專題2.8函數(shù)模型及其應(yīng)用（舉一反三講義）

【全國通用】

題型歸納

【題型1利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題的變化過程】......................................................2

【題型2利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題】.............................................................5

【題型3二次函數(shù)模型的應(yīng)用】.........................................................................8

【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】........................................................................1（）

【題型5幕函數(shù)模型的應(yīng)用】..........................................................................12

【題型6指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用】.................................................................14

【題型7函數(shù)模型的選擇問題】........................................................................16

1、函數(shù)模型及其應(yīng)用

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

（1）了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)與一次函數(shù)增長速度的

差異2020年新高考全國1卷：第6函數(shù)模型是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之

（2）理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)題，5分一，從近幾年的高考形勢來看，高考對

增長”“直線上升”等術(shù)語2020年全國【II卷：第4題，5函數(shù)模型的考查相對穩(wěn)定，主要考察指、

的含義分對數(shù)函數(shù)模型問題，般以選擇題的形

⑶會(huì)選擇合適的函數(shù)模2024年北京卷：第7題，5分式出現(xiàn)，難度不大；學(xué)生在復(fù)習(xí)中要加

型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)2025年北京卷：第9題，5分強(qiáng)對建模能力和應(yīng)用能力的培養(yǎng).

律，了解函數(shù)模型在社會(huì)

生活中的廣泛應(yīng)用

知識梳理

知識點(diǎn)1幾種常見的函數(shù)模型

1.一次函數(shù)模型

一次函數(shù)模型:Jlx）=kx+b（k,b為常數(shù)，原0）.

一次函數(shù)是常見的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過.

2.二次函數(shù)模型

二次函數(shù)模型:.危）=4/+bx+e（a,h,c為常數(shù)，〃和）.

二次函數(shù)為生活中常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值（或最小值），故最優(yōu)、最省等最值問題常

用到二次函數(shù)模型.

3.塞函數(shù)模型

備函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

4.指數(shù)函數(shù)模型

指數(shù)函數(shù)模型:/。)=兒'+。36?為常數(shù)，A0,且存1,工0).

5.對數(shù)函數(shù)模型

對數(shù)函數(shù)模型：/(x)=blog/+c(a,b,c為常數(shù),a>0,且如1,厚0).

6.分段函數(shù)模型

由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實(shí)際問題中具有廣泛

的應(yīng)用.

7.“對勾”函數(shù)模型

對勾函數(shù)模型是?？嫉哪Ｐ?，要牢記此類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性沙=。什?(。>0力>0),當(dāng)x>0時(shí)，在(0,4]

上遞減，在(4,+8)上遞增.另外，還要注意換元法的運(yùn)用.

知識點(diǎn)2判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程

1.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法

C)構(gòu)建函數(shù)模型法:當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.

(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不

符合實(shí)際的情況，選出符合實(shí)際的情況.

知識點(diǎn)3實(shí)際問題中函數(shù)建模的基本步驟

1.構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本步臊

⑴審題:弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

⑶求解:根據(jù)實(shí)際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.

(4)還原：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科背景又要符合實(shí)際背景，因此解出的結(jié)果要代

入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評判，最后得出結(jié)論，作出回答.

舉一反三

【題型1利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題的變化過程】

【例1】(24-25高二下?北京大興?階段練習(xí))水以恒速注入下圖所示容器中，則水的高度九與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)

系是()

h

【答案】A

【解題思路】考查容器的形狀來確定水的高度的變換規(guī)律，選擇圖形即可.

【解答過程】容器由下到上口徑越來越大，水以恒速注入，則容器中水的高度增加的速度逐漸變慢，A符合;

B選項(xiàng)容器中水的高度增加的速度逐漸變快；

C選項(xiàng)容器中水的高度是勻速增加；

D選項(xiàng)容器中水的高度增加的速度先增加較慢，后增加較快.

故選：A.

【變式1-1](24-25高一上?云南紅河期中)某企業(yè)員工小李的住處與他的辦公室相距am,某天下班后，小

李發(fā)現(xiàn)有份重要材料丟在辦公室，于是他從住處出發(fā)，先勻速跑步3min來到辦公室，停留2min,然后勻速

步行l(wèi)Omin返回住處.在這個(gè)過程中，小李行進(jìn)的速度u(t)和行走的路程s(t)都是時(shí)間￡的函數(shù)，則速度函數(shù)

和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個(gè)圖象中的()

a

32a

a

To

~O35\5~^tO35IT?

①②

③④

A.①④B.②③C.@@D.③②

【答案】A

【解題思路】設(shè)行進(jìn)的速度為vm/min,行走的路程為sm,得山u關(guān)于t的函數(shù)，s關(guān)于，的函數(shù)解析式，即可

判斷函數(shù)圖象.

