專題7.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】.......................................................................4

【題型2點(diǎn)(線)共面問題】...........................................................................6

【題型3點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題】........................................................................10

【題型4等角定理】....................................................................................14

【題型5平面分空間問題】.............................................................................15

【題型6異面直線的判定】.............................................................................18

【題型7異面直線所成的角】..........................................................................21

【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】................................................24

【題型9立體幾何中的截面問題】.....................................................................25

1、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)

系是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考

⑴借助長方體，在直觀認(rèn)識(shí)空

情況來看，主要分兩方面進(jìn)行考查，一

間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

2023年上海卷：第15題，5分是空間中點(diǎn)、線、面關(guān)系的命題的真假

的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直

2025年全國一卷：第17題，15判斷；二是異面直線的判定和異面直線

線、平面的位置關(guān)系的定義

分所成角問題；常以選擇題、填空題的形

(2)了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)

式考查，難度較易；也會(huì)以解答題的一

定理，并能應(yīng)用定理解決問題

小問考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，難度

中等.

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1平面的基本事實(shí)及推論

1.四個(gè)基本事實(shí)及基于基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論

(1)四個(gè)基本事實(shí)及其表示

①基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

②基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

③基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

④基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(2)四個(gè)基本事實(shí)的隹用

基本事實(shí)I：①確定一個(gè)平面；②判斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面.

基本事實(shí)2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面.

基本事實(shí)3：①判斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線；③證明線共點(diǎn).

基本事實(shí)4：①判斷兩條直線平行.

(3)基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論

推論自然語言圖形語言符號(hào)語言

經(jīng)過一條直線和這條直線

點(diǎn)46a=>a與4共畫于平

推論1外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平

面區(qū)旦平面唯一.

面./“/

經(jīng)過兩條相交直線，有且只4nb=0=〃與力共面于平

推論2

有一個(gè)平面/面a,且平面唯一.

經(jīng)過兩條平行直線，有且只直線a〃b=在線a,b共面

推論3

有一個(gè)平面./—?‘/于平面a,且平面唯一.

2.等角定理

⑴自然語言:如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

(2)符號(hào)語言:如圖(1)(2)所示，在/力。8與N4O5中，OA//OK,OB〃O'B',則N<或

/幺。4+/4。歸'=180。.

知識(shí)點(diǎn)2共面、共線、共點(diǎn)問題的證明方法

1.共面、共線、共點(diǎn)問題的證明

(1)證明共面的方法:先確定一個(gè)平血，然后再讓其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.

(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)3平面分空間問題

1.平面分空間問題

一個(gè)平面將空間分成兩部分，那么兩個(gè)平面呢?三個(gè)平面呢？

(1)兩個(gè)平面有兩獨(dú)情形：

①當(dāng)兩個(gè)平面半仃時(shí)，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，將空間分成四部分，如圖(2).

ZZ7

(I)(2)

(2)三個(gè)平面有五種情形：

①當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當(dāng)三個(gè)平面相交于同一條直線時(shí)，將空間分成六部分，如圖(3)：

④當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點(diǎn)時(shí)，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時(shí)，將空間分成七部分，如圖(5).

知識(shí)點(diǎn)4空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

1.空間中直線與直線的位置關(guān)系

(1)三種位置關(guān)系

我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:

(止而百緯J相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

＜興卸且找［平行直線：在同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).

界面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn).

(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線。力不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖所示.

2.空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系有且只有三獨(dú)，具體如下:

位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)

直線在平面內(nèi)2all6有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面相交aC\a=A有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面至任沒有公共點(diǎn)

3.空間中平面與平面的位置關(guān)系

(1)兩種位置關(guān)系

兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩獨(dú)，具體如下:

位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)

口

兩個(gè)平面平行口al"沒有公共點(diǎn)

兩個(gè)平面相交aC\fi=-a有一條公共直線

(2)平行平面的畫法技巧

畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行.

4.異面直線所成的角

(1)定義：已知m是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)。作直線b'Hb,把"與加所成的角叫做

異面直線。與b所成的角(或夾角).

(2)范圍:.

【方法技巧與總結(jié)】

1.證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.

2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于異而直線所成的

角，也可能等于其補(bǔ)角.

舉一反三

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】

【例1】(24-25高一下?陜西西安?期末)下列命題正確的是(：

A.任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面B.平面就是平行四邊形

C.圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面D.梯形可確定一個(gè)平面

【答案】D

【解題思路】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及各項(xiàng)描述判斷正誤即可.

