專題01集合與常用邏輯用語

目錄

明晰學(xué)考要求....................................................................................1

基礎(chǔ)知識梳理....................................................................................1

考點(diǎn)精講講練....................................................................................4

考點(diǎn)：元素與集合.........................................................................4

考點(diǎn)二：集合的表示.........................................................................7

考點(diǎn)三：集合間的關(guān)系.......................................................................9

考點(diǎn)四：集合的基本運(yùn)算....................................................................12

考點(diǎn)五：充分條件與必要條件................................................................15

考點(diǎn)六：全稱量詞與存在量詞................................................................18

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練...................................................................................21

明晰學(xué)考要求0

1、了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系；

2、能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題;

3、理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集：

4、在具體情境中，了解全集與空集的含義：

5、理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；

6、理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；

7、能使用韋恩圖(Venn)表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算；

8、理解命題的概念，了解“若P,則夕”形式的命題：

9、理解必要條件、充分條件與充要條件的意義；

10、理解全稱量詞與存在量詞的意義；

11、能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.

基礎(chǔ)知識梳理a

一、集合的基本概念

1.元素與集合的關(guān)系：

若。屬于集合4,則記作

若4不屬于集合力，則記作。任4；

2.集合中元素的特征：確定性，互異性，無序性

3.空集：不含有任何元素的集合叫做空集，記作0

4.常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集

集合正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集

(自然數(shù)集)

符號NN?或巾ZQRC

5.集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

二、集合間的基本關(guān)系

文字語言符號語言圖示

集合力中任意一個元素都是

子集A^B

集合B的元素

集合力是集合8的子集，且

基本關(guān)系

真子集集合B中至少有一個元素不A^B怎)

在集合4中

集合4〃中元素相同或集合

相等A=B

48互為子集

空集是任何集合的子集

空集

空集是任何非空集合的真子集04且

必記結(jié)論:

(1)若集合片中含有〃個元素，則有2”個子集，有2”-1個非空子集，有2"-1個真子集，有2”-2個非

空真子集.

(2)子集關(guān)系的傳遞性，即力

注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況,

否則會造成漏解.

三、集合的基本運(yùn)算

運(yùn)算文字語言符號表示Venn圖

由屬于集合A且屬于集合B的所有元

交集AC\B

素組成的集合

由所有屬于集合力或?qū)儆诩螧的元

并集A\JB

素組成的集合(3?

由全集U中不屬于集合A的所有元素

補(bǔ)集3

組成的集合五

四、充分條件與必要條件

1.充分條件與必要條件的概念

若p=q，則〃是q的充分條件，g是p的必要條件；

p=>q且4分”〃是夕的充分不必要條件

p#q且qnpp是q的必要不充分條件

poqp是夕的充要條件

p#q旦q#p”是夕的既不充分也不必要條件

2.必記結(jié)論

集合判斷法判斷充分條件、必要條件

若尸以集合力的形式出現(xiàn)，夕以集合"的形式出現(xiàn)，即p:/={x|〃(.v)},9加=卜|夕(.丫)},

AQBp是q的充分條件

BqAp是4的必要條件

A^Bp是q的充分不必要條件

B^A〃是q的必要不充分條件

A=Bp是4的充要條件

4號8且p是q的既不充分也不必要條件

3.充分必要條件判斷的常用方法：

小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件;

若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系；

五、全稱量詞命題與存在量詞命題

1.全稱量詞和存在量同

量詞名稱符號表示常見量詞

全稱量詞V所有、一?切、任意、全部、每一個等

存在量詞3存在一個、至少一個、有些、某些等

2.含有一個量詞的命題的否定

全稱量詞命題的否定是存在量詞令題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，如下所示:

命題命題的否定

VxGM,p(x)GM「pg)

女o￡M,p(Xo)X/xGM,—ip(x)

考點(diǎn)一：元素與集合

判斷元素與集合關(guān)系的方法：

（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.

（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此

時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征.

