專(zhuān)題24.1園（舉一反三講義）

【人教版】

題型歸納

【題型1圓的認(rèn)識(shí)】.............................................................................2

【題型2判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】................................................................3

【題型3利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑】..........................................................3

【題型4與圓有關(guān)的概念】.......................................................................4

【題型5利用圓的基本性質(zhì)求角度】..............................................................5

【題型6利用網(wǎng)的基本性質(zhì)求長(zhǎng)度】..............................................................6

【題型7利用圓的基本性質(zhì)求坐標(biāo)】..............................................................7

【題型8利用圓的基本性質(zhì)求最值】..............................................................8

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1圓的定義及表示方法

L定義:

（1）描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形

叫做圓，其固定的端點(diǎn)0叫做圓3,線(xiàn)段。4叫做半徑.

“圓”是指“圓周”（一條封閉曲線(xiàn)）而不是“圓面”.

（2）集合性定義：將圓心為0、半徑為，的圓看成是所有到定點(diǎn)。的距離等于定長(zhǎng)/?的點(diǎn)的集合.

［圓心：確定圓的位置,

確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素I半徑：確定圓的大小.

2.圓的表示方法

以點(diǎn)。為圓心的圓，記作“?。"，讀作''圓?！?

3.則的特性

（I）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心0）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑心；

（2）所有到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在問(wèn)一個(gè)圓上;

（3）圓上任意兩點(diǎn)和圓心構(gòu)成的三角形是笠腰三角彩.

知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑為八點(diǎn)戶(hù)到圓心的距離為d,則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系為

點(diǎn)P在圓內(nèi)<=>d<r；

點(diǎn)P在圓上=d=r；

點(diǎn)P在圓外0d>r.

知識(shí)點(diǎn)3圓的有關(guān)概念

1.弦與直徑

連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦（如圖中A8）,經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（如圖中AC）.

弦劣弧茄

'優(yōu)弧而

半圓（宿

2.弧、半圓、劣弧、優(yōu)弧、圓心角

（I）圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧.

（2）圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，用三個(gè)點(diǎn)表示（如圖中48。）

（3J弧

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧，用兩個(gè)點(diǎn)表示（如圖中48）

（4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

3.同心圓、等圓與等弧

圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓，生徑相等的兩個(gè)圓是等圓.在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做笠弘.

同圓或等圓的半徑相餐.

【題型1圓的認(rèn)識(shí)】

【例I】（24-25九年級(jí)上?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法：①同一圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等：②如果某

幾個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這幾個(gè)點(diǎn)共圓；③半徑確定了，圓就確定了，其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【變式1-11到點(diǎn)A的距離等于2厘米的點(diǎn)的軌跡是.

【變式1-2】下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（）

A.以點(diǎn)。為圓心B.以10cm長(zhǎng)為半徑

C.以點(diǎn)。為圓心，10cm長(zhǎng)為半徑D.經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)M

【變式1-3】如圖所示，在四邊形ABCD,08=00=90°,求證：A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

【題型2判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】

【例2】（2025九年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）矩形48CD中，AB=8,BC=3次,點(diǎn)P在邊/1B上，且BP=34P,

如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

A.點(diǎn)8、C均在圓P外B.點(diǎn)8在圓P外、點(diǎn)C在圓P內(nèi)

C.點(diǎn)3在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外D.點(diǎn)。、C均在圓P內(nèi)

【變式2-1］（24-25九年級(jí)上?浙江溫州?期中）若04的半徑為5,圓心力的坐標(biāo)是（1,2）,點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5,4）,

那么點(diǎn)P在（填“圓內(nèi)”"圓上"或"圓外〃）.

【變式2-2］（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?期末）已知。。的半徑是方程產(chǎn)一5%一24=0的根，且點(diǎn)A到圓心

。的距離為6,則點(diǎn)A在（）

A.。。上B.。。內(nèi)C.。。外D.無(wú)法確定

【變式2-31（24-25九年級(jí)上?江蘇泰州?階段練習(xí)）在等邊△48C中，點(diǎn)A在以8c邊為直徑的圓—.（填"上"吶〃

或"外"）

【題型3利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑】

【例3】（24-25九年級(jí)上?貴州遵義期末）如圖，在Rta/BC中，zC=90°,BC=3,AC=4,點(diǎn)尸是AC邊

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，P4長(zhǎng)為半徑作圓，若使點(diǎn)C在0P內(nèi)且點(diǎn)8在OP外，則OP的半徑可以

是（）

A

30個(gè)「12c25

AA.-B.2C.-D.一

z5?

①半圓是??；②弦是圓上兩點(diǎn)之間的部分；③半徑是弦；④在同圓或等圓中，直徑是最長(zhǎng)的弦；⑤在同

一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.

