專題八平面解析幾何

第一講直線和圓的方程專題測(cè)試

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4（）分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.若直線過點(diǎn)（L2）,（4,2+6）,則此直線的傾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.已知兩條直線4：or+4y-1=0,/2:x+ay+2=0,則“。二2”是“4〃/2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.過戶（1,1）的直線與圓f+y2=4相交，若使得相交弦長(zhǎng)最短，則該直線的方程為（）

A.y-I=0B.x+y-2=0C.x-j=0D.x+3y—4=0

4.若直線（：x+2），-4=0與直線上乙-），+2八1=0的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍

是（）

」1

A.<-6,2B.

111

C.-oo,-7U不+8D.U-—,+00

2)126J

5.直線/過點(diǎn)（2/），且與圓C:（x-2）2+（），-4/二10相交所形成的長(zhǎng)度為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）

A.5B.8C.9D.I0

6.已知曲線。:/+（,_］）2=4（），2］）和直線/：）,_I=MA3）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線［的

斜率為（）

A.土述B「空C.巫D.不存在

555

7.已知圓0/2+）,2=4和圓。:（工-3）2+（），-3）2=10,則下列說法不正確的是（）

A.圓。與圓C有四條公切線

B.點(diǎn)P為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，|尸。的最大值為3近+2

C.圓。與圓。的公共弦所在直線方程為x+y=2

D.圓。與圓C的公共弦長(zhǎng)為20

8.直線），=-理工+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)4B,以線段48為邊在第一象限內(nèi)作等邊三角

形ANC如果在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)/使得尸和的面積相等，貝梅=（）

、巫B.—C.—D.V3

222

二、選擇題：本題共3小題.每小題6分.共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全

部選對(duì)的得6分.部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線4：（a+3）x+2ay+3=0與:不一），+2=0,則（）

A.若a=3,則兩直線垂直B.直線右恒過定點(diǎn)（-1,；）

C.直線4在兩坐標(biāo)軸上的截距相等D.若兩直線平行，則乙與的距離是它

4

10.下列有關(guān)圓月+y2-4%-1=0,說法正確的是（）

A.關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱B.關(guān)于直線y=0對(duì)稱

C.關(guān)于直線x+3），-2=0對(duì)稱D.關(guān)于直線X->+2=0對(duì)稱

11.已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程/+），2-4》+1=0,則下列說法正確的是（）

A.y-x的最大值為幾+2B.Y+jJ的最大值為2+6

D.』的最大值為立

C.K+丁的最大值為"+2

R3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓C:（x-l『+（），—32=，（->0）,若圓。與y軸交于M,N兩點(diǎn),且蹺=6,則，=

13.直線—1=0與直線工一2丫-4=。交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P至I」直線辰一,，+l+2%=0（ZeR）的最

大距離為.

14.已知過點(diǎn)p（4,l）的直線I與X軸、y軸的正半軸分別交于4,8兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)ZXAOB

的面積最小時(shí)，直線/的方程為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.

15.（13分）己知在△ABC中，A（—3,2）,B（5,-4）,C（0,-2）,

（1）求8c邊的方程；

⑵求邊上的中線所在直線的方程.

16.（15分）已知直線4：如+y一1=。，A：2x+（"[-1））'+2=。

⑴若一,求實(shí)數(shù)〃，的值及此時(shí)過點(diǎn)A（0,l）與4垂直的直線/的方程；

（2）若"〃2,求實(shí)數(shù)m的值及比時(shí)兩條直線之間的距離.

17.（15分）在平面直角坐標(biāo)系xO.V中，已知圓M的圓心在直線y=-2x上，且圓M與直線

工-）-5=0相切于點(diǎn)尸（2,—3）.

⑴求圓M的方程；

⑵過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線/被圓M截得的弦長(zhǎng)為指，求直線/的方程.

18.（17分）已知圓。:*+2）：+），2=9及點(diǎn)尸（0,1）,過點(diǎn)P的直線與圓交于A、B兩點(diǎn).

（1）若弦長(zhǎng)|4耳二4上,求直線A/的方程；

（2）求△A8C面積的最大值，并求此時(shí)弦長(zhǎng)|A8|的值.

19.（17分）己知圓+y2-4x-6y+12=0.

（1）過點(diǎn)2（3,5）作圓C的切線/,求/的方程；

（2）若直線3x+y-8=0與圓。相交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)。（-4,3）,求△QA8的面積.

答案解析

1.答案：A

解析：由題意直線斜率為左=2+8-2=3,所以傾斜角為30。.故選：A.

4-13

2.答案：A

解析：當(dāng)"〃2時(shí)，f(1=14=—1則。=±2,所以“4=2”是“/〃2”的充分不必要條件.故選:

A

3.答案：B

解析：因?yàn)椤?12=2<4，所以點(diǎn)尸(1/)在圓內(nèi)，圓V+y2=4的圓心4(0,0),當(dāng)過點(diǎn)尸的直

線與抬垂直時(shí)，所得弦的長(zhǎng)度最短，因?yàn)檫^點(diǎn)A,。的直線的斜率為1,所以所求直線的斜率

為-1,故直線的方程為y-1=—(x-1),即工+k2=0.故選：B.

