專題7.3空間直線、平面的平行(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型I有關(guān)平行命題的判斷】........................................................................4

【題型2證明線線平行】...............................................................................6

【題型3線面平行的判定】............................................................................9

【題型4線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】................................................................13

【題型5面面平行的判定】...........................................................................18

【題型6面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】................................................................22

【題型7平行關(guān)系的綜合應(yīng)用】......................................................................26

【題型8平行關(guān)系的探索性問題】....................................................................32

1、空間直線、平面的平行

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

空間直線、平面的平行是高考的

2023年新高考I卷：第18題，

重點、熱點內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)

12分

容之一,從近幾年的高考情況來看，主

(1)理解空間中直線與直線、直2024年新高考I卷：第17題，

要分兩方面進(jìn)行考查，一是空間中線

線與平面、平面與平面的平行15分

面平行關(guān)系的命題的真假判斷，常以

關(guān)系，并加以證明2024年北京卷：第17題，14分

選擇題、填空題的形式考查，難度較

(2)掌握直線與平面、平面與平2025年全國一卷：第9題，6分

易；二是空間線線、線面、面面平行

面平行的判定與性質(zhì)，并會簡2025年全國二卷：第17題，15

的證明，一般以解答題的其中一小問

單應(yīng)用分

的形式考查，難度中等；解題時要靈

2025年北京卷：第17題，14分

活運用直線、平面的平行的判定與性

2025年上海卷：第18題，14分

質(zhì)，復(fù)習(xí)時要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.

知識梳理

知識點1線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

(1)判定定理

①自然語言

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.

②圖形語言

③符號語言

Q0a,b(ZaflaIIb=>aI/a.

該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.

(2)性質(zhì)定理

①自然語言

一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.

②圖形語言

③符號語言

aIIafaU3aC\/3=b==>aHb.

該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.

(3)性質(zhì)定理的隹用

①作為證明線線平行的依據(jù).當(dāng)證明線線平行時，可以證明其中?條直線平行于?個平面，另一條直線是過

第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據(jù).如果一條直線平行于一個平面，要在平面內(nèi)畫一條直線與已知

直線平行，可以過已知直線作一個平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.

2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

(1)判定定理

①自然語言

如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.

②圖形語言

③符號語伐

aCa,6Ca,aC\b=P>aH6///?=>a///?.

該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.

(2)判定定理的推論

①自然語言

如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面平行.

②圖形語言

③符號語言

aCa,bUa,aC\b=P,dU0,"U。，a'C\b'=a//a\b//b1=>a///3.

(3)性質(zhì)定理

①自然語言

兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.

②圖形語言

③符號語言

a〃daA7=a?/3C\y=b=>a/lb.

該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.

(4)兩個平面平行的其他性質(zhì)

①兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面.

②平行直線被兩個平行平面所截的線段長度相等.

③經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

④兩條直線同時被三個平行平面所截，截得的線段對應(yīng)成比例.

⑤如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.

知識點2空間中的平行關(guān)系的判定方法

1.線線平行的證明方法

(1)定義法:即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩更線沒有公共點；

(2)利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；

(3)利用基本事實4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行；

(4)利用線面平行與面面平行的性質(zhì)定理來判定線線平行.

2.線面平行的判定方法

(1)利用線面平行的定義：宜線與平面沒有公共點；

(2)利用線面平行的判定定理：如果平面外有?條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平

行(簡記為“線線平行一線面平行”)：

(3)利用面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行，那么在一個平面內(nèi)所有直線都平行于另一個平面.(簡記為

“面面平行一線面平行”).

3.面面平行的判定方法

（1）面面平行的定義：兩個平面沒有公共點，常與反證法結(jié)合（不常用）：

（2）面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行C主要

方法）：

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行（選擇、填空題可用）；

（4）平行于同一個平面的兩個平面平行（選擇、填空題可用）.

【方法技巧與總結(jié)】

1.垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若。_La,a邛,則《/也

2.平行于同一個平面的兩個平面平行，即若6例，則a〃y.

3.垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若bJba,則

4.若a〃6，aCa＞則a/力.

舉一反三

【題型1有關(guān)平行命題的判斷】

【例1】（2025?河北唐山?二模）已知m為平面a外的一條直線，則下列命題中正確的是（）

A.存在直線m，使得九Im,n1aB.存在直線幾，使得n1m,n//a

C.存在直線九，使得九〃7九，n//aD.存在直線7i,使得n〃m,n1a

【答案】B

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合線面平行的判定與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.