A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②④⑤

【題型5利用圓的基本性質(zhì)求角度】

【例5】（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB.CD是。。的弦，月.48=CD,若480。=84。，則，4co的

度數(shù)為（）

【變式5-1］（24-25九年級(jí)上?四川綿陽(yáng)?期末）如圖，是O。的直徑，AB1CD,ABCD=30°,則zABC等

C

A.30°B.40°C.50°D.60°

【變式5-2］（24-25九年級(jí)上?天津?期中）如圖，在ZkABC中，LACB=90°,LA=40°,以。為圓心，CB為

半徑的圓交48于點(diǎn)。，連接CD,則N4CD=（）

【變式5-3］（24-25九年級(jí)下?甘肅張掖?期中）如圖，已知點(diǎn)A,D,。在。。上，連接。力,OC）D,CO,若

四邊形/1OCD是菱形，則440C的度數(shù)是（）

120°C.90°D.60°

【題型6利用圓的基本性質(zhì)求長(zhǎng)度】

【例6】（24-25九年級(jí)上?浙江寧波?階段練習(xí)）如圖，在。。中，直徑MN=20,正方形/BC。的四個(gè)頂點(diǎn)都

分別在半徑OP,OM及。。上，且乙POM=45。，則48=（)

C.2V6D.6

【變式6-1]（24-25九年級(jí)上?廣東惠州?期中）如圖，4B是。。的直徑,點(diǎn)C在O。上，CDA.AB,垂足為

已知CD=4,OD=3,則A8的值為（）

A.6B.7C.8D.10

【變式6-2]（24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）如圖，在△力8C中乙B=75。，0￡_14。于點(diǎn)兒交于

點(diǎn)M,AE=CE,以點(diǎn)C為圓心C4長(zhǎng)為半徑作弧，交。E于點(diǎn)尸，連結(jié)CF交于點(diǎn)G.若CG=FG=2,則A8

長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.273D.473

【變式6-3]如圖，已知O。為△力BC的外接圓，AB=AC,直徑力D交BC于點(diǎn)E,若DEMD=1:4,則BE:力B=

().

A.1:2B.1:3C.2:3D.1:4

【題型7利用圓的基本性質(zhì)求坐標(biāo)】

【例7】(2025?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè))小超同學(xué)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)的奔馳車(chē)車(chē)標(biāo)如圖所示，若點(diǎn)A的坐標(biāo)

【變式7-1](24-25九年級(jí)下?湖北宜昌?階段練習(xí))如圖，直線(xiàn)/與。。相交于點(diǎn)A,8,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,1),

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

【變式7-2](2025?遼寧大連?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，

交工軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)4；再分別以點(diǎn)。，8為圓心，大于^。鳥(niǎo)的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相

交千點(diǎn)C,D,直線(xiàn)C。與48相交于點(diǎn)E.若。4=2,則點(diǎn)上的坐標(biāo)為()

A.(-2,1)B.(-V3,l)C.(-1,V3)D.(-1,2)

【變式7-3】(2025?山東淄博?一模)對(duì)于點(diǎn)P和線(xiàn)段A8,給出如下定義：若將線(xiàn)段力B繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)可以得到。0

的弦為叢(力I，&分別是A,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，則稱(chēng)線(xiàn)段4B是。0的以點(diǎn)。為中心的“和諧線(xiàn)段、如圖，在

平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1，點(diǎn)P(-1,1),A(-2,3),8(-1,2)的，連接力8,已知線(xiàn)段AB是。。

的以點(diǎn)Q為中心的“和諧線(xiàn)段〃，貝J點(diǎn)&的坐標(biāo)是()

C.(1,0)D.(-1,0)

【題型8利用圓的基本性質(zhì)求最值】

【例8】(24-25九年級(jí)上?海南?期中)如圖，矩形4BCD中，AB=4,BC=3,動(dòng)點(diǎn)￡尸分別從點(diǎn)4c同時(shí)出

發(fā),均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB,向終點(diǎn)8,。運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)/,過(guò)點(diǎn)4作直線(xiàn)/的垂線(xiàn),

垂足為G,則力G的最大值為()

DC

AB

A.-B.-C.5D.3

22

【變式8-1]（24-25九年級(jí)下?河北邢臺(tái)?期末）如圖，4、8為。。上兩點(diǎn)，4108=90。，。為。。上一動(dòng)點(diǎn)

（不與力，8重合），。為4c的中點(diǎn).若。。的半徑為2,則80的最大值為（）

C.3D.2V5

【變式8-2]（24-25九年級(jí)下?安徽宿州?期中）如圖,在矩形H8CD中,已知力5=5,BC=12,P是BC邊上

一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)8,C重合），連接4P,作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,則線(xiàn)段MC的最小值為（）

【變式8-3]（2025?海南?一模）如圖，P是矩形的邊上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是8C的中點(diǎn)，連接DP,