（l，0<t<3,

【解答過程】設(shè)行進(jìn)的速度為um/min,行走的路程為sm,則u=10,3<t<5,

舟5<鵬15,

?,0<t<3,

a,3<t<5,,

（a+QVY15,

由速度函數(shù)及路程函數(shù)的解析式可知，

其圖象分別為①④.

故選：A.

【變式1-2]（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）48兩車分別從甲乙兩市同時(shí)出發(fā)，A從甲市駛向乙市，8從乙

市駛向甲市，兩車同時(shí)出發(fā)并勻速行駛，兩車之間距離y（單位：km）與行駛時(shí)間工（單位：h；的關(guān)系如下

圖，己知力的速度大于8的速度，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.甲市與乙市之間的距離為dkm

B.兩車在出發(fā)后ah相遇

C.點(diǎn)M表示8在出發(fā)后bh時(shí)到達(dá)了甲市

D.點(diǎn)N表示在出發(fā)后ch時(shí)兩車都到達(dá)了目的地

【答案】C

【解題思路】根據(jù)給定的函數(shù)圖象分析各項(xiàng)描述的正誤.

【解答過程】由圖知，兩車開始出發(fā)時(shí)的距離就是兩市之間的距離，A正確:

當(dāng)％=a時(shí)，y=0,所以兩車在出發(fā)后ah相遇，B正確；

由于A的速度大于8的速度，所以力比8先到達(dá)目的地，

所以在點(diǎn)M處即A在出發(fā)后師時(shí)到達(dá)了乙市，

之后在點(diǎn)N處即8在出發(fā)后ch時(shí)到達(dá)了甲市，C錯(cuò)誤，D正確.

故選：C.

【變式1-3］（24-25高二下?山東濱州?期末）如圖，等腰梯形力4C。的上底8=1,下底/4=3,高為1.記

等腰梯形力88位于直線x=*0WK3）左側(cè)的圖形的面積為/（/）,則/⑺隨/變化時(shí)的圖象大致是（）

【解題思路】根據(jù)面積公式得出每段的函數(shù)解析式，進(jìn)而得出答案.

【解答過程】當(dāng)時(shí)，/（。=）2,是過原點(diǎn)，且開口向上的拋物線的一部分，故排除D；

當(dāng)1VCW2時(shí)，/（t）=l+（t-l）xl=t-1,為單調(diào)遞增的一次函數(shù)的一部分，故排除BC：

當(dāng)2<tW3時(shí)，/（。=,+任智厘=二年0,是開口向下的拋物線的一部分；

故選：A.

【題型2利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題】

【例2】（2025?北京?高考真題）一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要的時(shí)間丁二

klogzN（單位：h）,其中左為常數(shù).在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從106個(gè)單位增加到1.024x109個(gè)單

位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加20h；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024x109個(gè)單位增加到4.096X1（）9個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增

加（）

A.2hB.4hC.20hD.40h

【答案】B

【解題思路】由題給條件列出不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量時(shí)所需的時(shí)間，結(jié)合對■數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【解答過程】設(shè)當(dāng)N取106個(gè)單位、1.024X109個(gè)單位、4.096x109個(gè)單位時(shí)所需時(shí)間分別為T],。，/，

6

由題意,Tj=Zclog210=6fclog210,

9106

T2=/clog2(1.024x10)=/clog2(2x10)=k(10+6log210),

9126

T3=/clog2(4.096x10)=/clog2(2xIO)=k(12+6log210),

因?yàn)?2—r1=/c(10+61og210)-6/clog210=10k=20,所以k=2,

所以q-T2=k(12+61og210)-fc(10+61og210)=2k=4,

所以當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從1.024x1。9個(gè)單位增加到4.096X1()9個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加4小時(shí).

故選：B.

【變式2-1】(2025?北京?三模)香農(nóng)定理作為通信理論的基石，在現(xiàn)代通信中有著廣泛的應(yīng)用，它給出了信

道容量和信噪比及信道帶寬的關(guān)系，即。=皿1。82(1+*)其中。是信道容量，單位bps；W為信道帶寬，單

位Hz；京代表接收信號的信噪比，為無量綱單位.軍事戰(zhàn)術(shù)電臺采用跳頻擴(kuò)頻(FHSS)技術(shù)，通過每秒切換

數(shù)千次頻率將信道帶寬由5MHz擴(kuò)展至100MHz,為了將敵方干擾效率降低90%以上，需將信道容量由

17.3Mbps提高至593Mbps,依據(jù)杳農(nóng)定理，則大約需將信號的信噪比提升至原來的()倍.(參考數(shù)據(jù)：2146?

11,2593?60.97)

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解題思路】依據(jù)香農(nóng)定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可.

【解答過程】設(shè)原始狀態(tài)信道容量為G，提升后信道容量為C2，

由題意可得的=Wilog2(+?),即17.3=5k)g2(l+給,解得/410,

同理g="21og2(l+勃，即593=1001og2(l+粉，解畸*60,

所以大約需將信號的信噪比提升至原來的6倍.

