求和壑不等式恒成立問題■雙變量問題,導(dǎo)數(shù)新定義問題

目錄

考點(diǎn)一求和型不等式恒成立問題..................................................1

考點(diǎn)二雙變量問題..............................................................10

考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)新定義問題.........................................................20

考點(diǎn)一求和型不等式慢成立問題

1.(2025?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知常數(shù)。>0,函數(shù)f(x)=ln.：l+ax)-3

x+2

(1)討論/3)在區(qū)間(o,+8)上的單調(diào)性;

(2)若/(⑼存在兩個極值點(diǎn)血，。2,且/(為)+/此2)>0，求。的取值范圍.

(3)設(shè)nWAT,證明：,/+2+...+_2<InV^+T.

(V2+1I2(V3+V2)2(AATFT+V^)2

【答案】(1)答案見解析

⑵詼1)

(3)證明見解析

、八\0/、-a4_a(①+2)2—4(1+。乃_ax2-4(l-a)

【詳解】⑴/⑸一由一GT斤"(……-("…/’

因?yàn)?1+00)3+2)2>0,所以當(dāng)1-a40即時，1f()*0恒成立,

則函數(shù)73)在(0,+00)單調(diào)遞增;

當(dāng)aV1時，由fr(x)=0,得ax2—4(1—a)=0,

解得g=2ja(l-a),g=2、/a(l-a),

aa

因?yàn)椤?gt;o,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(o,2V'Q(：—Q))單調(diào)遞減，在(R,：—，,+8)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)a21時，函數(shù)/Q)在(0,+8)單調(diào)遞增，

當(dāng)Q<1時，函數(shù)/(0在區(qū)間(0,2〃(=一°))單調(diào)遞減，在(2/空三五，+8)單調(diào)遞增.

(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?一1,+8),

由(1),a>1時，函數(shù)f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，沒有兩個極值點(diǎn)；

當(dāng)OVaVI時，令尸3)=0,解得電=一名包!二包，◎二也&二包,

a-a

因?yàn)?2、須=叫L__(2aT)2,

\a)、a，d2

所以當(dāng)aJo。)U(11)時，(2、石E『v(2)2,從而一品正豆,

此時，叫=2\/a(lQ),g=2\S(1-Q)為函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，代人/(X1)+/(色)>(),

可得/⑶)+/(◎)=同1+河F+m[i^2Va(l-a)]一萬號贛后—4V1—a

-2#一一Q+2Va

=ln[l-4a(l-a)]--^^—=ln(l-2a)2+2-2,

2a-12a-1

令2a—1=￡,記g(￡)=lnt2+—2,

L?

當(dāng)(0,1)時，(T,0);當(dāng)仁,1)時，(0,1).

⑴當(dāng)t6(-1,0)時,g(t)=21n(—t)+1■—2,g\t)=y-J)<0,

ttt1t~

所以函數(shù)g?)在(一1,0)上單調(diào)遞減，

則g(￡)<g(—1)=-4vo,即f(M+/3)vo,不符合題意；

㈤當(dāng)(0,1)時，g(￡)=2hn+,-2,g'(t)=^--<0,

ttrr

所以函數(shù)g⑴在(0,1)上單調(diào)遞減，則g(±)>g⑴=0,即/(電)+f(g)>0恒成立.

綜上Q的取值范圍為佶,1).

⑶由(1),當(dāng)0=1時，函數(shù)/(x)在(0,+00)單調(diào)遞增,

義y(o)=0,所以ln(l+T)>-^r-(T>0).

①+2

ma2_2(V^+T-V7T)2(Vn+T-Vn)2(J嚕-1)

(Vn+l+Vn)2(Vn4-14-Vn)2(Vn4-l—Vn)Vn+l4-Vn(Jlijd._])+2

2(回I)

取1=/生=-1,九GAT,則

(廄T)+2

即礪去荷4口nS+D—mf

所以--J__+—尸2-片,節(jié)+…_|——,2~--

(V2+1)2(V3+V2)2(Vn+T+Vn)2

<-y[ln2—I11I+ln3—ln2H---Fln(n+1)—Irm]=-^-ln(n+1)=InVn+l,故得證.