【典型例題】

例I.（2024高二下,湖南?學(xué)業(yè)考試）已知集合4={01,2},則下列結(jié)論正確的是（）

A.3EAB.\eAC.2任力D.0任力

【答案】B

【詳解】由元素與集合的關(guān)系可知:若集合力={0,1,2},則任

故選:B.

例2.已知集合/={xeN,則有（）

A.-1e/fB.0GJC.VJGJD.2eA

【答案】B

【解析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】集合/="€巾一6?1血={0,1}.

對于A:-leA不對.

對于5:0w/對;

對于不對；

對「。：2€力不對.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

例3.（2023高三?河北?學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合力={1,2,3},5={4,5},M={x\x=a+b,aeA,beB],則M中的

元素個數(shù)為.

【答案】4

【詳解】因?yàn)榧螦/中的元素x=〃+/），aeA,bwB,所以當(dāng)6=4時，a=\,2,3,此時x=5.6,7.當(dāng)

8=5時，4=1,2?3,此時x=6,7,8.

根據(jù)集合元素的互異性可知，x=5,6,7,8.即〃={5,6,7,8},共有4個元素.

故答案為:4.

例4.（2023高三?上海?學(xué)業(yè)考試）“notebooks”中的字母構(gòu)成一個集合，該集合中的元素個數(shù)是

【答案】7

【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性,“notebooks”中的不同字母為"n,o,t,e,b,k,s”,共7個,故該集

合中的元素個數(shù)是7；

故答案為：7.

例5.（2023?高三廣西?學(xué)業(yè)考試）已知集合力="|/一工=0},則-1與集合A的關(guān)系為（）

A.-leAB.-\^AC.-\QAD.-i（zA

【答案】B

【詳解】A={X\X2-X=Q}={0A},所以-1與集合A的關(guān)系為一1任兒

故選：B.

【即時演練】

1.已知集合力={乂2*2￥+1=0},2e/l,則的值為.

【答案】1/4.5

【詳解】因?yàn)榱?卜|2——機(jī)工+1=。},2G4,

9

所以2是2/-心+1=0的?個解，BP2X22-2/H+1=0,解得〃?=],

9

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.

故答案為：:9

2.若集合4={xwN|x是16和24的公約數(shù)}，則8（e/^）J.

【答案】￡

【詳解】根據(jù)題意求得集合力={L2,4,8},即可得結(jié)果.

因?yàn)榱?卜€(wěn)v|%是16和24的公約數(shù)}={1,2,4,8},所以85.

故答案為：G.

3.已知集合尸={1,2},。={2,3},若加={打工￡。且X/。},則"=

【答案】{1}

【詳解】由2={1,2},。={2,3},若xeP且x任。，則x=l,所以M={1

故答案為：{1}

4.已知集合力={x|x=3A+l,A”Z},則下列表示正確的是（）.

A.-2eAB.2023A

C.3二十|史力D.一35足力

【答案】A

【詳解】當(dāng)左=一1時，x=-2,所以一2c4，故A正確；

當(dāng)￡-674時，X-3x674+1—2023,所以2023G4,故B錯誤；

當(dāng)片=1或〃=0時，3公+1=3左+1，所以次2+1￡4，故C錯誤；

當(dāng)￡=-12時，x=-12x3+l=-35,所以-35c4,故D錯誤.

故選：A

5.若集合力={2,4,8},4=土卜￡/26/,則8中所有元素的和為（）

（y

27心31「39>49

AA.—B."C.——D.--

4444

【答案】B

【詳解】當(dāng)y=2時，，X分別取2,4,8,土分別為1,2,4；

y

X1

當(dāng)y=4時，X分別取2,4,8,一分別為二，1,2；

y2

當(dāng)7=8時，x分別取2,4,8,土分別為:，?，1,

y42

故8=[；，t，L2,4],所有元素之和為學(xué).

[42J4

故選：B.

考點(diǎn)二：集合的表示

表示集合的方法：

1.列舉法：求出集合的元素，把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次，用花括號括起來

2.描述法：（1）用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型.一般地，數(shù)

集用一個字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個有序數(shù)對來表示.

（2）用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍.

（3）多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi).