故選：B.

【變式2-2](2025?福建莆田?模擬預(yù)測)點(diǎn)聲源亦稱“球面聲源”或喻單聲源”.已知點(diǎn)聲源在空間中傳播時(shí)，

衰減量AL(單位：dB)與傳播距離r(單位：m)的關(guān)系式為刈=10?lg5r2)+憶其中位為常數(shù).當(dāng)傳播距

離為「I時(shí)，衰減量為AN；當(dāng)傳播范離為七時(shí)，衰減量為AL2.若丁2=2丁],則△殳一AL1約為()(參考數(shù)

據(jù)：lg2x0.3)

A.6dBB.4dBC.3dBD.2dB

【答案】A

【解題思路】利用函數(shù)值作差，再進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算，即可求出近似誼.

222-r2

【解答過程】由一必=10-lg（nr2）+/c-[10-lg（nri）4-/c]=10?[lg（nr2）lg（^i）]=101g嗎,

iir—

因?yàn)樯?2rv所以AL2-AL】=101g篝=10lg4=20lg2?6,

故選:A.

【變式2-3]（2025?北京海淀?二模）中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)（G511533-2011）中的《標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表》采

用的是五分視力記錄方式（繆氏記錄法）：L=5-lg藍(lán)，其中，L為被測試眼睛的視力值，d為該眼睛能分

辨清楚的最低一行“E”形視標(biāo)的筆劃寬度（單位：亳米），。為眼睛到視標(biāo)的距離（單位：米），如圖1所

示，k是與d,D無關(guān)的常量.圖2是標(biāo)準(zhǔn)視力表的一部分，一個(gè)右眼視力值為5.0的人在距離該視力表5米

處進(jìn)行檢測，能分辨的最低?行視標(biāo)為圖2中虛線框部分.因條件所限，小明在距離該視力表3米處進(jìn)行

檢測，若此時(shí)他的右眼能分辨的最低一行視標(biāo)也為圖2中虛線框部分，不考慮其它因素的影響，則與小明

右眼的實(shí)際視力值最接近的為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2ao.30,lg3ao.48）

IU3UJmE4.7

3mE3UJm4.8

UJ3EmEmuj4.9

圖1圖2部分標(biāo)準(zhǔn)視力表示意圖

A.4.5B,4.6C.4.8D.5.0

【答案】C

【解題思路】根據(jù)已知視力值求出1g號的值，再根據(jù)小明距離3米，求出其實(shí)際視力值.

【解答過程】已知當(dāng)L=5.0,D=5時(shí)，代入L=5-lg器，解得kd=5.

小明在距離該視力表3米處進(jìn)行檢測，即0-3,代入求解乙一5-坨泰

因?yàn)轭}中參考數(shù)據(jù)已知lg2》0.30,1^3?0.48；

所以lg|二）g5-lg3=Igy-lg3=IglO-lg2-lg3*1-0.30-0.48=0.22,

所以L=5—lg|々5—0.22=4.78.

故選：C.

【題型3二次函數(shù)模型的應(yīng)用】

【例3】（2025高三?全國?專題練習(xí)）某新能源汽車公司設(shè)計(jì)充電樁布局，要求每個(gè)充電區(qū)的長度為a米，寬

度為6米.根據(jù)城市規(guī)劃要求，Q+b=12米，且充電樁間隔距離需滿足aN3b.為使充電區(qū)有效面積最大，

應(yīng)選擇的尺寸是（）

A.Q=9米，b=3米

B.Q=8米，匕=4米

C.Q=10米，b=2米

D.a=7.5米，匕=4.5米

【答案】A

【解題思路】由題可得面積表達(dá)式。然后根據(jù)題意及二次函數(shù)單調(diào)性可得答案.

【解答過程】建立面積函數(shù)S=ah,通過消元法轉(zhuǎn)化為S=a（12-a）,結(jié)合附加條件a23（12-a）,得a€

［9,12）.注意到函數(shù)y=a（12-a）=-（a-6）2+36在［9,12）上單調(diào)遞減，則當(dāng)a=9,b=3時(shí)取最大值.

故選：A.

【變式3-1］（24-25高三上?全國?課前預(yù)習(xí)）小敏在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y=-0.2%2+3.5

的一部分（如圖所示），若命中籃環(huán)中心，則他與籃底的距離/是（）

C.4.5mD.4.6m

【答案】B

【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，代入求解即可.

【解答過程】籃環(huán)的縱坐標(biāo)為3.05,令y=-0.2/+3.5=3.05,得小=1.5,x2=-1.5（舍去）.

t=2.5+1,5=4（m）.

故選：B.

【變式3-2］（24-25高一上?江蘇無錫期末）已知汽車從踩剎車到停車所滑行的距離L（單位：m）與速度"

(單位：km/h)之間有如下關(guān)系式：L=kM-/,其中k是比例系數(shù)，且k>O,M是汽車質(zhì)量(單位：t).

