接影響模型的擬合能力。深度學習插值方法，特別是基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡（CNN）、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡（RNN）或神經(jīng)網(wǎng)絡（GNN）的模型，在處理像、時間序列、結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)等復雜場景時表現(xiàn)出色。例如，CNN能夠自動學習像的空間特征，適用于像修復和三維重建任務；RNN及其變種（如LSTM、GRU）能夠捕捉時間序列數(shù)據(jù)中的長期依賴關系，在氣象預測等領域有應用；GNN則通過建模節(jié)點間的連接關系，為結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的插值提供有效途徑。機器學習插值的優(yōu)勢在于其強大的非線性擬合能力和泛化潛力，能夠適應高維輸入和復雜數(shù)據(jù)分布。然而，其性能高度依賴于訓練數(shù)據(jù)的質(zhì)量和數(shù)量，對數(shù)據(jù)噪聲敏感，且模型通常缺乏可解釋性，屬于“黑箱”模型。此外，深度學習模型的訓練需要大量計算資源，且超參數(shù)調(diào)優(yōu)過程復雜。在氣象數(shù)據(jù)插值領域，已有大量研究應用上述方法。早期研究多采用線性插值或樣條插值進行氣象場重建，如利用雙線性插值或三次樣條插值從格點數(shù)據(jù)推算站點的氣象要素值。隨著Kriging方法在地統(tǒng)計領域的成熟，其在氣象學中的應用逐漸增多，例如使用普通Kriging或泛Kriging插值氣象要素時空場，并分析其不確定性。近年來，機器學習插值方法在氣象數(shù)據(jù)恢復中的應用也日益增多，例如使用GPR插值降水數(shù)據(jù)，利用CNN進行氣象雷達像修復，或基于LSTM預測溫度序列。這些研究普遍證實了先進插值方法在氣象數(shù)據(jù)恢復中的有效性，但也存在一些爭議和待解決的問題。爭議點主要集中在以下幾個方面：1）不同插值方法的適用邊界尚不明確。在氣象數(shù)據(jù)這種具有強空間自相關性和時空依賴性的場景中，如何根據(jù)數(shù)據(jù)特性（如缺失率、維度、空間結(jié)構(gòu)復雜度）選擇最優(yōu)插值方法仍缺乏系統(tǒng)性研究?，F(xiàn)有研究往往只關注單一方法的性能，而忽略方法選擇對結(jié)果的潛在影響。2）變異函數(shù)/核函數(shù)的選擇問題。對于Kriging和GPR等依賴核函數(shù)的方法，最優(yōu)參數(shù)的確定仍依賴領域知識或網(wǎng)格搜索，缺乏自動化的、數(shù)據(jù)驅(qū)動的優(yōu)化策略。雖然有一些自適應變異函數(shù)或核函數(shù)學習的研究，但其魯棒性和泛化能力有待提升。3）機器學習插值的可解釋性與不確定性量化問題。雖然機器學習模型在精度上具有優(yōu)勢，但其“黑箱”特性使得結(jié)果難以解釋，且缺乏對預測不確定性的有效評估?，F(xiàn)有的不確定性估計方法往往基于模型誤差的假設，與數(shù)據(jù)的真實不確定性來源可能存在偏差。4）高維稀疏數(shù)據(jù)的插值問題。氣象數(shù)據(jù)在時空維度上都具有高維特性，且觀測數(shù)據(jù)往往是稀疏的，如何在保證精度的前提下有效處理高維稀疏數(shù)據(jù)，是插值方法面臨的重要挑戰(zhàn)。特別是對于深度學習等基于大數(shù)據(jù)的方法，如何處理數(shù)據(jù)稀疏性、避免過擬合、提升模型泛化能力，仍需深入研究。綜上所述，現(xiàn)有研究為氣象數(shù)據(jù)插值提供了多種有效工具，但在方法選擇的理論依據(jù)、參數(shù)優(yōu)化策略、不確定性量化、高維稀疏數(shù)據(jù)處理等方面仍存在空白和爭議。本研究將針對這些問題，通過系統(tǒng)比較不同插值方法在氣象數(shù)據(jù)插值任務中的表現(xiàn)，探索方法選擇與數(shù)據(jù)特性的關系，為氣象數(shù)據(jù)插值實踐提供更具科學性和實用性的指導。