2.(2025?廣東?一模)已知函數(shù)/(①)=ag(x)-lnx,aWH,其中g(shù)(c)的解析式由下面笫⑴題確定.

⑴將函數(shù)妙點(diǎn)也卜+年卜向圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再把所得圖象向右平

移1個單位得g(i)的圖象，求gQ)的解析式；

(2)若/(外在(0,4］上是單調(diào)減函數(shù)，求［a］的最大值.其中［可表示不超過上的最大整數(shù)：

(3)證明：￡cos號+\>九一21n(n+1)

fe=l(k+1)

【答案】(l)gQ)=cos(x—1)

(2)4

(3)證明見解析(

【詳解】(1)(1)將函數(shù)U=sin2(i+1)的圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，；

得至“y=sin(x+-y)的圖象，即4=cosx的圖象，

4..................................8

V=cosz再向右平移1個單位之后得到g=cos(c—1),即g(c)=cos(x—1).

(2)(2)由⑴得/(%)=acos(x—1)—Inc.

f'(x)=—asin(x—1)—1?，因?yàn)閒(x)在(0,4]上是單調(diào)減函數(shù)，

x

所以r(2)&0在(0,4]上恒成立，即asin(x-l)在(0,4]上恒成立.

x

①當(dāng),W[1,4]時，1-1￡[0,3],sin(x-l)e[0,1],

當(dāng)Q>0時，不等式asinQ-1))—―恒成立.

②當(dāng)r.e(0,1)時，6—16(-1,0),sin(rr-1)<0,

所以Q<-------------=------------在①W(0,1)上恒成立，

xsin(x—1)xsin(l—x)

下面證明sin①Vc(OVzVl):

構(gòu)造函數(shù)g=i—sini(OViVl),y,=l—cosx>0,

所以函數(shù)y=x—sine在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，

而0—sin()=0,所以g=①一sine>(),sinx<x.

由1—16(0,1),得0Vsin(l—a;)<1—3；,

所以rrsin(1-r,)<rr(1一少)<(+j'=(y)"=y,

當(dāng)re=1—x,x=4■時等號成立，所以-----7----―>4,

2xsin(l—x)

其中2=4時，-T---「=111一^^=4,

2xsm(l-x)}sin$sin年

4MV

所以[a]max=4.

(3)對于fQ)=acos(x—1)—加了,令<1=1,即/(。)=cos(x—1)—Inc,

由(2)知，/(⑼在(0,1)上是單調(diào)減函數(shù)，

所以當(dāng)c￡(0.1)時，COS(N-I)—lnrc>/(l)=1,

即cos(x—1)>1+Inc.

令―瑞'則0=/羥(。,1),

從而8s(，-1)=cos(-舒卜8S舒>1+In(普”1+21n系,

所以￡產(chǎn)潭市>〃+￡而備=n+2(嗚……壬)

=71+21n—7—=n—21n(n+1).

n+1

3.(2025?天津?一模)己知函數(shù)/(])=名絲-k.

x

(1)當(dāng)k=0時,求曲線u=/(z)在點(diǎn)(ej(e))處的切線方程；

(2)若/(/)<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)證明：In]+lngH---Fin—<—H---F-)(n>l,n€TV*).

2.3nev2on7

【答案】(1切=工：

e

(2)/c>-：

e

設(shè)gQ)=ln(x+l)-c(c>0),則g'(x)=-7--1=―<0,

所以g(比)在(0,4-oo)上單調(diào)遞減，且g(0)=0,

所以ln(x+l)—/V0,即ln：c+l)<x;

令i=4",i€N?，可得ln(4"+l)<4"，即In'-=ln(i+l)—lnt<4-,

22222

可知i=l時，ln2—lnlVl,

i=2時，ln3—ln2V,

i=3時,ln4—hi3<3;

i=九時，ln(7i+1)—\nn<—,

n

累加得ln2—Ini+ln3—ln2+ln4—ln34---Fln(n+1)—lnn<1+—4--4--1—,

23zi

化簡得mm+i)vi+上+■+…+工,即巨

2oTlj=l2

可得￡Z+1>7l+ln(71+l),所以原命題得證.

