2025北京高三二模數(shù)學匯編

向量的數(shù)量積與三角恒等變換章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2025北京海淀高三二模）已知。石是非零平面向量，貝『々石<產(chǎn)是明〈同”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2025北京東城高三二模）已知單位向量口石的夾角為。，若卜+5卜1,則。的取值范圍為（）

3.（2025北京豐臺高三二模）已知向量4）滿足同=1,忖=2,且,2=濟5，貝。苕與石的夾角為（）

、兀一兀一2兀-5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

4.（2025北京朝陽高三二模）設ceR,則“sin2c=是“tana=g”的（）

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

二、填空題

5.（2025北京昌平高三二模）已知向量以方工在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊

長為1，則;（2fl+5）-c=

6.（2025北京海淀高三二模）在平面直角坐標系xOy中，若點A（2cose,2sin。）繞原點。逆時針旋轉;可得

到點2,則卜，點AB到直線人=2的距離之和的最大值為.

三、解答題

7.（2025北京朝陽高三二模）已知函數(shù)/（x）=2sinxcosx+2cos2x-l.

⑴求了（無）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；

（2）設函數(shù)g（x）=/（x-9）（0<e<5）,再從條件①、條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使

函數(shù)g（x）存在且唯一，求g（x）在區(qū)間0,年上的最大值和最小值.

條件①：g（x）在區(qū)間卷上單調遞增；

條件②：g（x）的最大值為亞；

條件③：g（x）為偶函數(shù).

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

8.（2025北京海淀高三二模）已知函數(shù)/（x）=cos1"|-20x］+2sin%x-l（0>O）.

⑴若0=求"0）及"X）的單調遞增區(qū)間；

TT

（2）已知/（X）在區(qū)間0,-上單調遞增，再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使

函數(shù)/■（%）存在且唯一確定，求/'（X）的最小正周期.

條件①：/（o）+/^=o;

條件②：x=］是〃x）的一個極值點；

77T

條件③：X=,是“X）的一個零點.

9.（2025北京東城高三二模）已知函數(shù)/'（xhdsinNx+l■卜os0x+“0>O）.

⑴若〃x）的最小值為Q，求6的值；

（2）若〃0）=石，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得函數(shù)〃彳）存在且唯

一，求〃尤）在區(qū)間0段上的取值范圍.

條件①：的圖象關于x=-1|和對稱；

條件②：“X）在區(qū)間展，普上單調，且的圖象關于點。對稱；

條件③：/（無）的最小正周期72兀，且/，三［=一6.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

參考答案

1.B

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運算律，結合充分條件和必要條件的定義即可求解.

【詳解】由W<14,a.^=p||^|COS（a,<p|p|cos（a,b^<a,故必要性成立；

由得WWcos（詞明電得Wcos06<W，

W雨不一定成立，故充分性不成立.

所以“7B<片”是書<|中必要不充分條件.

故選：B

2.B

【分析】將|Z+B|>1兩邊平方化簡得cose>-g,再根據(jù)向量夾角的范圍即可求解.

【詳解】因為向量工B為單位向量，S.\a+b\>l,

所以|Z+B/>1,即|浦+223+出『>1,

化簡得cos6>-g,

因為向量的夾角。兀］,

兀

所以6e［0，W2）.

故選：B.

3.B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質以及定義得出夾角的余弦值，再結合向量夾角的取值范圍，可得

出苕與5的夾角.

【詳解】因為益2=無行，同=明=2,

則|商『=|a|-|S|cos/a,F\,

又同=1,問=2,

所以l=2cos?,方），則cos（萬,B）=g,

因為他方》［0,可，所以

故選：B.

4.B

【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式結合同角三角函數(shù)的關系化弦為切，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即

可得解.

.、辛MYu-..c2sinacos。2tancrV3

【詳解】由sm2a=—；-------=—；-----=—,

sincr+cosatana+12

得出tan2a_4tana+6=0,解得tana=石或tana=，

3

.公/日.八2sinorcoscr2tana^3

田tana=731sin2a——-------------=------------=------=—,

sincr+cosatana+13+12

所以“sin2a=昱”是“tanc=君”的必要不充分條件.

2

故選：B.