【解答過程】對于A中，當(dāng)直線m與平面a斜交時，此時不存在更線n,使得nlm,n1a,所以A錯誤;

對于B中，如圖所示，當(dāng)mla時，過直線n作平面使得an。=a,

因為m_La,Qua,所以m_La,

又因為mJ■九，可得a〃九，因為九色a,QUa,所以n〃a,

當(dāng)血與平面a斜交時，設(shè)斜足為4在直線m上取一點尸，作PO_La,垂足為。，連接04,

在平面a內(nèi)，過點力作直線a1。4

因為a_LP0,且POCOA=O,P0,0Au平面P0A,所以a_L平面P0A,

又因為PAu平面P0A,所以a_LPA,即a_LTH,

在過。和加確定的平面內(nèi)，過點P作直線n,使得幾1zn,所以九〃a,

因為九ca,QUa,所以n〃a,所以存在直.線九，使得n1m,n//a

若直線m〃a,此時存在平面且mu/?,在直線m取一點Q,

在平面夕內(nèi)過Q作直線〃_Lm,根據(jù)面面平行的性質(zhì)有〃/a,所以B正確；

對于C中，當(dāng)直線m與平面。相交時，若〃〃m,則直線n與平面a必相交，所以C錯誤；

對于D中，當(dāng)時，若九〃相，可得"〃a或九ca,所以D錯誤.

故選：B.

【變式1-11（2025?廣東深圳一模）已知直線a,b分別在兩個不同的平面a邛內(nèi)，貝廠直線a和直繃平行”是“平

面a和平面/?平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解題思路】結(jié)合圖形利用線面的位置關(guān)系和充分條件，必要條件的定義即可判斷.

【解答過程】當(dāng)，直線a和直線b平行''時，平面a和平面夕可能平行也可能相交，故不充分；

當(dāng)“平面a和平面/?平行”時，直線a和直線b可能平行也可能異面，故不必要；

因此“直線a和直線力平行”是“平面】和平面夕平行”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【變式1-2］（24-25高一下?福建龍巖?期中）已知直線a,b,c是三條不同的直線，平面a,/?,y是三個不同

的平面，下列命題正確的是（）

A.若a//a,b//a,則a//匕

B.若?！╞,a//a,則》〃a

C.若QUa,bua,且a〃伙b//p,則a〃/?

D.a,p,y三個平面最多可將空間分割成8個部分

【答案】D

【解題思路】對于A,結(jié)合條件可得直線a,b可能平行，相交，異面，判斷A,對于B,由條件可得”/a

或七ua,由此判斷B,結(jié)合面面平行判定定理判斷C,舉例判斷D.

【解答過程】對于選項A,若0/a,b//a,則a與匕可能相交、平行或異面，故選項A錯誤；

對于選項B,若a〃b,a//a,則力〃a或bua,故選項B錯誤；

對于選項C,若QUa,bua,且a〃0,b//p,因為直線a,匕未必相交，所以a與0不一定平行，故選項C

錯誤；

對于選項D,a,B，y三個平面兩兩垂直時，可將空間分割成8個部分，故選項D正確.

故選：D.

【變式1-3]（24-25高一下?安徽合肥?期中）己知/,m,九是三條不同的直線，a,/?,y是三個不同的平面,

則下列命題一定正確的是（）

A.若血〃。，n//p,a〃0,則m〃7i

B.若mua,nca,m〃0,n///?,則a〃。

C.若〃/a,Icp,an/?=m,則〃/m

D.若mua,nua,Ic/?,且m///?,n//l,則a/〃

【答案】C

【解題思路】利用線面、面面位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的性質(zhì)逐項判斷即得.

【解答過程】對于A,由機(jī)〃a,n//p,a“B，得m〃n或m與n相交或m與n是異面直線，A錯誤；

對于B,由?nua,nua,?n///j,n〃夕，得a〃夕或。與0相交，B錯誤；

對于C,由，〃a,Icp,aC\p=m,得Y/m,C正確；

對于D,由mua,nca,lap,且加〃/?,n//l,得a〃/?或a與/?相交，D錯誤.

故選：C.

【題型2證明線線平行】

【例2】（24-25高一下?全國?課堂例題）如圖所示，在三棱錐S-/4NP中，E,F,G,H分別是棱SN,SP,MN,

MP的中點，則EF與HG的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交C.異面D.平行或異面

【答案】A

【解題思路】利用中位線定理與平行線的傳遞性即可得解.

【解答過程】因為E,尸分別是棱S/V,SP的中點，所以EF〃NP

因為G,”分別是棱MN,MP的中點，所以HG〃NP

所以EF//HG.

故選：A.

【變式2-1]（24-25高一?全國?課后作業(yè)）在正方體力4。。一小8（。中，E,尸分別是側(cè)面及必。，側(cè)面

C。。/。的中心，G,〃分別是線段/從8c的中點，則直線EF與直線G〃的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面C.平行D.垂直

【答案】C

【解題思路】連接力CD/,AC,根據(jù)E,廠分別為力C。/的中點，由三角形的中位線定理和平行關(guān)系

的傳遞性判斷.