?=12

5.(25-26高三上?湖北?階段練習(xí))已知/(c)=(x+l)ln(x+l)+asinT,aWR

⑴a=()時，證明：%

(2)若對任意的1W(0,冗)，/(x)>0恒成立，求Q的取值范圍；

(3)證明：對任意的正整數(shù)九，總有-^-sinl+H---1■—y—sin—<ln(n+l).

232九+1n

【答案】(1)證明見解析

⑵[-1,十8)

(3)證明見解析

1

【詳解】(1)構(gòu)造gQ)=—c,當(dāng)a=0時，g(x)=ln(x+1)—x(x€(―1,4-co)),g\x)=

1x+1

-i=^-(^e(-i,+00)).

可知0W(—1,0),gr(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

x6(0,4-oo),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

則g(宓)max=g(0)=0,故g(x)&0,即-=^—--x<0,

X+1

所以--《①.

x+l

(2)依題意/，(①)=1+ln(x+1)+acosx(x6(0,兀))，設(shè)九(￡)=fr(x),

則h'(x)=-7--asinx(x€(0,兀))，

,且有/(0)=0J'(0)=l+a.

(i)當(dāng)a>0,x€(0,7t)時，顯然/3)中(1+l)ln(x+1)>0,asina;>0則—>0恒成立;

(w)當(dāng)-lCa<0,x€(0㈤時，則[(①)單調(diào)遞增,『(c)>/(0)=l+a>0,

：/Q)單調(diào)遞增，/&)>/(())=0.

Q..................,

(m)當(dāng)a<-1,xE(0,兀)時，>0,則J"(4)單調(diào)遞增J'(0)=1+aV0=1+

In傳+1)>0,則必然存在一個的W(0,卷),使得篇Qo)=0,

且有c€(0,A)時，r(M<0J3)單調(diào)遞減，

此時/(%)V/(0)=0,不滿足恒成立條件.

綜上所述，(1—1.

(3)由(2)中結(jié)論，有當(dāng)a>—1時，/(c)=(c+l)ln(c+l)+asinc>0,對任意的x6(0,兀)恒成立，

取Q=-1可得J3)=(i+l)ln(i+l)—sinrc>0,對任意的x€(0,兀)恒成立，

即3+l)ln(a;+1)>sinx,變形可得一二?sinx<ln(rc4-1)

分別令c，:，…，，，可得■JsinlVln(l+；),

1/TZ*/JL

■ysin-i-<ln(l+-i-),...,—j—sin—<ln(l+—)

32'2，n+1nvn9

累加可得-i-sinl+H---1—7—sin—<ln-7-+ln-^-H---kIn〉』】=ln(n+1)證畢.

232n+1n12n

6.(25—26高三上?安徽合肥?階段練習(xí))已知函數(shù)/(2)二5也七一依由2心

(1)當(dāng)k=0時，求/(4)在［0,7：］上的最大值；

(2)若93)=/(乃+(2上一1)2是凡上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)人的取值范圍；

(3)證明：血(1一卷)Csiny+sin-1-H---Hsin］*V上號三，九6N".

【答案】(1)卒

4

(2)(-co,1］

(3)證明見解析

【詳解】(1)若k=■，則/(x)=sinx—^sin2c,/'(c)=cosx—cos2c=cosx-2cos2x+1=

(1—cos/)(1+2cos①)，

當(dāng)［0,7i］時，1—cosc>0,僅當(dāng)c=0時等號成立，

當(dāng)①W(0,空)時，1+2cos2>0,fix)>0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)(警")時，1+2coseV0，r(⑼<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以/(⑼皿乂=/(答)=sin爭-/sin苧=堂一/x(—乎)=乎；

