專題4.6解三角形(舉一反三講義)

【全國(guó)通用】

題型歸納

【題型I余弦定理解三角形】..........................................................................5

【題型2正弦定理解三角形】..........................................................................7

【題型3正、余弦定理判定三角形形狀】..............................................................9

【題型4正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)】..............................................................11

【題型5證明三角形中的恒等式或不等式】...........................................................12

【題型6和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題】..................................................................15

【題型7求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍】....................................................19

【題型8距離、高度、角度測(cè)量問(wèn)題】................................................................21

【題型9求解平面幾何問(wèn)題】.........................................................................24

【題型10解三角形與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題】..........................................................27

1、解三角形

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

解三角形是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)

(1)掌握正弦定理、余弦定理2023年新課標(biāo)I卷、H卷：第17

容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾

及其變形題，10分

年的高考情況來(lái)看，正弦定理、余弦

(2)埋解二角形的面積公式并2。24年新課標(biāo)1卷、11卷：第15

定理解三角形在選擇題、填空題中考

能應(yīng)用題，13分

查較多，也會(huì)出現(xiàn)在解答題中，在高

(3)能利用正弦定理、余弦定2024年全國(guó)甲卷(文數(shù))：第12

考試題中出現(xiàn)有關(guān)解三角形的試題大

理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度題，5分

多數(shù)為較易題、中檔題.對(duì)于解答題，

量問(wèn)題2024年全國(guó)甲卷(理數(shù))：第11

一是考查正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單

(4)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦題，5分

應(yīng)用；二是考查正、余弦定理與三角

定理等知識(shí)和方法解決一些2025年全國(guó)二卷：第5題，5分

形面積公式的綜合應(yīng)用，有時(shí)也會(huì)與

與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)2025年北京卷：第16題，13分

三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合命題，

際問(wèn)題2025年天津卷：第16題，14分

難度中檔，需要學(xué)生靈活求解.

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1解三角形幾類問(wèn)題的解題策略

1.正弦定理、余弦定理解三角形的兩大作用

(1)王弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素,基本思想是方程思想，即

根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過(guò)解方程求得未知元素?.

(2)上弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化,解題時(shí)可以把己知條件化為角的三角

函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.

2.判定三角形形狀的途徑：

(1)化邊為角,通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；

(2)化角為邊,通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.

無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意為掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘

隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.

3.對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的研究

已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，三角形

不能被唯一確定.

(I)從代數(shù)的角度分析“己知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角“時(shí)三角形解的情況，下面以已知。萬(wàn)

和人解三角形為例加以說(shuō)明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若4114=”見3>1,則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

a

②若sin6=啦/=1,則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；

a

③若sin8="見W<I,則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

a

顯然由0<sinS=2W<l可得8有兩個(gè)值，一個(gè)大于9CF,一個(gè)小于90。，考慮到“大邊對(duì)大角”、“三角形

a

內(nèi)角和等于180。”等，此時(shí)需進(jìn)行討論.

(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，以已知a力和兒

解三角形為例，用兒何法探究如下：

圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)

(nc

/[A

①a=6sinA：

￡-1一解

②

A￡二工

為①A

銳C

角/A

6sinJ<t/<6兩解

A%、-----一紇

4.與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積;

(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.

知識(shí)點(diǎn)2測(cè)量問(wèn)題的基本類型和解決方案

1.測(cè)量距離問(wèn)題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的距離有以下三獨(dú)類型:

類型簡(jiǎn)圖計(jì)算方法

測(cè)得4。=從BC=a,。的大小，則由余弦定理

48間不可達(dá)b\7

也不可視得48=+〃-2abeosC

c

J

測(cè)得〃C=a，B，C的大小，則力=7t-(B+C),

8,C與點(diǎn)力可

—/由正弦定理得asinC

視但不可達(dá)-----彳"=sin(4+C)

BaC

測(cè)得CD=a及NBDC/ACD,/BCD,/ADC

C,D與點(diǎn)A,B的度數(shù).在△4CO中，用正弦定理求4C：在

均可視不可達(dá)△BCQ中，用正弦定理求8C：在△力3C中,

用余弦定理求AB.