若某輛卡車不裝貨物(司機(jī)體重忽略不計(jì))以36km/h的速度行駛時(shí)，從踩剎車到停車需要走20m.當(dāng)這輛

卡車裝著等于車重的貨物行駛時(shí)，為保證安全，要在發(fā)現(xiàn)前面20m處有障礙物時(shí)能在離障礙物5m以外處

停車，則最高速度應(yīng)低于(假定司機(jī)發(fā)現(xiàn)障礙物到踩剎車需要經(jīng)過1s)()

A.16B.18C.24D.27

【答案】B

【解題思路】設(shè)卡車本身的質(zhì)量為M(t),速度為u(km/h),剎車滑行距離為L(m),依題意可得

20=/c-M-362,卡車司機(jī)發(fā)現(xiàn)障礙物到踩剎車需要經(jīng)過1s,可得"+k-2M?/<20—5,解不等式可得

18

答案.

【解答過程】設(shè)卡車本身的質(zhì)量為M(t),速度為v(km/h),剎車滑行距離為L(m),依題意可得L=k?M?/,

將1=20,矛=36代入可得:20=fc?M-362=k?M=果.

又々車司機(jī)發(fā)現(xiàn)障礙物到踩剎車需要經(jīng)過1s,

這1s內(nèi)卡車行駛的路程為：鏢二荒(m).

ooUUlo

由黃+小2時(shí)?盧<20—5=^+2乂舅22<15=七?1；2+9-3<0,

181836’lo18

所以O(shè)+36)(〃-18)<0=>-36<v<18.

根據(jù)速度的意義，所以0V/V18.

所以卡車行駛的速度應(yīng)低于18km/h.

故選：B.

【變式3-3](24-25高一上?河南?階段練習(xí))如圖，動(dòng)物園要靠墻(足夠長)建造兩間相鄰的長方形禽舍,

不靠墻的面以及兩間禽舍之間要修建圍墻，已有材料可供建成圍墻的總長度為36米，若設(shè)禽舍寬為工米,

則當(dāng)所建造的禽舍總面積最大時(shí)，%的值是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題意，用工表示禽舍的總長，從而得到禽舍的面積關(guān)于%的表達(dá)式，利用配方法即可得解.

【解答過程】由題意，若把材料全部用完，則禽舍的總長為(36-3x)m,0<x<10,

設(shè)所建造的禽舍總面積為ym2,

則）'=（36—3x）?x=-3x2+36x=-3（x—6）2+108,

所以當(dāng)所建造的禽舍總面積最大時(shí)，》的值6.

故選：D.

【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】

【例4】（2025?湖北?一模）某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤s（單位:

百萬元）與新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間t（單位：年，￡WND滿足s=『2f十個(gè)^一色,，々?，當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)

品可獲得的年平均利潤最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間t=（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解題思路】由已知可得y=2=，十當(dāng)8和1之8時(shí)分別求得最大值，即可求解.

fI-t2+10t-2,t>8

98

【解答過程】由題意，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤y=三二-2亡-7+，°，'<8,

—+lot—2,￡N8

當(dāng)tv8時(shí)，2t+y>28,當(dāng)且僅當(dāng)￡=7時(shí)，等號成立，

則-2"手+50<22,

所以當(dāng)￡=7時(shí)，：取得最大值，且最大值為22,

當(dāng)t28時(shí)，一產(chǎn)+10￡-2=一（￡-5）2+23,

所以函數(shù)在［8,+8）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)t=8時(shí)，三取得最大值，且最大值為14,

t

故當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間C=7.

故選：B.

【變式4-1］（24-25高三上?山東聊城?階段練習(xí)）某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可

獲得的總利澗s（單位：百萬元）與新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間￡（單位：年，亡￡V）滿足5=｛二］；需二；:；鼠，

當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤最大時(shí)，新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間￡=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解題思路】設(shè)年平均利潤為小，表示出W，再結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)的性質(zhì)求出各段的最大值，即可

得解.

【解答過程】依題意，設(shè)年平均利潤為W,則勿二三二一2￡+5°-彳"<8（￡￡N*）,

'（-t2+10t-2,t>8

當(dāng)tV8時(shí)W=-2t+50-y=50-（2t+y）<50-2=22,

當(dāng)且僅當(dāng)2t=?,即t=7時(shí)取等號；

當(dāng)￡工8時(shí)卬=一亡2+101-2=-（t-5）2+23,則當(dāng)t=8時(shí)〃取得最大值且Wmax=14，

乂22>14,所以當(dāng)t=7時(shí)年平均利潤W取得最大值.

故選:C.