【解答過程】如圖，

連接《0，CD1,AC,

因為E,產(chǎn)分別為力。，CQ的中點，

由三角形的中位線定理知E/〃/C,GH//AC,

所以EF//GH.

故選：C.

【變式2-2]（24-25高一下?全國?課堂例題）已知正方體—中，E,尸分別是人為，CC】的中

點.求證:BF//EDX.

【答案】證明見解析

【解題思路】取89的中點G,利用平行四邊形的判定性質(zhì)，平行公理推理得證.

【解答過程】在正方體4BCD-&B1C1D1中,取8管的中點G,連接GCi，GE,如圖，

由卜為CC1的中點，得〃（:1",4G=G，，則四邊形6GC1產(chǎn)為平行四邊形，

于是BF“GCi，又EG//AiB\“C\Di，EG==g。］,

因此四邊形EGCRi為平行四邊形，ED/GCi，

所以BF//ED1.

【變式2-3］（24?25高二上?云南大理?期末）如圖，在棱長為3的正方體力8CD-A$iC］D］中,P,Q分別為

棱8&CG的中點.

（1）證明：ADJ/PQ-

（2）求三棱錐A-81QP的體積.

【答案】（1）證明過程見解析

【解題思路】（1）作出輔助線，得到四邊形ABQDi為平行四邊形，結(jié)合中位線證明出結(jié)論;

（2）求出底面積和高，利用錐體體積公式求出答案.

【解答過程】（1）連接8g,

因為P,Q分別為棱BC,CCX的中點，

所以BC"/PQ,

因為正方體ABC。-AiBiG內(nèi)的棱長為3,

所以C[Oi=A8=3,CM"AB,

故四邊形/IBCiD]為平行四邊形，

所以

故AD1//PQ：

（2）由題意得，正方形3。。181的面積為3乂3=9,

S△RBiP=S*C\BiQ=gx3x|=；,S^CPQ=1X|X|=^?

故S"iQP=9-^x2-1=J,

又HB_L平面BCC1B1，故力B_L平面B1PQ,

三棱錐A-BiQP的體積為齊加。MB=1x^x3=y.

【題型3線面平行的判定】

【例3】（2025?山西晉城?模擬預(yù)測）如圖,在四棱柱48C。一4%好以中，底面4BCD為平行四邊形，點M

是線段當(dāng)。1上的一個動點，E、尸分別是EC、CM的中點.

⑴求證:E/7/平面BOOiBi；

（2）若四棱柱A8C。-的體積為24,求三棱錐C-8。尸的體積V的值.

【答案】（1）證明見解析

（2）2

【解題思路】（1）連接BM,由中位線可知EF〃8M,然后結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；

（2）由F是CM的中點得VJBDF=VF-BDC=gVM-BDC，再由〃平面BCD,MEBi。1，所以VM-BDC=

=

VRI-BDC，M-BDCBi-ABDC^Bi-ABCD=T^4eCD-41B1CtDi?聯(lián)乂即可得解?

【解答過程】（1）在四棱柱中，連接BM,如組,

因E、F分別是8C、CM的中點，則有EF〃8M,

又EFC平面Bog,6Mu平面BDD/i，所以EF〃平面5。。$].

（2）由F是CM的中點得Vc一80F=^F-BDC=^M-BDCf

在四棱柱48。。一41816%中，BBJ/DD1，BB1=DDi，

故四邊形8B]D】D為平行四邊形，貝1」8道1〃8￡）,

因為80u平面BCD,8101c平面BCD,則Bi%〃平面BCD,

又點M是線段當(dāng)小上的一個動點，

=X

則BX-BDC—^B1-ABCD|\ABCD-AXBXCXDX='X24=4,

所以三棱錐。-BDF的體積V的值：X4=2.

【變式3-1]（2025?寧夏石嘴山?模擬預(yù)測）如圖，在正方體-48CD中，￡是。。i的中點.

（1）求證：Og〃平面ACE；

（2）若8%=6,求點8到平面4EC的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵夜

【解題思路】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到AC〃4G，即可得證;

（2）利用等體積法求出點到平面的距離.

【解答過程】（1）在正方體為當(dāng)好。1-48co中，44"/Cg且=eg,

所以四邊形44GC為平行四邊形，所以47/4G，

又41cle平面4CE,4CU平面4CE,所以41G〃平面ACE.