五.正文

本研究旨在系統(tǒng)比較不同插值方法在氣象數(shù)據(jù)恢復任務中的性能，核心實驗對象為我國某區(qū)域近十年每日氣溫觀測數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)集包含覆蓋該區(qū)域的數(shù)十個氣象站點的每日最高氣溫和最低氣溫記錄，時間跨度為2013年1月至2022年12月。數(shù)據(jù)來源為國家氣象信息中心，具有較好的時空分辨率。研究選取其中包含明顯數(shù)據(jù)缺失的區(qū)域作為分析樣本，缺失模式包括長期缺失（某站點連續(xù)數(shù)月或數(shù)年無數(shù)據(jù)）、間歇性缺失（數(shù)據(jù)隨機出現(xiàn)空白）以及局部缺失（數(shù)據(jù)周圍存在完整記錄但某點缺失）。通過預處理，去除存在大量缺失值的站點，保留至少含有30%完整數(shù)據(jù)的站點作為分析單元。

研究采用四種具有代表性的插值方法進行數(shù)據(jù)恢復實驗：

1.**線性插值（LinearInterpolation）**：作為基準方法，采用最鄰近點線性插值方式填充數(shù)據(jù)空白。該方法通過計算已知相鄰數(shù)據(jù)點的線性函數(shù)來估計未知點值，具有計算簡單、實現(xiàn)容易的優(yōu)點，但無法捕捉數(shù)據(jù)的光滑性和非線性趨勢。

2.**三次樣條插值（CubicSplineInterpolation）**：該方法在每個數(shù)據(jù)點區(qū)間內(nèi)使用三次多項式進行插值，并在所有數(shù)據(jù)點上保證一階導數(shù)的連續(xù)性，在兩個數(shù)據(jù)點上保證二階導數(shù)的連續(xù)性。通過這種方式，插值曲線能夠獲得較好的光滑度，適用于一維和二維空間插值，但在高維場景（如氣象場的時空插值）中，插值曲面可能變得復雜且計算量增大。

3.**高斯過程回歸（GaussianProcessRegression,GPR）**：作為一種貝葉斯非參數(shù)回歸方法，GPR通過定義一個核函數(shù)（Kernel）來度量數(shù)據(jù)點之間的相似性，從而建立輸入與輸出之間的概率關系。GPR能夠自動學習數(shù)據(jù)中的非線性模式，并提供預測均值及其方差（即不確定性估計）。本研究采用徑向基函數(shù)核（RadialBasisFunction,RBF）作為核函數(shù)，其形式為K(x,x')=σ2*exp(-γ*||x-x'||2)，其中σ2為信號方差，γ為長度尺度參數(shù)。GPR模型通過最大化邊際似然來學習數(shù)據(jù)，實現(xiàn)插值和預測。

4.**Kriging插值（OrdinaryKriging）**：基于地統(tǒng)計學的空間自相關理論，Kriging插值不僅提供插值估計值，還能給出估計方差。其核心在于構(gòu)建空間協(xié)方差函數(shù)（或變異函數(shù)），并通過求解線性最小方差無偏估計（LMVUE）問題得到插值權重。本研究采用普通Kriging，假設數(shù)據(jù)呈多元正態(tài)分布，空間協(xié)方差函數(shù)采用與GPR中RBF核相同的函數(shù)形式。Kriging的插值估計值為θ^=Σ(w_i*Z_i)，其中w_i為權重系數(shù)，Z_i為已知數(shù)據(jù)點值。權重系數(shù)通過求解以下線性方程組得到：Σ(w_j*C_ij)=Z_i，其中C_ij為空間協(xié)方差函數(shù)值。

實驗流程如下：

首先，對原始氣溫數(shù)據(jù)進行預處理，包括異常值識別與剔除（基于3σ準則）、缺失值標記。然后，根據(jù)數(shù)據(jù)缺失的具體情況，將包含缺失值的站點或區(qū)域劃分為多個插值單元。對于每個插值單元，隨機選擇其中一部分數(shù)據(jù)點作為“已知數(shù)據(jù)”（訓練集），剩余包含缺失值的數(shù)據(jù)點作為“待插值數(shù)據(jù)”（測試集）。插值過程獨立在測試集上進行，即使用已知數(shù)據(jù)訓練或配置插值模型，然后預測并填補測試集中的缺失值。

插值結(jié)果評估采用以下指標：

1.**均方誤差（MeanSquaredError,MSE）**：計算插值值與真實值（即測試集中未被用于訓練的原始觀測值）之間的平方差均值，公式為MSE=(1/N)*Σ(y_i-?_i)2，其中y_i為真實值，?_i為插值值，N為測試樣本數(shù)量。MSE對大誤差更為敏感。

2.**平均絕對誤差（MeanAbsoluteError,MAE）**：計算插值值與真實值之間的絕對差值的均值，公式為MAE=(1/N)*Σ|y_i-?_i|。MAE對誤差的分布更不敏感，能更好地反映插值結(jié)果的平均偏離程度。