2.測(cè)量高度問(wèn)題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的高度有以下三種類型:

類型簡(jiǎn)圖計(jì)算方法

A

底部

測(cè)得4C=a,C的大小,AB=atanC.

可達(dá)上

C?/3

A

測(cè)得CD=a及NACB與/ADB的度數(shù).

點(diǎn)E與

先由正弦定理求出力C或力。,再解直角三角形

CQ共線

B得48的值.

底

部

不

可

達(dá)A

點(diǎn)8與測(cè)得CD=a及/BCD/BDC/ACB的度數(shù).

C,。不在△8C。中由正弦定理求得8C,再解宜角三

r/-^T7*一

共線角形得力8的值.

——2^

--------T

CaD

3.測(cè)量角度問(wèn)題的解決方案

測(cè)量角度問(wèn)題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時(shí)問(wèn)題涉及方向角、方位角

等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會(huì)涉及俯角、仰角等概念解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意圖形及

有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

知識(shí)點(diǎn)3解三角形的應(yīng)用的解題策略

1.平面幾何中解三角形問(wèn)題的求解思路

(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；

(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.

2.解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩方面:

(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)式進(jìn)行解三角形；

(2)解三角形與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

【方法技巧與總結(jié)】

1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

(l)sin(J+^)=sinC；

(2)cos(/l+8)=-cosC：

小.4+4C

(3)sin---=cosy；

A+B.C

(4)cos=siny.

2

2.三角形中的射影定理

在△力8c中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

3.在。中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，4>4Qa>/>Qsin/l>sin80

cos/<cosB.

舉一反三

【題型1余弦定理解三角形】

【例1】(2025?全國(guó)二卷?高考真題)在△力8C中，BC=2,4C=1+遍，AB=瓜,則4=()

A.45°B.60°C.120°D.135°

【答案】A

AB2+AC2-RC2

【解題思路】由余弦定理COSA=直接計(jì)算求解即可.

2ABAC

AB2-AC2-BC2_(V6)2+(l+^)2-22_y/2

【解答過(guò)程】由題意得cosA=

2ABAC2xV6x(l+>/3)-2

又。?！戳180°,所以4=45°.

故選:A.

【變式1-1](2025?湖南邵陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知在△48C中，48=4,AC=6,cosB="若△力BC的角平分線

8

AD交邊BC于點(diǎn)D,則4。=()

A12B.塔

A-Tc-D.3V2

5

【答案】D

【解題思路】根據(jù)余弦定理求出8c的長(zhǎng)度，再利用角平分線定理得到8D與DC的比例關(guān)系，進(jìn)而求出8D的長(zhǎng)

度，最后在△48。中利用余弦定理求出40的長(zhǎng)度.

【解答過(guò)程】在^ABC^,根據(jù)余弦定理AC?=AB2+BC2-2AB?BC-cosB,

222

已知48=4,AC=6tcosB=:，設(shè)BC=x,則有：6=4+x-2x4xxx^

88

解得4=5或%=-4（邊長(zhǎng)不能為負(fù)舍去），所以BC=5.

因?yàn)锳D是角平分線，根據(jù)角平分線定理：可得案=***.

又因?yàn)?D+DC=BC=5,所以BD=二x5=2.

在448。中，再根據(jù)余弦定理力=AB2+BD2-2AB?BD?cosB,

將5B=4,BD=2,cosB=9弋入可得：/1D2=424-22-2X4X2X1=16+4-2=18

88

所以=V18=3近.4。的長(zhǎng)度為3&

故選：D.

【變式1-2]（2025?黑龍江吉林?模擬預(yù)測(cè)）在△4BC中，已知4c=5,48=3,BC=7,4。是BC邊上的中線,

則力。=（）

A.丑B.丑C.LD.至

4227

【答案】B

【解題思路】利用兩次余弦定理即可求解.

【解答過(guò)程】

/曲+蠟一滔_9+49-25_11

由余弦定理得：cosB=2ABBC--2x3x7-14,

再由余弦定理得：AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosB=9+--2x3x-x—=—,

42144

則力。=誓

故選：B.