【變式4-2】（2025?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）如圖，梯形。力BC是上底為近，下底為3企，高為&的等腰梯形,

記梯形0ABe位于直線x=t（t>0）左側(cè)的陰影部分的面積為/⑴，則y=/Q）的大致圖象是（）

【解題思路】寫出y=f?）的表達(dá)式，再根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)選出圖象即可.

【解答過程】根據(jù)題意可知在梯形048。中，乙10C=乙OCB=45。：

當(dāng)0VCW四時(shí)，陰影部分為等腰直角三角形，其面積為/（￡）=!/；

當(dāng)魚<￡<2近時(shí)，陰影部分為等腰直角三角形加上一個(gè)矩形，

其面積為/Q）=1x（V2）2+V2（t-V2）=V2t-1；

當(dāng)2四時(shí)，陰影部分面積為整個(gè)梯形面積減去右側(cè)空白部分表面積,

即/Q）=1（V2+3V2）xV2-|（3V2-t）2=-1t2+3V2t-5；

'|t2,0<t<V2

所以可得/?）=,V2t-l,V2<t<2V2;

一*+3V2t-5,2魚<t<3V2

2

根據(jù)函數(shù)類型對比圖象可得A正確.

故選：A.

【變式4-3]（24-25高二下?北京朝陽?期末）某研究所開發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測，一次性服藥t（0WtW12）小

時(shí)后每亳升血液中的含藥量y（亳克）與時(shí)間￡（小時(shí)）之間近似滿足圖中所示的曲線關(guān)系.據(jù)測定，每亳升

血液中含藥量不少于4亳克時(shí)治療疾病有效，則12小時(shí)內(nèi)藥物在體內(nèi)對治療疾病?直有效所持續(xù)的時(shí)長為

【解題思路】首先求出函數(shù)解析式，再令yZ4求出相應(yīng)的t的取值范圍，即可得解.

【解答過程】當(dāng)04￡W3時(shí)，則）;=會(huì)=2￡,

當(dāng)3<￡工12時(shí)，設(shè)函數(shù)為y=kt+b,

2

將（3,6）,（12,0）代入可得｛:二彗;[，解得所以丁=一3+8，

一（2t,0<t<3

所以y=t+8,3VtW12'

要使yN4,則或卜？+8?4,解得2WtW3或3vtW6,

10-f-3I3<t<12

綜上所述：2$CS：6,

所以有效所持續(xù)的時(shí)長為6-2=4個(gè)小時(shí).

故選：A.

【題型5幕函數(shù)模型的應(yīng)用】

【例5】（2025?四川瀘州?模擬預(yù)測）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得

重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活

動(dòng).該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬元.若要實(shí)現(xiàn)

2024年初的資金達(dá)到270萬元的目標(biāo)，資金的年平均增長率應(yīng)為(參考值：%瓦41.22,VI/*1.2)()

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解題思路】設(shè)年平均增長率為均依題意列方程求x即可.

【解答過程】由題意，設(shè)年平均增長率為％，則15O(l+x)3+io=270,

所以x二溜一1。1.2-1=0.2,故年平均增長率為20%.

故選：B.

【變式5-1](24-25高一上?湖北荊州?期中)為響應(yīng)國家退耕還林的號召，某地的耕地面積在最近5()年內(nèi)減

少了20%,如果按照此規(guī)律，設(shè)2024年的耕地面積為〃?，則2029年的耕地面積為()

A.(1-0.2250)mB.(1-0.8^)m

C.0.8250mD.0.編m

【答案】D

【解題思路】設(shè)某地的耕地面積每年減少居依題列出方程(1-x)50=1-20%,再進(jìn)行整體代入m(l-x)5,

即得2029年的耕地面積.

【解答過程】設(shè)某地的耕地面積每年減少x,因在最近50年內(nèi)減少了20%,則有(1-％)5。=1-20%,

故Q—x)5=0.810,

由題意,2029年的耕地面積為即0.8■m.

故選：D.

【變式5-2】(2025?廣西?模擬預(yù)測)異速牛.長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通

常以幕函數(shù)形式表示.比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率y與其體重力滿足y=kx與其中k和a為正常數(shù)，該類動(dòng)

物某一個(gè)體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍,

則a為()

A.-B.-C.-D.-

4234

【答案】D

【解題思路】初始狀態(tài)設(shè)為(右,乃)，變化后為。2，%)，根據(jù)修,％2,力/2的關(guān)系代入后可求解.

【解答過程】設(shè)初始狀態(tài)為(必,％),則乃=16打,y2=8yt,

a

又力=kx《,y2=kxf,即8yl=/c（16x1）=k-16a瑞,

4a3

8y1=M624>16a=8,2=2,=3,a=-.

yikxf4

故選：D.

【變式5-3]（24-25高一上?青海西寧?期末）為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需

要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文

一密文（加密），接收力由密文一明文.現(xiàn)在加密密鑰為y=k/,如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受

方接到密文“與”，則解密后得到的明文是（）

A.-B.-C.2D.-

248

【答案】A

【解題思路】根據(jù)題意中給出的解密密鑰為y=kx3,利用其加密、解密原理，

求出A：的值，解方程即可求解.