4.答案：A

x+2y-4=0Dk+1

解析：由題意聯(lián)立，解得,即直線小式+2y_4=0與直線

kx-y+2k+\=0

/依_)-2八1二0的交點(diǎn)為苦，瞿］,由題意可得I"，解得-：<&<：,即實(shí)

［2Z+12k+\J62+1二062

2k+i>

(11、

數(shù)%的取值范圍是，故選：A

\62)

5.答案：C

解析：依題設(shè)，圓C的圓心為(2,4),且半徑〃=質(zhì)，而(2—2『+(1—4『=9<10,即點(diǎn)(2,1)

在圓內(nèi)，且圓心到該點(diǎn)的距離d=3,當(dāng)直線/與(2,1)、(2,4)的連線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短為

2必萬=2,而最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為圓的直徑為2標(biāo)，因此所有弦的弦長(zhǎng)范圍為［2,2而］,

所以相交所形成的長(zhǎng)度為整數(shù)的弦，弦長(zhǎng)為2,3,4,5,6,根據(jù)圓的對(duì)稱性，弦長(zhǎng)為3,4,

5,6各有2條，弦長(zhǎng)為2的只有1條，所以共有9條.故選：C

6.答案：C

解析：易知,直線/過定點(diǎn)M(-3,1),曲線。表示圓心為(0,1),半徑為2的上半圓，定點(diǎn)M(-3,1)

在半圓所在的圓外.

解法一：由C與/有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，I與半圓C相切，此時(shí)圓心(0,1)到直線I的距離

.|一1+3%+1|-2x/s2、”

d=小=2,解得4=±坦，由圖知女二包，故選：C.

解法二：當(dāng)C和/有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，女存在，且A>0,結(jié)合選項(xiàng)，故選：C.

7.答案：A

解圻：對(duì)于A：由題知，0(0,0),C(3,3),々=2,/b-Vio,貝“OC|=J^=3右，又

24-V10>3>/2>V10-2,即兄一％<|℃|〈立+廣，所以圓O與圓。相交，有兩條公切線，A

錯(cuò)；

對(duì)于B：點(diǎn)P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，則|PC|的最大值為|OC|+%=3及+2,故B正確；

對(duì)于C：聯(lián)立［(；一?+(k3)=1°得工+),=2,故圓。與圓C的公共弦所在直線/方程為

X+y-=4

x+y=2,C正確;

對(duì)于D：點(diǎn)O到/的距離為〃=7方=加，所以圓。與圓C的公共弦長(zhǎng)為2后二西^=2后,

D壬確.故選：A

8.答案：A

解析：如圖所示，因?yàn)橹本€)，=-冬+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)4,B,所以46,0),4(0,1),

所以IA例=2.

又ZXABP和AABC的面積相等，所以CP//A3,所以可設(shè)直線CP的方程為)，=-^x+c(c>1).

I廣］I.

依題意，點(diǎn)B到直線C尸的距離為G，即77彳一,所以。=3(c=-1舍去)，所以直線

\3

CP的方程為y=-立x+3.又點(diǎn)Pm>~在直線y二-史x+3上，所以」=-@〃7+3,解得

3I2J-323

用二X1.故選：A

2

9.答案：ABD

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)。=3時(shí)，4：2x+2y+l=。，斜率為勺=-1,又直線的>+2=0的

斜率為心=1,所以4.七=—1,故兩直線垂直，所以選項(xiàng)A正確，

/、fx+2y=()

對(duì)于選項(xiàng)B,由(a+3)x+2a)，+3=0,得至lJ〃(x+2y)+3X+3=0,由<&_八，得到了=一1，

y=；,所以直線4過定點(diǎn)故選B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C,令工=0,得到y(tǒng)=2,令y=0,得至lJx=-2,所以直線4在兩坐標(biāo)軸上的截距不

相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

一二1

對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)/1/〃2時(shí)，:，得到〃=—1,此時(shí)4：x-y+1=0,

-—^22

,2a

I2--Ir

所以兩平行線間的距離為/_|2|_V2,故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.

rrr

1().答案：ABC

解析：將圓的一般方程/+)，2-41-1=?；癁闃?biāo)準(zhǔn)方程，得*-2)2+丁=5,所以該圓的圓心

坐標(biāo)為(2,0).對(duì)于A,圓是關(guān)于圓心對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，所以A正確.

對(duì)于B,C,D,圓是關(guān)于直徑所在直線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，直線丁=0過圓心，直線x+3y-2=0

過圓心，但直線x—>+2=0不過圓心，所以B,C正確，D不正確.故選ABC.

11.答案：AC

解析：由圓的方程一4y+l=0,可化為/+(),_2-=3,設(shè)圓的圓心為例，可得圓心坐

標(biāo)為M(0,2),半徑為

對(duì)于A中，設(shè)y-x=/,即x-y+r=0,由?,解得-幾+244幾+2,

J2

即，'一1的最大值為"+2,所以A正確;

對(duì)于B中，由f+),2=(上一0)2+(y-0)2)2,表示原點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離，乂由10Ml=2,則

丁守的最大值為2+6,所以一+)，2的最大值為(2+逐丁，所以B不正確；

對(duì)于C中，設(shè)工+丁=〃即x+y—〃=0,由展5解得—逐+2W〃W6+2,

即尢+y的最大值為遙+2,所以C正確;

對(duì)于D中，設(shè)立=攵，即"—y=。，由上工<G,解得左之正或攵w—立，所以D錯(cuò)誤.

xa+133

故選：AC.