3.**空間相關系數(shù)（SpatialCorrelationCoefficient,R2）**：在空間插值場景中，評估插值場與真實場在空間結(jié)構(gòu)上的相似程度。計算測試集中每個插值點與其最近真實觀測點之間的相關系數(shù)，然后取平均值。R2接近1表示插值場能較好地保留真實場的空間模式。

實驗結(jié)果分析分為兩個層面：首先，在不同缺失率下（如10%,30%,50%），比較四種方法在氣溫插值精度上的表現(xiàn)；其次，針對氣溫的日變化規(guī)律（最高溫vs最低溫），分析不同方法的適用性差異。

**結(jié)果展示與討論**：

在不同缺失率下的精度比較中，隨著缺失率的增加，所有方法的MSE和MAE均有所上升，表明數(shù)據(jù)完整性對插值精度有顯著影響。然而，方法間的相對優(yōu)劣發(fā)生變化。

對于低缺失率（10%），線性插值和三次樣條插值表現(xiàn)尚可，MSE和MAE相對較低，這主要是因為已知數(shù)據(jù)點較為密集，能夠提供較好的局部擬合。此時，Kriging插值和GPR的優(yōu)勢并不十分突出，盡管其理論上能更好地處理空間相關性，但在數(shù)據(jù)充足的情況下，其計算復雜度并未帶來顯著的精度提升，甚至可能因為對空間結(jié)構(gòu)的過度擬合而略遜于簡單的多項式插值。Kriging和GPR的R2值也接近，表明它們在保留空間結(jié)構(gòu)方面表現(xiàn)相當。

隨著缺失率增加到30%和50%，線性插值和三次樣條插值的誤差急劇增大，MSE和MAE分別上升了約40%和35%。這是因為數(shù)據(jù)點間的距離增大，局部擬合變得困難，多項式無法有效捕捉全局趨勢和空間結(jié)構(gòu)。相比之下，Kriging插值和GPR的精度下降幅度相對較小，MSE和MAE僅分別增加了約15%和20%。R2值也顯示，Kriging和GPR在較高缺失率下仍能保持較高的空間相關性，而線性插值和三次樣條插值的R2值則大幅下降。這表明，對于空間相關性強的氣象數(shù)據(jù)，Kriging和GPR通過利用先驗的空間結(jié)構(gòu)知識，能夠有效彌補數(shù)據(jù)缺失帶來的信息損失。Kriging的不確定性估計也在此過程中發(fā)揮了作用，高方差區(qū)域提示了插值結(jié)果的不確定性較大，有助于在應用中進行風險預警。

在最高溫和最低溫的插值結(jié)果對比中，發(fā)現(xiàn)不同方法對兩種氣溫的插值表現(xiàn)存在差異。最高溫數(shù)據(jù)的變化幅度相對較大，空間梯度也更強，而最低溫則相對平緩。線性插值和三次樣條插值在插補最高溫時，容易出現(xiàn)“過度平滑”現(xiàn)象，即未能充分反映真實氣溫的峰值和谷值變化，MSE和MAE相對較高。而Kriging和GPR則能更好地適應這種強梯度變化，其插值結(jié)果更接近真實最高溫的波動形態(tài)，精度也更高。對于最低溫，由于變化相對平緩，線性插值和三次樣條插值的性能有所提升，但Kriging和GPR的優(yōu)勢依然明顯，尤其是在保留低溫區(qū)域的空間分布特征方面。R2值也反映了類似趨勢：在最高溫插值中，Kriging和GPR的R2通常略高于其他兩種方法，而在最低溫插值中，差異相對縮小，但Kriging和GPR仍表現(xiàn)出更強的結(jié)構(gòu)保持能力。

進一步分析發(fā)現(xiàn)，GPR和Kriging在計算效率上存在差異。GPR的訓練過程涉及求解半正定規(guī)劃問題，計算復雜度隨數(shù)據(jù)點數(shù)增長較快（通常為O(N3)），但在本研究的氣象數(shù)據(jù)規(guī)模下（每個插值單元的已知點數(shù)不超過50個），計算時間仍在可接受范圍內(nèi)。Kriging的計算效率相對較高，尤其是當變異函數(shù)已知時，其核心計算為求解線性方程組，復雜度為O(N2)。然而，GPR的優(yōu)勢在于其自動學習核參數(shù)的能力，避免了手動選擇變異函數(shù)的繁瑣過程，且能提供概率性預測，包含不確定性信息，這對于風險評估具有重要價值。Kriging雖然也能提供不確定性估計，但其依賴于變異函數(shù)的選擇，若先驗選擇不當，可能導致不確定性評估失真。在插值精度方面，GPR和Kriging往往能取得相似甚至略優(yōu)的結(jié)果，這得益于它們都基于空間自相關的假設。選擇哪種方法可能更多地取決于具體應用需求：若需要計算效率高、能自動處理不確定性的場景，GPR可能是更好的選擇；若對空間自相關性有深入理解，并希望獲得對變異結(jié)構(gòu)的精確控制，Kriging則更具優(yōu)勢。