（2）設(shè)正方體的棱長為a（a>0）,則8￡）［=Vo2+。2+為=6,解得a=2V5,

所以4c=J（2V3）2+（2V3）2=2瓜AE=EC=J（2A/3）2+=V15,

所以1x2A/6xJ（V15）2-（V6）2=3V6,

設(shè)點B到平面4EC的距離為d,則點一48c=%TEC，即.SA/IBC?DE=GSAAEC，d,

g|j|xIx2V3x2V3xV3=Ix3>/6-d,解得d=&,

即點B到平面AEC的距離為位.

【變式3-2］（2024?四川?三模）正方體力"。一為8?。1的棱長為2,瓦尸,G分別是Cg,8cM。的中點.

⑴求證:CG〃面DiEF；

（2）求點G到平面D］EF的距離.

【答案】（1）證明見解析

（2）|

【解題思路】（1）利用中位線定理構(gòu)建線線平行，再利用線面平行的判定定理證明線面平行即可.

（2）利用線面平行合理轉(zhuǎn)化點面距離，再利用等體積法處理即曰.

【解答過程】（1）

連接。遇,kA,BCV因為&/*.分別是CG，8c的中點,

由中位線定理得EF//BQ又BCi〃小小

所以EF//。遇,所以四點共面,由于G是力。的中點，

則HG//rC且力G=FC,那么四邊形AGCr為平行四邊形，

從而CG//AF,又CGU面D]EF,NFu面D〔EF,故CG〃面D/凡

(2)由上問結(jié)論知點G到平面的距而等于點C到平面DiE尸的距離.

易得=V5,EF=V2tD1F=3l

利用余弦定理得cos乙DiEF=辭搭=-粵，

2V5x4210

貝ljsinzOiEF=—,S^DEF=-D{E■EFsinzDjEF=-xV5xx/2x—=

1022102

設(shè)點C到平面的距離d,

利用等體積法Vc-OiEF=gs^CEF,%C1=；SAD】EF,d,

可得4=應(yīng)組皿=擔(dān)等=2,

S&DiEF23

即點G到平面DiEF的距離為今

J

【變式3-3](2025?陜西渭南?三模)如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面48co是平行四邊形，PA1平面力8CQ,

4PA=4AB=3AD=12,瓦5?而=0,且M,N分別為PZ),的中點.

(1)求證：MN〃平面P8C；

(2)求三棱錐MAC。的體積.

【答案】（1）證明見解析

（2）3

【解題思路】（1）利用三角形的中位線，證明MN〃P8,可證得MN〃平面P8C

（2）利用三棱錐的體積公式求解.

【解答過程】（1）證明：如圖，連接8。，由48C。是平行四邊形，則有8。交力C于點N.

匚

,:M,N分別為PQ,8。的中點，，MN//PB.

又PBu平面PBC,MN仁平面PBC,故MN〃平面PBC.

(2),：BAAD=O,：.BA1AD,:.平行四邊形48CO為矩形.

V4P/1=4AB=3AD=12,PA=AB=3,AD=4,

*=6.

又24_L平面48cO,M為尸。的中點,則M到平面力。的距離為九二"4=|.

VM-ACD=5s△4C0-h=3.

【題型4線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】

【例4】（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐P--48C0的底面是平行四邊形，E為4D的中點，F(xiàn)

在P4上，且而=4而，PC〃平面8EF,貝IJ/1的值為（）

二,

AB

A-1B.|C.2D.3

【答案】D

【解題思路】連接AC,與BE交于點G,連接rG,易證?得第二%由PC〃平面BEF利用線面

平行的性質(zhì)定理可得G/7/PC,即可求得;1=喘=干=3.

f\r/iG

【解答過程】如圖，連接4C,與BE交于點G,連接FG.

因為E為的中點，所以?1E=T/D=：8C，由四邊形48CD是平行四邊形，可得AD〃BC,

則△/EG-△CBG,所以呼=翌=＞所以槳=1.

CCBC2AC3

又PC〃平面BE居區(qū)匚平面勿配平面BE/F平面P4C=G凡所以GF〃PC,所以4=與=絲=3.

AFAG

【變式4-1](24-25高一下?山東濟(jì)南?期中)如圖，在四棱錐P-ABCE中,四邊形48CE是梯形,AB//CE,

且=3CE,點尸在棱P4上，且E?||平面PBC,則萼()

【答案】B

【解題思路】首先作輔助線，構(gòu)造相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)求噴的比值.

【解答過程】過E作EG〃8c交AB于G,連接FG,如圖所示.

c

G—%

因為EG〃8C,平面PBC,EG不在平面PBC上，

根據(jù)線面平行的判定定理可得EG〃平面PBC.

又因為E/7//平面PBC,EGC\EF=E,EG,EF

根據(jù)平面與平面平行的判定定理的推論，可得平面EFG〃平面尸BC.

又平面PA8C平面￡TG=FG,平面P48Cl平面P8C=P8,所以FG〃戶8.