5.0-5

【分析】建立平面直角坐標系，寫出向量的坐標，利用向量的坐標運算即可求解.

【詳解】

如圖，建立平面直角坐標系，則力=（1,-1）5=（1,1）忑=（-1,2）,

所以苕啰=1_1=0，2a+&=（2,-2）+（l,l）=（3,-l）,（2a+&）-c=-3-2=-5,

故答案為：0；-5

6.24+2?

【分析】首先求出|0A|,即可得到VA03為等邊三角形，從而求出|A3|,再由

B^2cos^+j^2sin^+^y求出點A到直線/的距離慮=2-2cos0,

點3至I]直線/的距離dB=2—cos8+6sine,利用兩角差的正弦公式及正弦函數(shù)的性質計算可得.

【詳解】因為點A（2cos6,2sin，），所以|。4卜府麗丹西?靖=2,

將點A（2cos6,2sin。）繞原點。逆時針旋轉|■可得到點B,則|國=|圖=2且NAOB=],

所以VA03為等邊三角形，所以|AB|=2；

將點A（2cos6,2sin。）繞原點0逆時針旋轉；可得到點312cos,2sin,

所以點A到直線/:x=2的距離乙=2-2cos0,

點3至1J直線/:%=2的距離dB=2-2cos[+yj=2-2cos^cosy+2sin^sinj=2-COS^+A/3sin0,

所以點A5至IJ直線/：%=2的星巨離之和為服+dB=2—cose+#sine+2—2cos9

=4+6sin6-3cos6

=4+2百：sine—^^cos6=4+2A/3sin,

所以當sin'']=l,

57r

即e=—+2fat#eZ時，點A3到直線/:x=2的距離之和取得最大值4+26.

6

故答案為：2；4+273

3717T

7.⑴最小正周期兀，單調遞增區(qū)間為-丁+瓦=+瓦伏eZ)

OO

(2)答案見解析

【分析】(1)由兩角和的正弦公式化簡，再由正弦型函數(shù)的周期性、單調性求解；

(2)分別選擇條件后根據(jù)條件分析。的取值是否唯一，若唯一，再由正弦型函數(shù)的性質求最值即可，若不

唯一，則放棄該條件的選擇.

【詳解】(1)由題意得/(x)=sin2x+cos2x=0sin[2無+：],

所以/(%)的最小正周期T=W27r=兀，

2

由-Q+2E<2x+—<—+2kn{kGZ),

3冗7T

得----}rkn<x<—+kn{kGZ).

88

3冗jr

所以/(x)的單調遞增區(qū)間為-k+E,g+E(ksZ).

oo

(2)選擇條件①：

由題意得8。)=應51“2工-2夕+：］.

37rTT

由(1)可知g(x)的單調遞增區(qū)間為-丁+fai,g+ht(左eZ).

OO

n,、兀

—Fkit+02一,

JT7T84

由蚣)在區(qū)間上單調遞增,得

371,，兀

----FKTl+(P&,

8---------4

JT

角軍得夕=三一E(左?Z).

O

又因為0<0<5，所以夕=J.

2o

從而g(x)=&sin2x存在且唯一,

當04x4一時，0V2xV—,

33

所以當2x=],即尤=:時，g(x)取得最大值也;

當2x=.,即x=￡時，g(x)取得最小值一半.

選擇條件②：

由題意得8。)=拒$皿[2苫-29+：),

函數(shù)最大值為&，則只需2%-2。+巳=2版+],

由于xeR,故。的取值不唯一，故不符合題意，即不能選擇條件②;

選擇條件③：

由題意得g(x)=J^sin[2x-20+：

7E7T

由g(x)為偶函數(shù)可知-2。+區(qū)=,+%兀(％￡Z),

解得e=T-f伏eZ).

o2

又因為0＜。＜/所以。=乎

2o

從而g(x)=應sinf2%--^-=-A/2COS2X存在且唯一.

當。cvg時，?？趪?

所以當2x=0,即x=0時，g(x)取得最小值一庭；

當2彳=兀，即x=]時，g(尤)取得最大值夜.