將AZMP沿。P所在直線(xiàn)折疊，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,連接E尸.已知力8=29，當(dāng)線(xiàn)段EF的最小值為1時(shí),

A.9B.8C.7D.6

專(zhuān)題24.1圓（舉一反三講義）

【人教版】

題型歸納

【題型1圓的認(rèn)識(shí)】....................................................................................2

【題型2判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】......................................................................3

【題型3利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑】................................................................3

【題型4與圓有關(guān)的概念】.............................................................................4

【題型5利用圓的基本性質(zhì)求角度】....................................................................5

【題型6利用圓的基本性質(zhì)求長(zhǎng)度】....................................................................6

【題型7利用圓的基本性質(zhì)求坐標(biāo)】....................................................................7

【題型8利用圓的基本性質(zhì)求最值】....................................................................8

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1

i.定義:

（1）描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形

叫做圓，其固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線(xiàn)段04叫做半徑.

“圓”是指“圓周”（一條封閉曲線(xiàn)）而不是“圓面

（2）集合性定義：將圓心為。、半徑為7?的圓看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)，?的點(diǎn)的集合.

圓心:確定圓的彳立置,

確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素

.半徑：確定圓的大小.

4.圓的表示方法

以點(diǎn)。為圓心的圓，記作“純”,讀作“圓0”.

5.圓的特性

（I）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑,）；

（2）所有到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上;

（3）圓上任意兩點(diǎn)和圓心構(gòu)成的三角形是等腰三角形.

知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)0。的半徑為八點(diǎn)戶(hù)到圓心的距離為d,則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系為

點(diǎn)P在圓內(nèi)<=>d<r；

點(diǎn)。在圓上一d=廣

（點(diǎn)P在圓外od>r.

知識(shí)點(diǎn)3圓的有關(guān)概念

2.弦與直徑

連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦（如圖中A8）,經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（如圖中AC）.

弦/劣弧藍(lán)

O、優(yōu)弧ACB

半圓（NC）

2.弧、半圓、劣弧、優(yōu)弧、圓心角

（I）圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧.

（2）圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，用三個(gè)點(diǎn)表示（如圖中力BC）

⑶弧

劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧，用兩個(gè)點(diǎn)表示（如圖中

（4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

3.同心圓、等圓與等弧

圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

能夠重合的兩個(gè)圓叫做笠圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓.在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做笠弧.

同圓或等圓的半徑相篁.

【題型1圓的認(rèn)識(shí)】

【例1】（24-25九年級(jí)上?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法：①同一圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等：②如果某

幾個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這幾個(gè)點(diǎn)共圓；③半徑確定了，圓就確定了，其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】本題考查了圓的定義，半徑的概念以及確定一個(gè)圓的基本要素，熟悉基本概念是解決本題的關(guān)鍵.根

據(jù)圓的定義，半徑，確定一個(gè)圓的基本要素進(jìn)行判定即可.

【詳解】解：同一圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等，且都等于半徑，故①正確;

如果某幾個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這幾個(gè)點(diǎn)共圓，故②正確；

圓心和半徑共同確定一個(gè)圓，半徑確定了，圓心位置不確定，圓也不能確定，故③錯(cuò)誤.

故選：A.

【變式1-11到點(diǎn)4的距離等于2厘米的點(diǎn)的軌跡是

【答案】以點(diǎn)A為圓心，2厘米長(zhǎng)為半徑的圓

【分析】本題考查了軌跡，主要是對(duì)?圓的軌跡定義的考查，比較簡(jiǎn)單.根據(jù)圓的定義解答.

【詳解】解：到點(diǎn)力的距離等于2厘米的點(diǎn)的軌跡是：以點(diǎn)4為圓心，2厘米長(zhǎng)為半徑的圓.

故答案為：以點(diǎn)力為圓心，2厘米長(zhǎng)為半徑的圓.

【變式1-2】下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（）

A.以點(diǎn)。為圓心B.以10cm長(zhǎng)為半徑

C.以點(diǎn)。為圓心，10cm長(zhǎng)為半徑D.經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)M

【答案】C

【分析】本題考查了確定圓的條件，確定圓要首先確定圓的圓心，然后也要確定半徑.確定一個(gè)圓有兩個(gè)重

要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案.

【詳解】A、只確定圓的圓心，不可以確定圓；

B、只確定圓的半徑，不可以確定圓；

C、既確定圓的圓心，又確定了圓的半徑，可以確定圓；

D、既沒(méi)有確定圓的圓心，又沒(méi)有確定圓的半徑，不可以確定圓：

故選：C.

【變式1-3】如圖所示，在四邊形ABCD，[?]B=0D=9O%求證：A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)圓的定義進(jìn)行判斷即可，圓的定義:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓.