【典型例題】

例I.（2023高三上?廣西?學(xué)業(yè)考試）圖中陰影區(qū)域所表示的集合為（）

C.{1,2}D.{5,6}

【答案】C

【詳解】陰影中有兩個數(shù)字，分別是1,2所以表示的集合為{1,2}.

故選:C

例2.（2023高二上?黑龍江?學(xué)業(yè)考試）方程/=%的所有實(shí)數(shù)根組成的集合（）

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.0

【答案】C

【詳解】解方程/=工，得“0或“1,

方程/=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為{0,1}.

故選:C

例3.（2022高二下?廣西?學(xué)業(yè)考試）已知M是由1,2,3三個元素構(gòu)成的集合，則集合M可表示為（）

A.{x\x=\}B.{x\x=2}C.{1,2}D.{1,2,3}

【答案】D

【詳解】由于集合M是由1,2,3三個兀素構(gòu)成,

所以河={1,2,3}.

故選:D

例4.（2022高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）已知集合力=卜舊<5,xeZ},則力中元素個數(shù)為（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【詳解】J={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4）,共有9個元素.

故選：B

例5.（2020高二?廣西?學(xué)業(yè)考試）設(shè)M為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，那么集合

M等于（）

A.{長江，黃河}B.{長江，黑龍江}

C.{長江，珠江}D.{長江，黃河，黑龍江，珠江}

【答案】D

【詳解】???"為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，

???M={長江，黃河，黑龍江，珠江}.

故選：D.

【即時演練】

1.用列舉法可將集合&*|3.*<25-2月表示為（）

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3,4,5}C.10,1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4,5}

【答案】C

【詳解】由題可知{xeN|3x<25-2x}={xwN|x<5}={0,l,2,3,4}

故選：C

2.能被3整除余2的自然數(shù)組成的集合可以用描述法表示為.

【答案】"|x=3k+2/wN}

【詳解】由題意，設(shè)x被3除的商為〃（keN）,余數(shù)為2,

x可表示為然+2,keN,

所以被3除余2的自然數(shù)組成的集合為{x|x=3左+2,A”N}.

故答案為：{x|x=3k+2,AeN}.

3.集合/={1,2,3,4,5},用描述法可表示為4=.

【答案】{xkxW5,xuZ}（答案不唯一）

【詳解】4={1,2,3,4,5}={X|1WXW5,XWZ}.

故答案為：{x|14x?5,xeZ}(答案不唯一).

4.集合卜€(wěn)Ek-1<2》+1<7}用列舉法表示為()

A.{-1,03,2}B.{0J,2}C.{1,2}D.{1}

【答案】C

【詳解】由x—l<2x+l<7得一2<、<3,則

N*|x-l<2x+i<7|=eN*|-2<x<3|={1,2).

故選：C

2x+y=0

5.方程組2，〈的解集是()

x~+y~=5

A.{(1,-2),(-1,2)}B.{(l,2),(-l,-2)(

C.{(2,-1),(-2,1)}D.{(-2,-1),(2”

【答案】A

2x+y=0,,

【詳解】因?yàn)椤?2〈，所以丁=一2工代入/+/=5,

x+y=5

即/+(_2x『=5,解得x=±l.

當(dāng)x=—l時，^=-2x(-1)=2：

當(dāng)工=1時，=-2x1=-2.

故的解集是{(1,-2),(-1,2)}.

x+y—3

故選:A.

考點(diǎn)三：集合間的關(guān)系

判斷集合間關(guān)系的方法：

(1)列舉法：川列舉法將兩個集合表示出來，再通過比較兩集合中的元素來判斷兩集合之間的關(guān)系.

(2)元素特征法：根據(jù)集合中元素滿足的性質(zhì)特征之間的關(guān)系判斷.

(3)圖示法：利用數(shù)軸或乙〃〃圖判斷兩集合間的關(guān)系.

【典型例題】

例1.(2023高二?湖北?學(xué)業(yè)考試)設(shè)集合/={1,2,3,4},8={1,2,3,〃},且4=8,則。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【詳解】因?yàn)椋?{1，2,3,4},8={1,2,3,。},且力=3,

所以。=4.

