專題7.6空間向量的應(yīng)用(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型1平行關(guān)系的向量證明】.........................................................................4

【題型2垂直關(guān)系的向量證明】.........................................................................5

【題型3異面直線夾角的向量求法】....................................................................7

【題型4線面角的向量求法】...........................................................................8

【題型5面面角的向量求法】..........................................................................1()

【題型6點到直線距離、異面直線距離的向量求法】...................................................11

【題型7點面距離、面面距離的向量求法】............................................................12

【題型8軌跡問題的向量求法】........................................................................14

【題型9探索性問題的向量求法】......................................................................15

1、空間向量的應(yīng)用

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

空間向量的應(yīng)用是高考的重點、熱

2023年新高考I卷：第18題，

點內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從

(1)理解直線的方向向量及平面12分

近幾年的高考情況來看，空間向量解立

的法向量，能用向量方法證明立2023年新高考H卷:第20題,

體幾何一般以解答題形式為主，每年必

體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的12分

考，難度中等偏難，第一小問一般考查

一些簡單定理2024年新高考I卷：第17題，

空間線、面位置關(guān)系的證明；空間角與

(2)能用向量法解決異面直線、直15分

點、線、面距離問題通常在解答題的第

線與平面、平面與平面的夾角問2024年新高考H卷：第17題,

二小問考查；有時在選擇題、多選題中

題，并能描述解決這一類問題的15分

也會涉及，難度一般.

程序，體會向量法在研究空間角2025年全國一卷：第9題，6

近年命題趨勢更注重動態(tài)幾何問

問題中的作用分、第17題，15分

題和向量法的綜合應(yīng)用，如通過翻折情

(3)會求空間中點到直線以及點2025年全國二卷：第17題，

境分析空間角的變化，需靈活求解；備

到平面的距離15分

考時需強化坐標系建立技巧、法向量求

(4)以空間向量為工具，探究空間2025年北京卷:第17題，14

解步驟及空間角公式的熟練應(yīng)用，同時

幾何體中線、面的位置關(guān)系或空分

注重向量運算的嚴謹性,避免因計算失

間角存在的條件2025年天津卷：第17題，15

誤失分.

分

知識梳理

知識點1空間位置關(guān)系的向量表示

1.直線的方向向量

直線的方向向量:如果表示非零向量次的有向線段所在的直線與在線/平行或重合，那么稱此向量五為宜線/

的方向向量.

2.平面的法向量

平面的法向量:直線LLa,取直線/的方向向量則稱向量不為平面〃的法向量.

知識點2用空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系

1.空間中直線、平面的平行

(1)線線平行的向曷表示:設(shè)1，I分別是直線八，，2的方向向量，則八〃/2=1//7=皿￡&使得1=人二.

(2)線面平行的向量表示:設(shè)五是直線/的方向向量，元是平面a的法向量，/《a,則/〃a=五_1_元0刃?五=0.

(3)面面平行的向量表示:設(shè)〃I，也分別是平面a，/?的法向量，則〃〃夕//〃2<=>至fR，使得〃1=力?2.

2.利用向量證明線線平行的思路：

證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可.

3.證明線面平行問題的方法：

⑴證明直線的方向向星與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；

(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；

(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi).

4.證明面面平行問題的方法：

(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行.

(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線壬任然后用向量共線進行證明.

知識點3用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系

1.空間中直線、平面的垂直

(1)線線垂直的向量表示:設(shè)〃I，〃2分別是直線(,，2的方向向量,則Zl±120M-L?2?〃2=0.

(2)線面垂直的向量表示：設(shè)五是直線/的方向向量，元是平面。的法向量，1%,則/_Lao五〃元=五￡R,使

得云=沅.

(3)面面垂直的向量表示:設(shè)〃2分別是平面。，力的法向量，貝卜_1夕=〃I_1〃2=〃|?〃2=0.

2.證明兩直線垂直的基本步躲：

建立空間直角坐標系T寫出點的坐標-求直線的方向向量一證明向量垂直T得到兩直線垂直.

3.用坐標法證明線面垂直的方法及步驟：

(1)利用線線垂直:①將直線的方向向量用坐標表示：②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標表示它們的方

向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直.

(2)利用平面的法向量:①將直線的方向向量用坐標表示；②求出平面的法向量：③判斷直線的方向向量與

平面的法向量平行.

4.證明面面垂直的兩種方法：

(1)常規(guī)法:利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明.