連AC,取AC的中點(diǎn)0,連接0B、0D,利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)可得0B=0A=0C=0D,即可推出A、B、

C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

【詳解】證明：連AC,取AC的中點(diǎn)0,連接OB、0D,

00B=0D=9O°,

0OB=iAC,OD=1AC.即0B=0A=0C=0D,

13A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的定義，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，解題的關(guān)鍵是連AC,取AC的中點(diǎn)0,連接0B、

0D,構(gòu)造直角三角形.

【題型2判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】

【例2】（2025九年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）矩形力BC。中，AB=8,BC=3通，點(diǎn)P在邊A8上，且BP=3AP,

如果圓尸是以點(diǎn)P為圓心，P。為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

A.點(diǎn)B、C均在圓P外B.點(diǎn)8在圓P外、點(diǎn)C在圓尸內(nèi)

C.點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外D.點(diǎn)B、C均在圓P內(nèi)

【答案】C

【分析】本題考杳了點(diǎn)與圓的位置，由48=8,8P=34P得到AP=2,BP=6,再根據(jù)勾股定理，計(jì)算出

PD=7,PC=9,則P8=6V7,PC=9>7,然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷.

【詳解】解：加圖.連接PCPD.

團(tuán)四邊形48CD為矩形，

^AD=BC=36，

vAB=8,點(diǎn)P在邊力8上，且BP=34P,

:.AP=2,BP=6.

222

r=PD=\/AD+AP=J（3灼2+2=7,

PC=7PB2+BC?=J62+（3V5）2=9,

VPB=6<7,PC=9>7

???點(diǎn)3在圓P內(nèi)、點(diǎn)。在圓P外

故選：C.

【變式2-1］（24-25九年級(jí)上?浙江溫州?期中）若OA的半徑為5,圓心A的坐標(biāo)是（1,2）,點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5,4）,

那么點(diǎn)P在（填"圓內(nèi)”"圓二〃或"圓外"）.

【答案】圓內(nèi)

【分析】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出4P的長(zhǎng)，再與5相比較即可.熟知點(diǎn)與圓

的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:團(tuán)圓心A的坐標(biāo)是（1,2）,點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5,4）,。力的半徑為5,

（34P=J（5-1尸+（4-2尸=2逐<5,

回點(diǎn)P在圓內(nèi).

故答案為：圓內(nèi).

【變式2-2］（24-25九年級(jí)上?江蘇宿遷?期末）已知。。的半徑是方程好一5%-24=0的根，且點(diǎn)A到圓心

。的距離為6,則點(diǎn)4在（）

A.。。上B.。。內(nèi)C.。。外D.無(wú)法確定

【答案】B

【分析】本題主要考查了解一元二次方程、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，掌握判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定

方法是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)題意求得方程的根，從而得到圓的半徑，再根據(jù)半徑，?與d的值的大小關(guān)系即可解答.

【詳解】解：解方程/一5%-24=0得：.=8,小二一3（舍去）

回圓。的半徑是8,

13點(diǎn)A到圓心。的距離為6,6<8,

同點(diǎn)4在圓。內(nèi).

故選：B.

（變式2-3］（24-25九年級(jí)上?江蘇泰州?階段練習(xí)）在等邊△"C中，點(diǎn)A在以邊為直徑的圓—.（填“上〃"內(nèi)"

或"外”）

【答案】外

【分析】本題主要考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，比較半徑和A到圓心

的距離之間的大小關(guān)系即可得解，熟練掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，△/8C為等邊三角形,

過(guò)A作4。J.8C于點(diǎn)0,則80=C0,

團(tuán)△ABC為等邊三角形，

團(tuán)4B=60°,

囹48工0=30°,

回BD=0B,

2

^AD=J(2B0)2-BD2=>/3BD,即此時(shí)d>r,

0點(diǎn)八在以8C為宜徑的圓外，

故答案為：外.

【題型3利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求半徑】

【例3】(24-25九年級(jí)上?貴州遵義期末)如圖，在RtaABC中，4c=90。，BC=3,AC=4,點(diǎn)戶(hù)是AC邊

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)尸為圓心，PA長(zhǎng)為半徑作圓，若使點(diǎn)。在0P內(nèi)且點(diǎn)8在OP外，則OP的半徑可以

【答案】C

【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理.；分別求得PC,PB的最小值，進(jìn)而確定G)P的半徑范圍,

即可求解.

【詳解】解：設(shè)OP的半徑為，即4P=x,則尸C=4C-PC=4—x,

團(tuán)點(diǎn)。在。P內(nèi)

0PC<PA,即4一%V%,解得：x>2,

連接PB,

在中，PB2=PC2+BC2

當(dāng)PB=PA=%時(shí)，

X2=(4-X)2+32

解得："

O

回點(diǎn)P是4c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC=3,點(diǎn)B在OP外

0%<^

8

02<x<結(jié)合選項(xiàng)可得0P的半徑可以是?