⑵gQ)=f(x)+(2k—l)x=sinx—fcsiii2x+(2k—l)xt則g'(z)=cosx—2fccos2?+2k-1=

-4Zccos2x+cosx+4k—1,=(1—cosx)(4/ccosx+4k—1),

1—cosx>0,僅當(dāng)x—2m7i(m6Z)時等號成立，

當(dāng)kV0時，4kcossc+43—1=4ZC(COST+1)—KO,

此時"(2)&0恒成立，gQ)在A上單調(diào)遞減，符合題意；，

當(dāng)k>0時，4/CCOSTT+4/c-1=-1V0,要使g(x)為單調(diào)函數(shù)，：

則必須4/ccosx+4k—140,即-7;1'cosx恒成立，所以士---1>1,得k《5，

4k4K8；

4............................................................................................S

所以O(shè)Vk<J;

o

(3)先證明左邊：

由⑴知k=春時,/(①)=sina;-卷sin2人在(0,華)上單調(diào)遞增,

/XO

所以當(dāng)cW(°，等)時，/(乃>/(°)=0,即sin出>Jsin20,

oZ

-j.7iV2缶?.冗、1.亢V2.次、1.n、V2.虱、V2

又SinT=T'所以"n萬>萬sin1=—,sin—>ysin-sin—>—,

累加得sin與+sin-yH----卜sin匹>H-----=A/2(1——),n6N*;

482?+i242n'2”)

再證明右邊：

由⑵可知，k=J時，g(x)=sini—[sin2c一日①在R上單調(diào)遞減，

oo4

所以當(dāng)2>0時，g(x)<g(0]=0,可得8sinx<sin2x+6f,令i=-^y,k=1,2,3,???,n,

2fc+1

累加可得

7r

8(sin[IsinRI???Isinl)Vsin[Isin[I???Isin兀I3TUX(I]II1)，

V482n+,'242n1242”〃

所以7(sin：+sin-^-H----Hsin)<sin]—sin------F3兀x(1——)V1+3兀，

\482"+i'22n+112M'

所以sin:+sin。"H----卜sin'、<，>6N”：

482M+17

綜上，A/2(1—―)&sin與+sin-^-+???+sin-tnGAT.

\2n'482n+17

7(25-26高三上?云南昭通?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=21nx-x+—.

x

⑴當(dāng)m=1時，求fQ)在點(diǎn)(2J(2))處的切線方程;

(2)討論fQ)的單調(diào)性;

1

(3)設(shè)九WN?，證明__H_--_-_-1--/>ln(n+l).

VF+TV2H2y

【答案】(l)c+4y+4—81n2=0

(2)答案見解析

(3)證明見解析

【詳解】(1);zn=1,=2\nx—x+—

xt

=---7-i,

xx2

?,./'(2)=一二，又/(2)=21112-2+《=21112一色，即切點(diǎn)為(2,。。21n2

422'

故切線方程為V一(21n2一—2),

即i+40+4-81n2=0

—x2+2x—m

⑵解:???/3)=1一詈=(x>0).

X2

令y=—x2+2。一m

—(x—1)2+1-m

①當(dāng)△=4-4zn40,即zn>1時，/'(4)=<0,

x~

即在(0,+oo)上單調(diào)遞戒：

②當(dāng)A=4—4m>0,即mV1時，一"+2x—m=0,

即爐—2i+Tn=0有兩實(shí)數(shù)根xi=1—y/1—m和①2=1+Vl-m(g>。)?

(1)當(dāng)時，為&0,

則xG(0,g)時r(c)>0,xe(x2,+8)時，73)<0,

即/3)在(0,電)上單調(diào)遞增，在(心，+8)上單調(diào)遞減;

(〃)當(dāng)0c"力c1=>oy皿y曲，

則xG(0,Xi)和c€(g,+8)時，/'(①)V0,

當(dāng)cW(XyX2)時，/3)>0,

即/(①)在(0,3；1),(x2,+8)上單調(diào)遞減，在(C[,g)單調(diào)遞增：

綜上：當(dāng)館>1時，/3)在(o,+oo)上單調(diào)遞減；

當(dāng)M&()時，即/(c)在(0,X2)上單調(diào)遞增，在(g,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<m<1時，/(c)在(O,1i),(rc2,+8)上單調(diào)遞減，在(%①2)上單調(diào)遞增；

(3)證明：由(2)知：當(dāng)館=1時，/(①)在(0,4-00)上單調(diào)遞減.