【解答過程】由題可知加密密鑰為v=kx\

由已知可得，當(dāng)％=4時(shí)，y=2,

所以2=kx43,解得k=g=5，

4’32

故》,=如3,顯然令=表,即費(fèi)=專包,

解得爐=[g|Jx=

oL

故選：A.

【題型6指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用】

【例6】（2025?甘肅平?jīng)?模擬預(yù)測）我們曾學(xué)習(xí)過碳14的半衰期約為5730年（即碳14大約每過5730年衰

減為原來的一半），即經(jīng)過t年后，碳14的含量N=No6產(chǎn)（A。為碳14的初始含量，k為常數(shù)），則碳14

含量由原來的80%衰減為60%大約需要經(jīng)過（）

（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7,1113^1.1）

A.2292年B.2456年C.2674年D.2838年

【答案】B

【解題思路】利用半衰期的意義求出k,再利用給定的模型列出方程組，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求解即得.

【解答過程】依題意，當(dāng)"5730時(shí)，N=〈No,即：=（爐73%解得攵=焉，

設(shè)經(jīng)過￡1年碳14含量衰減為原來口勺80%,經(jīng)過以年碳14含量衰減為原來的60%,

（（工）品=80%=57301ogi0.8

則［I）急=6。％’即1=573隔0.6，所以「「573。叫。.6-573。㈣。.8

=57301ogi^=57301og2g=5730（log24-log23）=5730（2-給、5730（2-y）?2456.

故選：B.

【變式6-1】（2025?廣東廣州?二模）聲強(qiáng)級匕（單位：dB）由公式101g（森）給出，其中，為聲強(qiáng)（單

位：W/m2）.輕柔音樂的聲強(qiáng)一般在10"?i（）-6w/m2之間，則輕柔音樂的聲強(qiáng)級范圍是（）

A.0~20dBB.20?40dB

C.40?60dBD.60~80dB

【答案】C

［解撅思路】依題意可得10-8V/V10-6,即可求出也擊的范圍，從而得解.

【解答過程】依題意可得10-8W/W10-6,所以1044薪4106,所以4wig薪工6,

所以40<101g盛工60,即輕柔音樂的聲強(qiáng)級范圍是40?60dB.

故選：C.

【變式6-2］（2025?廣東汕頭?模擬預(yù)測）某食品保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：。0滿足函

數(shù)關(guān)系y=ekx+b（k.b為常數(shù)）若該食品在OY的保鮮時(shí)間是168小時(shí).在2（TC的保鮮時(shí)間是42小時(shí)，則

該食品在30久的保鮮時(shí)間是（）

A.21小時(shí)B.22小時(shí)C.23小時(shí)D.24小時(shí)

【答案】A

【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的公式，即可求解.

【解答過程】當(dāng)x=0時(shí)，eb=168,當(dāng)x=20時(shí)，e20fe+fo=42,

所以e2M=^=+

16842

當(dāng)％=30時(shí)，e30k+b=(e10*)3.(e")=(g)x168=21.

故選：A.

【變式6-3】（2025?貴州六盤水?一模）20世紀(jì)30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是

使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說

的里氏震級M，其計(jì)算公式為M=電4Ig%其中A是被測地震的最大振幅，4是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用

標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）.假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中10（）

千米的測震儀記錄的地震最大振幅是50,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.002,則這次地震的震級為（）（精確

到0.1,參考數(shù)據(jù)：館2=0.3）

A.4.4B.4.7C.5D.5.4

【答案】A

【解題思路】直接利用題目中給出的公式和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可得出結(jié)果.

【解答過程】根據(jù)題意可知這次地震的震級為：

M=lg50-lg0.002=1g贏=lg25000=1g苧=5-21g2?5-0.6=4.4：

因此可知這次地震的震級為4.4級.

故選：A.

【題型7函數(shù)模型的選擇問題】

【例7】（2025?寧夏吳忠?模擬預(yù)測）從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車每小時(shí)耗

油量Q（單位：L）與速度〃（單位：km/h）（0<v<120）的二列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q().0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個(gè)函數(shù)模型中，最符合實(shí)際情況的函數(shù)模型是（）

A.Q=0.5p+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

【答案】C

【解題思路】作出散點(diǎn)圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.

【解答過程】作出散點(diǎn)圖，由圖可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域?yàn)椋?,120］；第二，在定義域單調(diào)遞增且單

位增長率變快：第三，函數(shù)圖象過原點(diǎn).

A選項(xiàng)：函數(shù)Q=0.5U+Q在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：函數(shù)Q=ai;+b的單位增長率恒定不變，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：Q=a/+6廿+s滿足上述三點(diǎn)，故C正確；

D選項(xiàng)：函數(shù)Q=kloga"+b在u=0處無意義，D錯(cuò)誤.

