專(zhuān)題8.1直線(xiàn)的方程(舉一反三講義)

【全國(guó)通用】

題型歸納

【題型1直線(xiàn)的傾斜角與斜率?1....................................................................................................................................3

【題型2直線(xiàn)與線(xiàn)段的相交關(guān)系求斜率范圍】...........................................................3

【題型3直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、斜截式方程】..................................................................4

【題型4直線(xiàn)的兩點(diǎn)式、截距式方程】..................................................................5

【題型5直線(xiàn)的一般式方程】...........................................................................5

【題型6直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】.............................................................................6

【題型7三線(xiàn)能?chē)扇切蔚膯?wèn)題】....................................................................6

【題型8直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用】.........................................................................6

1、直線(xiàn)的方程

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)

(1)理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率直線(xiàn)方程的考查比較穩(wěn)定，主要分為兩

的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜2024年全國(guó)甲卷(文數(shù))：第方面進(jìn)行考察，一是直線(xiàn)的傾斜角與斜

率的計(jì)算公式10題，5分率、直線(xiàn)方程的求法；二是以直線(xiàn)與圓

⑵根據(jù)確定直線(xiàn)位置的幾何2025年天津卷：第12題，5知識(shí)點(diǎn)交叉命題，涉及到點(diǎn)到直線(xiàn)距離，

要素，掌握直線(xiàn)方程的幾種形分與圓相交弦長(zhǎng)等問(wèn)題；多以選擇題、填

式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)空題的形式出現(xiàn)，難度不大；復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)

熟練掌握這些知識(shí)內(nèi)容.

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1直線(xiàn)的方程

1.直線(xiàn)的傾斜角

(1)傾斜角的定義

①當(dāng)直線(xiàn)/與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線(xiàn)/向上的方向之間所成的角a叫做直線(xiàn)/的傾

斜角.

②當(dāng)直線(xiàn)/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0。.

(2)直線(xiàn)的傾斜角a的取值范圍為0。忘0<180。.

2.直線(xiàn)的斜率

（1）直線(xiàn)的斜莖

把一條直線(xiàn)的傾斜角Q的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母女表示，即左=tana.

（2）斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系

y

1/一

圖示a

0X7T^IT0

傾斜角（范圍）[=0。0°<?<90°?=90090yxVI80。

斜率（范圍）k=0Q0不存在KO

（3）過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式

過(guò)兩點(diǎn)外出，yi），心（*，及）（力大》2）的直線(xiàn)的斜率公式為"="一"

X2-X\

3.直線(xiàn)的方向向量

設(shè)48為直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，則下流是這條直線(xiàn)的方向向量.

4.辨析直線(xiàn)方程的五種形式

方程形式直線(xiàn)方程局限性選擇條件

不能表示與x軸垂①已知斜率；②已知

點(diǎn)斜式y(tǒng)—y=k(x—%)

0直的直線(xiàn)一盧

不能表示與X軸垂①已知在y軸上的截

斜截式y(tǒng)-kx\h

直的直線(xiàn)距；②已知斜率

不能表示與X軸、①已知兩個(gè)定點(diǎn)；②己

兩點(diǎn)式y(tǒng)-yi_X—Xi

y軸垂直的直線(xiàn)知兩個(gè)截距

y-2—y\x-2-Xi

不能表示與X軸垂①已知兩個(gè)截距；②已

F=i

截距式Gb直、與y軸垂直、知直線(xiàn)與兩條坐標(biāo)軸

過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)圍成的三角形的面積

求直線(xiàn)方程的最后結(jié)

4x+By+C=0

一般式表示所有的直線(xiàn)果均可以化為一般式

(A,B不全為0)

方程

知識(shí)點(diǎn)2求直線(xiàn)方程的一般方法

1.求直線(xiàn)方程的一般方法

直線(xiàn)方程形式的詵擇方法：

①已知一點(diǎn)常選擇點(diǎn)斜式；

②已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；

③已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；

④已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，應(yīng)注意兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等的情況.

⑵待定系數(shù)法

先設(shè)出直線(xiàn)的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線(xiàn)方程.

利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)：③代入方程得直線(xiàn)方程.

若已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)力支。,必），則可以利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、一.廝=〃?（工一汽）求方程，也可以利用斜截式、截

距式等求解（利用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況）.