1兀2兀

8.(1)/(。)=-耳，~~+24兀,——F2kn，女eZ

(2)答案見解析

【分析】(1)利用二倍角公式及差角公式化簡，再代入。的值，即可得到函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的性

質計算可得；

(2)依題意可得再根據(jù)所選條件，得到方程，求出①的取值(集合)，即可得到函數(shù)解析式，

2

從而求出函數(shù)的最小正周期.

【詳解】(1)因為/(x)=cos[；—2s)+2sin2s—1

=cos—cos2a)x+sin—sin2①x-cos2a)x

33

—sin2?x--cos2?x=sin

22

當@=/時，/(x)=sin，貝!1/(。)=sin

令--+2/CJI<%--<—+2kK,ksZ,解得--+2kn<x<—+2lai,%￡Z,

26233

jr2冗

所以〃X)的單調遞增區(qū)間為-§+2E,y+2E歡eZ；

(2)因為〃x)=sin(28-1，/⑺在區(qū)間0,：上單調遞增，且。>0,

12兀、兀

一一一x—2—3

所以<22co3,解得0<gWw；

①〉02

若選①：f(O)+/^=O,又〃x)在區(qū)間04上單調遞增，

所以曲線小)關于C對稱，且點宿，°)在曲線的遞增部分上，

則/G^]=sin(go_2]=0,所以四。一色=2E#eZ,解得0=1+12匕左eZ,

\12y<o66

3

又。所以。=1,

貝lj/(x)=sin(2x-。，所以〃x)的最小正周期為1=兀；

若選②：是〃x)的一個極值點，又了⑺在區(qū)間0,-|上單調遞增，

所以在x4處取得最大值，

則/但]=sin[今砂=1,所以=0W+2fai,左eZ,解得0=1+3左,左eZ,

\3)\36)362

3一一

X0<<2?<—,所以6y=1,

則=sinJx-鼻，所以的最小正周期為1=兀；

7-jr

若選③：X二二是“力的一個零點，

則普]=sin(=G_1]=0,所以年①一B=kn,keZ,解得G+：左/EZ,

U2JI66J6677

31

又0<0(一，所以。=一或。=1,

27

當。=1時，/(x)=sin^2x-^,所以〃x)的最小正周期為1=兀；

當。=；時，〃x)=sin]，j,所以小)的最小正周期為三=7兀；

9.(1)/?=2

(2)卜42]

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換將解析式變形為/(無)=2sin(2ox+5]+省+6,根據(jù)三角函數(shù)的性質可得

最小值，即可求解；

(2)由/(0)=后，即可求解6,可得/(x)=2sin[20x+]j；若選擇條件①：由己知可得。=左，

EeN*,求解函數(shù)/⑺的對稱軸，將》=-1|和*=合代入可知函數(shù)〃x)存在且不唯一；若選擇條件

②：根據(jù)單調區(qū)間可得。＜。＜1,將點]，。]代入/(x)，可得。=三(%€2),根據(jù)。的范圍即可求解

。=1,根據(jù)尤的范圍結合三角函數(shù)的圖象與性質即可求解；若選擇條件③：由T2?？芍俑?/p>

據(jù)/13=一若可知。=1-3人化€2)或。=|-3%化€2),結合。的范圍即可求解。=1,根據(jù)x的范

圍結合三角函數(shù)的圖象與性質即可求解.

【詳解】(1)〃尤)=4sin[s+'|Jcos0x+b=4sincox+coscoxcosa＞x+b

=2sinscos0x+2石cos2a)x+b=sin2a＞x+cos2a)x+y/3+b

=2sin(20x+—+A/3+b,

因為/(x)的最小值為6，所以-2+&+6=?,所以6=2；

(2)因為"0)=6,所以2sin《+6+6=6,解得&=一右，

所以/'(了)=2$m[23+"|],

若選擇條件①：函數(shù)〃x)=2sin(2ox+3的圖象的對稱軸為23+三.+而5團,

所以+g=T+eZ),所以0=_1+：%,4eZ,

因為2啰x=]+%兀(％wZ),所以G=1+6%,

n2GZ,

所以一上詈=1+6%，即4=一1一5%,

因為。＞0,故0=1+6%,且%eN,對應的弭=T-5%滿足題意,

所以函數(shù)/（X）存在且不唯一；

若選擇條件②：因為“X）在區(qū)間心，上單調，所以<與=。三，

_1212」121