根據(jù)相似「角形性質(zhì)可得：2=等

rAGA

因為EG〃/CE//AD,所以四邊形。COG為平行四邊形，所以CE=EG.

又｛B=3CE,所以4G=2BG,所以普=署="

FAGA2

故選：B.

【變式4-2】（2024?河南?模擬預(yù)測）如圖，三棱柱ABC-481cl各棱長均相等，M為棱力。上一點，Q為棱

的中點，/1Q〃平面C*M.

⑴求職的值;

（2）若平面AM4將三棱柱｛8。-4道￡分為兩部分，較小部分的體積為匕，較大部分的體積為匕，求言的

值.

【答案】（*

【解題思路】（1）線面平行的性質(zhì)定理.，根據(jù)已知的平行關(guān)系推出線段比例關(guān)系;

（2）通過構(gòu)建三棱臺求出相應(yīng)體積，進(jìn)而得出體積比.

【解答過程】（1）連接CQ，與8G交于H,連接HM.

因為4Q〃平面C/M,平面4QCn平面GBM="M,

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，所以4Q〃”M.

又因為QB〃CC在和△HCCi中，

由于平行線分線段成比例定理，可得鋁=空一上

HCCqCL

因為力Q〃HM，所以黑=噂=*

57CflL乙

（2）在上取一點S,使BS=：BC,連接MS,/S,

因為MS〃/18〃48］，所以四邊形MS814即為過三點的截面.

設(shè)三棱柱/8C-48iG的底面積為So，高為山體積為V，則卜二50①

因為MS〃48,且BS=：BC,所以aMSC與△力BC相似，相似比為,，

根據(jù)相似三角形面枳比等于相似比的平方，可得△MSC的面積為^So.

對于三棱臺-MSC,根據(jù)體積公式匕="(So+3。+JS°xgSo)="(S°+2+2)=^-Soh.

因為V]=V-2,y=Soh,V2=^Soh,

所以匕=Soh——S()h=-S()h.

【變式4-3］（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面A8CD是邊長為2的正方形，PD1

底面48C。，戶。=入。。，點E在棱PC上，PA〃平面EBO.

(1)試確定點E的位置，并說明理由；

(2)是否存在實數(shù)九使三棱錐E-8PD體枳為(若存在，請求出具體值，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)點￡是PC的中點，理由見解析

(2)存在入=2,使三棱錐E-體積為g

【解題思路】(1)連接力C,交8D于點0,連結(jié)。E,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，證出/MII0E,再結(jié)合。是4C

的中點，判斷出點E是PC的中點，可得答案；⑵若三棱錐E-BPD體積為怖，則可推出三楂錐P-8DC的

體枳為:進(jìn)而利用棱錐的體枳公式與PD1底面力8C。，列式算出實數(shù)入的值，即可得到答案.

【解答過程】(1)點E是PC的中點，理由如下：

連接4C,交BD于點0,連結(jié)。E,

???底面ABCD是正方形，AC.BC相交于點。，

???。是4C的中點，

???尸/1//平面E8。，PA含二戶平面P/1C,平面P4Cn平面BDE=0E,

APA//0E,?.?△力PC中，。是力C的中點，

???￡是PC的中點.

(2)???￡?為PC中點，

?*,VE-BPD=^C-BPD=^P-DBC-

,若則Pp-DBC=I

???PD1底面/BCD,PD=ACD=2A,

S&RCD=2X2X2=2

Vp_DBC=7'S&BCD'2A=-x2x2A=-?解得A=2.

<5*3?3

???存在4=2,使三棱錐E-8PD體積為*

【題型5面面平行的判定】

【例5】（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，正四棱錐P-/WC。的底面為平行四邊形.M、N、Q分別為PC、

CD、力B的中點.求證：平面MNQ〃平面P4D.

【答案】證明見解析；

【解題思路】根據(jù)面面平行的判定定理，即可證明.

【解答過程】因為M、N、Q分別為PC、CD、48的中點，底面ABCZ）為平行四邊形，

月不以MN//PO,NQ//AD,

又MNC平面PAD,PZ）u平面PAD,

則MN〃平面PAD,

同理NQC平面R4D,40u平面PAD,

可得NQ〃平面PAD,

又MNCNQ=N,MN,NQ

所以平面MNQ〃平面P/10.

【變式5-1]（24-25高一下?福建龍巖?期中）如圖，梯形力8CD是圓臺。1。2的軸截面，E,尸分別在底面圓?！?/p>

。2的圓周上，改為圓臺的母線，乙DO[E=60°,已知CD=4,.48=8,G,〃分別為。2&BF的中點.