(2)法向量法:證明兩個平面的法向量互相垂直.

知識點4用向量法求空間角

1.用向量法求異面直線所成角的二1^驟：

(1)建立空間直角坐標系；

(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量：

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范鬧是即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對

值.

2.向量法求直線與平面所成角的主要方法：

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就

是斜線和平面所成的角.

3.向量法求二面角的解題思路：

用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到兩立面夾角的大

小.

知識點5用空間向量研究距離問題

1.距離問題

(1)點P到直線/的距離：已知直線/的單位方向向量為五，4是直線/上的定點，尸是直線/外一點，設(shè)向量

力在直線/上的投影向量為則點P到直線/的距離為-Q?(如圖).

(2)點尸到平面。的跑離：設(shè)平面Q的法向量為五，力是平面。內(nèi)的定點，戶是平面。外一點，則點尸到平面。的

\AP'n\

距離為一百一(如圖).

回

2.向量法求點到直線距離的步驟：

(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向何量工

(2)在直線上任取一點M(可選擇特殊便于計算的點).計算點M與直線外的點N的方向向量必巾

(3)垂線段長度d=J加2-(加?).

3.求點到平面的距離的常用方法

(1)直接法：過尸點作平面a的垂線，垂足為。，把P0放在某個三角形中，解三角形求出P。的長度就是點

P到平面a的距離.

⑵轉(zhuǎn)化法:若點P所在的直線/平行于平面a,則轉(zhuǎn)化為直線/上某一個點到平面a的距離來求.

(3)等體積法.

(4)向量法:設(shè)平面a的一個法向量為元，力是a內(nèi)任意點，則點P到a的距離為4=1~n」.

同

【方法技巧與總結(jié)】

1.異面直線所成角的范圍是(。，9：直線與平面所成角的范圍是［0局；二面角的范圍是［0,也兩個平

面夾角的范圍是［o,3.

［舉一反三

【題型1平行關(guān)系的向量證明】

【例1】(24?25高二下?四川南充?階段練習(xí))如圖，正方形4BCD與矩形4CE9所在平面互相垂直，AB=E，

力尸=1,M在Er上且AM〃平面BDE,則M點的坐標為()

A.(1,14)B,俘弓1)C.俘凈1)D.件11)

【變式1-1］(24-25高二上?江西?階段練習(xí))如圖，在長方體力BCD-中，AB=BC=24%,當砧=

入藥時，有。止〃平面80%,則實數(shù)2的值為()

【變式1-2］(2025?陜西安康?模擬預(yù)測)如圖，己知多面體是由正四棱錐。與正方體

（1）求證：PC〃平而

（2）若48=3,求四棱錐P-4DC$i的體積.

【變式1-3]（2025?全國?模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐4-8CD中，△4BC和△BCO都是正三角形，E是BC

的中點，點廠滿足而=4瓦5（2。0）.

（1）求證：平面48cl平面

（2）若|4D|=|8C|=2百,且BFII平面4CD,求。尸的長.

【題型2垂直關(guān)系的向量證明】

【例2】（24?25高三下?陜西安康?階段練習(xí)）在正方體48。。-4當?shù)摹?中，M是線段的小（不含端點）上

的動點，N為8c的中點，則（）

A.BDLAMB.平面為8。_L平面ADiM

C.MN〃平面A［BDD.CM〃平面A/D

【變式2?1】（24?25高二上?上海嘉定期中）在正方體力BCD—4.8iGDi中，Q為A41上一動點，則下列各選

項正確的是（）

A.存在點Q使得BQ與平面/CD垂直B.存在點Q使得DQ與平面8也0垂直

C.存在點。使得出。與平面Bi。。垂直D.存在點Q使得DiQ與平面垂直

【變式2-2］（2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖1,在高為6的等腰梯形中，48〃C0,且Q9=6,48=12,

將它沿對稱軸。。1折起，使平面力。。1。_L平面8C01。，如圖2,點P為BC的中點，點E在線段48上（不同于4,B

兩點），連接?！瓴⒀娱L至點Q,^AQ//OB.

圖1圖2

⑴證明：。0工平面R4Q；

（2）若8E=24E,求三棱錐P-4BQ的體積.

【變式2-3］（2025?新疆?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCD^P，PDL平面Z1BC。，底面4BCD為菱形，乙4BC=

60°.