【變式1-3]（2025?山東棗莊?二模）在△ABC中，內(nèi)角4,8,C的對(duì)邊分別為a,王c,且b=3,c2+9=彥+3c,

則力=（）

A.-B.-C.-D.—

6433

【答案】C

【解題思路】根據(jù)題意，利用余弦定理求解.

【解答過(guò)程】由匕=3及C?+9=Q2+3c,得/+c?-=加，

由余弦定理，得cosA="啜-二=白=；,

2bc2bc2

因?yàn)?<4VTG所以

故選：C.

【題型2正弦定理解三角形】

【例2】（2025?天津紅橋?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，若AC=2,乙4=g乙B=力則8C=（）

36

A.V3B.V2C.2V3D.242

【答案】C

【解題思路】根據(jù)正弦定理求解即可.

【解答過(guò)程】由正弦定理，喘二焉，

則誓=3，解得8c=271

T2

故選：C.

【變式2-1]（2025?河南鄭州?三模）在。中，已知4=30。，Q=6，b=2,則角。為（）

A.45°B.105°C.45?；?35°D.15。或105°

【答案】D

【解題思路】由正弦定理得到方程，求出8=45?；?35。，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出角C.

【解答過(guò)程】由正弦定理得二=二，即jLs總

所以$由8=也駕=隼=[,故B=45。或135。,

v2V22

當(dāng)8=45。時(shí)，C=180°-45°-30°=105°,

當(dāng)8=135°時(shí)，C=180°-135°-30°=15°.

故選：D.

[變式2-2]（2025?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）在a48c中，a.Ic是角AB,C所對(duì)的邊長(zhǎng).若a:加c=4:5:6,則巴吧

()

13

A.1B.1C.-D.2

22

【答案】B

【解題思路】根據(jù)正弦定理找到三角形中邊之間的關(guān)系，再利用余弦定理可計(jì)算出cosA的值，即可求解.

【解答過(guò)程】因a：b:c=4:5:6,設(shè)a=4k,k>0,則b=5k,c=6k

222z22

士士TRIMb+c-a

由余弦定理知COSA4=—=—25k—+3—6k-■1—6k=3

2bc2x5kx6k4

由正弦定理,sin4:sinC=a:c=2:3

網(wǎng)吧=也3=2x皿xcosA=2x2xj.

csinCsinC34

故選：B.

【變式2-3](2025?湖北?模擬預(yù)測(cè))在△48C中，角力、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若8=g,b2=3ac,

J

則s\nA+sinC=()

A.yB.當(dāng)C.|D.V3

【答案】B

【解題思路】根據(jù)正弦定理得sinAsinC=利用三角恒等變換得sin(24-力=0,從而可知當(dāng)H=少寸，C=

4\6/12

不當(dāng)力="時(shí)，c=^,求值即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)?=半b2=3ac,

根據(jù)正弦定理，得siMB=3sin/lsinC,即sinAsinC=

4

則sin力sinf—-/l)=所以且sirMcosA+^sin2?!=

即\Gsin24-cos2/4=0，也就是sin(2A一勻=0,

因?yàn)?<4Vg,則一￡V24—g

3666

所以24—三二0或2A—E=IT,即4=工?或力=乂，

661212

當(dāng)<二限時(shí)，C=\當(dāng)力="時(shí)，C建

所以sin/l+sinC=sin—+sin-=sin(---)+sin(-+

1212\46/\34/

遍

=s.inn-cosn--cosn-s.inn-,+s.inn-cosn-.+cons-.snin-=—.

464634342

故選:B.

【題型3正、余弦定理判定三角形形狀】

【例3】（2024?陜西渭南?三模）已知△力中，角4,8,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,若bcosC+ccosb=b,

且a=ccosB,貝是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【解題思路】由正弦定理和sin/l=sin（B+C）得到Q=b,cosC=0,求出。=，得到答案.

【解答過(guò)程】bcosC+ccosB=b=sinBcosC4-sinCcosB=sinBnsin（8+C）=sinB,

即sin4=sinB,故a=b,

a=ccosB=sinA=sinCcosB=sin（8+C）=sinCcosB

=sin8cosc+cosBsinC=sinCcosB=sinBcosC=0,

因?yàn)锽€（0,n）,所以sinBWO,故cosC=0,

因?yàn)镃￡（O,TT）,所以C=5

故△/IBC為等腰直角三角形.