又/⑴=0,

故z>1時，/(I)V0,即21nleVx-；

1

Vn2+n

即：In衛(wèi)士^<,1;

nvn2+n

i2,,3,,4,,.n+11,1.1,.1

故In,+In—+In—H---Fin----<->'H—/...d—/''H--1--/“

123nVl2+1A/22+2V32+3Vn24-n

1

故H--,H-----1--,>ln(n+1).

VP+IA/2」+2Vn2+n

8.(25—26高三上?湖北?階段練習(xí))已知函數(shù)/(⑼=鏟CM?為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)求函數(shù)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若對記g(比)=—x3—?cosz+(a+3)①，若VxE[0,1],有f(c)&陰％求a的取值范圍:

(3)設(shè)九€N”,且n>2,證明：cosl+cos-^-+cos《+cos-7-+...+cos—<n-H----

325n2n+l

【答案】(l)g=c+1

(2)[l,+oo)

(3)證明見解析

【詳解】⑴由/3)=鏟00sx，則y(o)=i,

而/'(⑦)=excosx(cosx-xsinr),則/'(0)=1,

所以函數(shù)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為g—1=應(yīng)即y=①+1.

⑵若對VI€[0,1],有/⑺<e9{x}0-但《,

即為：x?cosa;<-a;3—3xcosx4-(Q+3)①對[0,1]時恒成立，

當(dāng)rr=O時，不等式恒成立；

當(dāng)0V44l時，不等式等價于COSTa一工2—3cosrr+(a+3),

4...............................G

即為4cosce+爐一（a+3）&0恒成立,

設(shè)A1Q)=4cosx+x2—(a+3),①€(0,1］,則M\x)=-4sinx4-2x,

設(shè)T(x)=-4sinx+2x,x6(0,1］,則Tz(rr)=2—4cosc,

因?yàn)镺Vrr&lV晟?，所以JVcoscV17(c)VO,

oA

所以MQ)在①W(0,1］為減函數(shù)，則必Q)VM<0)=0,

所以M(x)在4G(0,1］為減函數(shù)，即M(c)V“(0)=4—(Q+3)&0,

所以Q>1,則a的取值范圍為［1,+8）.

(3)由(2)知，當(dāng)/E(0,1］且a=1時，〃十4cosc-400,即cosx<I一?

令，彳（心2）,得以—十

因?yàn)楣?gt;---------=-------7—,所以cos—<1—<1——+1

n~n(ri+l)ri九+1nn~九n+l

當(dāng)n=2時，cos!VI—4+4■，當(dāng)九=3時，cos-^-<1--J-+v，...,

2Joo4

cos---2-V.I----1---I,1,cos2-VI--1--,1---1——,

n-1Ti-lnnnn+l

以上不等式相加得

2,1,2,,2》/八1131r比

cosl+cos—+cos—+cos—H--Feos—<(n-1)——H-----r=n——d------，工正牛.

325n2n+l2n+l

-1

考點(diǎn)二雙變量問題

9.(2025?陜西西安?模擬預(yù)測)己知函數(shù)f(x)=\nx-Ji+空(mWR),記FQ)=2/Q)+①.

(1)討論函數(shù)儀⑼的單調(diào)性;

⑵已知772>0,對任意2>3存在Q>0,使得如—/(a)<R(c),求實(shí)數(shù)m的取值范圍:

CL

2

⑶已知0V電V如且FQi)=尸但)，求證：XiX2>m.