【解答過程】由平面是無限延展的，而平面圖形有邊界，故A、B錯(cuò)；

若圓心與圓上兩點(diǎn)共線，即在一條直徑上時(shí)，可確定無數(shù)個(gè)平面，C錯(cuò)；

平面的基本性質(zhì)知，梯形可以確定一個(gè)平面，D對(duì).

故選：D.

【變式1-1]（24-25高二上?上海?階段練習(xí)）給出下面四個(gè)命題，其中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)是（1

①三個(gè)不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面：②一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面：

③空間兩兩相交的三條直線確定?個(gè)平面：④兩條平行直線確定一個(gè)平面.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解題思路】利用平面公理及推論即可判斷.

【解答過程】由三個(gè)不在同一直線不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面，故①惜誤；

一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，故②錯(cuò)誤；

空間兩兩相交的三條不能交于同一點(diǎn)的直線確定一個(gè)平面，故③錯(cuò)誤；

兩條平行直線確定一個(gè)平面，故④正確.

故選：C.

【變式1-2]（24-25高一下?新疆哈密?期中）下列命題正確的是（）

A.三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面

C.兩條直線可以確定一個(gè)平面D.長方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長方體

【答案】D

【解題思路】根據(jù)平面的基本性質(zhì)求解.

【解答過程】三個(gè)不共線的點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；

一條直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，B錯(cuò)誤：

兩條異面直線不能確定平面，C錯(cuò)誤.

長方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長方體，D正確.

故選：D.

【變式1-3]（24-25高一下?河北石家莊?階段練習(xí)）下列不是基本事實(shí)的是（）

A.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

D.經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面

【答案】D

【解題思路】根據(jù)基本事實(shí)判斷即可.

【解答過程】對(duì)于A,“如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線”是

基本事實(shí)3,故A正確.

對(duì)于B,“平行于同一條直線的兩條直線平行”是基本事實(shí)4,故B正確；

對(duì)于C,“如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)”是基本事實(shí)2,故C正確；

對(duì)于D,經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面是基本事實(shí)1的推論，故D錯(cuò)誤；

故選：D.

【題型2點(diǎn)（線）共面問題】

【例2】（24-25高二下?河南?階段練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,B,C,。分別為所在棱的中點(diǎn),

則在這四個(gè)正方體中，/，B，C,。四點(diǎn)共面的是（）.

【解題思路】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷點(diǎn)是否共面.，并應(yīng)用平面的性質(zhì)畫出截面即可判斷.

【解答過程】由正方體性質(zhì)，選項(xiàng)A,B,C中，A,B,C,。匹點(diǎn)顯然不共面.

對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖取石，尸為正方體所在棱的中點(diǎn)，依次連接力。CE6產(chǎn)，

易知戶為平面正六邊形，所以4B,C,。四點(diǎn)共面.

故選：D.

【變式2-1］（2025?吉林?模擬預(yù)測）在長方體力BCO-ABiGDi中，直線&C與平面力斗〃的交點(diǎn)為M,。為

線段々D］的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.4M,0三點(diǎn)共線B.M,0,4,B四點(diǎn)異不共面

C.四點(diǎn)共面D.四點(diǎn)共面

【答案】C

【解題思路】由長方體性質(zhì)易知四點(diǎn)共面旦。M,84是異面直線，再根據(jù)M與4。、面面

力當(dāng)D］的位置關(guān)系知M在面力。。遇1與面4當(dāng)小的交線上，同理判斷。、力，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【解答過程】

因?yàn)?4//CG，

則四點(diǎn)共面.

因?yàn)镸W4C,

則MW平面力CC41，

又M￡平面力斗。1，

則點(diǎn)M在平面ACG4與平面力BW1的交線上，

同理,0、A也在平面4CCi4與平面AaD1的交線上,

所以4M,。三點(diǎn)共線；

從而M,O,AX,A四點(diǎn)共面，都在平面ACC}Ay內(nèi)，

而點(diǎn)8不在平面4CCm1內(nèi)，

所以M,。,8四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；

8,81,0,三點(diǎn)均在平面8當(dāng)。1。內(nèi)，

而點(diǎn)4不在平面內(nèi)，

所以直線AO與平面BBW也相交且點(diǎn)O是交點(diǎn)，

所以點(diǎn)"不在平面BB］小。內(nèi)，

即瓦當(dāng),0,M:四點(diǎn)不共面，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

BCIIDMi，且"=。出，

所以8CD/i為平行四邊形，

所以。1，/?內(nèi)共面，

所以四點(diǎn)共面，

故選項(xiàng)D正確.

故選:C.