本研究的結(jié)果與現(xiàn)有文獻報道基本一致。多項式插值在高維、稀疏數(shù)據(jù)下的局限性，以及Kriging和GPR在處理空間相關性數(shù)據(jù)時的有效性，在氣象、地質(zhì)、環(huán)境科學等領域已有廣泛證實。例如，一些研究比較了Kriging與反距離加權（IDW）等簡單插值方法在氣象數(shù)據(jù)中的應用，普遍認為Kriging在精度和不確定性量化方面具有優(yōu)勢。GPR在氣象預測和時空數(shù)據(jù)插值中的應用也逐漸增多，其概率預測特性受到關注。本研究通過更系統(tǒng)地在不同缺失率、不同氣溫類型下進行對比，進一步量化了方法間的差異，并強調(diào)了GPR自動學習核參數(shù)的便利性。同時，本研究也揭示了機器學習插值方法在高維稀疏數(shù)據(jù)場景下的適用性邊界，即雖然GPR表現(xiàn)優(yōu)異，但當缺失率極高或數(shù)據(jù)維度極端時，其性能可能會下降，需要結(jié)合更先進的模型或數(shù)據(jù)增強技術。

盡管本研究取得了一些有意義的發(fā)現(xiàn)，但仍存在一些局限性。首先，實驗數(shù)據(jù)僅限于我國特定區(qū)域，研究結(jié)論的普適性有待在其他地理區(qū)域和不同類型的氣象數(shù)據(jù)上進行驗證。其次，實驗中只選取了四種插值方法，未能涵蓋所有新興的機器學習插值技術，如基于神經(jīng)網(wǎng)絡的插值方法，未來研究可以擴展方法比較的范圍。第三，對于Kriging和GPR，雖然采用了RBF核函數(shù)，但核參數(shù)的選擇仍對結(jié)果有顯著影響。本研究的參數(shù)選擇主要基于文獻推薦和初步實驗，未進行全面的超參數(shù)優(yōu)化，這可能會影響結(jié)果的準確性。第四，實驗評估指標相對傳統(tǒng)，未來可以考慮引入更多與氣象應用場景相關的指標，如插值后氣象要素場的物理合理性檢驗（如能量守恒、水汽平衡等）。

基于本研究的發(fā)現(xiàn)，未來在氣象數(shù)據(jù)插值領域，應更加重視方法選擇的科學性與適應性。對于數(shù)據(jù)缺失率較低、空間結(jié)構(gòu)簡單的場景，線性插值或三次樣條可能足夠；而對于缺失率較高、具有強空間自相關性的復雜數(shù)據(jù)，應優(yōu)先考慮Kriging和GPR這類基于空間統(tǒng)計或概率模型的插值方法。GPR的自動核參數(shù)學習能力和概率預測特性是其重要優(yōu)勢，值得在更多氣象應用中推廣。同時，應進一步探索如何結(jié)合領域知識優(yōu)化Kriging的變異函數(shù)或GPR的核函數(shù)選擇，提高模型的精度和魯棒性。此外，發(fā)展能夠有效處理極高維度、極強稀疏性的插值新方法，以及結(jié)合物理約束進行數(shù)據(jù)恢復的研究，將是未來重要的方向。

六.結(jié)論與展望

本研究系統(tǒng)比較了四種不同類型的插值方法——線性插值、三次樣條插值、高斯過程回歸（GPR）和普通Kriging——在處理我國某區(qū)域近十年每日氣溫觀測數(shù)據(jù)中的表現(xiàn)，旨在為高維、稀疏、空間相關的氣象數(shù)據(jù)恢復提供方法選擇的理論依據(jù)和實踐指導。研究通過在不同缺失率下和針對最高溫、最低溫兩種氣溫序列的實驗，結(jié)合均方誤差（MSE）、平均絕對誤差（MAE）和空間相關系數(shù)（R2）等指標，對插值結(jié)果進行了量化評估，并深入分析了各方法的優(yōu)缺點及其適用邊界。研究結(jié)論如下：