（1）求證：AC1PB；

（2）若718=2,當平面PA8_1_平面/>8。時，求PD的長.

【題型3異面直線夾角的向量求法】

【例3】（2025?浙江?二模）正方體/18。0-力18￡15中，點M,N分別為正方形41/gDi及ABB/i的中心,

則異面直線BD與MN所成角的余弦值為（）

A.0B.—C.1D.

422

【變式3-1］（2025?安徽合肥?模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了?種被稱為“曲池”的幾何體,

該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的曲池,

它的高為2,44、8/、CCi、DDi均與曲池的底面4BCC垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和

2,對應(yīng)的圓心角為90。，則圖中異面直線力與與所成角的余弦值為（）

?。?---

CD

【變式3-2］（2025?江蘇蘇州?三模）如圖，正四棱錐S-/1BCD,SA=2,AB=gP為側(cè)棱SD上的點，且

SP=3PD.

⑵求異面直線S4與CP所成角的余弦值.

【變式3-3］（2025?河南新鄉(xiāng)?二模）《九章算術(shù)?商功》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉喘如

圖，在四面體/BCD中，CDJL平面AB1BC,RAB=4,BC=CD=3,AE=EC.

（1）證明：四面體力BCD為鱉㈱；

（2）若直線MN1平面Z8D,求宜線8E與MN所成角的余弦值.

【題型4線面角的向量求法】

【例4】（2024?青海西寧?模擬預(yù)測）在直三棱柱力中，AB1AC,AB=AC=^AAV0為線段BC

的中點，點E在線段B］g上，且5書=；81。1，則直線。E與平面力Cg公所成角的正弦值為（）

【變式4-1］（2024?四川攀枝花?一模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一

千多年，例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；鱉腦指的是四個面均為直角三角形

的三棱錐如圖,在塹堵45。一力1的。1中，乙4c8=90。，若4C=BC=1,AAr=2,直線4C與平面488遇1

所成角的余弦值為（）

【變式4-2](2025?全國?模擬預(yù)測)由四棱柱48。。一481。1小截去三棱錐。1一%。。1后得到如圖所示的幾

何體，四邊形4BCZ)是菱形，4C=4,8。=2,。為AC與BC的交點，/。1平面A8CD.

(1)求證：。?！ㄆ矫?DC1；

(2)若8]。=2^，求4cl與平面AWg所成角的正弦值.

【變式4-3](2025?內(nèi)蒙古呼和浩恃?模擬預(yù)測)如圖，在三棱臺,48。一4當。1中，平面力①。/_1_平面力BC,

AA^=41cl=C1C=2,AC=4,BA=BC.

(1)證明：4B14C1；

(2)求宜線BE】與平面84cl所成角的正弦值的最大值.

【題型5面面角的向量求法】

「例5】（2025高二?全國?C題練習(xí)）如圖，將菱形紙片A8C”沿對角線AC折成直二面角，當產(chǎn)分別為A〃,8（；

的中點，。是何的中點，立力"=拳則折后二面角E—OF—A的余弦值為（）

D

.V213m

A-VB.D.

u

【變式5-1]（2024?江西宜春?模擬預(yù)測）在正方體力BCD-4B1GD1中，平面a經(jīng)過點B,D,平面0經(jīng)過點4。1,

當平面區(qū)6分別截正方體所得截面面枳最大時，平面a與平面￡的夾角的余弦值為（）

A.iB.更CTD.3

2332

【變式5-2]（2025?湖南湘潭一模）如圖，在四棱錐P-4?。。中，底面力BCD是菱形，側(cè)面P401底面力BCO,△

PAD為正三角形,E,尸分別是棱,4D,DC的中點，點G在側(cè)棱PD上，且PG:GD=3:1.

（1）求證：PB〃平面EFG；

（2）若P8JL8C,求二面角F-EG-D的余弦值.

【變式5?3】（2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測）如圖①，在梯形ABCD中,BC||AD,LABC=Z.DCB=60°,BA=

40=0&M為線段BC的中點，將△84M沿折起至如圖②.

⑴若B'D=AD,證明：BA1BCx

（2）若二面角1一AM-。的大小為120。，求平面口48’與平面DC8'夾角的正弦值.