故選：C.

O

20406080100120140160x

【變式7-1](24-25高一上?全國?課后作業(yè))2019年以來，我國國內(nèi)非洲豬瘟疫情嚴(yán)重，引發(fā)豬肉價(jià)格上漲.因

此，國家為保民生，采取宏觀調(diào)控，對豬肉價(jià)格進(jìn)行有效的控制.通過市場調(diào)查，得到豬肉價(jià)格在8?11

月的市場平均價(jià)/'(X)(單位：元/斤)與時(shí)間x(單位：月)的數(shù)據(jù)如下：

X891011

28.0033.9936.0034.02

現(xiàn)有三種函數(shù)模型：fM=bx+a,fM=ax2+bx+c；f(幻=(J、+a,找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型,

并估計(jì)2019年12月份的豬肉市場平均價(jià)為()

A.28元/斤B.25元/斤

C.23元/斤D.21元/斤

【答案】A

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行選擇，并由此進(jìn)行估計(jì).

【解答過程】第二組數(shù)據(jù)近似為(934),第四組數(shù)據(jù)近似為(11,34),

根據(jù)四組數(shù)據(jù)(8,28),(9,34),(10,36),(11,34),

可得/(%)的圖象先增后減，而八%)=bx+a和/(如=6)'+Q都是單調(diào)函數(shù)，

故不符合要求，所以選/'(%)=ax2+bx+c.

由第二組數(shù)據(jù)(9,34)和第四組數(shù)據(jù)(11,34),

可得/O)的圖象關(guān)于直線％=10對稱，故％=12時(shí)，/(12)=/(8)=28.

故選：A.

【變式7-2](24-25高一上?廣東深圳?期末)近年來，我國自主研發(fā)芯片的市場需求增長迅速.某公司自2020

年起，每年統(tǒng)計(jì)其芯片的年銷售數(shù)品?.將2020年記為第0年，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

年份20202021202220232024

時(shí)間(￡)/年01234

年銷售數(shù)量(Q)/萬片100150225337.5506.25

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，以t為橫軸，Q為縱軸，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖；

紂

700

600

500

400

300

200

100

O1234567

(2)為了描述年銷售數(shù)量Q與時(shí)間t的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種數(shù)學(xué)模型供選擇：

c

①Q(mào)=at+b②Q=ka?Q=k\ogat4-b

(i)根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，選出最合適的函數(shù)模型，說明理由，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;

(ii：根據(jù)⑴中所選模型，預(yù)測該公司芯片的年銷售數(shù)量在哪一年會(huì)首次超過2000萬片？(參考數(shù)據(jù)：lg2

0.301,lg3x0.477)

【答案】(1)答案見解析

(2)(i)選擇函數(shù)模型Q=k出合適，理由見解析，Q=100-C)’；

(ii)2028年

【解題思路】3)根據(jù)表格作出散點(diǎn)圖即可；

(2)(i)根據(jù)散點(diǎn)圖結(jié)合三種函數(shù)的增長速度即可得出結(jié)論，再將點(diǎn)代入所選模型即可得解;

(ii：根據(jù)Q>2000,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.

【解答過程】(1)

。個(gè)

O1

(2)(i)由散點(diǎn)圖可知，年銷售數(shù)量呈指數(shù)型增長,

故選擇函數(shù)模型Q=k相合適;

將(0,100),(1,150)分別代入Q=kQt,

得［k=100(k=100

,解得

1100a=150

所以Q=100(I)；

當(dāng)￡=2時(shí),Q=225；當(dāng)t=3時(shí),Q=337.5；當(dāng)C=4時(shí)，Q=506.25,

所以Q=100.（1）’：

（ii；令100?（9>2000,則?>20,

則￡>log320=釁=蛆皿X°3。1+1X

J飛尾Ig3-lg20.477-0.301

所以預(yù)測該公司芯片的年銷售數(shù)量在2028年會(huì)首次超過2000萬片.

【變式7-3]（24-25高一上?重慶?階段練習(xí)）某電視臺旗下的電商平臺一“家鄉(xiāng)好物商城”依托廣播、電視與

互聯(lián)網(wǎng)平臺優(yōu)勢，主:要銷售本地制造的優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品及該地對口支援、幫扶地區(qū)的農(nóng)特產(chǎn)品，打通新疆、廣西、

云南、貴州等地區(qū)農(nóng)特產(chǎn)品的產(chǎn)銷對接渠道.近一個(gè)月來，“貴州黃牛肉”、“廣西小砂糖橘”、“云南野蘋果”等

農(nóng)特產(chǎn)品在當(dāng)?shù)責(zé)徜N，通過對過去的一個(gè)月（以30天計(jì)）的“廣西小砂糖橘”的銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn):每千克

的銷售價(jià)格PQ）（單位:元/千克）關(guān)于第x天（1<x<30,x€的函數(shù)關(guān)系近似滿足P（x）=10+：.日銷售

量QQ）（單位:千克）關(guān)于第％天的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

X914182229

52

QW54596359

（1）給出以下四種函數(shù)模型:①Q(mào)（x）=ax+b；②Q（x）=a|x-+b；③Q（x）=a，+b；@Q（x）=b\ogax.