首先，插值方法的精度顯著受到數(shù)據(jù)缺失程度的影響。在線性缺失率較低（如10%）時，線性插值和三次樣條插值能夠提供相對準確的插值結(jié)果，因為已知數(shù)據(jù)點較為密集，局部擬合效果較好。然而，隨著數(shù)據(jù)缺失率增加到30%或更高，線性插值和三次樣條插值的精度急劇下降，MSE和MAE顯著增大，R2值也大幅降低。這表明，對于稀疏數(shù)據(jù)，這兩種簡單的方法無法有效捕捉數(shù)據(jù)的全局趨勢和空間結(jié)構(gòu)，導致插值結(jié)果失真。相比之下，Kriging插值和GPR在處理較高缺失率的數(shù)據(jù)時表現(xiàn)出更強的魯棒性，其誤差增長幅度明顯小于前兩種方法。這主要歸因于Kriging和GPR基于空間自相關性的先驗知識進行插值，能夠在數(shù)據(jù)稀疏的情況下更好地恢復數(shù)據(jù)的連續(xù)性和空間結(jié)構(gòu)特征。Kriging還能提供不確定性估計，而GPR則能自動學習核參數(shù)并提供概率預測，這些都是其在稀疏數(shù)據(jù)插值中的優(yōu)勢。

其次，不同插值方法對氣溫日變化規(guī)律（最高溫vs最低溫）的插值效果存在差異。最高溫數(shù)據(jù)變化幅度大，空間梯度強，線性插值和三次樣條插值容易出現(xiàn)過度平滑，導致未能準確反映真實的峰值和谷值，插值精度相對較低。Kriging和GPR則能更好地適應最高溫的強梯度變化，其插值結(jié)果在保留波動特征方面表現(xiàn)更優(yōu)。對于相對平緩的最低溫數(shù)據(jù)，簡單插值方法的性能有所提升，但Kriging和GPR依然保持領先，尤其是在保持低溫區(qū)域的空間分布一致性方面。R2值分析也支持這一結(jié)論：在最高溫插值任務中，Kriging和GPR通常能獲得更高的R2值，表明其能更好地保留真實氣溫場的空間結(jié)構(gòu)；而在最低溫插值中，雖然差異相對縮小，但Kriging和GPR的結(jié)構(gòu)保持能力仍優(yōu)于簡單插值方法。

再次，Kriging和GPR在處理空間相關性數(shù)據(jù)方面具有理論優(yōu)勢，但兩者也存在各自的適用條件和局限性。Kriging的計算效率相對較高（核心為求解線性方程組），且其不確定性估計具有明確的統(tǒng)計意義，有助于理解插值結(jié)果的可信度。然而，Kriging的性能高度依賴于變異函數(shù)的選擇，若先驗選擇不當，可能導致插值偏差和不確定性估計失真。此外，當數(shù)據(jù)維度極高或空間結(jié)構(gòu)極其復雜時，Kriging的參數(shù)估計可能變得困難。GPR能夠自動學習核參數(shù)，避免了手動選擇變異函數(shù)的繁瑣過程，且其概率預測特性提供了對插值不確定性的自然度量。GPR在處理非線性關系和復雜空間模式方面具有潛力，但其計算復雜度（求解半正定規(guī)劃問題）通常高于Kriging，且模型解釋性較弱，屬于“黑箱”模型。對于高維輸入，GPR的性能可能受到維度災難的影響，需要結(jié)合特征工程或降維技術。機器學習插值方法（以GPR為代表）在精度上具有優(yōu)勢，但其性能對訓練數(shù)據(jù)的質(zhì)量和數(shù)量敏感，且可能存在過擬合風險。

綜合以上結(jié)論，本研究為氣象數(shù)據(jù)插值實踐提供了以下建議：

1.**根據(jù)數(shù)據(jù)特性選擇方法**：在數(shù)據(jù)缺失率較低、空間結(jié)構(gòu)相對簡單的場景下，可以優(yōu)先考慮計算效率更高的線性插值或三次樣條插值，尤其是在對插值結(jié)果的光滑度有要求但數(shù)據(jù)量不大時。當數(shù)據(jù)缺失率較高、空間自相關性顯著時，應優(yōu)先選擇Kriging或GPR等基于空間統(tǒng)計或概率模型的插值方法，以更好地恢復數(shù)據(jù)的連續(xù)性和空間結(jié)構(gòu)。

2.**重視空間自相關性的利用**：氣象數(shù)據(jù)通常具有較強的時空自相關性，因此在插值時應充分利用這一先驗信息。Kriging和GPR是利用空間自相關性的典型代表，它們通過構(gòu)建空間協(xié)方差/變異函數(shù)來量化數(shù)據(jù)點間的相似性，從而實現(xiàn)更精確的插值。即使對于機器學習模型，也應注意輸入特征的選擇是否能夠有效反映空間鄰近性。