故選:D.

【變式3-1］（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）在△48C中，內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=7,匕=3,c=5,

則（）

A.△ABC為銳角三角形B.△力BC為直角三角形

C.△/BC為鈍角三角形D.△ABC的形狀無(wú)法確定

【答案】C

【解題思路】根據(jù)余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.

【解答過(guò)程】由于=竺孝世32+52-729+25-49

8sA<0,

2。

故4為鈍角，進(jìn)而三角形為鈍角三角形

故選：C.

【變式3-2]（2024?山東?二模）在△ABC中,設(shè)內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)甲:b-c=a（cosC-cosfi）,

設(shè)乙：△ABC是直角三角形，則1：）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】D

【解題思路】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化簡(jiǎn)命題甲，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【解答過(guò)程】在△ABC中,由正弦定理及b-c=Q(COSC-cosB),得sinB—sinC=sin4(cosC-cosB),

即sin(4+C)-sin(zl+B)=sinZ(cosC-cosF),整理得cos/lsinC-cosAsinB=0,

由正弦定理得ccosA-bcosA=0,則cosA=0或8=c,即4=g或b=c,

因此甲：A=5或力二c,顯然甲不能推乙；

乙：△ABC是直角三角形，當(dāng)角8或C是直角時(shí)，乙不能推甲，

所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.

故選：D.

【變式3-3](24-25高一下?天津?yàn)I海新?期末)在。中，記角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若。8$力-

bcos8=sinQ4+8+C),則△A8C的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解題思路】由正弦定理得sin24-sin23,進(jìn)?步討論得A=3或71十S-即可判斷.

【解答過(guò)程】因?yàn)閍cos4—bcosB=sin(?l+8+C)=sinn=0,所以acos4=bcosB,

所以sinAcosA=sinBcosB,所以sin24=sin2B,

因?yàn)?B￡(0m),

所以sinAsinB＞0,所以cosAcosB符號(hào)相同,

若cos/lWO,則cosB《0,而這會(huì)導(dǎo)致4+82TT,這與三角形內(nèi)角和矛盾，

從而只能。＜48＜會(huì)所以0v242BVn,

所以2A=28或24+28=TT,

所以A=8或4+8=今

所以△力8c的形狀是等腰三角形或直角三角形.

故選：D.

【題型4正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)】

【例4】（2025?江西?二模）在△4BC中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）

A.a=72,b=50,A=135°B.a=20,b=40,A=31°

C.a=30,b=20V3,A=120°D.a=8,b=14,A=30°

【答案】D

【解題思路】根據(jù)正弦定理逐一判斷各選項(xiàng)即可.

【解答過(guò)程】A：a=72,b=50,A=135°,力為鈍角且a>b,有一解，故A錯(cuò)誤；

B：a=20,b=40,A=31°,A為銳角,6sin/l=40xsin31°>20,則無(wú)解，故B錯(cuò)誤：

C：a=30,b=20V3,4=120。，4為鈍角且a<b,則無(wú)解，故C錯(cuò)誤；

D：a=8,b=14,A=30°,A為銳角，bsin?l=14xsin300=7,因7V8V14,故有兩解，故D正確.

故選：D.

【變式4-1]（2025?河北秦皇島?一模）已知△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,瓦c,且滿足。=2四,8=；

4

的三角形有兩個(gè)，則b的取值范闈為（）

A.（0,272）B.（2V2,4）C.（2,4）D.（2,2偽

【答案】D

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用正弦定理，結(jié)合三角形有兩解的條件列式求解.

_nb<a

[解答過(guò)程】在△A8C中，a=2V2,=p由△ABC有兩解，得或必4=竺吧V1，

Ib

（b<2V2

即42&X立，解得2<bV2VL

—VI

所以b的取值范圍為（2,2尤）.

故選：D.

【變式】（?湖北?模擬預(yù)測(cè)）在△中，已知企，C=\若存在兩個(gè)這樣的三角

4-2202448CAB=x,BC=24

形ABC,則x的取值范圍是（）

A.[2&,+8）B.（O,2V2）C.（2,272）D.（夜,2）

【答案】C

【解題思路】由正弦定理可得sin4=：分析可知關(guān)于力的方程：sin/l=：在力E（0,年）有兩解，結(jié)合正弦函

數(shù)圖象分析求解.