故選：D

例2.設(shè)集合力?{X，H，8,{0,X2},若/1=3,則X4?尸（）

A.0B.1C.2D.-1

【答案】B

【詳解】解：因?yàn)?=卜/},8={0,』},A=B,

所以k°，x=1

解得

x工yy=O

所以x+y=|.

故選:B.

例3.（2023高三上?廣東?學(xué)業(yè)考試）已知U=,設(shè)集合M={1,3},Q；A/={xeZ|f<9），則（）

A.\^UB.{-3,l}qU

C.{2,3}咨UD.{-1,3}ct/

【答案】D

【詳解】由題意，q；M={xeZ|f<9}={—2,—

得（；="?今"={1,3}0{一2,-1,0,1,2}={-2,-1,0,1,2,3},

故IwU,A錯誤：-3紀(jì)U,故B錯誤，

{2,3}?U,故{2,3}咨U屬于集合間符號使用不正確，C錯誤，

{-1,3}土U,D正確,

故選：D

例4.（2020高三上?廣東?學(xué)業(yè)考試）已知集合力="|x>l},8={X|QX〉1},若81力，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

A.(0,1)B.(0,1]C.[O，l]D.[0,1)

【答案】C

【解析】就"=0，。>0,tz<0分類討論后可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】當(dāng)“=0時，8=0,此時故。=0滿足.

當(dāng)。〉0時，5=｛x|x>-｝,因?yàn)楣始?<qWl.

aa

當(dāng)a<0時，B=｛x\x<-｝,此時不成立，

a

綜上，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的集合的包含關(guān)系，注意對含參數(shù)的集合，要優(yōu)先討論其為空集或全集的情形,

本題屬于基礎(chǔ)題.

例5.(2020高三?湖南?學(xué)業(yè)考試)集合力=｛1,2,3｝的所有子集的個數(shù)為()

A.5個B.6個

C.7個D.8個

【答案】D

【解析】用列舉法求出集合力=｛123｝的子集即可得解.

【詳解】解：因?yàn)榧狭?｛123｝,則集合2=｛1,2,3｝的子集為:。、｛1｝、｛2｝、｛3｝、｛1,2｝

｛1,3｝、｛2,3｝、｛1,2,3｝共8個，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了集合子集的概念，屬基礎(chǔ)題.

【即時演練】

1.集合力=｛0,1,2｝的真子集個數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【詳解】集合力=｛01,2｝含有3個元素，

所以集合A的真子集有2'-1=7個.

故選：C

2.已知集合力={x|l<x<2},8={Ml<xv〃},若81力，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(2,+co)B.(1,2]C.(-=o,2]D.[2,+co)

【答案】C

【詳解】集合力={疝<工<2},8={疝<工<。},若,

則若。工1,則4=滿足題意；

若〃>1,且814,則

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是2].

故選：C

3.設(shè)集合力={xk=2a+；,awz},8={》卜=》一》wz},則集合A,8的關(guān)系是()

A.A8B.BAC.A=BD.AQB=0

【答案】A

B=<xx=/>—J,卜（4x=,beZ,集合4={x|x=2a+g,aeZ,

【詳解】由題意得,

所以AB.

故選:A.

4.已知集合力={xl〃WxW2},8={;r|-54xW2},若力，則加的取值范圍是()

A.(-2,4-X)B.(-5,+8)C.[-2,-5]D.(-8,-5]

【答案】D

【詳解】..?8q/,???加滿足：加〈一5,??.，〃的取值范圍是(一叱-5],

故選:D.

5.已知力={1,2},5={1,2,6,7,8},且ACJB,滿足這樣的集合C的個數(shù).

【答案】7

【詳解】由題意，集合?？梢匀?{1,2,6},{1,2,7},{1,2,8},{1,2,6,7},{1,2,6,8},{1,2,7,8},{1,2,6,7,8}共7個.

故答案為：7.

考點(diǎn)四：集合的基本運(yùn)算

求集合交、并、補(bǔ)集的2種方法：

(1)定義法：若是用列舉法表小的數(shù)集，可以根據(jù)交、井、補(bǔ)集的定義直接觀察或用Pe〃〃圖表不出集合

運(yùn)算的結(jié)果.