85

故選：C.

【變式3-1]（24-25九年級(jí)上?廣東汕頭?階段練習(xí)）圓外一點(diǎn)到圓的最大距離是8,最小距離是2,則這個(gè)圓

的半徑為（）

A.6B.3C.8D.4

【答案】B

【分析】小題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握?qǐng)A外一點(diǎn)到圓的最大距離與最小距離之差為直徑為解題的關(guān)

健.根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓的最大距離與最小距離之差為直徑即可得出答案.

【詳解】解：???圓外一點(diǎn)到圓的最大距離是8,最小距離是2,

.??圓的直徑是8-2=6,

惻的半徑是3.

故選：B.

【變式3-2］已知矩形ABCO中，AB=4,BC=3,以點(diǎn)B為圓心r為半徑作圓，且OB與邊CD有唯一公共

點(diǎn)，則r的取值范圍為（）

【答案】D

【分析】此題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及矩形的性質(zhì)，勾股定理，由于80>3。根據(jù)點(diǎn)與圓的位置

關(guān)系得到3工廠工5,注意若半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則有：當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)

在圓上，當(dāng)dVx時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi).

...BD=AC=y/AB2+BC2=5,

AD=BC=3,CD=AB=4,

回以點(diǎn)B為圓心作圓，OB與邊CD有唯一公共點(diǎn)，

130B的半徑r的取值范圍是：3<r<5,

故選：D.

【變式3-3】在中，ZC=90°,BC=3,AC=4,。為力B的中點(diǎn).以人為圓心，r為半徑作財(cái)，若

B、C、。三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在04內(nèi)，則。A的半徑r的取值范圍是（）

A.2.5<r<4B.2.5<r<4C.2.5<r<4D.2.5<r<4

【答案】A

【分析】本題主要考查勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

由勾股定理可求得力8的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng).再根據(jù)題意畫(huà)出簡(jiǎn)單示意圖，由圖形可知當(dāng)，?的長(zhǎng)度為力。和

AC長(zhǎng)度之間時(shí)，B、C、。三點(diǎn)中只有點(diǎn)。在O4內(nèi)，據(jù)此即可解答.

【詳解】團(tuán)在中，BC=3,AC=4,

回AB=VAC2+BC2=V42+32=5,

回。為AB的中點(diǎn)，

由上圖可知，當(dāng)。力的半徑廠=力。=3時(shí)，點(diǎn)。在04上，

當(dāng)OA的半徑r=4C=4時(shí)，點(diǎn)C在。力上，點(diǎn)。在圓內(nèi)，

當(dāng)0A的半徑r=48=5時(shí)，點(diǎn)8在04上，點(diǎn)C、。在圓內(nèi)，

當(dāng)0A的半徑滿(mǎn)足：Vr44時(shí)，點(diǎn)。在0A內(nèi)，

當(dāng)04的半徑滿(mǎn)足4<r45時(shí)，點(diǎn)C、。在04內(nèi)，

當(dāng)04的半徑滿(mǎn)足r>5時(shí)，點(diǎn)8、C、。在。4內(nèi)，

團(tuán)若8、C、。三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在04內(nèi)，則04的半徑r的取值范圍是^VrW4.

故選:A.

【題型4與圓有關(guān)的概念】

【例4】下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧B.優(yōu)弧一定大于劣弧

C.不同的圓中不可能有相等的弦D.直徑是一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦

【答案】D

【分析】本題考查了等弧、等弦的概念，優(yōu)弧、劣弧大小的比較，弦與直徑的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.根據(jù)等弧的定義，弦的定義即可解答.

【詳解】解：A、能夠互相重合的弧是等弧，長(zhǎng)度相等的兩條弧不一定是等弧，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、兩弧若不在同圓或等圓中，則結(jié)論不?定成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、在等圓中，存在長(zhǎng)度相等的弦，例如等圓中的直徑都相等，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、直徑是一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦，正確，故D選項(xiàng)正確;

故選：D.

【變式4-1]如圖，在。。中,

(2)直徑有：.

(3)弦有：.

(4)劣弧BC對(duì)應(yīng)的優(yōu)弧是,它們剛好拼成一個(gè)完整的圓.

【答案】。力，OBABAB,AC,BCBAC

【分析】本題考查圓的基本概念，根據(jù)半徑，直徑，弦，弧的定義，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：(1)半徑有。40B；

(2)直徑有4B；

(3)弦有AB,AC,BC：

(4)劣弧BC對(duì)應(yīng)的優(yōu)弧是B4C；

故答案為：OA,OB；ABxAB,AC,BC；BAC

【變式4-2】小明在半徑為5的圓口測(cè)量弦48的長(zhǎng)度，下列測(cè)量結(jié)果中一定是錯(cuò)誤的是()

A.4B.5C.10D.11

【答案】D

【分析】根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦即可求解.