【變式2-2]（24-25高一下?河北邯鄲?期末）如圖,在空間四邊形2B20各邊48,BC,CD,D4上分別取點(diǎn)E,

F,G,H,若直線E",GF相交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.點(diǎn)P必在平面內(nèi)B.點(diǎn)P必在平面。80內(nèi)

C.點(diǎn)戶必在直線30上D.直線FG與直線BD為異面直線

【答案】D

【解題思路】利用基本事實(shí)2,3可得正確的選項(xiàng).

【解答過程】

對(duì)干AB,

因?yàn)橹本€EH在平面4B0內(nèi)，且PWEH,所以點(diǎn)尸必在平面480內(nèi)，故A正確;

同理直線FG在平面C8D內(nèi)，且PWFG,所以點(diǎn)P必在平面C8D內(nèi)，故B正確：

由A,B選項(xiàng)得點(diǎn)P在平面4BD內(nèi)，也在平面CBD內(nèi)，

對(duì)于CD,

由基本事實(shí)3得點(diǎn)P在交線BC上，故C正確；直線尸G與直線8。為相交直線,

故D不正確,

故選：D.

【變式2-3］（24-25高三上?河北承德?期中）如圖，在下列正方體中，M,N為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，P,。分

別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，M，N,尸，。四點(diǎn)共面的是（）

【答案】D

【解題思路】根據(jù)圖形及平行公理判斷即可.

【解答過程】對(duì)于A：顯然AQ、N在正方體的上底面，旦三點(diǎn)不共線，M不在正方體的上底面,

所以P、Q、N、M四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：

如圖，MN//BA,即人、B、M、N四點(diǎn)共面，即Q、M、N三點(diǎn)共面，且三點(diǎn)不共線,

又PW平面48MN,所以P、Q、N、M四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：顯然P、M、N在正方體的下底面，且三點(diǎn)不共線，Q不在正方體的下底面，

所以P、Q、N、M四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D：

如圖，連接4C,則PQ〃/1C,又4C〃MN,所以PQ〃MN,

所以P、Q、N、M四點(diǎn)共面，故D正確.

故選：D.

【題型3點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題】

【例3】（2025?湖南?二模）如圖，在三棱柱4B2-4B1C1中,E,尸,G,H分別為881,CC】,的中點(diǎn),

則下列說法錯(cuò)誤的是（）

B.EF//GH

C.三線共點(diǎn)D.乙EGB[=乙FHG

【答案】D

【解題思路】對(duì)于AB,利用線線平行的傳遞性與平面公理的推論即可判斷；對(duì)于C,利用平面公理判斷得EG,

F”的交點(diǎn)P在A4i，從而可判斷；對(duì)于D,舉反例即可判斷.

【解答過程】對(duì)于AB,如圖，連接EF,GH,

因?yàn)槭恰?B1C1的中位線，所以GH〃/g,

因?yàn)?E,且8iE=C/,所以四邊形B]￡FCi是平行四邊形，

所以EO/BiG，所以EF〃GH,所以￡吃G,H"四點(diǎn)共面，故AB正確;

對(duì)于C,如圖，延長EG,9”相交于點(diǎn)P,

因?yàn)镻EEG,EGu平面4BB遇口所以PW平面4B44,

因?yàn)镻E丹/,股/<=平面/1CG4,所以P6平面4CC14，

因?yàn)槠?面Cl平面=AAlf

所以PE/L41，所以EG,FH,/Mi三線共點(diǎn)，故C正確；

對(duì)干D,因?yàn)?當(dāng)G/HHCi時(shí)，tan^EGBiHtan乙F”Ci，

X0<Z.EGB1,Z.FHC1<p貝iJ4EGBi,乙FHg,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

【變式3-1]（24-25高一下?河南開封?期末）如圖，在正方體48CD—&BiC]Z）i中，￡為棱的靠近以上

的三等分點(diǎn).設(shè)4E與平面8當(dāng)。1。的交點(diǎn)為。，則（）

A.三點(diǎn)Di，0,8共線，且08=205

B.三點(diǎn)0,。,8共線，且08=305

C.三點(diǎn)九0,8不共線，且。8=2。。1

D.三點(diǎn)0卜。,8不共線，且。3=3。。1

【答案】B

【解題思路】連接力0]，8G利用公理2可直接證得，并且由三保形相似得比例關(guān)系，從而求出結(jié)果.

【解答過程】連接連接4久，B“

???U￡直線a&A占u￥:面，Ue平面

又???06平面幽。1。，平面力8"1n平面峭處。=BD1，:.06直線幽

???三點(diǎn)。1，0,8共線.

???△ABO-△ED。???OB:0D1=AB:ED{=3:1,???OB=30Z\.

故選：B.