（2）數(shù)形結(jié)合法：若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時要注意當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時,

應(yīng)用“空心點(diǎn)”表示.

【典型例題】

例I.（2024高三上?廣東?學(xué)業(yè)考試）已知集合知={1,2}4={-1,0,1},則MuN=（）

A.{0,1,2}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】D

【詳解】?.?M={l,2},N={-l,0,l},

.U/UyV={-l,0,l,2}.

故選:D.

例2.（2021高三上?廣東?學(xué)業(yè)考試）設(shè)全集U二億3,4,5},J=|2},則電力=（）

A.{4,5}B.億3,4,5}C.{3,4,5}D.{3,4}

【答案】C

【詳解】全集U=億3,4,5},4={2},則電力={3,4,5}.

故選:C.

例3.（2023高二上?廣西?學(xué)業(yè)考試）已知集合/={1},夕={1,2},則4cB的元素個數(shù)為.

【答案】1

【詳解】集合力={1}，8={1,2},則/CB={1},

所以力c8的元素個數(shù)為I.

故答案為：1.

例4.（2023高三下?湖南邵陽?學(xué)業(yè)考試）已知*={0,2},8={-1,0,1,2},則4（1。一（）

A.{0,2}B.{0}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【詳解】因?yàn)榱?{0,2},8={-

所以4I4={0,2},

故選:A.

例5.(2023高三?北京?學(xué)業(yè)考試)己知全集。={123,4},集合力={1,2},則為/=()

A.{1,3}B.{2,3}C.{1,4}D.{3,4}

【答案】D

【詳解】因?yàn)閁={123,4}[={1,2},

所以0/={3,4}；

故選：D.

【即時演練】

1.集合4={1,2,3,4,5,6},Z?={XGN|2XSJ),則68=()

A.{136}B.{3,4,6}C.{1,2,3}D.{4,5,6}

【答案】D

【詳解】因?yàn)獒?{1,2,3,4,5,6},B={xeN\2xeA}f

所以8={1,2,3},色8={4,5,6}.

故選：D.

2.若全集U=R,集合力={丫|0—<節(jié),/?="行>1},則/U他8)=()

A.{x\x<3}B.{x|0<x<1}

C.{x|0<x<l}D.{X|A>0)

【答案】A

【詳解】解：因?yàn)閁=R,B={x\x>\],

所以電3="|工<1},

所以力"Q⑻="|OWX<3}D{X|XW1}={X|X<3}.

故選:A.

3.若集合/="1一1<工<3},8={川<戈<4},則/^8=()

A.{x|-1<x<4}B.{xll<x<4)

C.{x|3<x<4}D.{xll<x<3}

【答案】D

【詳解】解：4c8=*1-1<x<3}c{xllvxv4}="11<x<3},

故選：D.

4.已知集合彳={-1川，B={(x,y)\xeAtyeA}t則4n3=()

A.AB.BC.0D.R

【答案】C

【詳解】由4={("，)|xe4”用可得8={(—l,l),(—1,—1),(1,—1),(11)},

故械=0,

故選:C

5.已知全集。={1,2,3,4,5},J={2,4},8={1,4,5},則Q,(/c8)=()

A.{3}B.{4}C.{1,3,5}D.{1,2,3,5}

【答案】D

【詳解】由題意得,-CB={4},所以航(4(18)={1,2,3,5}.

故選：D

考點(diǎn)五：充分條件與必要條件

充分、必要條件一般采取集合法：(小集合可以推出大集合)若p對應(yīng)的集合為A,9對應(yīng)的集合為B,

若AuB,則〃是“的充分條件：若BuA,則〃是4的必要條件.

【典型例題】

例I.(2024高二上?北京?學(xué)業(yè)考試)已知xwR,則“x>4”是“&>1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】當(dāng)x>4時，4>6=2>1，是充分條件；

當(dāng)五>1時，x>l,此時x=3滿足要求，而3<4,故x>4不一定成立，.、4〉1”不必要條件.

故選：A.