【方法技巧與總結(jié)】

1.牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線(xiàn)；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”.

2.“截距”是直線(xiàn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而‘'距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).應(yīng)注意

過(guò)原點(diǎn)的特殊情況是否滿(mǎn)足題意.

3.斜率為A的直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為（1次）.

4.涉及直線(xiàn)與線(xiàn)段有交點(diǎn)問(wèn)題，常根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，利用斜率公式求解.

舉一反三

【題型1直線(xiàn)的傾斜角與斜率】

【例1】（2025?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）直線(xiàn)％-tan晟+y-2=0的傾斜角為（）

A口B.3n?非

*510c

【變式1-1]（2025高二上?仝國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，若直線(xiàn)L，%,4的斜率分別為七，七,自，貝IJ（）

A?k*<攵3<攵2B.<k：vk?C-k】Vk?VD.vk?vk]

【變式1-2]（2025?上海奉賢?二模）已知。是斜率為一1的直線(xiàn)的傾斜角，計(jì)算sin（e*）=-

【變式1-3]（2025?江西萍鄉(xiāng)?一模）已知直線(xiàn)，3-〉（?巾+1）2+1=0（巾6/?）的斜率為匕貝收的最大值

為.

【題型2直線(xiàn)與線(xiàn)段的相交關(guān)系求斜率的圍】

【例2】（24-25高二上?福建原門(mén)?期中）已知兩點(diǎn)人（一3,2）,8（2,1）,過(guò)點(diǎn)P（0,-1）的直線(xiàn)/與線(xiàn)段彳8（含

端點(diǎn))有交點(diǎn)，則直線(xiàn)/的斜率的取值范圍為()

A.(一co,-1]U[1,+8)B.[-1,1]C.(-oD,-i)u[l,+co)D.[-1,l]

【變式2-1](24-25高二上?廣東廣州?期中)已知點(diǎn)力(2,-3),8(-5,-2),若直線(xiàn)，:mx-y+m+1=0與

線(xiàn)段48(含端點(diǎn))有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A.卜/B.(-8,一仙艮+8)

C?卜得D.(-0O,-2]u[1,+00)

【變式2-2](24-25高二上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí))已知直線(xiàn)/：(m+2)x+(m-l)y+77i-l=0,若直線(xiàn)1

與連接4(1,一2),B(2,l)兩點(diǎn)的線(xiàn)段總有公共點(diǎn)，則僅勺傾斜角范圍為()

A?卜/B.[5)C.[*]>[詞U&)

【變式2-3](24-25高二上?黑龍江哈爾濱?期末)已知點(diǎn)P(l,2),經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)/,若直線(xiàn)/與連接4(9,1),

8(5,8)兩點(diǎn)的線(xiàn)段(含端點(diǎn))總有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)/的斜率〃的取值范圍為()

A-mB.卜洞C.(-8,一》D.(-oo,-l]u[1,+oo)

【題型3直線(xiàn)的點(diǎn)斜式、斜截式方程】

【例3】(2025高二?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))過(guò)點(diǎn)(1,2)且與直線(xiàn)y=2%-3斜率相等的直線(xiàn)方程為()

A.y-2=2(%—1)B.y—1=-2(x-2)

C.y—2=—2(x—1)D.y-1=2(%—2)

【變式3-1](24-25高二下?河南?階段練習(xí))若直線(xiàn)，的方向向量為(3,-，司，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,一遍)，則直線(xiàn)]

的方程為()

A.x+V3y=0B.x4-V3y—6=0C.x—V3y=0D.x—V3y—6=0

【變式3-2](24-25高二上?北京懷柔?期末)已知直線(xiàn)的傾斜角為60。，且過(guò)點(diǎn)P(0,l),則直線(xiàn)的方程為()

A.y=—1B.y-^-x+1C.y—V3x-1D.y=V3x+1

【變式3-3](24-25高二上?河北張家口?期末)已知直線(xiàn)Z過(guò)點(diǎn)尸(1,0),將直線(xiàn)，繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)々與工軸重合,

則直線(xiàn)，的方程為()

A.y=^-x-1B.y=V3(x-1)

c.y=-^(x-1)D.y=-V3(x-1)