【答案】(1)答案見解析

⑵［嚕+8)

(3)答案見解析

【詳解】(1)R(①)=2/Q)+c=21n①一⑦++c=21nz+,

xx

則尸，㈤=2一智2(x—m)

xx2

當(dāng)小M0時，尸㈤>0,此時函數(shù)F(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增,

當(dāng)7n>0時，由尸3)>0,得c>小，由F(c)V0,得0VeVm,

則函數(shù)尸(①)在(0/m)上單調(diào)遞減，在(〃匕，十8)上單調(diào)遞增，

綜上知，

當(dāng)7R<0時，函數(shù)F(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增；

當(dāng)m>0時，函數(shù)F(x)在(0,m)上單調(diào)遞減，在(m,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，當(dāng)m>0時，F(xiàn)\x\nin=F(m)=21nm+2,

令h(a)=——/(a),a>0,則h(a)=——/(a)=——Ina+-y——=-y—Ina,

QQCL/Q，/

則“(。)=4舊=3落

由〃(。)>0,得。>2,由4(a)V0,得0V。V2,

則函數(shù)”Q)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

得h(a)min=h(2)=l-ln2,

由對任意c>0,存在a>0,使得—/(a)<R(①),

a

得”a)min《R⑸min,

Kpl-ln2<21nm+2,

得lnm2>—1—ln2=In工,

2e

因?yàn)閙>0,所以.

2e

故實(shí)數(shù)zn的取值范圍為［嚕+8)

(3)已知0〈電Vg,且BQi)=F(X2)，由(1)知，7n>0,

且函數(shù)R(%)在(0,m)上單調(diào)遞減，在(m,+00)上單調(diào)遞增，

則0V?V772V22，；

ci.2mci,2m"

21nliH-------=2\nxoH--------,?

Xi-X-2；

^\nx2-\nx}=---f\

XiX2?

4血

得1】也-1眸=西3

X\X-2

W2T啜

得m=---------,

x2—Xi

要證XiX-2>rri1,即證無蒞>m,

____X\X2'\n^-

即i正《X\X2>------—,

X*2/]

即證]>---------—,

X-2—Xx

因?yàn)镺V/iVmVg,所以g—4i>0,

即i正x2—X[>y/x[X2,In—,

為

即證專In至，

，2任2X1

即證庫戶>小

VVX2Xi

Vx\

即證方一1>21n">l,

令0。)=￡-^—21nt,￡>1,

t/

坦”■、一1U_12_#-21+1—(￡-1)2

得3⑴一i+淳一彳一一-2—^>0,

則函數(shù)雙力)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

得夕⑴>9(1)=1一1-21nl=0,

即，—；>21nt得證，

故命題得證.

10(25-26高三上?山西?階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=x-31nH-2-Q(QWH).

x

(1)當(dāng)Q>0時,求函數(shù)f(Q)的值域;

(2)若/⑸在序,+00)上只有一個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)%1次是/(k)的兩個零點(diǎn),證明:Xi+x2+61n3>2a4-64-61n2.

【答案】(1)(—8,—31n￡—31

(2)(-1,+oo)U[—^-+31nl6,l-31n2)

(3)證明過程見解析

【詳解】(1)由/(a)=a—31n?2---a=-31na——=>/'(。)=—~~~,

QaCL(￡~(i~

當(dāng)0<a<葺時，/(a)>0,函數(shù)/(Q)在(04)上單調(diào)遞增，

oJ

當(dāng)時，/'(。)<0,函數(shù)/(Q)在伶，+8)上單調(diào)遞成，故/(Q)niax=/(4")=—31n-1--3,

oJJJ

當(dāng)°T+CO時，/（。）T-8,故當(dāng)a>0B寸，函數(shù)/（a）的值域?yàn)椋?oo,-31n,-3;

J」

o9

（2）令/（①）=x—31na;------a=0=>a=x—31nx----,

xx

設(shè)心）『-3hM，=g，⑺=1-3+爭（I）廠”,

0XX2X2X2

當(dāng),>2時，"（c）>0,則g?在（2,+00）上單調(diào)遞增,

當(dāng)IV①V2時，g，Q）V0,則gQ）在（1,2）上單調(diào)遞減，

當(dāng)需4①V1時，g'（。）>0.則g（⑼在［專,1）上單調(diào)遞增,

且當(dāng)CT+8時，g（￡E）t+8,作出函數(shù)g（x）的圖象如圖所示：

又g⑴=-l,g（2）=1-31n2,g島）=一揩+31nl6,

要使/（x）在［古，+8）上只有一個零點(diǎn)，需使Q>—1或一端+31nl6&Q,V1—31n2,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為；（-1,+8）U［一端+31nl6,l-31n2）.