例2.(2021高二?湖北?學(xué)業(yè)考試)“0<x<2”是的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】0<x<2時，一定有滿足充分性，

但-l<x<3時，如x=2.5,不滿足0<x<2,即不滿足必要性，

“0<x<2”是“-1<x<3”的為充分不必要條件.

故選：A.

例3.（2023高一下?吉林?學(xué)'巾考試）“x=2”是“，=4”的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】因?yàn)椋?2可以推出產(chǎn)=4,即充分性成立；

但/=4不能推出x=2,例如x=-2,即必要性不成立；

2

綜1_所述：“x=2''是"X=4''的充分不必要條件.

故選：B.

例4.（2023高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）=是"/=2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】X1=2<=>x=±'jl

所以““五”是"=2”的充分不必要條件.

故選：A

例5.（2022高二下?浙江溫州?學(xué)業(yè)考試）已知。，bwR,則）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】由。，〃GR，同>1,|4>1,得/〉],//>],于是/+〃>2,

由。，beR,取a=l,/）=2,滿足/+〃>2,顯然“同>1，例>1"不成立，

所以>?,網(wǎng)>1”是+/>2”的充分不必要條件.

故選:A

【即時演練】

1.已知P：-3cWl是夕的必要條件，則4可以為（

A.-3<x<l-3<x<l

C.—3<x<1-2<x<2

【答案】C

【詳解】P：-3<xVl是夕的必要條件，

結(jié)合各選項(xiàng)知夕:-3<x<l.

故選：C.

2.“即2>府”,是“。>叱的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】若ac?>兒2,則c/Oc2>0,因此“>人，

當(dāng)a>b,c=0時，ae2=0=be2，

所以“必>樓"，是，>6"的充分不必要條件.

故選：A

3.已知集合力={,一-2丫-8v0},K={[T<4},則“XG.4”是（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】^={x|r-2x-8<0}={A|-2<X<4},

所以七人

所以“xe/T是“xeB”的充分不必要條件.

故選：C

4.已知。，Z>GR,則“〃>方”是“二>/”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.笠非充分也非必要條件

【答案】D

【詳解】若4>〃，如1>一1,則〃：=從，所以不能推出/>/；

若/>/，如（_2）2>巴但一2<1,所以不能推出

所以“a>b”是>小，的既非充分也非必要條件.

故選：D

5.在中國傳統(tǒng)的十二生肖中，馬、牛、羊、雞、狗、豬為六畜，則“甲的生肖不是馬”是“甲的生肖不屬于六畜”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】若甲的生肖不是馬，則甲的生肖未必不屬于六畜；

若甲的生肖不屬于六畜，則甲的生肖一定不是馬，

所以“甲的生肖不是馬”是“甲的生肖不屬于六畜”的必要不充分條件，

故選：B

考點(diǎn)六：全稱量詞與存在量詞

【典型例題】

例I.（2023高三上?廣西?學(xué)業(yè)考試）下列命題中，含有存在量詞的是（）

A,存在一個直角三角形三邊長均為整數(shù)B,所有偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

C.任何梯形都不是平行四邊形D.任意兩個等邊三角形都相似

【答案】A

【詳解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，這些叫做存在量詞.

故選:A.

例2.（2023高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）命題：“VxeR,/-3x+4<0”的否定是（）

A.3xR,x2-3x+4>0B.3xeR,x2-3x+4>0

C.BxeR.x2-3x+4>0D.VxR,x2-3A+4>0

【答案】C

【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性畬題的關(guān)系，可得：命題“WxeR、/—3x+4<0”的否定為：

U3JGR,X2-3X+4>0,\

故選：C.

例3.命題“八62,|#1\"的否定是（）

A.VxgZ,|x|eNB.3xeZ,|x|eN

C.3XGZ,|X|^ND.VXGZ,|X|^N

【答案】C

【詳解】由全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以原命題的否定為：3xeZ,|x|^N.

故選:C.