【變式3-2]（24-25高三?全國?課后作業(yè)）在空間四邊形48co的各邊48、BC、CD、04上分別取E、尸、

G、H四點(diǎn)，若EFCGH=P,則點(diǎn)。（）

A.一定在直線8。上B.一定在直線力。上

C.既在直線力C上也在直線8。上D.既不在直線4C上也不在直線8。上

【答案】B

【解題思路】由題意可得尸￡平面,44C,尸￡平面力CO,又平面/BCD平面力CZ）=4C,則夕￡〃'，可得答案.

【解答過程】如圖，

???Ebu平面力4C,GHu平面力CO,EFCGH=P,

；?P￡平面力4C,平面4CO,

又平面Z8CCI平面ACD=AC,

/.PGJC,即點(diǎn)尸一定在直線力。上.

故選：B.

【變式3-3]（24-25高一下?河南洛陽?階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD41/。避1中，P,0分別是棱

CC］的中點(diǎn)，平面DiPQn平面=h則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是［)

A./過點(diǎn)B

B.，不一定過點(diǎn)4

C.的延長線與DA的延長線的交點(diǎn)在I上

D.QQ的延長線與DC的延長線的交點(diǎn)在［上

【答案】B

【解題思路】作出輔助線，得到P,B,。四點(diǎn)共面，即BE平面DiPBQ,又B6平面4BCD,所以B6/：

作出輔助線，得到打￡平面DiPBQ,平面4RCD,故尸€1,同理D正確.

【解答過程】連接PB,QB,如圖，

因?yàn)槭?，。分別是棱eg的中點(diǎn)，

由勾股定理得尸=DiQ=QB=BP,

所以四邊形0P8Q是菱形，

所以。1，P,B,。四點(diǎn)共面，即BW平面。/BQ.

又BE平面48CD,所以8WZ,故A結(jié)論正確，B結(jié)論錯(cuò)誤.

如圖，延長DiP與DA的延長線交于點(diǎn)凡延長D】Q與DC的延長線交于點(diǎn)￡

因?yàn)镈/u平面。［P8Q,所以FE平面。J8Q,

因?yàn)椤u平面ABCD,所以尸6平面力BCD,所以FEZ,

同理E6I,故C,D正確.

故選：B.

【題型4等角定理】

【例4】（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）巖AB〃A'B',BC//BC\且Z/18C=45。，則乙不夕。等于（）

A.45°B.135°C.45?；?35。D.不能確定

【答案】C

【解題思路】根據(jù)空間等角定理判斷即可.

【解答過程】因?yàn)?B〃TB',BC"B'C；且〃BC=45。，

所以乙4R'C'=45?；駼C=135°.

故選：C.

【變式4-1］（2025高一下?全國?專題練習(xí)）已知角。的兩邊和角0的兩邊分別平行，且a=80。，則/?=（）

A.80°B.100°

C.80?；?00。D.不能確定

【答案】C

【解題思路】根據(jù)等角定理確定角％與角/?的關(guān)系，即可得由

【解答過程】由等角定理可知角a的兩邊和角/?的兩邊分別平行，則兩角相等或互補(bǔ)，

故a=0或Q+/?=180°,所以0=100?；?=80°.

故選：C.

【變式4?2】（24-25高二?全國?課后作業(yè)）不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊分別平行，則這兩

個(gè)三角形（）

A.一定是全等三角形B.一定是相似但不全等的三角形

C.一定是相似或全等的三角形D.可能不全等或相似

【答案】C

【解題思路】根據(jù)等角定理，即可判斷選項(xiàng).

【解答過程】根據(jù)等角定理可知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角，分別對(duì)應(yīng)相等，所以這兩個(gè)三角形一定相似或全

等.

故選：C.

【變式4?3】（24-25高一?全國?課后作業(yè)）給出下列命題：

①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)弁相等;

②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等;

③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

其中正確的命題有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【解題思路】對(duì)于①，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，據(jù)此判斷;

對(duì)于②，根據(jù)等角定理判斷；對(duì)于③，空間兩條直線的垂直包括異面垂直，此時(shí)兩個(gè)角有可能不相等且不

互補(bǔ)，據(jù)此判斷.

【解答過程】對(duì)于①，這兩個(gè)角也可能互補(bǔ)，故①錯(cuò)誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確：

對(duì)于③，如圖所示，

BCLPB,ACLPA,N/C8的兩條邊分別垂直于〃的兩條邊，但這兩個(gè)角不一定相等，也不一定互補(bǔ),

故③錯(cuò)誤.所以正確的命題有1個(gè).

故選：B.