【詳解】解：(3半徑為5的圓，直徑為10,

團(tuán)在半徑為5的圓中測(cè)量弦的長(zhǎng)度，的取值范圍是：0VABW10,

回弦AB的長(zhǎng)度可以是4,5,10,不可能為11.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，掌握弦與直徑的定義是解題的關(guān)健.連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫弦，經(jīng)過(guò)圓

心的弦叫直徑.

【變式4-3](24-25九年級(jí)上?安徽淮南?期中)下列命題中，正確的是()

①半圓是?。虎谙沂菆A上兩點(diǎn)之間的部分：③半徑是弦；④在同圓或等圓中，直徑是最長(zhǎng)的弦；⑤在同

一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.

A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②④⑤

【答案】C

【分析】本題考查命題與定理，根據(jù)半圓和弧的定義對(duì)①進(jìn)行判斷，根據(jù)弦的定義對(duì)②③進(jìn)行判斷；根據(jù)

直徑的定義對(duì)④進(jìn)行判斷；根據(jù)圓的定義對(duì)⑤進(jìn)行判斷.解題的關(guān)鍵是掌握是：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫

做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)

命題可以寫(xiě)成"如果…那么，形式.有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理.

【詳解】解：半圓是弧，故命題①正確；

弦是連接圓上任意兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段，故命題②錯(cuò)誤；

半徑不是弦，故命題③錯(cuò)誤；

直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故命題④正確；

在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定K的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，故命題⑤正確；

團(tuán)正確的是①④⑤.

故選：C.

【題型5利用圓的基本性質(zhì)求角度】

【例5】（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖,IB、CD是00的弦，且4B=CD,若=84。，則的

度數(shù)為（）

A.38°B.46°C.44°D.48°

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓的相關(guān)定義，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

是解題關(guān)鍵.先證明△力。8三△COD（SSS）,推出4800=41。。=84。，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：在△408和4。。。中.

0A=0C

OB=0D,

AB=CD

：.^AOB^ACOD(SSS),

：?Z.AOB=乙COD,

???Z.AOB-Z.AOD=乙COD-Z.AOD,

乙BOD=Z.AOC=84°,

???OA=OC,

“八八/八1800-z/lOCco

.%c/C。=^-CAO=-------------=48°,

故選：D.

【變式5-1］（24-25九年級(jí)上?四川綿陽(yáng)?期末）如圖，48是O。的直徑，ABLCD,^BCD=30S則48c等

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】D

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，垂線(xiàn)定義，由48_LC0,得出NBEC=90。，根據(jù)NBCD=30。，再

由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得解.

【詳解】解:LCD.

密乙BEC=90°,

^LBCD=30°,

^ABC=180°-90°-30°=60°.

【變式5-2］（24-25九年級(jí)上?天津?期中）如圖，在△ABC中，^ACB=90°,乙4=40。,以C為圓心,CB為

半徑的圓交48于點(diǎn)。，連接CD,則41CD=（）

A

10°C.12°D.50°

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單.先求得NB=50。，再

由等腰三角形的性質(zhì)求出/BCD=180°-2X50°=80°,則乙/C0與互余.

【詳解】解：=90°,Z/1=40°,

團(tuán)4B=50°,

團(tuán)CD=CB,

回4BCD=180°-2x50°=80°,

^ACD=90°-80°=10°；

故選：B.

【變式5-3]（24-25九年級(jí)下?甘肅張掖?期中）如圖，已知點(diǎn)A,。，C在。。上，連接。40C,4D,CD,若

四邊形AOC。是菱形，則乙40c的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，先連接0。，結(jié)合半徑相等以及菱形的性質(zhì)得4D=

DC=CO=DO=AO,故△40D,ACOD都是等邊三角形，即可作答.

【詳解】解：連接。。，如圖所示：

依題意，DO=OC=OA,

團(tuán)四邊形AOCD是菱形，

團(tuán)4。=DC=CO,

即<0=DC=CO=DO=AO,

田△力0。八C。。都是等邊三角形,

^AOD=60°=/.COD,

BPDAOC=60°+60°=120°,

故選：B

【題型6利用圓的基本性質(zhì)求長(zhǎng)度】

【例6】(24-25九年級(jí)上?浙江寧波?階段練習(xí))如圖，在。。中，直徑MN=20,正方形力BCD的四個(gè)頂點(diǎn)都

分別在半徑。P、0M及O。上，且4POM=45。，則48=()

A.4B.2A/5C.2\/6D.6

【答案】B

【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造與48相關(guān)的直角三角形.先結(jié)合正方形的性質(zhì)證明△。。。為等腰直角

三角形，易得C。=CD,設(shè)A8=BC=CD=CO=x,則8。=2x,在Rt△力8。中根據(jù)勾股定理求得％的值,

即可獲得答案.