12.答案：2

解析：由題意知。:(工-1)2+3-〃)2=產(chǎn)(->0)的圓心。0力)，半徑為心圓心到y(tǒng)軸的距離為

1,因?yàn)閳AC與y軸交于M,N兩點(diǎn)，且作j=阿。=廠上>0),所以|MN|二gr,由垂

徑定理得，/=[2+(弊],即/=/+5戶，解得r=2.故答案為：2.

13.答案：26

x+y-l=0,x-2

解析：由?，可得)二［,即-又依一y+1+2攵=0,即％(x+2)_y+］=0,

x_2y_4=()

x+2=0x——2

由,?2可得\,所以直線依7+1+24=0恒過定點(diǎn)Q(-2,1),則點(diǎn)戶到直線

［一尹1=0)'=1

人-3+1+24=0?！?i)的最大距離為|00|二/2+2)2+(-1-1)2=2石.故答案為：2石.

14.答案：x+4y-8=0

解析：設(shè)直線/」+?=1(。>0">0),因?yàn)橹本€/過點(diǎn)尸(4,1),所以±+[=1乜±_1=3，

abab\abyjab

所以岫N16,當(dāng)且僅當(dāng)〃=8"=2時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng)〃=8"=2時(shí)，ZXAO8的面積S=g"

取得最小值，此時(shí)直線/的方程為5+5=1,即x+4y-8=0.

o2

15.答案：(1)2工+5)，+1。=。

(2)10x+lly+8=0

解析：(1)3。邊過兩點(diǎn)演5,-4),C(0,-2),

y-(-4)x-5

由兩點(diǎn)式，得即2A+5y+10=0,

(-2)-(-4)0^5

故BC邊的方程是2x+5y+10=0(0W).

(2)設(shè)的中點(diǎn)為MS,。)，則。=乎=5，6=1)+(-2)=-3,所以M仔,一3),

IZ7

y—2x—(—3)

又肥邊的中線過點(diǎn)4T2),所以不二彳，即

所以8c邊上的中線所在直線的方程為10x+lly+8=0.

16.答案：(1)相=4，3x-y+\=0

2/s

⑵〃7=2或〃2=-1,千

解析：(1)由直線4：〃比+)=1=0,/2：2x+(〃z_l)y+2=0及得2，〃+(〃L1)=0=〃?=：.

由直線U/1,可設(shè)直線/：3x-y+c=0.

因?yàn)橹本€/過點(diǎn)4(0,1),-1+。=0=。=1.即直線/：3x-y+l=0；

(2)由直線4:mx+y-}=otl2:2x+(m-l)y+2=0f及(他.得聞"7—1)-2=0=機(jī)=2或〃7=—1.

經(jīng)檢驗(yàn)"=-1不合題意,舍去，即〃2=2.

此時(shí)4：2x+y-1=0,小21+)，+2=0,則兩直線之間距離為d=2一(一?=攣

V22+l25

17.答案：(l)(x-l)2+(y+2)2=2

(2)X4-)，=0或71+丫=0.

解析：(1)易知過點(diǎn)P(2,-3)且與直線x-y-5=0垂直的直線斜率為1,故圓心M與切點(diǎn)連線

x+y+1=0fx=1/、

方程為x+)，+l=0,聯(lián)立\解得七所以M1,-2；

所以圓M的半徑為1MH=7(2-1)2+(-3+2)2=丘,所以圓M的方程為。一+(y+2尸=2.

(2)如圖,由⑴可知圓M的方程為(％-l)2+(y+2)2=2,

因?yàn)橹本€/被圓M截得的弦長(zhǎng)為遙,所以M到直線“勺距離為4=旦

T

若直線/的斜率不存在，則方程為x=0,此時(shí)圓心到直線的距離為1,不符合題意;

若直線/的斜率存在，設(shè)方程為產(chǎn)質(zhì)，則"二~^變=

VF+12

即它+弘+7=0,解得攵=一1或攵=一7,所以直線/的方程為x+y=O或7x+y=0.

18.答案：（1）丁=1或4工-3），+3=0；

（2）最大&ASC=5,此時(shí)|AB|=3&?

解析：（1）若直線斜率不存在，則AB:x=O,此時(shí)|A8|=26,不符題設(shè),

由C:(X+2)2+)，2=9,則圓心C(—2,0),半徑為3,

又同=4行，所以。（一2,0）到直線A3的距離〃=

|1-2攵|?4

令直線4B:y=h;+l,則7^=1,可得弘2一4%=0,故攵=0或&二;,

J1+公3

所以直線AB的方程為），=1或4工-3），+3=0；

（2）由（1）直線48斜率不存在，有|/仍|二2石