【題型6點到直線距離、異面直線距離的向量求法】

【例6】（2025?四川?二模）已知空間中向量荏=（0,1,0）,向量前的單位向量為（一日，?，一爭，

則點8到直線4C的距離為（）

A.邑B.漁C.綽D.正

3333

【變式6-1］（24?25高二下?甘肅平?jīng)?期中）正四棱錐S-A8CD中，。為頂點S在底面力8CZ）內(nèi)的正投影，P

為側(cè)棱SD的中點，且SO=OD=VL則異面直線PC與8。的距離為（）

A.饕B.野C.余D.終

105105

【變式6-2］（24-25高二上?遼寧大連?期末）三棱臺ABC-力道道1中，AB=2AxBltAB1BC.AC1BBlt平

面/力避避！平面力BC,AB=3,BC=2,BBl=1,~AE=2EB,4（與人的交于。.

（1）證明：DEII平面力iBG；

（2）求異面直線4cl與DE的距離.

【變式6-3]（2025?廣東?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面48co是邊長為2的正方形，△PAB

為正三角形，且側(cè)面048_L底面力BC。，M為PD的中點.

（1）求點P到直線8M的距離；

⑵求平面P4C與平面240的夾角的余弦值.

【題型7點面距離、面面距離的向量求法】

【例7】（2025?江西萍鄉(xiāng),一模）如圖，在平行四邊形A8CQ中，AB=2BC=2,zABC=60。，E為CD的

中點，沿力七將△D4E翻折至的位置得到四棱錐P—ABCE,且PB=2.若尸為棱P8的中點，則點尸

到平面尸CE的距離為（）

【變式7-1]（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）正方體4BC。一4B1C1D1的棱長為2,E,F,G,H分別是棱AB,

AD,當?shù)?，D］Ci的中點，則平面EFDiB］和平面GHDB之間的距離為（）

A.-B.-C.-D.-

3326

【變式7-2］（2025?湖南長沙?模擬預(yù)測）在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為正方形，平面P/W1平面PCD,

PA1AD,P4=40=2,點￡為線段PD的中點，點尸為線段PC上的動點（不含端點）.

（1）證明：平面AEF1平面PCD；

（2）若平面力E/與平面P8C的夾角為不求點夕到平面4EF的距離.

4

［變式7-31（24-25高二上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱力BC-&81cl中，418。=90°,BC=

2,CCi=4,點￡在線段8%上,且網(wǎng)=4,D、F、G分別為Cg,［%,C遇i的中點.

⑴求證：_L平面//。

⑵求證：平面￡G/7/平面力80；

（3）求平面EG/與平面ABD的距離.

【題型8軌跡問題的向量求法】

【例8】（2024?四川成都?三模）在棱長為5的正方體48。。一4%的。1中，Q是DD】中點，點P在正方體

的內(nèi)切球的球面上運動，旦CP1.4Q,則點P的軌跡長度為（）

A.>/5nB.2x/5nC."D.5ir

4

【變式8-1］（2025?北京?二模）設(shè)正方體的棱長為2,P為正方體表面上一點，且點P到

宜線/M1的距離與它到平面48CZ）的距離?相等，記動點尸的軌跡為曲線力,則曲線％的周長為（）

A.3V2B.2V2+TTC.6V2D.4724-n

【變式8-2］（2025?浙江嘉興,二模）如圖，已知AD"BC“FE,平面A8FJL平面/IDEF,ABA.AF,AFLAD,

AD=2BC=2EF=2AF=2,點P為梯形4DEF內(nèi)（包括邊界）一個動點，且8P〃平面CDE.

（1）求點P的軌跡長度；

（2）當線段8P最短時，直線8P與平面8"尸所成角6的正弦值為二求三棱錐P-CDE的體枳.

6

【變式8-3］（2025?江蘇?三模）如圖，在直三棱柱ABC-力避1。1中，點。在BC上，AD1DC^

（1）證明：AD1平面8B1GC：

(2)若AB=AC=20,AB1AC,二面角C-ACX-。的大小為全

①求71。與平面所成角的正弦值；

②點E在側(cè)面7188ml內(nèi)，且三棱錐E-4DG的體積為:求E的軌跡的長度.

?J

【題型9探索性問題的向量求法】

【例9】(2024?內(nèi)蒙占呼和浩特?二模)如圖，已知ABJL平面8CE,CDWAB,△BCE是等腰直角三角形，其

中/E8C=p且48=BC=2CD=4.

(1)設(shè)線段BE中點為F,證明:CFII平面

(2)在線段48上是否存在點M,使得點3到平面CEM的距離等于4，如果存在，求M8的長.