【詳解】解：連接04如下圖，

BCO

團(tuán)四邊形是正方形，

回力B=BC=CD,4ABC=Z.BCD=90°,

0ZDCO=180°-乙BCD=90。，

團(tuán)"OM=45°,

團(tuán)乙CDO=90°-乙POM=45°,

回4C。。=/.POM,

回CO=CD,

團(tuán)直徑MN=20,

回OA=-MN=10,

2

設(shè)＜8=BC=CD=CO=x,則8。=BC+CO=2x,

在RtA48。中，可有AB?+BO2=。人2,

即出2+（2x）2=io2,

解得％=2V5或％=—2y/5（舍去），

團(tuán)48=2遍.

故選：B.

【變式6-1]（24-25九年級(jí)上?廣東惠州?期中）如圖，是。0的直徑，點(diǎn)C在。。上，CDLAB,垂足為D,

已知CO=4,OD=3,則4B的值為（）

A.6B.7C.8D.10

【答案】D

【分析】本題考查了圓的基本概念、勾股定理，連接。。構(gòu)造直角三角形利用勾股定理是解題的關(guān)鍵.連接。。,

在Rt/kOCD中利用勾股定理求出0C的長(zhǎng)，再結(jié)合45是。。的直徑即可得出答案.

【詳解】解.：如圖，連接0C，

???CD1血

Z.CDO=90°,

vCD=4,0D=3,

.??0C=VCD2+OD2=5,

???48是O0的直徑，

.-.AB=20C=10.

故選：D.

【變式6-2]（24-25八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）如圖，在△48C中48=75。，OE_L4c于點(diǎn)E,交力B于

點(diǎn)M,AE=CE,以點(diǎn)C為圓心G4長(zhǎng)為半徑作弧，交DE于點(diǎn)F,連結(jié)CF交A8于點(diǎn)G.若CG=FG=2,則48

長(zhǎng)為（）

A.2B.4C.2V3D.473

【答案】B

【分析】本題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角

和定理，靈活運(yùn)用等腰、等邊三角形性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

連接AF，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得力/二CF，結(jié)合題意證△AFC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形“三

線(xiàn)合一”可得=30°,在4力BC中三角形內(nèi)角和定理求出乙4c8==75°,得出力8=AC=4.

【詳解】解:連接如圖.

D

AF=CF,

由題意可知C/7=CA,

:.AF=CF=CA=4,

田△力FC是等邊三角形，

Z.ACF=Z.CAF=60°,

CG=FG=2,

:./.CAB=\LCAF=30°,

團(tuán)，B=75°,

???/.ACB=乙B=3180。-/-CAB)=75°,

(34B=AC=4,

故選：B.

【變式6-3］如圖，已知為△ABC的外接圓,AB=AC,直徑AD交BC于點(diǎn)E,若DB6D=1:4,則8式4B=

A.1:2B.1:3C.2:3D.1:4

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定，圓的基本性質(zhì)，先證明力0垂直平分3C,

再利用勾股定理用。8分別表示出BE,48的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接。8,OC,

A

團(tuán)。0為a/lBC的夕卜接圓，

(30B=0C,

^AB=AC,

西。垂直平分BC,

^AD1BC,

團(tuán)0E:力。=1:4,

BDE=-OD,

2

WE=-2OD=-20B,

(ME=：0B,

2

在OBE中，由勾股定理得BE=JOB?一。"2=，。8,

在RtZk/lBE1中，由勾月殳定理得力8="力打2+BE?二曲OB,

0BE:AB=1：2,

故選:A.

【題型7利用圓的基本性質(zhì)求坐標(biāo)】

【例7】（2025?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）小超同學(xué)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)的奔馳車(chē)車(chē)標(biāo)如圖所示，若點(diǎn)A的坐標(biāo)

為（0,4）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為

【答案】（2百,一2）

【分析】本題主要考查確定點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,4）得。4=4,連接。8,過(guò)點(diǎn)3作801.%軸于點(diǎn)。,

則0Z?=0A=4,再求出乙。。。=30。，可得。。=2,。。=2萬(wàn)，從而得點(diǎn)〃的坐標(biāo).

【詳解】解：連接。氏過(guò)點(diǎn)3作80_L%軸于點(diǎn)0,如圖,

團(tuán)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,4）,

WA=4,

團(tuán)。B=OA=4,

^/.AOB=-X360°=120°,Z.AOD=90°,

3

團(tuán)乙BOO=30°,

^BD=-OB=2,

2

團(tuán)0D=y/OB2-BD2=2?

回點(diǎn)8是第四象限內(nèi)的點(diǎn)，

回點(diǎn)B的坐標(biāo)為（26,一2）.