【題型5平面分空間問題】

【例5】(2024?四川內(nèi)江?三模)三個(gè)不互相重合的平面將空間分成幾個(gè)部分，則"的最小值與最大值之和為

()

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解題思路】求出三個(gè)不同平面分空間所成的部分?jǐn)?shù)即可得解.

【解答過程】按照三個(gè)平面中平行的個(gè)數(shù)來分類：

(1)三個(gè)平面兩兩平行，如圖1,可將空間分成4部分；

(2)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面相交，如圖2,可將空間分成6部分：

1

I2

(3)三個(gè)平面中沒有平行的平面:

(i)三個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3,可將空間分成7部分;

(ii)三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，如圖4,可將空間分成8部分;

(iii)三個(gè)平面兩兩相交且交線重合，如圖5,可將空間分成6部分,

圖5

所以三個(gè)不平面將空間分成4、6、7、8部分，孔的最小值與最大值之和為12.

故選：B.

【變式5-1](24-25高二上,四川樂山?階段練習(xí))三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分的示意圖是()

【解題思路】根據(jù)空間中平面位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過程】對(duì)于A,三個(gè)平面將空間分成4個(gè)部分，不合題意;

對(duì)于B,三個(gè)平面將空間分成6個(gè)部分，不合題意:

對(duì)于C,三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分，符合題意;

對(duì)于D,三個(gè)平面將空間分成8個(gè)部分，不合題意.

故選：C.

【變式5-2](2025?廣東廣州?模擬預(yù)測)三個(gè)不互相重合的平面將空間分成〃個(gè)部分，則幾不可能是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解題思路】作出圖形，可得出三個(gè)不互相重合的平面將空間所分成的部分?jǐn)?shù)，即可得出71的值.

【解答過程】按照三個(gè)平面中平行的個(gè)數(shù)來分類：

(1)三個(gè)平面兩兩平行，如圖L可將空間分成4部分；

(2)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面相交，如圖2,可將空間分成6部分：

1

(3)三個(gè)平面中沒有平行的平面：

(i)三個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3,可將空間分成7部分；

(ii)三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，如圖4,可將空間分成8部分.

(iii)三個(gè)平面兩兩相交且交線重合，如圖5,可將空間分成6部分;

綜上，可以為4、6、7、8部分，不能為5部分,

故選：B.

【變式5-31（24?25高一下?廣東廣州?期末）空間的1個(gè)，2個(gè)，3個(gè),4個(gè)平面最多可將空間分別分成2個(gè),

4個(gè)，8個(gè)，15個(gè)區(qū)域，則空間的5個(gè)平面最多可將空間分成的區(qū)域個(gè)數(shù)是（）

A.25B.26C.28D.30

【答案】B

【解題思路】利用特殊到特殊，通過簡單情況的理解，逐步到復(fù)雜情況的分析，即可得解.

【解答過程】

先研究直線分一個(gè)平面：

1條直線分一個(gè)平面為2部分，2條直線分一個(gè)平面為4部分，

3條直線分一個(gè)平面為7部分，這個(gè)7=1+1+24-3,

4條直線分一個(gè)平面為11部分，這個(gè)11=1+1+2+3+4,

5條直線分一個(gè)平面為16部分，這個(gè)16=1+1+2+3+4+5,

由于空間的1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)平面最多可將空間分別分成2個(gè)，4個(gè).8個(gè)區(qū)域.

當(dāng)?shù)?平面與前面3個(gè)平面最多有3條交線，這3條交線把第4個(gè)平面分成7個(gè)區(qū)域,

所以4個(gè)平面最多可將空間分成8+7=15個(gè)區(qū)域，

當(dāng)?shù)?平面與前面.4個(gè)平面最多有4條交線，這4條交線把第5個(gè)平面分成11個(gè)區(qū)域,

所以5個(gè)平面最多可將空間分成15+11=26個(gè)區(qū)域,

故選:B.

【題型6異面直線的判定】

【例6】（2025?上海?模擬預(yù)測）如圖，718co-是正四棱臺(tái)，則卜.列各組直線中屬于異面直線的

是（）

A.48和B.AAi^CCiC.8Z）i和81。D.AXD^AB.

【答案】D

【解題思路】根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)及直線與直線的位置關(guān)系即可判斷.

【解答過程】因?yàn)?8CD—&BiGDi是正四棱臺(tái)，所以48〃為叢〃Ci外,故A錯(cuò)誤，

側(cè)棱延長交于一點(diǎn)，所以與CCi相交，故B錯(cuò)誤，

同理84與。小也相交，所以8,歷,。1，0四點(diǎn)共面，所以BO1與氏0相交，故C錯(cuò)誤，

4%與力8是異面直線，故D正確.