請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型（簡要說明理由）來描述日銷售量QQ）關(guān)

于第X天的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式：

（2）設(shè)該工藝品的H銷售收入為函數(shù)y=/（幻（單位:兀）：求困數(shù)/Q）的最小值.

【答案】（1）（2（無）=。|%一刈+力比較合適，（?（%）=-|x-18|+63

（2）512元

【解題思路】（1）根據(jù)所給函數(shù)的單調(diào)性與QQ）的單調(diào)性進(jìn)行判斷選擇即可；

（2）根據(jù)基本不等式、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求解即可.

【解答過程】（1）由函數(shù)y=ax+b、y=ax+b,y=blog?！钡慕馕鍪娇芍哼@三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性要么在定

義域內(nèi)遞增，要么遞減，要么是常值函數(shù)，不會(huì)出現(xiàn)在定義域內(nèi)即有單調(diào)遞減又有遞增的情況，而函數(shù)y=

a|x-7川+b在aV0時(shí)，在(—8,m)時(shí)是單調(diào)遞增，在(m,+8)上單調(diào)遞減，

由列表可知：QQ)的單調(diào)性是先增后減，因此Q(x)=a|x-m|+b合適，

把(14,59),(18,63),(22,59)代入,

m|14-m\+b=59fm=18

得卜118—?n|+b=63,所以］a=—1,所以Q(x)二——18|+63,

U|22-m|+b=59lb=63

顯然(9,54),(29,52)也滿足函數(shù)的解析式，

所以QG)=-|x-18|+63；

(2)f(x)=P(x)Q(x)=(10+^)(-\x-18|+63),

當(dāng)IM%W18,?時(shí),

f(x)=(10+，(%+45)=lOx+452+^>452+2JlOx-y=512,

當(dāng)且僅當(dāng)10x=任時(shí)取等號，即當(dāng)x=3時(shí)，取等號，此時(shí)最小值為512,

X

當(dāng)18<工430,xeN*時(shí)，

f(x)=(10+(-X+81)=-10x+808+詈，

此時(shí)函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，當(dāng)x=30時(shí)函數(shù)值最小，最小值為513.4,

綜上所述：函數(shù)的最小值為512元.

過關(guān)測試

一、單選題

1.(24-25高一上?安徽安慶?期末)從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車每小時(shí)耗

油Q(單位：L)與速度u(單位：km/h)(0工〃工120)的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q().00()6.6678.12510.00020.000

為了描述汽車每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，下列四個(gè)模型中你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型是：()

A.Q=—4-bB.Q-av34-bv2+cv

C.Q=0.5"+aD.Q=k\oguv+b

【答案】B

【解題思路】分析表中數(shù)據(jù)根據(jù)單調(diào)性和定義域即可判斷出最符合實(shí)際的函數(shù)模型.

【解答過程】由圖表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域?yàn)椋?,120］；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位增

長率變快；第三，函數(shù)圖象過原點(diǎn).

函數(shù)Q=.+b和Q=0.5「+a在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，不符合條件，故AC錯(cuò)誤；

函數(shù)Q=kloga〃+b中0不在函數(shù)的定義域中，故D錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：Q=Q/+b儼+cu滿足上述三點(diǎn)，故B正確.

故選:B.

2.（2025?甘肅天水?三模）科學(xué)家很早就提出關(guān)于深度睡眠問題，隨著現(xiàn)代生活節(jié)奏的加快，睡眠成了嚴(yán)

重影響生活的問題.經(jīng)研究，睡眠中恒溫動(dòng)物的脈搏率/（單位：心跳次數(shù)?minT）與體重力（單位：Kg）

的g次方成反比.若力、8為兩個(gè)睡眠中的恒溫動(dòng)物，力的體重為2Kg、脈搏率為21（）次?minT,8的脈搏

率是70次-minT,則B的體重為（）

A.6KgB.8KgC.18KgD.54Kg

【答案】D

【解題思路】根據(jù)給定信息求出關(guān)系式，再代入計(jì)算即得.

【解答過程】依題意，設(shè)/=。（人0）,由w=2j=210,得A=21OX2，,則/二半巴

IV3IV3

當(dāng)/=70時(shí)，前=強(qiáng)竺=3X2，,所以W=54.

故選：D.

3.（2025?內(nèi)蒙古赤峰?一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)。從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針方向沿周長為1的圖形運(yùn)動(dòng)

一周，。、。兩點(diǎn)連線的距離y與點(diǎn)。走過的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)尸所走的圖形是（）