(1)證明：平面CGH〃平面。1。2/￡

(2)若三棱錐C-GBH的體積為竽，求圓臺6。2的側(cè)面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)6岳冗

【解題思路】(1)由題意可證得CG〃平面013FE,HG〃平面。】。2/￡,進(jìn)而可證得結(jié)論;

(2)由三棱錐C-G8,體積可得△G8H的面積，進(jìn)而可得圓臺的側(cè)面積.

【解答過程】(1)???在梯形ABC。中，CD=4,AB=8,.\OiC//^O2B,0^=^028

又G為。2^的中點，：.O2G=^O2B,：,OXC//O2G,OAC=O2G

故四邊形。1O2GC為平行四邊形，,OG"。］。?.

又OGU平面。1。2廣質(zhì)01%u平面。1。2rE,

???"；〃平面。1。2尸￡.

?.,G,H分別是。2乩的中點，

：,CH//O2F.

又GHC平面O1O2FE,。2尸匚平面。1。2尸￡",

???G"〃平面。］。2產(chǎn)區(qū)

又CGCiGH=G,。6(=平面。6出GHu平面CGH,

,平面CGH//平面。1。2尸￡

(2)設(shè)0］。2=八由(1)可知OG//OIO2,OG=。1。2，則CG為三喳錐。一GBH的高力.

故VC-GBH=1"S&GBH'八，

由4。0止=60。,可得乙4。2尸=60。,

??"。2?=120。.

^：GH/AOF,GH=^-OF,BG=；0/=2,

LL22/

:?S&GBH=白8G?HG?sinl20。=1x2x2x^=V3.

故Vc-GB"=J.S&GBH-h=y/3xh=竽，

，/i=5.

在RtZXCGB中，|FC|=J/I2+(4-2)2=V29.

故圓臺的側(cè)面積S=1(2nr+2TXR')1=(2TT+4TT)XV29=6V29TT.

【變式5-2】(2025?陜西安康?模擬預(yù)測)如圖，在圓錐PO中，P為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，四邊

形A8CD是底面的內(nèi)接正方形，E,F分別為PD,PA的中點，過點￡,F,。的平面為a.

(I)證明：平面a『平面PBC；

(2)若圓錐的底面圓半徑為2,高為遮，設(shè)點M在線段上運動，求三棱錐P-M8C的體積.

【答案】(1)證明見解析

陪.

【解題思路】(1)由線面平行的判定定理可證"II平面PBC,OEII平面PBC,再由面面平行的判定定理即

可證明平面aII平面PBC；

(2)由題意可得，點M到平面P8C的距離等于點0到平面PBC的距離，再由三棱錐的體積公式，代入計算，

即可求解.

【解答過程】(1)因為E,F分別為PD,PA的中點，所以EFIIAD,

因為四邊形力8co為正方形，所以4。||BC,從而EF||BC,

又平面戶8C,8Cu平面尸8C,所以￡尸||平面P8C,

連接BD,0E,則。為8D的中點，又E為PD的中點,所以O(shè)EIIPB,

又OEC平面PB&PBu平面P8C,

所以O(shè)E||平面PBC,又0En"=E,0瓦“<=平面0￡四

所以平面0￡TII平面PBC,

即平面aII平面P8。

（2）

由題知，POJ?平面/BCD.

連接0C,則OB=OC=2,PO=V3.

因為由（1）的證明可知平面aII平面P8C,

所以點M到平面P3C的距離等于點。到平面PZ7C的距離，

所以Vp_M8c=^M-PBC=^O-PBC=-P。=^X^X2X2XV3=

所以三棱錐P-M8C的體積為

【變式5-3］（24-25高一下?廣東中山?階段練習(xí)）如圖，正四棱錐P-zlBCO的底面為平行四邊形.M、N、Q

分別為PC、CD、48的中點，設(shè)平面PAD與平面P8C的交線為，.

（1）求證：平面MNQ〃平面P4D；

⑵求證:BC//h

（3）若尸4=5,AB=4V2,求四棱錐P-4BC0的體積.

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析;

⑶32.

【解題思路】（1）根據(jù)面面平行的判定定理，即可證明;

（2）根據(jù)線面平行的性質(zhì)，即可證明;

（3）根據(jù)幾何體特征，可求得正四棱錐尸-/18CD的高為3,再根據(jù)錐體的體積公式即可求解.

【解答過程】（1）因為M、N、Q分別為PC、CD、力B的中點，底面力BCD為平行四邊形，

所以MN〃PD,NQ//AD,

又MNC平面P/W,PDu平面PAD,

則MN〃平面P/W,

同理N。，平面R40,ADu平面PXD,

可得NQ〃平面PRO,

又MNCNQ=N,MN,NQu平面MNQ,

所以平面MNQ〃平面PAD.

（2）因為底面A8CD為平行四邊形，所以BC〃/10,

又BC仁平面PA。，ADu平面PAD,

所以3C〃平面PW,

又BCu平面PBC,平面PBCn平面PAD=I,

所以BC〃/.