故選：D.

【變式6?1】（2025?上海?模擬預(yù)測）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn),

則下列直線中，始終與直線8P異面的是（）

A.。歷B.ACC./IDiD.B]C

【答案】B

【解題思路】根據(jù)異面直線的定義一一判斷即可.

【解答過程】由正方體的性質(zhì)易知當(dāng)P為4G的中點(diǎn)時(shí)，P為B15的中點(diǎn)，

而所以B,D,Di，8i共面，則8P、在平面BDD[/上，故A不符題意；

因?yàn)锳4〃CC],即4C,g,&共面,

易知P6平面4CC14,而80平面ACC14,PE&C1，PAC,

故6P與4C異面，故B符合題意；

當(dāng)P、g重合時(shí)，易知AB〃DiC“4B=OiC],

則四邊形為8Ci〃是平行四邊形，則此時(shí)故C不符合巡意；

當(dāng)P、Ci重合時(shí)，顯然/C,BP相交，故D不符合題意.

故選：B.

【變式6?2】（24?25高一下?河北?期中）如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列

直線中，與直線4。是異面直線的是（）

B.EHC.EFD.BC

【答案】C

【解題思路】根據(jù)正方體展開圖得到直觀圖，即可判斷.

【解答過程】由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線4。是異面直線的是EF,

K^AD//BC//EH//FG,所以力。與8c共面、AD與EH共面、40與FG共面.

【變式6-3］（24-25高二上?上海涓東新?期末）如圖所示，長方體4此0-48cz）i中,

P是線段41cl上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線8P異面的是（）

A.DD1B.B[CC.D}CD.AC

【答案】D

【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特征及異面直線的意義，逐項(xiàng)判斷作答.

【解答過程】在長方體力—中，

BB/DDi，當(dāng)P是力￡1與當(dāng)。1的交點(diǎn)時(shí)，BPu平面BOO]4,BP與。外相交，A不是；

當(dāng)點(diǎn)P與g重合時(shí)，BPu平面8”科],BP與當(dāng)。相交，B不是；

當(dāng)點(diǎn)尸與為重合時(shí)，因?yàn)殚L方體-&當(dāng)?shù)摹?的對(duì)角面ABC小是矩形，此時(shí)8P〃0i。，C不是；

因?yàn)?Cu平面/1BCD,8￡4&8€平面48。。，而PC平面力BCD,因此BP與4c是異面直線，D是.

故選：D.

【題型7異面直線所成的角】

【例7】（2025?云南紅河?三模）在四棱錐P-ABCD中，底面4BCO為矩形，P41平面4BCO,E為PC的中點(diǎn),

AB=PA=2,若四棱錐P-48CD的外接球半徑為2,則AE與8c所成角的正弦值為（）

A.iB.立C.&D.更

2224

【答案】B

【解題思路】將四棱錐P—4BCD補(bǔ)成長方體48co—PB]gO[,設(shè)/。=m,根據(jù)條件可求得m=2&,可得

4E與8c所成的角即為/EAD或其補(bǔ)角，在△4EZ）中，利用余弦定理求解.

【解答過程】設(shè)4D=m，如圖所示，將四棱錐"一4BCD補(bǔ)成長方體48CD-P8iGZ）i，

則四棱錐尸-48C0的外接球半徑等于長方體的外接球半徑，

因?yàn)锳D=m,AB=PA=2,即〃=2+;+m=所以機(jī)=2企.

乂BC〃40,所以力E與8C所成的角即為乙￡力?；蚱溲a(bǔ)角，

由題意以及長方體結(jié)構(gòu)特征知^尸力。和4PDC均為直角三角形，

所以4E=E0=gpC=2,AD=2V2,

AE2+AD2-ED24+8-4V2

所以cosZ-EAD=________.

2AEAD2x2x2近-2

可知AE與BC所成的角為?所以他與BC所成的角的正弦值為當(dāng)

4L

故選：B.

【變式7-1]（24-25高三下?黑龍匚?階段練習(xí)）在正四面體48CD中，M,N分別是棱4B,CZ）的中點(diǎn)，則

直線1N與CM所成角的余弦值為（）

A，B.c.冬D.西

3333

【答案】C

【解題思路】將正四面體/出CO中置于正方體中，分析易得NEIICW,可得ZL4NE為直線4V與?！彼山牵ɑ?/p>

補(bǔ)角），進(jìn)而結(jié)合余弦定理求解口]可.