【解答過(guò)程】由正弦定理j=g可得414=竺浮=2,

sinCsin/1ABx

由題意可知：關(guān)于/的方程：sinA=，L4€（0,牛）有兩解，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出曲線y=sinA,AW（0,與和水平直線丁=|

因?yàn)樗鼈冇袃蓚€(gè)不同的交點(diǎn)，所以苧＜白VI,所以2＜%＜2加.

2x

故選：C.

【變式4?3】（2024?湖北黃岡?一模）已知的內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,4c,A=^,b=3,下面可

使得△力6c有兩組解的a的值為（）

A.當(dāng)B.3C.4D.e

【答案】D

【解題思路】根據(jù)bsin4VaVb,即可得到答案.

【解答過(guò)程】要使得△48C有兩組解，則加inAVaVb,又A=：/=3,得到孚＜。＜3,

故選：D.

【題型5證明三角形中的恒等式或不等式】

【例】（?北京東城?一模）在△中Q

5202548C=6,b-c=l,sinC=4

（1）求力的值及的面積；

（2）求證：A=2C.

【答案】（I）b=5,S^ABC=

（2）證明見解析.

【解題思路】（1）由正弦值得cos。=：,再應(yīng)用余弦定理列方程求得b=5,最后應(yīng)用三角形面積公式求面

4

積；

（2）由（1）及二倍角余弦公式得cos2c=［再應(yīng)用余弦定理求得cosA=:，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可

oO

證.

【解答過(guò)程】(1)在△A8C中b-c=l=b=c+l：>c,所以C是銳角，

由sinC=%可得cosC=%Wc2=a2+b2-2abcosC,

所以c2=36+(c+l)2-9(c+I),

可得c=4,則b=5,

故8c=^absinC=1x6x5xy=

(2)由(1)易知cosC=%則co由C=2cos2C-1=(

由(1)及余弦定理有85力=里Q=卓號(hào)=:，

2bc2x5x48

所以cosA=cos2C,又A,CW(0,口),力+C<軟，則力=2C.

【變式5-1](2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))在△以BC中,角4,8,C的對(duì)邊分別是a,瓦c,且

(b+c)cos4=a(cosF-cosC).

(1)證明：A=2B.

(2)若△力BC是銳角三角形，求3的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；

(2)(翟).

【解題思路】(1)由正弦邊角關(guān)系及和差角正弦公式得到sin(A+C)=sin(A-8),結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)即

可證結(jié)論；

(2)由題設(shè)得！<8應(yīng)用正弦邊角關(guān)系、倍角正弦公式有2=占，即可求范圍.

64a2cosB

【解答過(guò)程】(1)由題設(shè)(sinB+sinC)cos4=sin4(cos8—cosC),

所以sinBcosA+sinCcos4=sinAcosB-sin4cosC,

則sinCcos71+sin/lcosC=sinAcosB-sinBcosA,即sin(4+C)=sin(A-B),

又4+C=TT—8,則sin(n-8)=sinB=sin(A-B),且力,BE(0,IT),

所以8=A—B=>A=2B,得證.

(0<4<](0<2B<^

(2)由題設(shè)|0<8<3，即J0<B<；得

由"喘=瑞=焉W4爭(zhēng)

【變式5-2](2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))在△ABC中，A,B,。所對(duì)的邊是a,b,c.

(1)請(qǐng)用正弦定理證明:若a>b,則力>&

(2)請(qǐng)用余弦定理證明:若4>B,則a>從

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解題思路】(1)根據(jù)止弦定理結(jié)合己知條件得出sia4>sin&對(duì)角48的范圍進(jìn)行分類討論，再利用正

弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果；

(2)根據(jù)余弦函數(shù)y=cos》在(0,n)上單調(diào)遞減，得cos力<cos以利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系即可得出結(jié)

果.