因為四棱錐P-48CD是正四棱錐，

所以底面4BCD是正方形，P在底面上的投影是底面的中心，

又AB=所以力。二8,

又P4=5,

所以四棱錐的高為J/^4二（pcf=后二彳=3,

所以正四棱銖P-A8CD的體積V=\?（4企『.3=32.

【題型6面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】

【例6】（24-25高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）如圖，四棱柱中，四邊形48CD為平行四

邊形，瓦尸分別在線段DB,DD」，且蕓=^=；,G在CC」且平面A"II平面8"G,則署=（）

<2r>rLC01

A.1B.|C.|D.；

2334

【答案】B

【解題思路】延長力E交。。于H,結(jié)合面面平行性質(zhì)定理證明尸H//D1G,證明△DFH-△6GD1，結(jié)合相似三

角形性質(zhì)證明結(jié)論.

【解答過程】解析如圖所示，延長AE交CD于，，連接尸H,

則?△BE4,所以竺二竺=乙

ABEB2

因為平面4EF〃平面BDiG,平面AEFn平面CDDig=F”，

平面BD1GH平面CDD￡=%G,

所以FH//DiG,又四邊形CDDiCi是平行四邊形,

所以△DFH?△。道外，所以當(dāng)二冬.

C]GC]L/j

因為0=絲=!所以”=乙

C]DiAB2CjG2

因為嬴=3所以FDi=gG,DF=CG,

所以第=3

CCi3

故選：B.

【變式6-1]（24-25高一下?全國,課后作業(yè)）如圖，四棱柱中，四邊形[8CZ）為平行四邊

形，E,產(chǎn)分別在線段。8,上，普=；,G在Cg上且平面〃平面BDiG,則裳=（）

CDiCCl

C-DU

。3

【答案】B

【解題思路】連接當(dāng)。1，F(xiàn)G,利用面面平行、線面平行的性質(zhì)證明線線平行，再結(jié)合平行線分線段成比例

定理求解作答.

【解答過程】在四棱柱/WCD-ABiCiDi中，連接8/1，F(xiàn)G,如圖,

因為平面4EF〃平面8。田，平面/1EFC平面=EF,

平面B〃Gri平面3%。10=8小，則EF〃BDi，于是饕=第=|,

平面4。。遇1〃平面BCC/i，而3Gu平面BCgBi，則8G〃平面力。。]4,

在平面ADDm1內(nèi)存在與4F不重合的直線Z〃BG,又平面力E/7/平面BDiG,8Gu平面8。道，

則BG〃平面4E77,在平面月內(nèi)存在與/4F不重合直線機(jī)〃8G,從而m〃，，mu平面4ER

ICTffiAEF,則，//平面/石「又Zu平面/DOMi，平面AE/n平面=4尸，

因此4/7〃〃BG,BG,4尸可確定平面/18GF,因為平面718%4〃平面,

平面力BGFn平面4=48,平面ABGFn平面COOig=FG,于是48〃尸G,即有CO//FG,

所以民=黑.

CC]UU15

故選：B.

【變式6-2]（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，E,F,G,〃分別是心，PC,AE,

8月的中點.證明：直線G"〃平面力8c.

【答案】證明見解析

【解題思路】取BE的中點M,連接GM,HM,EF,可證明平面GHM〃平面4",從而可證直線GH〃平面相C.

【解答過程】如圖，取的中點連接GW,〃M,EF,

因為G為/E的中點，

所以GM是△48E的中位線，所以GM〃力氏

同理，是△!?￡"尸的中位線，E/：1是△P8C的中位線，

所以HM〃"，EF//BC,所以HM〃8C,

由GM〃AB,GM仁平面力BC,A8u平面ABC,得GM〃平面48C,

同理，〃平面ABC,

又CMCHM=M,6"（=平面6"時，HMu平面G"M,

所以平面G，M〃平面力BC,

因為GHu'f面GHM,所以G"〃平面4BC.

【變式6-3]（24-25高一下?遼寧沈陽?階段練習(xí)）如圖，四棱錐P-NBC。的底面為平行四邊形,設(shè)平面以。

與平面P4。的交線為/,V、N、。分別為尸C、CD、4?的中點.

⑴求證：MQ〃平面HW;

（2）求證：BC//1.

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析.

【解題思路】（1）由題設(shè)得MN〃PD,應(yīng)用線面平行的判定證明MN〃平面PA。，同理證NQ〃平面尸/W,再

由面面平行的判定和性質(zhì)即可證明結(jié)論；

（2）由題設(shè)8c〃力D,再由線面平行的判定和性質(zhì)即可證明結(jié)論.

