2025北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編

向量的數(shù)量積與三角恒等變換章節(jié)綜合（人教B版）

一、單選題

1.（2025北京清華附中高一上期末）已知tana=-2,則Jsin2a=（）

3437

A.--B.——C.——D.——

551010

2.（2025北京人大附中高一上期末）已知尤，y為非零實(shí)數(shù)，向量入B為非零向量，貝廣次+同=同+欠”

是“存在非零實(shí)數(shù)無，y,使得切+%=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2025北京清華附中高一上期末）如圖，A8為半圓的直徑，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)加為線段上的一

點(diǎn)（含端點(diǎn)A,B）,若AB=2,則%+研的取值范圍是（）

A.[1,3]B.[72,3]

C.[3,Vw]D.[V2,>/io]

二、填空題

4.（2025北京人大附中高一上期末）在平行四邊形OACB中，已知人倒,26），8（百,1）,O為坐標(biāo)原點(diǎn),

則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為,平行四邊形6HCB的面積是.

5.（2025北京清華附中高一上期末）已知單位向量扇5夾角為^^=。-2）日+"，若M1=0,則實(shí)數(shù)

Z=.

6.（2025北京延慶高一上期末）已知口=2,|q=4,則口+目的最大值為,最小值為.

7.（2025北京西城高一上期末）已知正方形ABC。的邊長為2,點(diǎn)尸滿足Q=:通+/，則

網(wǎng)=一

8.（2025北京二中高一上期末）已知sin[-g]=g,其中則cos1e-1^=,

I3j--------------

9.（2025北京首師大附中高一上期末）已知向量苕=（x,x-2）,5=（3,4）,若a//方，則向量日的模

為.

10.(2025北京二中高一上期末)cos630cos330+sin63°sin330=;

三、解答題

11.(2025北京清華附中高一上期末)已知函數(shù)/(x)=2cos210x-gj+cos20x(0>O).

(1)若函數(shù)/(x)的兩條相鄰對稱軸之間的距離為求。的值；

「"「3-

⑵若函數(shù)“X)在0,：上的值域?yàn)?,2,求。的取值范圍.

12.(2025北京密云高一上期末)已知cosa=-g,

(1)求sin[e+《)的值；

(2)求cos2a的值；

(3)將a的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)兀后得到角夕的終邊，求tan尸的值.

13.(2025北京二中高一上期末)已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx-S'cos2x,

⑴求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求f(x)在[。,胃上的最小值和最大值及相應(yīng)自變量x的值.

14.(2025北京二中高一上期末)化簡下列各式：

sin(萬+a)sin(24-a)cos(一〃-a)

⑴3^?

')sin(3〃+a)cos(乃-a)cos(^-+a)"

(2)sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°.

15.(2025北京房山高一上期末)已知向量Z=(-L2),石=(；,_；).

⑴求|Z+4引；

(2)若向量，滿足2Z-3"=8方,求向量工；

⑶在(2)的條件下，若1忌=2意，求實(shí)數(shù)犯”的值.

16.(2025北京朝陽高一上期末)已知函數(shù)/"(x)=\/^sinx+cosx.

⑴求砥的值及〃尤)的最小正周期；

(2)求〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

17.(2025北京朝陽高一上期末)已知sin。，cos。是方程2/+缶+相=。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)再從條件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求的值.

條件①：sin>0；

條件②：tan<9>0；

條件③：。為第四象限角.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)

解答計(jì)分.

參考答案

1.B

【分析】利用二倍角公式及三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系計(jì)算即可.

,、4e、.—.,口.入c.2sinacosa2tana4

【詳解】由已知可得sin2a=2sinacosa=---------z—=——?-------=一一?

sincjf+cosatana+15

故選：B

2.A

【分析】化簡得到COS?,?=1得到石共線且方向相同，存在非零實(shí)數(shù)無，y,使得x￡+仍=0得至1工,

B共線，得到答案.

【詳解】|a+S|=|fl|+|/?|,故僅+町=（同+附，整理得到即cos（Z@=l,

故2，石共線且方向相同，

存在非零實(shí)數(shù)x,y,使得％￡+仍=0,故Z，B共線，

即平+@=向+即是“存在非零實(shí)數(shù)無，y,使得總+而=0”的充分不必要條件.