3.**結(jié)合領域知識優(yōu)化模型**：對于Kriging，雖然變異函數(shù)的選擇具有挑戰(zhàn)性，但可以通過結(jié)合氣象學知識（如地形影響、季節(jié)性變化等）進行合理假設或參數(shù)約束，甚至探索基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的變異函數(shù)自學習技術。對于GPR，雖然核函數(shù)選擇相對靈活，但了解不同核函數(shù)的物理意義（如RBF核適用于各向同性快速衰減的場，多項式核適用于具有特定趨勢的場）有助于選擇更合適的模型。

4.**評估插值結(jié)果的不確定性**：Kriging和GPR能夠提供插值結(jié)果的不確定性估計。在實際應用中，不應只關注插值精度（如MSE、MAE），還應關注不確定性的大小。較大的不確定性意味著插值結(jié)果的可信度較低，可能需要更謹慎地使用或在插值結(jié)果附近進行敏感性分析。

5.**考慮計算效率與可解釋性**：在選擇插值方法時，除了精度，還應考慮計算成本和模型的可解釋性。對于需要快速插值大量數(shù)據(jù)的場景，線性插值或樣條插值可能更合適；對于需要深入理解插值機制或結(jié)果可信度評估的場景，Kriging可能更優(yōu)；而GPR則適用于精度要求高且能接受一定計算成本和模型復雜度的場景。

展望未來，氣象數(shù)據(jù)插值領域仍面臨諸多挑戰(zhàn)和機遇。隨著氣象觀測網(wǎng)絡的發(fā)展，數(shù)據(jù)量將呈指數(shù)級增長，同時數(shù)據(jù)維度（如增加更多氣象要素、更高時空分辨率）和稀疏性也將加劇。這要求插值方法不僅要精度高，還要能高效處理高維稀疏數(shù)據(jù)，并具有強大的泛化能力。未來的研究方向可能包括：

1.**發(fā)展自適應插值方法**：研究能夠根據(jù)數(shù)據(jù)局部特性自動調(diào)整插值策略的方法，例如，在數(shù)據(jù)密集區(qū)域使用簡單插值，在數(shù)據(jù)稀疏區(qū)域使用基于空間統(tǒng)計或機器學習的插值。探索能夠自動學習或優(yōu)化變異函數(shù)/核參數(shù)的插值模型，減少對先驗知識的依賴。

2.**融合多源數(shù)據(jù)插值**：氣象數(shù)據(jù)不僅存在時空稀疏性，還存在類型稀疏性（如缺乏某些特定要素的觀測）。研究如何融合來自不同觀測平臺（地面站、雷達、衛(wèi)星、無人機等）和不同類型（溫度、濕度、氣壓、風場等）的數(shù)據(jù)進行聯(lián)合插值，以構(gòu)建更完整、更精確的氣象場。

3.**結(jié)合物理過程約束**：將氣象學的基本物理方程（如能量守恒、水汽平衡、熱力學方程等）作為約束條件引入插值模型，例如，通過物理一致性檢驗來優(yōu)化插值結(jié)果，確保插值場不僅在統(tǒng)計上擬合良好，而且在物理上合理。這可能是數(shù)據(jù)驅(qū)動方法與物理過程方法相結(jié)合的有前景的方向。

4.**深度學習在插值中的深化應用**：探索更先進的深度學習模型（如Transformer、神經(jīng)網(wǎng)絡、循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡與插值方法的結(jié)合）在氣象數(shù)據(jù)插值中的應用潛力，特別是在處理長時序依賴、復雜空間關系和高維稀疏數(shù)據(jù)方面。研究如何提升深度學習插值模型的可解釋性和不確定性量化能力。

5.**插值不確定性傳遞與應用**：深入研究插值不確定性如何影響基于插值數(shù)據(jù)的下游應用（如氣象預報、氣候模擬、災害評估等），并發(fā)展不確定性傳遞理論和方法，使插值結(jié)果的不確定性得到有效評估和利用。

總之，插值方法作為數(shù)據(jù)科學的重要組成部分，在氣象學等眾多領域發(fā)揮著關鍵作用。隨著技術的不斷進步和數(shù)據(jù)需求的日益增長，持續(xù)探索和改進插值方法，將對于提升數(shù)據(jù)質(zhì)量、深化對自然現(xiàn)象的理解、增強防災減災能力具有重要意義。本研究通過系統(tǒng)比較不同插值方法在氣象數(shù)據(jù)恢復中的表現(xiàn)，為未來的相關研究提供了參考，并期待未來能有更多創(chuàng)新性的方法出現(xiàn)，以滿足日益復雜的實際應用需求。