【解答過(guò)程】(1)由正弦定理知，-^―=-^―=2/?,若a>b,則2Rsirh4>2Rsin8,B|JsinA>sinB.

sin/1sinK

⑴若兒Be(o，,,則由y=Sin》在(0用單調(diào)遞增,得力>8.

(ii)若AW(0《],B6貝iJsinA>sinB=sin(7i—B),此時(shí)ir-8E((),]),

由y=sinx在(0,,單調(diào)遞增，得力>IT-8=4+8>TT,顯然不成立，舍去.

(iii)若B￡(0,3Ae(PK)?必有4>B成立.

綜上，在△HBC中，若ci>b,則A>8.

(2)由y=cosx在(O,TT)上單調(diào)遞減，若A>B,則cosAVcosB,

由余弦定理得，廬+；，2<則Q(匕2+c2-a2)<b(a2+c2-b2),

所[Xab2+ac2-a3<ba2+be2-b3,

即ab(b-a)+c2(a-6)+(b-d](a2+b2+ah')<0,

即(b—a)[(a+b)2-c2]=(b—a)(a+b+c)(a+b—c)<0?

而a+b+c>0,a+b-c>0,所以a>b.

所以在△ABC中，若A>8,則a>b.

【變式5-3](2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在△ABC中，點(diǎn)。，￡都是。上且與8,。不重合的點(diǎn)，且點(diǎn)。在

B,E之間，AEAC-BD=AD^B-CE.

⑴求證：s\nz.BAD=s\nZ.CAE.

⑵若皿14C,求證：+g=

【答案】(1)證明見解析；

(2)i正明見解析.

【解題思路】(1)分別在△48C,4ABD,△力CE中，利用正弦定理即可得證；

(2)設(shè)==則0<aV%^DAE=^-2a,在△4B0,△4CE中，利用正弦定理即可得證.

42

【解答過(guò)程】(1)如圖.在△48C中，由正弦定理.，得當(dāng)=堂.

sinCAB

在△ABD中，由正弦定理，得sinz84D=華普.

AD

在△力CE中，由正弦定理，得siMC4E=W^.

At

所以sine?八O_BDAEsinB_BDAEAC_1

}#siMCAE-CEADsinC-CEADAB~'

所以sin^.DAD=sxn^.CAE.

(2)因?yàn)锳B_LAC,

所B+C=；,所以sinC=cosB.

\\\LBAC=/可知4C4E均為銳角.

由(1)知，乙BAD=Z-CAE.

^BAD=Z-CAE=a,則0<a<]Z.DAE=^-2a.

由s\nz.DAE=cos2a=1—2sin2a,得sin2a=

在△480中，由正弦定理，得黑二網(wǎng)上

RDsina

在△ACE中，由正弦定理，得絲二型￡=￡2組.

CEsinasina

所以"1+貯=列無(wú)+處=」=_2_.

BD2CE2sin2asin2asin2a1-sinzD/IE

【題型6和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題】

【例6】(2025黑龍江齊齊哈爾?二模)在△/命中，角/㈤。所對(duì)的動(dòng)分別為a/c若/券=4,sin/

則的面積為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】B

【解題思路】利用余弦定理求出加的值，再根據(jù)面積公式求出三箱形面積.

【解答過(guò)程】由余弦定理得Z?2+-=2bccos4,代入=4,

cosA丁

整理可得be=2,所以S=gbesinA=gx2xg=

故選：B.

【變式6-1］（2025?遼寧?二模）在等邊三角形48c中，D、E、產(chǎn)分別在邊4B、BC、4C上，RDE=V3,DF=

2/0*=90°.則三角形4BC面積的最大值是（）

A.乎B.2V3C.7V3D.6百

【答案】A

【解題思路】結(jié)合已知，弓I入"EB=6來(lái)表達(dá)“EC,4BDE/CFE,且據(jù)勾股定理可求出”=L則在△80E

和AECF中，分別用正弦定理可表達(dá)8C,即可表達(dá)面積，從而$)析最值.