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)題意可得出ov|祈吊＜2,然后根據(jù)向量的運(yùn)算得出+而同2=（蔗+礪丫=

。兩+1『+1,從而可求出答案.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C為48的中點(diǎn)，AB=2,所以“卜倉=

所以質(zhì)+畫2=(/+畫2+詬'+2/初

=|AC|2+|MB|2+2西?|碉cos?=|MB|2+2網(wǎng)+2=網(wǎng)++1,

因?yàn)辄c(diǎn)M為線段上的一點(diǎn)，所以0?|阿42,所以2V（網(wǎng)+1『+以0,

故選：D.

4.（2+若,1+2石）4

【分析】設(shè)C（xj）,由正=函+礪求解；先利用數(shù)量積求得cosNAOB,再由平行四邊形Q4CB的面積是

S=|網(wǎng)函.sinZAOB求解.

【詳解】解：設(shè)C（x,y）,

由題意得：OA=（2,2^）,OB=（A/3,1）,

所以配=函+礪=（2+6,2石+1）,

所以C（2+瘋2占+1）；

OAOB2X73+2A/3X1

又cosZAOB=

阿?匿「聞而.同可2，

所以sin/A03=工，

2

所以平行四邊形Q4CB的面積是S=|兩‘歷卜inZAOB=4x2x3=4.

故答案為：（2+若,1+2君），4

5.2

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算求解.

———2——冗I

【詳解】由題意a-c=（l-2）a+2a-fe=（1-2）+Acosj=（l-2）+-2=0,4=2,

故答案為：2.

6.62

【分析】設(shè)Z1的夾角為。，對卜+W平方再開方，根據(jù)?？傻么鸢?

【詳解】設(shè)的夾角為6,則0（。4兀，

因?yàn)殚g=2,網(wǎng)=4,所以）=Jn+可=J同2+2萬一萬+忖

,4+2同.網(wǎng)cos6+16=J20+16cosd,

因?yàn)?V6V兀，所以cos，e[-1,1],

所以20+16coseq20—16,20+16],

即2邛+比6,

所以|萬+5|的最大值為6,最小值為2.

故答案為：①6；②2.

7.713

【分析】由題意可得4c=（近亞）=45。，|福=2,|祝|=儲+22=2亞,利用平面向量數(shù)量積的

運(yùn)算性質(zhì)可求得|*|的值.

【詳解】由題意可得4MC=（福林）=45。，|荔|=2,|祀|=百+22=2亞,

—.1―.—.

因?yàn)锳P=]AB+AC,

所以，AP=(^AB+AC,=J研+網(wǎng).困8545。+西2,

所以，而2=；x4+2x2&x等+(2應(yīng)『=13,故|Q|=a.

故答案為：\/13.

24」

8.

3--9~

【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式求解;

(2)利用二倍角的正弦公式求解.

【詳解】因?yàn)閟in(a-g_2

-3

-2x(2L^-4?

I3)39

故答案為：一；,-4如

39

9.10

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到x=-6,然后根據(jù)向量模的定義求出向量的模.

【詳解】Va//S，r.4x-3(x-2)=0,解得尤=-,

a=(-6,-8),\a\=7(-6)2+(-8)2=10.

故答案為10

【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模，熟記向量共線的坐標(biāo)表示，以及向量模的坐標(biāo)表示即可，屬于基礎(chǔ)題型.

10.烏工技

22

【分析】逆用差角的余弦公式解答.

【詳解】原式=cos(63。一33o)=cos3(T=g.

故答案為：B

2

11.⑴G=l；

12

（2）-<^y<—.

33

【分析】（1）由三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再由周期公式求解；

（2）求出2。尤-1的范圍，由函數(shù)值域及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知04。兀-即可得解.

【詳解】（1）f（x）=2cos+cos2a)x=1+cos+cos2a)x

=1+—cos2a)xH-----sin2(ox=1+cos2^x-1

22

若/（X）的兩條相鄰對稱軸之間的距離為冷，則最小正周期T=萬，由磊=兀得0=1.

（2）由（1）知〃x）=l+cos120x-今］,

由函數(shù)/（x）在xe0,q上的值域?yàn)?,2可得y=cos卜0X-在無€上的值域?yàn)?/p>

“C兀r_L兀c兀兀

當(dāng)XE0,—時(shí)，——<2a）x——<am——,

，所以°工切兀一弓工弓，可得;

因?yàn)閏os0=l,cosCOSQ=K

12

所以0的取值范圍為

12.⑴升

【分析】（1）由題意，根據(jù)同角的平方關(guān)系求出sina,解兩角和正弦公式計(jì)算即可求解;

（2）根據(jù)二倍角的余弦公式計(jì)算直接得出結(jié)果；

34

（3）由題意可得sin/?=-：cos/7=，，結(jié)合同角的商數(shù)關(guān)系即可求解.