⑶因?yàn)殡娦?是/（1）的兩個零點(diǎn)，

99

所以Ci—31ng-------Q=0,x2—31nx2-------a=（）,

X\①2

兩式相加，可得上]+叫一3(ln%i+lng)—(￡■+?~)=2a,

則有C1+x2—31n(a；32)—(2+2)=2Q,即1]+g=2a+31n(gg)+「⑶+珀

'X\X2)X\X'2

因?yàn)?1，①2>0且21W，所以有21+g>2y/X\X2,

于是有①i+a;2=2a+31n(c遇2)+2(*I+'2)>2a+31n(為電)+,

即Xi+x2>2a+31n(①傳〉)+/—(*),記⑦=t(t>0),

y/xtx2

設(shè)h(t)=2a+61nt+*?則.W(￡)=專4_2(3t-2)

t2

當(dāng)力>暫時，〃⑴>0,則h（t）在（系+oo）上單調(diào)遞增,

OO

當(dāng)ovtv,時，〃⑴V0,則九?）在（0,日）上單調(diào)遞減,

JO

h(t)min=h(y)=2a+61n2-61n3+6,即h(t)>2a+61n2-61n3+6,

故由(*)可得。i+g>2Q+31n(c42)-1—>2Q+61n2-61n3+6,

即xx+x-2+61n3>2。+6+61n2.

..........一也

11.(24—25高二下?江蘇南京?期末)已知函數(shù)=t(x-l)-21nM￡￡R)，

(1)若〃⑼>0恒成立，求實(shí)數(shù)C的值；

(2)當(dāng)￡=0時，方程+%2-1=a有兩個不同的根,分別為孫02(21<3；2),

①求實(shí)數(shù)館的取值范圍；

②求證：InXi+x2>1—m.

【答案】(1乂=2;

(2)①mW(0.+oo):②證明見解析.

【詳解】⑴尸3)=>-2,因?yàn)閒⑴=o,若/3)>o,即

X

由于c=l不是定義域區(qū)間的端點(diǎn)，且/(c)在定義域上連續(xù)，

故/(I)不僅是函數(shù)/Q)的最小值，同時也是極小值，

所以((1)=1-2=0,解得力=2.

檢驗(yàn)：當(dāng)￡=2時，/Q)=2x-2-2]nx(x>0),則f\x)=2—Z=2-^-,

XX

當(dāng)ovi時，f'Q)vo,fQ)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)8>1時，4Q)>o,/(/)在(1,+oo)上單調(diào)遞增:

所以八①)的最小值為/(1),即/(切>/(1)=0成立，

綜上，t=2.

(2)①當(dāng)t=0時，令g(rr)=-y/(rr)-\-x2—x=x2-x—lnx(x>0),

g\x)=2①一1一5=(2,+?QT)Q>O),

令"(c)>0,解得啰>1,gf(x)VO,解得OV/VI,

所以gQ)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,+oo)上單調(diào)遞增，則g(o)的最小值為g⑴=0;

當(dāng)7〃vo時，yQ)=/〃無解，當(dāng)〃〃=0時，g(i)="L解，都不符合題意；

當(dāng)zn>0時，g(e~m~2)—m=(e-m-2)2—e~m~'2+2+m—m>(e-,n-2--1-)4--j->0,^(l)—m=0

—m<0,

因?yàn)?<e~m~2<1,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以gQ)=m在(0,1)上唯一解；

令s(c)=仁工一c—1,則s<0)=ex—1,

當(dāng)nW(-oo,0)時，s\x)<0,s(①)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)cW(0,+oo)時，s，Q)>0,s(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)6=()時，s(x)取得最小值，即s(x)>s(0)=0,所以+1,