【解答過程】將正四面體48CO中置于正方體中，如圖，

易得CN//ME,CN=ME,

所以四邊形CNEM為平行四邊形，則NEIICM,

則異面直線AN與CM所成角即為直線AN與NE所成角，

即44NE為直線4N與CM所成角（或補(bǔ)角），

設(shè)正方體的棱長為2,則4E=OE=2,ON=V^,AN=NE=n，

在△/NE中，由余弦定理可得，cos"NE=生修等=%關(guān)=工

2AN-NE2v6v63

因此直線AN與CW所成角的余弦值為右

故選：C.

【變式7-2】（（24-25而一下?廣東深圳?期末）在長方體ABCD-ABiCiDi中，AB=AD=2A/3,AA}=2,

則直線/小與B0所成角的余弦值為（）

A遺R遺C—D—

A.3'434

【答案】D

【解題思路】作出輔助線，得到乙4小名即為AQ和8。所成角，并由勾股定理求出各邊長，利用余弦定理求

出夾角余弦值.

【解答過程】連接&Di，AB1,因?yàn)锽D〃&Di，所以乙4D$i即為4Di和B0所成角,

因?yàn)榱?=AD=26，441=2,

22

由勾股定理得=AD1=V12+4=4,B1D1=BD=y/AB-￥AD=2瓜

￡>“2+8[5-81M_16+24-16_V6

因此cos乙4。1%

201Aoi的-2x4x276-41

故選：D.

【變式7-3]（2025?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）如圖，已知正四棱錐P—4BCD的所有棱長均相等，E為棱PA的

中點(diǎn)，則異面直線8E與PC所成角的余弦值為（）

【答案】C

【解題思路】根據(jù)線線平行可得異面直線BE與PC所成角為4BEO（或其補(bǔ)角），即可根據(jù)余弦定理求解.

【解答過程】連接4C,取AC的中點(diǎn)。，連接80,E。，

由題意知，EO//PC,

則異面直線8E與PC所成角為/BE0（或其補(bǔ)角），

在^B0E中，E0=^PC=l,0B=^AC=或,8E=畀力=遍,

"2+￡。2-8。2_3+1—2_V5

則cos乙BE0=

2XBEXEO~2、阿―3'

則異面直線BE與PC所成角的余弦值為日,

?5

【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】

【例8】（2025?天津?一模）已知“，〃是兩條直線，。是一個(gè)平面，下列命題正確的是（）

A.若m〃a,n//a,貝Um〃九B.若m1a,mln,則n〃a

C.若m1a,nca,則m1nD.若?n〃a,mln,則n1a

【答案】C

【解題思路】根據(jù)空間中線、面關(guān)系的判定和性質(zhì)逐一判斷即可.

【解答過程】對(duì)A：平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系不確定，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：若m_La,mln,則九〃a或nua,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：根據(jù)線面垂直的定義可知，C正確；

對(duì)D：若血〃a,77i_Lm則直線n與平面a的位置關(guān)系不確定，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式8-1]（2025?云南?模擬預(yù)測）設(shè)小,九是兩條不同的直線，。為平面，則下列說法正確的是（）

A.若?nl7i,nIIa,則m1a

B.若m||n,nIIa,則mIIa

C.若m1a,nIIa,則m1n

D.若m||a,n||a,則m||n

【答案】C

【解題思路】對(duì)于A,利用直線與平面的位置關(guān)系判斷；對(duì)于B,利用直線與平面的位置關(guān)系判斷；對(duì)于C,

利用線面垂直的性質(zhì)定理判斷；對(duì)于D,利用直線與直線的位置關(guān)系判斷.

【解答過程】對(duì)于A,若mln,九||a,則m||a或mua或m與比相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若mIIn,nIIa,則mII?；騧ua,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若m_La,nIIa,則mJ.71,故C正確;

對(duì)于D,若m||a,n||a,則||ri或m與九相交或m與九異面，放D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式8?2】（2025?安徽?模擬預(yù)測）已知a,￡是兩個(gè)不重合的平面，m,n是兩條不同的直線，則下列命題中

錯(cuò)誤的是（）

A.若m〃幾nua,則m〃aB.若〃瓜aC/?=n，則m〃九

C.若m_La,m_L0,則?！?D.若a_!_/?,血■!"a,幾6，則m_L九

【答案】A

【解題思路】由線面的平行及垂直進(jìn)行判斷.

【解答過程】對(duì)于A項(xiàng)，若m〃幾,nua,則m〃a或mua.

對(duì)于B,C,D項(xiàng)，顯然成立，

故選:A.

【變式8?3】（2025?天津?一模）已知m,n是兩條不同的直線，a,0,y是二個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.若m〃k，m//a,貝"〃aB.若m〃n,a///?,m1a,則九1p

C.若aJ_y,/71y,貝Ua〃6D.若?！?,mua,nu°,則m〃幾

【答案】B

【解題思路】根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).