【變式9-1](2025?江西景德鎮(zhèn)?模擬預(yù)測)如圖，在直三棱柱力8。一為8道1中，8C=F分別為

的中點，且AFJLEQ.

AC.

B

(1)證明：4cl平面BCg.

(2)若=在線段EG上是否存在點使平面力與平面4ME夾角的余弦值為甯？若存在，確定

點M的位置；若不存在，請說明理由.

【變式9-2](2025?貴州遵義?模擬預(yù)測)在多面體48CDMN中，已知四邊形4BNM是邊長為2的正方形，AB=

AD=^BC,AD//BC,AB1AD,平面力BNM_L平面48CD,“為線段BC的中點.

(1)若平面4N，n平面MNC=，，求證：MC//1-,

(2)在線段NC上是否存在一點尸，使得平面P4H1平面N4”？若存在，求得的值；若不存在，說明理由.

【變式9-3](2024?黑龍江哈爾濱?一模)如圖1,在平行四邊形力BCD中，D=60°,DC=2AD=2,將△ADC

沿AC折起，使點。到達點尸位置，且PC1BC,連接PB得三棱維P-4BC,如圖2.

p

(1)證明：平面P4B1平面說:

(2)在線段PC上是否存在點使平面與平面MBC的夾角的余弦值為小若存在，求出■的值，若不存

H\rC\

在，請說明理由.

過關(guān)測試

一、單選題

1.(2024?寧夏吳忠一模)已知平面。={。員?聲=0},其中點Po(l,2,3),法向量元=(1,1,1)，則下列各

點中不在平面。內(nèi)的是()

A.(1,2,3)B.(-2,4,5)C.(-3,4,5)D.(2,-4,8)

2.(2025?貴州遵義?模擬預(yù)測)在正方體48。)一481的。1中，M、N分別棱8/，C】。］的中點，則下列選

項正確的是()

A.AXM||CNB.八向1MC

C.MN1面44?CD.MN〃面4/0

3.（2025?甘肅白銀?三模）如圖，在長方體ABCD-ABiGD］中，AB=BC=3,BBX=2,麗=|萬瓦而7=

9福，則異面直線4M和BN夾角的余弦值為()

D.竽

4.（2025?甘肅甘南,模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體力8（?。-4叢明。1中，E,F分別為棱力4，8當?shù)闹?/p>

點，G為棱為々上的一點，且41G=2（0</IV2）,則點G到平面”透產(chǎn)的距離為（）

5.（2025?河南安陽?一模）如圖,在三棱錐S-ABC中，SA,SB,SC兩兩垂直，SC=3,SB=2,SA=1,

0為線段SC上靠近。的三等分點，點E為的重心，則點E到直線80的距離為（）

6.（2025?北京順義一模）六氟化硫是一種無機化合物，常溫常壓下為無色無味無毒不燃的穩(wěn)定氣體.化學(xué)

式為S&，在其分子結(jié)構(gòu)中，硫原子位于中心，六個氟原子均勻分布在其周圍，形成一個八面體的結(jié)構(gòu).如圖

所示，該分子結(jié)構(gòu)可看作正八面體，記為「-力8。。-f?，各棱長均相等，則平面PA8與平面QAB夾角的余

D.1

3

7.（2025?黑龍江?一模）正方體｛BCD-ABiGDi的棱長為1,E為棱DD1的中點，點P在面對角線B的上

運動（P點異于8、Q點），以下說法錯誤的是（）

A.8〃i〃平面力口；

B.AXP1BXD

C.直線/E與平面CDDi的所成角的余弦值為:

?5

D.三棱錐P-4CDi的體積為!

6

8.（2025?黑龍江哈爾濱?二模）已知四面體力BCD中，AB,BC,BD兩兩垂直,8c=BD=&,力8與平面4CC

所成角的止切值為好則點3到平面力。。的距離為（）

A-TB.苧C.yD.等

二、多選題

9.（2025?山東濰坊?二模）在正方體力8?！辏┮?81的。1中，E、尸分別為線段為外、力B的中點，則（）

A.EF與BC異面B."〃平面CDOC

C.EF±ACD.BDJ_平面"G

10.（2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體力中，。為上底面ABiG。］的中

心，則（）

A.。8〃平面4皿

B.OB1CjD

C.直線Bg與CD］的距離為］

D.直線8C與平面AC。1所成