專題02不等式

目錄

明晰學(xué)考要求.......................................................................1

基礎(chǔ)知識(shí)梳理.......................................................................1

考點(diǎn)精講講練......................................................................3

考點(diǎn)一：比較數(shù)或式的大小...................................................................3

考點(diǎn)二：利用基本不等式求代數(shù)式的最值......................................................4

考點(diǎn)三：一元二次不等式的解法...............................................................4

考點(diǎn)四：不等式恒成立問題...................................................................5

考點(diǎn)五：基本不等式與一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用..............................................6

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練......................................................................7

明晰學(xué)考要求期

1、理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)；

2、掌握基本不等式，能用基本不等式解決最值問題;

3、了解一元二次不等式：

4、能夠從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)方程和不等式；

5、了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系

基礎(chǔ)知識(shí)梳理你

1、不等式中的基本事實(shí)

依據(jù)a=boa-b=0；

o<b=a—b<0

結(jié)論要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小

①由上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)數(shù)或式的大小，只需要比較這兩個(gè)數(shù)或式的差與0的大小，一般將差

化為完全平方的形式或多個(gè)因式的積的形式.

②對(duì)于兩個(gè)正值，也可采用作商的方法，比較商與1的大小.

③對(duì)「某些問題也可能采用取中間值的方法比較大小.

2、不等式的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意

1a>b=b<a=

2a>b,b>c^a>c不可逆

3a>b=a+c>b+c可逆

a>b,c>O=>ac>bc

4c的符號(hào)

a>b,c<O=>ac<bc

5a>b,c>d=a+c>b+d同向

6c>cl>()=>ac>bd同向

7a>b>O^an>hn(nGN,n>2)同正

①若心心0,則。<思；

②若aV〃VO,則

③若〃>〃>(),則

aa+\

3、基本不等式

(1)不等式隨字20)稱為基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)。=”時(shí)，等號(hào)成立.其中，牛叫做正數(shù)公

b的算術(shù)平均數(shù)，板叫做正數(shù)小。的幾何平均數(shù).所以兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

(2)當(dāng)。力ER時(shí)，，以上兩式均在〃=方時(shí)取等號(hào).

(3)最值定理：已知x,y都為正數(shù)，則：如果積盯等于定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小

值2"；如果和x+)，等于定值S,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=)，時(shí)，積外有最大值.簡記為：積定和最小，和定積

最大.

(4)應(yīng)用基本不等式的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一正、二定、三相等.

①一正：各項(xiàng)必須為正；

②二定：各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值；

③三相等：必須驗(yàn)證取等號(hào)時(shí)的條件是否具備.

4、一元二次不等式的概念

一般地，我們把只含有一個(gè)萃遨，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是支的不等式，

定義

稱為一元二次不等式

一般形式af+/u+c>0或ad+Zu+cy。，其中啟0,。，b,c?均為常數(shù)

5、一元二次不等式的解法

(1)二次函數(shù)零點(diǎn)的概念：一般地，對(duì)于二次函數(shù))，=加+原+c,我們把使aF+^+cn。的實(shí)數(shù)x叫做

二次函數(shù))，=加十加十C的零點(diǎn).

（2）三個(gè)二次的關(guān)系

判別式

J>0/=()d<0

A=lr—^ac

1/衛(wèi)

二次函數(shù)y=av2+bxD

+c（a>0）的圖象XMXx

2冰"

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

一元二次方程加+有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)沒有

b

力x+c=0（a>0）的根根內(nèi)，X2（X1<X2）即=及=一五實(shí)數(shù)根

2

ax-+隊(duì)+c>0(a>0)的卜卜2a

或工>X2lR

解集

&F+版+c<03>0)的00

解集

①零點(diǎn)不是點(diǎn)，只是函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

②不等式的解集必須寫成集合的形式.若不等式無解，則應(yīng)說解集為空集.

考點(diǎn)精講精練@

考點(diǎn)一：比較數(shù)或式的大小

【典型例題】

例題1.（2024高二上.江蘇揚(yáng)州?學(xué)業(yè)考試）己知av。，CGR,則下列不等式恒成立的是（）

A.etc<beB.a—c<b—cC.a2<b2D.—<—

ab

例題2.已知X,y是實(shí)數(shù)，則“x-yvo”是“xvy”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也小必要條件

例題3.已知力克糖水中含有?？颂牵╞>a>0）,再添加〃?克糖（相>0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.能

夠表示這一事實(shí)的不等式是（）

a+mab+mb

A.-----<-Bn.----<-

bbaa

a+mab+mb

C.---->-D.---->-

b+mba+m

【即時(shí)演練】

1.若〃<〃<（）,c>0,則下列不等式成立的是（）

A.—<—B.a+c>b+cC.a2<b2D.ac<be

ab

2.已知。則下面不等式一定成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+cl<b+c

C.a-d>b-cD.a-d<b-c

3.已知“NO,人20,且。+b=l,則的取值范圍是（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,1]D.[-2,2]

考點(diǎn)二：利用基本不等式求代數(shù)式的最值

【典型例題】

9

例題1.若x>0,則x+一有（）

X

A.最小值6B.最小值8

C.最大值8D.最大值3

例題2.已知0<x<4,則網(wǎng)二百的最大侑為（）

A.-B.1C.&D.3

2

例題3.已知x>0,）>0,且x+J=2,則（）

A.孫，的最大值為IB.個(gè)的最小值為1

C.孫'的最大值為及D.個(gè)的最小值為血

【即時(shí)演練】

1.已知。>0力>0,且。+〃=2,則2+：的最小值為（）

ab

A.-2+6B.4+2#C.8+46D.4G

2.已知?！?1,4/+9〃的最小值為.