J

【題型4直線(xiàn)的兩點(diǎn)式、截距式方程】

【例4】（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知直線(xiàn)1過(guò)點(diǎn)（3,5）,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線(xiàn)/的方程

為（）

A.x+y+8=0B.5x-3y=0

C.5x—3y=0或x+y—8=0D.5%—3y=0或r+y+8=0

【變式4-1]（24-25高二上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）已知直線(xiàn)I的兩點(diǎn)式為言=瑞，則（）

A.直線(xiàn)I經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,2）B.直線(xiàn)1的斜截式為x二|y-日

C.直線(xiàn)1的傾斜角為銳角D.直線(xiàn)I的點(diǎn)斜式為、-2二：（無(wú)一5）

【變式4?2】（24-25高二上?江蘇南通?期中）經(jīng)過(guò)42,1）與8（1,2）兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為.

【變式4-3]（2024?陜西西安?一模）過(guò)點(diǎn)P（l,3）,在工軸上的截距和在y軸上的截距相等的直線(xiàn)方程

為.

【題型5直線(xiàn)的一般式方程】

【例5】（2025高二上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)（一3,0）和（0,4）,的直線(xiàn)的一般式方程為（）

A.4%+3y+12=0B.4%+3y—12=0

C.4x-3y+12=0D.4x-3y-12=0

【變式5?1】（24?25高二上?陜西咸陽(yáng)?期末）直線(xiàn)3y—Vlv=0的傾斜角為（）

A.30°B.150°C.60°D.120°

【變式5-2]（24-25高二上?江西贛州?期末）對(duì)于直線(xiàn)，:遮x—3y+4=0,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.直線(xiàn)!傾斜角為g

B.直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)第四象限

C.直線(xiàn)/在y軸上的截距為一：

D.直線(xiàn)I的一個(gè)方向向量為（3,建）

【變式5-3]（24-25高二上?河南?階段練習(xí)）已知直線(xiàn)Ax+"+1=0在y軸上的截距是-1,其傾斜角是直

線(xiàn)、Gx-y=0的傾斜角的2倍，則（）

A.A=>/3tB=1B.A=-V3,B=-1

C.A=yf3,B=-lD.A=-y/3,B=l

【題型6直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】

【例6)(25-26高二上?全國(guó)?課后作業(yè))不論為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)(m-n)x+(m+2n)y-3n=0過(guò)定點(diǎn)()

A.(1,-1)B.(-1,1)C.(0,0)D.(2,2)

【變式6-1](24-25高二下?上海靜安期中)直線(xiàn)血匯+(3m-1)〉+1=0必過(guò)定點(diǎn)()

A.(3,1)B.(-3,1)C.gl)D.80)

【變式6-2](24-25高二上?福建莆田?期中)若直線(xiàn)(3Q+2)x+(a-l)y-a=0(aGR)恒過(guò)定點(diǎn)A,則點(diǎn)A

的坐標(biāo)為()

A-能)B.(1,3)C.髓D.周

【變式6-3](24?25高二上吶蒙古赤峰?階段練習(xí))已知直線(xiàn)Z:(7n+2)%+(m-l)y+m-l=0,則直線(xiàn)2

恒過(guò)定點(diǎn)()

A.(-1,0)D.(0,1)C.(0,-1)D.(1,0)

【題型7三線(xiàn)能?chē)扇切蔚膯?wèn)題】

【例7】(24-25高二上?陜西寶雞?期中)已知三條直線(xiàn)h：y=x+l,Z2：y=-2x+4,b：g：+y+l=0不

能?chē)扇切危瑒t實(shí)數(shù)m的取值集合為()

A.[1,-2}B.{1,-2,3}

C.{-12-3}D.{-1,2}

【變式7-1](24-25高二上?福建?階段練習(xí))下面三條直線(xiàn)匕:4%+y=4,l2,.mx+y=0,l3:2x-3my=4

不能構(gòu)成三角形，則m的集合是()

A.{-1,|}B.{4,一，}C.{-1,一，,|,4}D.{-1,—

【變式7-2](24-25高二上?湖南?期末)若三條不同的直線(xiàn)L：a%+y+2=0J2:x+y-l=0,l3:x-y+3=0

不能?chē)梢粋€(gè)三角形，則〃的取值集合為()

A.{-1,1}B.{4,1}C.D.{4,-1,1)

【變式7-3](24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))使三條直線(xiàn)4x+y-4=G,mx+y=0,2x-3my-4=0不能

圍成三角形的實(shí)數(shù)m的值最多有幾個(gè)()

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【題型8直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用】

【例8】(24-25高二上,寧夏吳忠?期中)已知直線(xiàn)，：(al)y=(2a3)xI1.