例4.（2024高三上?廣東?學(xué)業(yè)考試）設(shè)命題p："x>0,log4<2x+3,則「p為（）

33

A.".r>0,log2x2x+3B.$x0>0,log,x02x0+3

C.$x0>0.log2x0<2x0+3D."x>0,log?x>2AH~3

【答案】B

【詳解】該命題含有量詞“V”，故該命題是一個全稱命題，其否定是一個特稱命題，

3

故"為：$/>0，log2x02%+3.

故選：B

例5.（2023高三?廣東?學(xué)業(yè)考試）下列存在量詞命題是假命題的是（）

A.存在xwQ,使2."/=0B.存在xwR,使/=（）

C.存在鈍角三角形的內(nèi)角不是銳角或鈍角D.有的有理數(shù)沒有倒數(shù)

【答案】C

【詳解】當(dāng)x=0時，2x7=0.改A正確.

當(dāng)彳=0時，/=（）.故B正確.

因?yàn)閷θ我獾拟g角三角形，其內(nèi)角和是180。，所以內(nèi)角是銳角或是鈍角，所以選項(xiàng)C不正確.

0是有理數(shù)，0沒有倒數(shù).所以有的有理數(shù)沒有倒數(shù).所以D正確.

故選：C

【即時演練】

1.命題“Wxw（2,+oo）,--2x>0”的否定是（）

22

A.3xe（2,+cc）,X-2X<0B.Vxe（2,+x）,,v-2.r<0

22

C.3xe（-oo,2）,x-2x<0D.Vxe（-co,2）,x-2.r>0

【答案】A

z

【詳解】“Vxe(2,r),/一2》>0”的否定是：3xe(2,+co),x-2x<0.

故選:A

2.已知命題“Ha/eR,使得/成立，則下列說法正確的是（）

A.「p:R,〃2>〃，為假命題

B.->p:^a,beR,a2>b2,為假命題

C.「pZa.bwRd〉/,為真命題

D.-ip:R,a~>b2,為真命題

【答案】B

【詳解】命題P是真命題，

22

—yp'.X/ayheR.a>b,是假命題.

故選：B

3.命題“弘>0,/+1<2”的否定為（）

A.3a>0,a2+1>2B.3a<0,a2+1>2

C.V（Z>0,?2+1>2D.Va<0,</2+I>2

【答案】C

【詳解】因?yàn)?>0,/+1V2唯否定是“V。>0,標(biāo)+1N2

故選:C

4.已知命題〃：VxeR,r>r|；命題夕：3XGR,[—tvO,貝汁（）

A.〃和。都是假命題B.P和夕的否定都是假命題

C.P的否定和夕都是假命題D.〃的否定和夕的否定都是假命題

【答案】B

【洋解】當(dāng)x=l時，不成立，所以夕為假命題，故CD錯誤；

當(dāng)工=2時，%_工<（）成立，所以鄉(xiāng)為真命題，即9的否定為假臺題，故A錯誤，B正確.

故選:B

5.已知命題p:VxcR,-/<（）,命題g:3xwR,x>%2,則下列說法中正確的是（）

A.命題P過都是真命題B.命題〃是真命題，g是假命題

C.命題〃是假命題，"是真命題D.命題〃應(yīng)都是假命題

【答案】C

【詳解】因?yàn)椤?0時,-》2=0,〃是假命題；

因?yàn)閄=0.1時，工=0.1,X2=0.01,X>/是真命題；

故選:C.

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練a

3

1.已知集合力=xwZ「eZ,則用列舉法表示力=()

x-\

A.{-2,0,1,2,4}B.{-2,0,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}

【答案】B

【詳解】由題意可得K-1可為±1、±3,

即x可為0,2,-2,4,即4={-2,0,2,4}.

故選:B.

2.設(shè)集合力={-2,—1。1,2},4={-2,—1,2,3},則［c8=()

A.{3}B.{0,1}

C.{-2-1,2}D.{-2,-1,0,1,2,3(

【答案】C

【詳解】因?yàn)?={-2,-1,0,1,2},月={-2,-1,2,3},

所以{-2,7,2},故C正確.

故選：C

3.已知集合4={0,1,2}*={Mx>0},則力C8的真子集個數(shù)為()

A.2B.3C.4