【詳解】（1）由題意知，sina=Vl-cos2a=1,

167

(2)由題意知，cos2tz=2cos2—1=2x-----1=—；

（3）將a的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)兀后得到角夕的終邊,

貝°sin^=-sina=——,cosp=-cos6z=—,

13.⑴［一右+〃兀節(jié)+〃兀］（%￡Z）

（2）x=0時(shí)，"％）取得最小值―比；1=稱時(shí)，"%）取得最大值1.

212

【分析】（1）先化簡/（X）,再求解一1+2EW2尤一+（左eZ）即可；

（2）根據(jù)x的范圍，確定2x-1的范圍，將2x-1看成整體，結(jié)合y=sinx的單調(diào)性、最值求解即可.

【詳解】(1'y2sirLvcosx-^3cos2x=sin2x-^3cos2x=2sin2x-

=—6cos2x)\

2（sin2xcosj-cosZxsinj）=2sin（2x一號），

令一^+2也《2%一；工^+2左兀，（k￡Z）,

解得+kn<x<^^+kn,（kEZ）,

所以函數(shù)〃%）的單調(diào)遞增區(qū)間為：［一臺+A兀書+碗］（丘Z）.

（2）因?yàn)椤xW—,貝!J—?2x—<—,

2333

當(dāng)21號旬時(shí)，小）單調(diào)遞增，

當(dāng)2r-9色有卜寸，“X）單調(diào)遞減，

當(dāng)2"號=-與時(shí)，即x=0時(shí)，〃x）取得最小值一乎，

當(dāng)時(shí)，即x=!|時(shí)，〃x）取得最大值1.

14.⑴-1

（2）1

【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式直接計(jì)算即可；

（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式即可.

(2)原式=sin(-360°x4+120°)cos(360°x3+30°)+cos(-360°x3+60°)sin(360°x2+30°)

=sin120°cos300+cos60°sin30°

=sin60°cos300+cos60°sin30°

=sin90°=l

15.⑴應(yīng)

(2)=(-2,2)

3

(3)m=-=2

【分析】(1)利用向量坐標(biāo)的運(yùn)算求出Z+4石表示的坐標(biāo)，再求其模長；

(2)利用向量坐標(biāo)的運(yùn)算解向量方程即得；

(3)將各向量坐標(biāo)代入，利用方程兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得方程組，解之即得.

【詳解】(1)因?yàn)橄蛄?(-1,2),5=(白，-：)，

所以Z+痛=(-1,2)+4(i-1)=(1,1).

24

所以萬+4方|=".

(2)因?yàn)?2-35=麗,

所以品=21筋=2(-1,2)-8(1-^)=(-6,6).

24

所以"=(-2,2).

(3)因?yàn)椤?機(jī)c=2nb，由(2)知，c=(—2,2).

所以(-1,2)-鞏-2,2)=2*今.

2m-l=n,f3

m=一

所以ccn即2'

l2?=2.

16.(1)527r

yjrjr

(2)--—+2kji,—+2k7i(keZ)

2兀

【分析】(1)將與代入解析式即可求值，利用輔助角公式化簡/(X),再利用7=臺求周期即可;

6|叼

（2）利用換元法令x+'=f,求解一汽+2E4x+巴4巴+2祈，（左eZ）即可.

6262

【詳解】（1）/f—^=A/3sin—+cos—=—+—=73.

{6j6622

/（x）=5/3sinx+cosx=2—sinx+-cosx=2sin|x+—|.

所以的最小正周期為7=時(shí)=2兀.

7171

（2）函數(shù)y=sin/的單調(diào)遞增區(qū)間為-,+2fai，5+2fai（女￡Z）.

人兀r7T_717C-.

xH—=t由---F2ATnW兀H—W—F2kli,

6f262

得-g+2E<xV1+2fet.

所以〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-1+2嗚+2析(fceZ).

17.(l)m=-1

(2)答案見解析

【分析】(1)利用二次方程的判別式與韋達(dá)定理，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得解；

(2)根據(jù)題意選擇條件，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，結(jié)合倍角公式與和差公式即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)閟in。，cos。是方程2必+0工+根=o的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

A=2-8m>0

6

所以sin0+cos6=------,

2

sinecos9=生

2

?11

由(sin。+cos。)=—,得l+2sin9cos9=],

所以加=2sin9cos6=L—l=——,滿足A>0,

22

貝|根=一』.

2

(2)選條件①：因?yàn)閟ing>0,sin^cos