故答案為：（2百，一2）.

【變式7-1］（24-25九年級(jí)下?湖北宜昌?階段練習(xí)）如圖，直線(xiàn)/與。。相交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,1）,

則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

【分析】本題主要考杳了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x,y）關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是P'（-％-y）,據(jù)此解答即可.

【詳解】解：由圖可以發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)A與點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

回點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,1）,

回點(diǎn)B的坐標(biāo)為（一3,—1）,

故答案為：（―3,-1）.

【變式7-2】（2025?遼寧大連?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，

交工軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交），軸正半軸于點(diǎn)8；再分別以點(diǎn)O,3為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相

交于點(diǎn)3D,直線(xiàn)CD與48相交于點(diǎn)￡.若04=2,則點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（）

A.（-2,1）B.（-V3J）C.（-l,x/3）D.（-1,2）

【答案】B

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖及性質(zhì)，連接0E，設(shè)DE,。8交

于F,由作圖方法可得CO垂直平分。貝Ij。/7=\0B=^OA=1,mFE=90°,再利用勾股定埋求出E/的

長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接。E,設(shè)DE,0B交于F,

由作圖方法可得CD垂直平分。8,

WF=-0B=-0A=1,Z.OFE=90°,

22

又"E=0A=2,

OFF=y/OE2-OF2=V3,

回點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（一6,1）,

故選：B.

【變式7-3](2025?山東淄博?一模)對(duì)于點(diǎn)產(chǎn)和線(xiàn)段48,給出如下定義：若將線(xiàn)段48繞點(diǎn)〃胞轉(zhuǎn)可以得到OO

的弦為當(dāng)(4〉名分別是A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，則稱(chēng)線(xiàn)段4B是。。的以點(diǎn)P為中心的“和諧線(xiàn)段。如圖，在

平面直角坐標(biāo)系xOy中，0。的半徑為1,點(diǎn)尸(一1,1),力(一2,3),8(-1,2)的，連接48,已知線(xiàn)段48是O0

的以點(diǎn)尸為中心的“和諧線(xiàn)段〃，則點(diǎn)兒的坐標(biāo)是()

A.(0,1)B.(0,-1)C.(1,0)D.(-1,0)

【答案】B

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，圓的基本特點(diǎn)，根據(jù)題意可得。(-1,0),0(0,1)都在。。上,

由PB=1,「。=「。=1可得點(diǎn)8只能在。、。這兩個(gè)位置，同理點(diǎn)A只能在(1,0),(0,-1)這兩個(gè)位置，

進(jìn)而確定4(0,-1),當(dāng)(一1,0)或4(1,0),當(dāng)(0,1),再確定對(duì)應(yīng)情形下旋轉(zhuǎn)的角度即可得到答案.

【詳解】解：0P(-1,1),5(-1,2),

團(tuán)PB=1,

團(tuán)0。的半徑為1,

13c(-1,0),D(0,l)都在上,

如圖，

團(tuán)劣弧CO(不包括端點(diǎn))上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)尸的距離都小于1,優(yōu)弧CO(不包括端點(diǎn))上任意一點(diǎn)到點(diǎn)P

的距離大于1,

團(tuán)點(diǎn)B只能在C、。這兩個(gè)位置，

同理可得點(diǎn)A只能在(1,0),(0,-1)這兩個(gè)位置，

團(tuán)4(0,—1),々(-IQ)或4式1,0),3式0,1),

當(dāng)為(0,-1),8式-1,0)時(shí),此時(shí)旋轉(zhuǎn)角度為180度，符合題意，

當(dāng)4(1,0),為(0,1),此時(shí)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)角度大于90度，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)角

為90度，不符合題意，

(34(0,-1),8式-1,0),

故選:B.

【題型8利用圓的基本性質(zhì)求最值】

【例8】(24-25九年級(jí)上?海南?期中)如圖，矩形力BCD中,13=4,BC=3,動(dòng)點(diǎn)比F分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出

發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿48,CD向終點(diǎn)8,。運(yùn)動(dòng)：過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)/,過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)/的垂線(xiàn),

垂足為G,貝必G的最大值為()

【答案】A

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)軌跡、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三

角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)確定G的軌跡是本題解題的關(guān)鍵.連接AC,BD交于點(diǎn)0,取。4中點(diǎn)為H,連接GH,根

據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，可以得出G的軌跡，從而求出/1G的最大值.

【詳解】連接力。,80交于點(diǎn)0,取04中點(diǎn)為H,連接GH,如圖所示，

Da\FC

A???四邊形ABCD為矩形，

???Z.ABC=90",OA=OC.AB||CD,

.?.在R2Z18C中，AC=>JAB2+AC2=V42+32=5,

,。4=%=2=|，

vAB||