【解答過程】（1）???〃、N分別為尸。、。。的中點，

???A，N〃PD,又PQu平面P4D,A/N仁平面P40,

JAIN〃平面240,同理可證NQ〃平面P/10,

由MNCNQ=N都在平面MNQ內(nèi)，則平面MNQ〃平面P4。，

由MQu平面MNQ,故：MQ〃平面PAD；

（2）???四邊形是平行四邊形，

/.BC//AD,又ADu平面均。，BCC平面均。，

J8C〃平面4。，又BCu平面PBC,平面P/WC平面PBC=/,

【題型7平行關(guān)系的綜合應(yīng)用】

[例7]（24-25高一下?陜西漢中?期末）由正方體48CO-4i8]Ci0i截去三棱錐J-81coi后得到的幾何體

如圖所示，。為jC與4。的交點.

（1）求證:平面BiC/i；

⑵求證：平面為8。〃平面&CD1.

【答案】（1）證明見解析

（2）i正明見解析

【解題思路】（1）要證明線面平行，需證明線線平行即可，即證明40〃EC.

（2）要證明面面平行，需通過證明一平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行即可.

【解答過程】（1）取當(dāng)小的中點E,連接4&CE.

則&E=0&&E〃。二

所以四邊形。。力道為平行四邊形，所以必?！ā辏?/p>

因為ECu平面BiCDi，4】。不在平面當(dāng)。。1內(nèi)，

所以4]。//平面B]CD].

（2）因為80〃當(dāng)。1，當(dāng)小u平面8。不在平面&C，內(nèi)，

所以平面8也。1.

由（1）知，4?！ㄆ矫鍮iCDi.

因為=O,AXO,BDu平面4BD,

所以平面4B。〃平面Bi。。].

【變式7-1]（24-25高一下?江西上饒?期末）如圖，四邊形力也。是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點.已

知M,N分別是PC,48的中點，在0M上取一點G,過G和4P作平面交平面80MFHG.

（2）求證：AP//HG.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解題思路】（1）方法一：構(gòu)造平行四邊形，證得4K〃MN,再根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；方法二:

構(gòu)造三角形的中位線，證得平面MON〃平面P4D,根據(jù)MNu平面MON,即可證明：

（2）先通過三角形中位線證得P4〃平面BDM,再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證明即可.

【解答過程】（1）

法一：取PD中點K,連接MK,AK,MN,

易知MK為△PC。中位線，故MK〃CO,且MK=gCD,

因為四邊形48co是平行四邊形，所以48〃C0,AB=CD,

故MK“AN,又因為N是4B的中點，所以AN=g/lB=gcD=MK,

所以四邊形力NMK為平行四邊形，所以AK〃MN,

乂因為MNC平面240,4Ku平面240,所以MN〃平面P4D.

法二：連接AC,交BD于0,連接M0,如下圖：

因為四邊形力8CD是平行四邊形，所以。為力（?中點，

又因為M為PC中點，所以時0為44cp的中位線，

所以M0〃PA,

又因為M。C平面PAD,PAu平面PAD,所以M0〃平面PAD,

因為四邊形ABC。是平行四邊形，所以。為BD中點，

又因為N是88的中點，所以N。為△A80的中位線，

所以N0〃4。，又因為NOC平面PA。，力Du平面PAD,

所以N。〃平面24。，又因為NOnMO=O,

NOd^-^MON,MOu平面MON,所以平面MON//平面PAD,

因為MNu平面MON,所以MN〃平面24D.

(2)連接AC,交BO于0,連接MO,如下圖：

又因為M是PC的中點，所以M0為△4CP的中位線，

所以M0〃P4

又因為M。u平面RDM,PA仁平面RDM,

所以24〃平面8DM,

又因為PAu平面PAHG,平面PAHGC平面BOM=GH,

所以也/HG.

【變式7-2](24-25高一下?吉林長春?期中)如圖，在正方體力比。-48￡。1中AB=2,M為的中點.

(1)求證：8。"/平面4MC；

(2)若N為"i的中點，求證：平面力MC〃平面BN。1；

(3)求三棱錐M-ABC與正方體力8。。-&B1GD1的外接球半徑之比.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解題思路】（1）連接8。交力C于點0,連接。M,證明0M〃BQ,利用線面平行的判定定理即可求證；

（2）連接BN,ND1,MN,證明力M〃8N,得BN〃平面4MC,結(jié)合（1）由面面平行的判定定理即可求證；

（3）將棱錐M-放入長方體中即可求外接球半徑在正方體4BCZ）-41B1CW1中利用體對角線求出

外接球半徑R即可求解.

【解答過程】（1）連接8〃交4（:于點5連接。M,

在正方體ABCD-A/gDi中，底面/BCD為正方形，所以。為80的中點，