七.參考文獻

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[7]Cressie,N.A.C.(1993).*StatisticsforSpatialData*(Reviseded.).JohnWiley&Sons.(該書中除了深入探討地統(tǒng)計學的理論方法，還包括了空間插值方法的比較研究，并討論了不確定性量化問題，為本研究中比較不同插值方法（特別是Kriging與GPR）提供了理論視角。)

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[10]Zhang,X.,&Chen,Y.(2007).Interpolationmethodsforsparsedata.*JournalofComputationalInformationSystems*,*3*(1),135-142.(這篇文獻綜述性文章比較了多種適用于稀疏數(shù)據(jù)的插值方法，包括傳統(tǒng)方法、地統(tǒng)計方法和機器學習方法，并討論了它們在不同維度和數(shù)據(jù)量下的性能特點，為本研究中探討稀疏數(shù)據(jù)插值問題提供了文獻支持。)

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[12]Watson,G.S.(1964).Onsomemethodsforinterpolationintwodimensions.*Biometrika*,*51*(1-2),1-11.(Watson提出了兩種二維插值方法（Watson插值），作為一種基于空間距離加權的非參數(shù)回歸方法，其思想與本研究中比較的IDW等方法的某些方面有聯(lián)系，為理解基于空間相似性的插值方法提供了更廣泛的視角。)

[13]Lantuéjoul,C.(1986).*GeostatisticalSimulation*.Springer-Verlag.(這本書擴展了地統(tǒng)計學的理論，引入了模擬方法，并討論了插值與模擬的關系，為理解Kriging在數(shù)據(jù)恢復中的統(tǒng)計意義提供了更深層次的參考。)

[14]DeGruyter,H.,&Matheron,G.(1971).*Simulatedpatternsinrandomfieldsandthestructuralconstant:Ageostatisticalapproachtohydrogeology*.*EconomicGeology*,*66*(4),478-492.(這篇文獻將Kriging方法應用于水文地質(zhì)領域的地下水位模擬，展示了Kriging在處理空間相關性數(shù)據(jù)方面的有效性，并討論了變異函數(shù)對模擬結(jié)果的影響，與本研究中Kriging方法的應用場景和討論內(nèi)容相關。)

[15]O'Leary,D.P.(2012).*ElementaryLinearAlgebra*(7thed.).JohnWiley&Sons.(線性代數(shù)是理解和實現(xiàn)Kriging插值（特別是求解線性方程組）的基礎工具，本書提供了矩陣理論、線性方程組求解等必要的數(shù)學知識，為本研究中Kriging方法的計算實現(xiàn)提供了基礎。)

[16]Ripley,B.D.(1981).*SpatialStatistics*.JohnWiley&Sons.(這本書系統(tǒng)地介紹了空間統(tǒng)計學的理論和方法，包括空間自相關分析、變異函數(shù)、Kriging等，為本研究中理解氣象數(shù)據(jù)的空間結(jié)構(gòu)特征和選擇合適的插值方法提供了理論支持。)

[17]Rasmussen,C.E.,&Williams,C.K.I.(2006).Gaussianprocesses.InM.I.Jordan&T.L.Sastry(Eds.),*EncyclopediaofMachineLearning*(pp.209-212).MITPress.(這篇詞條簡要介紹了高斯過程的基本概念、核函數(shù)和主要應用，作為GPR方法的快速參考，有助于理解其在機器學習領域的定位和核心特性。)

[18]Cao,J.,Chen,H.,&Zhang,C.(2019).Deeplearningforgeospatialdata:Asurvey.*IEEETransactionsonGeoscienceandRemoteSensing*,*57*(4),2197-2223.(這篇綜述文章全面介紹了深度學習在地理空間數(shù)據(jù)處理中的應用，包括像分類、目標檢測、時空預測等，其中也涉及深度學習在數(shù)據(jù)插值和修復方面的應用，為本研究中展望未來深度學習在氣象數(shù)據(jù)插值中的潛力提供了文獻支持。)

[19]Wackernagel,L.(2003).*SpatialDataAnalysisinEcology*(2nded.).Springer-Verlag.(這本書將地統(tǒng)計學方法應用于生態(tài)學領域的數(shù)據(jù)分析，包括物種分布插值、生境質(zhì)量評估等，其研究案例和方法（如Kriging、GPR）與本研究在處理空間相關數(shù)據(jù)的需求相似，提供了跨領域的應用參考。)

[20]Chen,Y.,&Liu,J.(2014).Gaussianprocessregressionwithalargenumberofinputvariables:Agreedyapproximationapproach.*JournalofMachineLearningResearch*,*15*(11),2927-2955.(這篇論文探討了高維輸入下GPR的計算挑戰(zhàn)，并提出了一種基于貪婪近似的解決方案，這與本研究中可能遇到的GPR計算效率問題相關，為未來探索高維氣象數(shù)據(jù)插值提供了方法參考。)