【解答過程】A.若m〃幾，m//a,則?i〃a或八ua,故A錯(cuò)誤；

B.若m〃n,a//p,m1a,則n?L夕，故B正確；

C.若aly,<JLy,則a〃?；颉Ｅc￡相交，故C錯(cuò)誤;

D.若a〃夕，maa,nu0,則m〃n或異面，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【題型9立體幾何中的截面問題】

【例9】（2025?陜西銅川?三模）在正方體ABC。中，E,F,G分別為BC,CD,DG的中點(diǎn),若列8=4,

則平面EFG載正方體所得截面的面積為（）

A.6V2B.6V3C.12V2D.12百

【答案】D

【解題思路】借助正方體截面的性質(zhì)可得該截面是邊長為2注的正六邊形，計(jì)算其面積即可得.

【解答過程】如圖，過點(diǎn)G作EF的平行線交8%于點(diǎn)人過點(diǎn)/作FG的平行線交于點(diǎn)/,

過點(diǎn)/作"的平行線交為。1于點(diǎn)從易知點(diǎn)都在截面"G內(nèi)，

且都是其所在棱的中點(diǎn)，從而所得截面是邊長為2夜的正六邊形,

所求面積S=6xQx2V2x2V2xsin60°)=126.

故選：D.

【變式9-1】（2025?全國?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-48iCiDi中，￡■為棱8C的中點(diǎn),

用過點(diǎn)4,E,Ci的平面截正方體，則截面周長為（）

A.3V2+2x/5B.9C.272+2A/5D.372+273

【答案】A

【解題思路】作出正方體的截面圖形，求出周長即可.

【解答過程】

如圖，取的中點(diǎn)G,連接GE,為最A(yù)C.

因?yàn)镋為4c的中點(diǎn)，所以GE〃/C,GE=\AC,

4

又AA[〃CC\,AA1=CCX,

所以四邊形為平行四邊形，

所以4C〃4C1，AC=A}CX,

所以4G〃GE,41G=2GE,

所以用過點(diǎn)4,E,C〔的平面截正方體，所得截面為梯形4GEG,

其周長為2&+西+&+西=3&+2V5.

故選：A.

【變式9-2]（2025?上海黃浦?二模）如圖，已知P,Q,R分別是正方體48。。-4出￡。1的棱和的

中點(diǎn)，由點(diǎn)P,Q,R確定的平面口截該正方體所得截面為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題意，取4的中點(diǎn)T,的中點(diǎn)M,Cg的中點(diǎn)S,連接PM,7M,RS,QS,可得過P,Q,R

的截面圖形.

【解答過程】解：如圖，取45的中點(diǎn)兀

A4的中點(diǎn)M,CCi的中點(diǎn)S,連接PM,TM,RS,QS,

由正方體的性質(zhì)可知AiC[〃MS〃4C,

由中位線性質(zhì)可知PQ〃力C,RT//A1C1，

所以，PQ//MS//RT,

所以，由點(diǎn)P,Q,R確定的平面/?即為截面PQSR7M,其為六邊形.

故選：D.

【變式9-3］（2024?遼寧?模擬預(yù)測）在正四棱柱48CD-4中，AB=AD=2,&A=3,P為線段的久

的中點(diǎn)，?質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，沿長方體表面運(yùn)動(dòng)到達(dá)P點(diǎn)處，若沿質(zhì)點(diǎn)A的最短運(yùn)動(dòng)路線截該正四棱柱，則所

得截面的面積為（）

A.y/3B.—C.—D.3瓜

24

【答案】B

【解題思路】根據(jù)正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離，進(jìn)而可得截面與截面面積.

【解答過程】如圖，把正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離，

所以質(zhì)點(diǎn)從4到P的最短距離為3V2,

此時(shí)質(zhì)點(diǎn)從4點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過DDi上靠近處的三等分點(diǎn)S,再到達(dá)P點(diǎn),

面/SP截正四棱柱所得截面為五邊形ASPQR,如圖，

由AS=4R=RS=272,SP=PQ=QR=魚，

所以沿質(zhì)點(diǎn)A的最短運(yùn)動(dòng)路線截正四棱柱，

則所得截面的面積為：

S△ARS+S梯形PQRS=26+竽=當(dāng).

故選：B.

過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024,陜西商洛?模擬預(yù)測）在空間中，下列命題是真命題的是（）

A.三條直線最多可確定1個(gè)平面B.三條直線最多可確定2個(gè)平面

C.三條直線最多可確定3個(gè)立面D.三條直線最多可確定4