【解答過(guò)程】設(shè)4DEB=6,

:.乙FEC一6/BDE==一>“FE=；+①

236

V乙DEF=pDF=2,DE=B

：.EF=1,

A

BEC

在中一/BE?器E，喘=舟，

:.BE=2sin(g_8)=V3cos0+sin6,

同理，在△EC尸中，EC=^sin(74-=^-cos3+sin0,

???△4BC的邊長(zhǎng)BC=BE+EC=yScosO+sin。+日cos6+sin。=Wsin(e+@),

J?3

其中tang=—,

???oG(o,0e+s=5時(shí)，BC取得最大值為券，

.”―梟心光卜苧.

故選：A.

[變式6-2](2025?海南?模擬預(yù)測(cè))設(shè)銳角△48c的內(nèi)角4&C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足(c-V2Z))cos/l+

acosC=0.

⑴求小

(2)若a=V2,且&ccosB=asinC,求A力BC的面枳.

【答案】(1乂=￡

4

(2呼

【解題思路】(1)由正弦定理邊轉(zhuǎn)角化簡(jiǎn)即可得解；

(2)由正弦定理求出8,b,再由兩角和的正弦公式求出sin。，即可由三角形面積公式求解.

【解答過(guò)程】(1)由(c一或Z?)cos4+acosC=0及正弦定理得：

(sinC-V2sinfi)cos/1+sinAcosC=sinfcos/1+sinAcosC-&sin8cos4=0,

因?yàn)閟inCcosA+sin/lcosC=sin(44-C)=sin(ir—F)=s\nB,

所以sinF(l—y/2cosA)=0,又0<8<TT,sinfi>0,

???COSi4=與又0VAVTT,故4=

24

(2)由V^ccosB=asinC可得或sinCcos8=sin/lsinC,

因?yàn)閟inCHO,所以cosB=?sin4=弓x?=g,

由0V8V5可得B=p

ij.A,r>、-An?A-r>您、，]，‘、，依V2+Vb

故rsmCr=si.n(//l+B)=s\nAcosB+cosAs\nB=~X2+~X~=~4~，

又味=白，可得匕=岑=苧=K，

s\nAs\nBsin/1

2

所以S&4BC=^absinC=|xV2xV3x嘩些=巴J.

44lT*r

【變式6-3](2025?北京?高考真題)在△ABC中，cos/1=-asinC=472.

J

(1)求C的值;

(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△48C存在，求4c邊上的高.

條件①：a=6：條件②：asinB=當(dāng)馬條件③：△A8C的面積為10&.

【答案】(1)6

(2)答案見解析

【解題思路】(1)由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；

(2)若選①，可得4C.都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理求得匕，由余弦定理求得a,利用等面積法求得

高；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得上再根據(jù)余弦定理可求得a，由此可說(shuō)明三角形力BC存在，且

可由等面積法求解49.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)閏osH=—W(0m),所以sinA=V1-cos2A=乎,

?3J

由正弦定理有asinC=csinA=竽c=4x^2,解得c=6；

?5

(2)如圖所示，若△AOC存在，則設(shè)其3c邊上的高為AD,

若選①，Q=6,因?yàn)镃=6,所以C=4因?yàn)镃OS4=-[V0,這表明此時(shí)三角形48。有兩個(gè)死角，

而這是不可能的，所以此時(shí)三角形4RC不存在，故AC邊上的高也不存在：

若選②，asinB=由asinC=4&有當(dāng)="誨二：,由正弦定理得"=所以b=5,

3sinC4V26c6

所以由余弦定理得a=Vb24-c2-2bccosA=(25+36-2x5x6x(-J=9,

此時(shí)三角形/8C是存在的，且唯一確定，

所以S△般=^bcsinA=明x5x6x手=gx9AD,

所以邊上的高力。=竿；

若選③，△48C的面積是10&,則S&48c=；bcsia4=；bx6x￥=10VL

4CD

解得b=5,由余弦定理可得a=7b2+c2-2bccos力=125+36-2?5?6,J=9可以唯一確定,

進(jìn)一步由余弦定理可得cosB,cosC也可以唯一確定，即8,C可以唯一確定，

這表明此時(shí)三角形4BC是存在的，且8c邊上的高滿足：S^ARC=AD=^AD=10^2,即4)=竿.

【題型7求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍】

【例7】（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)銳角△AB2的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,瓦c,且c=2,B=2C,

則a+b的取值范圍為（