所以</(e,n+1)-m=(em+,)2-em+l-2m-1=em+1(em+1-l)-2m-1

>(m+2)(m+l)—2m—1=m24-?n+1>0,又g(l)—m=0—mVO,

因?yàn)閑m+1>2>1,g(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增：

所以g(i)=館在(i,+8)上有唯一解；

綜上所述，方程J/(2)+]2-4=7幾有兩個不同的根時，7幾6(0,+8)；

②由題可知：g(①1)=g(①2)=a,即W—為一Ing=瞄—x2—lnx2=?n且0VgV1V◎,

構(gòu)造函數(shù)：h(x)=g(x)—ff(2—x)(0<x<l),

則h'(x)—g'i.x)+gf(2—x)=2x—l——+2(2—x)—1——=——―<0,

①2-xx(2-x)

所以無3)在(0,1)上單調(diào)遞減，故h(x)>h(l)=g(l)—g(2—1)=0,所以g(c)>g(2—x),

又因?yàn)?〈電Vl,所以>g(2一①J,

又因?yàn)間Qi)=g(42)，所以9[x-i)>g(2—為)，

因?yàn)間(⑼在(l,+8)上單調(diào)遞增，2—e>1,電>1,

所以％2>2—斯，得⑦1+①2>2

要證Inxi4-x2>1—m,

即證lnali+x-2>1—,

即82>1—就+叫，即電+①i>1—X?+為+叫，

即證rr2+Xj>1—Xi+2cl,

因?yàn)間+g>2,故只須證明：1一國+2①i&2,

因?yàn)?一或+221=2一猶+2叫一1=2一(①i一1尸V2成立.

所以原不等式Ing+g>1—m成立.

12.(25-26高三上?江西?階段練習(xí))在幾何學(xué)中，我們常用曲率來刻畫曲線的彎曲程度.設(shè)光滑連續(xù)曲

線C：y=f(x),定義k=—比3」為曲線。在點(diǎn)P(cJQ))處的曲率，其中廣(切為/(c)的導(dǎo)

[l+"r))2]2

函數(shù)，/"⑸為廣㈤的導(dǎo)函數(shù).已知曲線C/3)="

⑴當(dāng)Q=2時，求曲線。在點(diǎn)尸(1J⑴)處的曲率；

(2)已知曲線C在不同的兩點(diǎn)4如/(刈))1(如/32))處的曲率均為0.

⑴求實(shí)數(shù)Q的取值范圍；

(u)求證：電+gV4°O產(chǎn).

【答案】(1)乎

(2)⑴(1,+8)(優(yōu))證明見解析

【詳解】(1)Vf(x)=-^-x3一■}-x2\nx+J。①2,."<⑸=-^xlnx+(1—a)x.

則/"(c)=x—Inx—a.

當(dāng)Q=2時，/(①)=—xlnx—①,/"(①)=x—Inx—2.

則r⑴=一方，⑴=T，什以k=-----Jr=嗓.

2"(T)卞2。

(2)⑴依題意/"(z)=x—\nx—a=0即a=c—皿以※)有兩個不同的解.

令g(x)=x—Inx,則g'(x)=1——=—―,

xx

,/x>0,當(dāng)0<7V1時，g\x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)1時，g'Q)>0,g{x)單調(diào)遞增，

，g3)>g(l)=1.又①t?；騝->+oo時，/(%)一+8,；

所以a>1時方程(X)有兩解.a的取值范圍為(1,+8).

4.................................畝

(ii)由⑴知可設(shè)0V為V1Vg,且—Ina；1—a=0,x2—lna?2—a=0,

4o+2

：.a=X\—Inxp欲證⑥+g<~T~

即證能<——為=4(，「l：g)+2_為=e一41：團(tuán)+2

Jt5J

構(gòu)造函數(shù)m(x)="—+2(0<x<1).

o

：.m'{x}="4<0,m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，7n3)>m⑴=1.

ox

0cXi-41nxi+2

即———廣一>1,而“2>1,

J

令/z(x)=g