(1)求直線(xiàn)，所過(guò)定點(diǎn)；

(2)若直線(xiàn)1不經(jīng)過(guò)第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

(3)若直線(xiàn)，與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求1的方程.

【變式8-1](24-25高二上?山東?階段練習(xí))直線(xiàn)]方程為(m+l)x+y—2m—3=0(m￡R).

(1)證明：無(wú)論m為何值，直線(xiàn)[過(guò)定點(diǎn)；

(2)已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)1分別與“軸正半軸、y軸正半軸交于4B兩點(diǎn)，當(dāng)△力。8的面積最小時(shí)，求△A08

的周長(zhǎng)及此時(shí)直線(xiàn)，的方程.

【變式8-2](24-25高二上?甘肅嘉峪關(guān)?階段練習(xí))已知直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(—1,2).

(1)若，不過(guò)原點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，求I的方程；

(2)設(shè)/的斜率4>0/與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為力和8,當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)?，求，的斜截式方程.

【變式8-3](24-25裔二上?福建?期中)已知直線(xiàn)[過(guò)點(diǎn)力(一3,2),出的一個(gè)法向量是(4,3).

(I)求直線(xiàn)，的方程；

(2)若直線(xiàn)I與y軸交于點(diǎn)C,將直級(jí)4c繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D,求直線(xiàn)4D的方程;

⑶在(2)的條件F,求ZC4D的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程.

過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2025?天津紅橋?模擬預(yù)測(cè)）直線(xiàn)y=x+l的傾斜角為（）

A-B-C-D—

A.4O,3J254

2.（2025?四川眉山?三模）已知點(diǎn)71（4,2⑹,8（1,b），若向量荏是直線(xiàn)1的方向向量，則直線(xiàn)，的傾斜角為

（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.（2025?江西新余一模）已知直線(xiàn)侑勺方程為丁=（一。2+1及+山則直線(xiàn)!的傾斜角的取值范圍為（）

C牌）心）》［0小軻

4.（2025?吉林長(zhǎng)春?一模）直線(xiàn)x+2y-4=0與直線(xiàn)3x+y-9=0所成角是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

5.（2025,新疆烏魯木齊?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線(xiàn)匕、％、b、〃中，斜率最小的是（）

6.（2025?安徽馬鞍山?一模）設(shè)點(diǎn)4（2,1）,8（-2,3）,若直線(xiàn)ax+y+1=0與線(xiàn)段48沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

。的取值范圍為（）

A.（-oo,-1）B.（-2,1）C.（-1,2）D.（1,+8）

7.（2024?山東,二模）已知直線(xiàn)，與直線(xiàn)x-y=0平行，旦在y軸上的截距是一2,則直線(xiàn)l的方程是（）

A.x-y+2=0B.x-2y+4=0

C.x-y-2=0D.x4-2y-4=0

8.（2025而二上?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知直線(xiàn)依—y+2=0和以M（3,—2）,N（2,5）為端點(diǎn)的線(xiàn)段相交，則

實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

A.（-8,一]B,[1,+00）

C?卜羽D.（-8曰嗚+8）

二、多選題

9.（25-26高二上?全國(guó)?單元測(cè)試）己知直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)（0,2）,（百,1）,則（）

A.點(diǎn)C（2,—l）在直線(xiàn)/上

B.直線(xiàn)/的兩點(diǎn)式方程為m=

2-10-V3

C.直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（1,-遙）

D.直線(xiàn)/的截距式方程為金+>1

10.（2025?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知△OAB為等腰宜角三角形，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)4在第一象限，點(diǎn)B在第四象

限，Z,A0B=若直線(xiàn)0408,48的斜率都存在，記直線(xiàn)。408,力8的斜率分別為心也,&，則自也也的

關(guān)系可能為（）

A.k1>k2>k3B.