3.若/>1,則x+一、的最小值是—.

x-1

考點(diǎn)三：一元二次不等式的解法

【典型例題】

例題1.不等式W—x—2<0的解集是（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|x<-l或x>2}

C.{x\x<-2^x>\]D.{x|-2<x<l}

例題2.己知集合用={一1，0,1,2,3},N={X*—2X_3<0},則Mp|N=()

A.{TO4}B.{-1,0,123}

C.{0,1,2}D.{-1}

例題3.若不等式法+2>0的解集為卜卜貝［〃+〃=（

)

A.1B.-12C.-28D.-14

【即時(shí)演練】

1.不等式（1一。（天一2）<0的解集為（）

A.{x|l<x<2}B.{x\-2<x<-\}C.{x\x>2^x<\]D.｛小一｝

2.關(guān)于x的不等式等K1的解集為一|」

，則實(shí)數(shù)〃的值為(

3

A.-6BC.D.4

-42

3.一元二次不等式-2/+5x-2>0的解集是（)

1

x>-B.■x—<x<2C.x\x<2}D.R

22

考點(diǎn)四：不等式恒成立問題

【典例講解】

例題I.若不等式,￡-4%+〃-3<0對(duì)所有實(shí)數(shù)x恒成立，則af勺取值范圍為（

A.(-<20,-1)D(4,+QO)B.(-8,-1)

D.~,-1]

例題2.已知當(dāng)x>0時(shí)，不等式V-at+l6>0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是,

例題3.設(shè)函數(shù)/（?=/-〃比

（1）若〃?=1,求不等式/（用之2的解集；

（2）若時(shí)，不等式/（x）+V+2N0恒成立，求機(jī)的取值范圍.

【即時(shí)演練】

1.若不等式./+匕+4>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為（）

A.[Y,4]B.（-4,4）

C.（^?,-4）u（4,+a））D.（^O,-4]<J[4,-K?）

2.對(duì)任意工W1,+8）,不等式（〃z-3）f2x+i恒成立，則實(shí)數(shù)川的取值范圍是.

3.已知關(guān)于x的不等式的解集為R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

考點(diǎn)五：基本不等式與一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用

【典例講解】

例越I.若不計(jì)空氣阻力，豎直上拋的物體距離拋出點(diǎn)的高度〃（單位：m）與時(shí)間，（單位：s）滿足關(guān)系

2

式h=，其中g(shù)。lOm/s,vo為初速度.向盼歸同學(xué)以％=Hm/s豎直上拋一個(gè)排球，該排球在拋出

點(diǎn)上方2m處及以上的位置最多停留時(shí)間為（）

A.1.8sB.2.8sC.3.8sD.4.8s

例題2.某服裝加工廠為了適應(yīng)市場需求，引進(jìn)某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本.已知購買x

臺(tái)設(shè)備的總成本為=+4+800（單位：萬元）.若要使每臺(tái)設(shè)備的平均成本最低，則應(yīng)購買設(shè)備

200

臺(tái).

【即時(shí)演練】

1.某產(chǎn)品的總成本為C萬元，與產(chǎn)量X臺(tái)的關(guān)系是C-3000+203-0.52,其中x?0,2,10）,若每臺(tái)售價(jià)為

25萬元，那么生產(chǎn)廠家不虧本的最低產(chǎn)量是（）

A.60臺(tái)B.90臺(tái)C.120臺(tái)D.150臺(tái)

2.（24-25高一上?河南駐馬店?階段練習(xí)）某文具店購進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷售，每

天能賣出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺(tái)燈每天獲得400

元以上（不含400元）的銷售收入.則這批臺(tái)燈的銷售單價(jià)x（單位：元）的取值范圍是（）

A.{x|15<x<22}B.{x|154x<18}

C.{x|l5<x<20)D.{x|15<x<24}

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練a

i.已知〃>〃，則（）

A.3a>2bB.a>-b*C.a-\>b-2D.?(?+1)>/?(/?+!)

2.已知集合用二卜|-3KX<4},N={x|x2-2.r-8<0},則()

A.MUN=RB.MUA^={X|-3<X<4)

C.McN={x|-2?xW4}D.Mr>N={x|-2<x<4}

3.已知x>0,y>o,沖=4,則X+2），的最小值為（）.

A.4B.4夜C.6D.8夜

4.一元二次不等式14-4犬之x的解集為()

c7

A.sx-2<x<--B.{x\x<-2^x>-}

44

7

C."——<x<2?D.{x\x<^^x>2]