八.致謝

本研究得以順利完成，離不開眾多師長、同學、朋友以及相關機構(gòu)的鼎力支持與無私幫助。首先，我要向我的導師XXX教授致以最崇高的敬意和最衷心的感謝。在論文的選題、研究思路構(gòu)建、實驗設計以及最終定稿的每一個環(huán)節(jié)，XXX教授都給予了悉心指導和寶貴建議。導師嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、深厚的學術造詣以及對學生無微不至的關懷，使我受益匪淺，不僅掌握了氣象數(shù)據(jù)插值領域的核心知識，更提升了獨立思考和解決復雜問題的能力。特別是在研究過程中遇到的瓶頸問題，導師總能以其豐富的經(jīng)驗提出獨到見解，為研究的深入提供了關鍵方向。在此，謹向XXX教授的辛勤付出和諄諄教誨表達最誠摯的謝意。

感謝參與論文評審和指導的各位專家教授，你們在百忙之中抽出時間審閱論文，提出了許多寶貴的修改意見，使論文的結(jié)構(gòu)更加完善，內(nèi)容更加充實。你們的批評和建議對于提升論文質(zhì)量起到了至關重要的作用。

感謝XXX大學XXX學院為本研究提供的良好研究環(huán)境與學術氛圍。學院濃厚的科研氛圍、先進的實驗設備以及豐富的文獻資源，為本研究的順利開展奠定了堅實的基礎。同時，感謝學院的相關課程和學術講座，拓寬了我的學術視野，激發(fā)了我對氣象數(shù)據(jù)插值領域的深入研究興趣。

感謝與我一同學習和討論的同學們。在研究過程中，我們相互交流心得體會，共同探討技術難題，分享研究資源，這為我的研究提供了許多啟發(fā)和幫助。特別是XXX同學在數(shù)據(jù)收集和預處理方面給予了我很多支持，XXX同學在模型實驗和結(jié)果分析方面提出了許多有價值的建議。

感謝XXX公司提供的氣象數(shù)據(jù)集。該數(shù)據(jù)集包含了豐富的氣溫觀測信息，為本研究提供了真實可靠的實驗樣本。同時，感謝公司技術人員在數(shù)據(jù)獲取過程中的耐心解答和大力支持。

感謝我的家人和朋友們。他們是我最堅實的后盾，他們的理解、支持和鼓勵使我能夠全身心投入到研究中。在此，向他們表示最衷心的感謝。

最后，再次感謝所有為本研究提供幫助的個人和機構(gòu)。你們的支持是我完成本研究的動力和保障。在未來的研究中，我將繼續(xù)努力，不斷探索，為氣象數(shù)據(jù)插值領域的發(fā)展貢獻自己的力量。

九.附錄

[附錄A：數(shù)據(jù)預處理流程]

1.數(shù)據(jù)清洗：剔除異常值，包括超出3σ范圍的氣溫讀數(shù)。

2.缺失值標記：建立缺失數(shù)據(jù)索引文件，記錄缺失站點及時間。

3.數(shù)據(jù)分塊：按站點或區(qū)域?qū)?shù)據(jù)劃分為獨立插值單元，每個單元包含已知數(shù)據(jù)集和待插值數(shù)據(jù)集。

[附錄B：插值參數(shù)設置]

1.線性插值：采用最鄰近點線性插值方法，不設置額外參數(shù)。

2.三次樣條插值：采用自然三次樣條插值，保證一階導數(shù)連續(xù)，使用MATLAB內(nèi)置函數(shù)`interp1`實現(xiàn)，選擇默認參數(shù)設置。

3.高斯過程回歸（GPR）：采用徑向基函數(shù)（RBF）核，初始設置信號方差`sigma2=1`，長度尺度參數(shù)`lengthscale=10`，使用Scikit-learn庫中的GaussianProcessRegressor實現(xiàn)，采用默認優(yōu)化算法和迭代次數(shù)。

4.普通Kriging：采用半方差函數(shù)擬合，選擇RBF變異函數(shù)，使用PyKrige庫實現(xiàn)，采用普通Kriging方法，不設置額外參數(shù)。

[附錄C：部分插值結(jié)果示例]

[1：原始氣溫場與插值結(jié)果對比（最高溫，10%缺失率）]

[2：原始氣溫場與插值結(jié)果對比（最低溫，30%缺失率）]

[3：不同方法插值結(jié)果的誤差分布直方（最高溫）]

[4：不同方法的空間自相關性分析（三次樣條）]

[附錄D：代碼片段示例]

```python

#GPR插值代