專題8.2兩條直線的位置關(guān)系(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型1求與已知直線平行、垂直的直線方程】.........................................................3

【題型2兩條直線平行及其應(yīng)用】......................................................................4

【題型3兩條直線垂直及其應(yīng)用】......................................................................4

【題型4直線的交點問題】.............................................................................5

【題型5點到直線的距離公式的應(yīng)用】..................................................................6

【題型6兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用】...........................................................6

【題型7與距離有關(guān)的最值問題】......................................................................6

【題型8點、線間的對稱問題】.........................................................................7

【題型9直線系方程】..................................................................................8

1、兩條直線的位置關(guān)系

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

⑴能根據(jù)斜率判定兩條直線從近幾年的高考情況來看，高考對

2022年上海卷：第7題，5分

平行或垂直兩條直線的位置關(guān)系、距離公式的考查

2024年北京卷：第3題，4分

⑵能用解方程組的方法求兩比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式

2025年全國一卷：第7題，5

條直線的交點坐標(biāo)考查，考查內(nèi)容、頻率、題型與難度均

分

(3)掌握平面上兩點間的距離變化不大；復(fù)習(xí)時應(yīng)加強對兩條直線的

2025年天津卷：第12題，5

公式、點到直線的距離公式，位置關(guān)系、距離公式、對稱關(guān)系的掌握，

分

會求兩條平行直線間的距離靈活求解.

知識梳理

知識點1兩條直線的位置關(guān)系

1.兩條直線的位置關(guān)系

斜截式一般式

4：4,+39+。1=0（國+式手0）

h：y=k\x+h\

方程

h:y=kix+bi

為:也?+B2n+C2=。（照+=0）

A1B2-A2B1^0（當(dāng)工24于。時，記為4-BQ

相交k#h瓦左瓦

44+為員=0（當(dāng)民&W0時，記為4A2J

垂直k\-k-2=-1

BiB2

(A,B2-A2Bl=0或J4,2-4281=0

\B}C2-B2cl于014。2—42G芋o

平行ki=k2且bi手82

(當(dāng)4252c2Ho時，記為當(dāng)_旦G)

苞=瓦毛或

小=雙2,8|=入&,。1=入。2()#0)

k\=ki且b\-b2(當(dāng)月232c2W0時,記為生=且=5)

A-2~B-2~C-2

2.平行的直線的設(shè)法

平行：與直線/lx+8y+〃=0平行的直線方程可設(shè)為

3.垂直的直線的設(shè)法

垂直：與直線4x+￡v+〃=（）垂直的直線方程可設(shè)為Bx-A）^m=d.

知識點2直線的交點坐標(biāo)

1.兩條直線的交點坐標(biāo)

（1）兩條直線的交點坐標(biāo)

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組，若方程組有唯一解，則兩條直線相交,

此解就是交點的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條宜線包；若方程組有無窮多解,

則兩條直線重合.

（2）兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系

設(shè)兩直線6：4x+8y+G=0（/+虛彳0）,直線+B2y+C2=0（西+8科0）.

f4X+8J+G=0

方程組＜、A2x-hB2y-^-C2=0的解一組無數(shù)組無解

直線八和/2的公共點個數(shù)一個無數(shù)個零個

直線/1和/2的位置關(guān)系重合平行

2.直線系方程

過直線K：4x++G=0與/2M2X+&J，+C?=0的交點的直線系方程為Ayx+B1JH-C1+X（A^+B2y+C2）=0,

AeR,但不包括直線A

知識點3距離公式

1.兩點間的距離公式

平面內(nèi)兩點A（而?。?，P2（必,外）間的距離公式為IR21=，（七一2）2+（心一%）2

特別地，原點O到任意一點P（.%y）的距離為|OP|="T7.

2.點到直線的距離公式

(1)定義：

點P到直線/的距離，就是從點P到直線/的垂線段P。的長度，其中。是垂足.實質(zhì)上，點到直線的距離

是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.

(2)公式：

已知一個定點夕一條直線為什。=0,則定點P到直線I的距離為介陽。廣6%”。.

VJ2+B~

3.兩條平行直線間的距離公式

⑴定義

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線4：4t+W+G=0，，2：4丫+到+。2=0,則它們之間的距離為d=尸1C』、.

知識點4點、線間的對稱關(guān)系

1.六種常用對稱關(guān)系

⑴點(xj)關(guān)于原點(0,0)的對稱點為(*少).

(2)點(xj)關(guān)于x軸的對稱點為關(guān)于y軸的對稱點為(-xj).

⑶點(xj)關(guān)于直線y=x的對稱點為(y/),關(guān)于直線y=-x的對稱點為(?y,?x).

(4)點(xj)關(guān)于直線x=a的對稱點為(2Q-XJ),關(guān)于直線y=b的對稱點為(x,2/y).

⑸點(xj)關(guān)于點(a,b)的對稱點為(2。*2外以

⑹點(XJ)關(guān)于直線x+y=〃的對稱點為(4-y,hx),關(guān)于直線x-y=k的對稱點為(什”>A).

2.對稱問題的求解策略

(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.

(2沖心對稱問題可以利用中點坐標(biāo)公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題.

【方法技巧與總結(jié)】

1.判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點：

(1)斜率不存在的特殊情況：(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.

2.使用兩條平行線間的距離公式前要把兩條直線方程化為一般式且X。的系數(shù)對應(yīng)相等.

舉一反三

【題型1求與已知直線平行、垂直的直線方程】

【例1】(25-26高二上?全國,課前預(yù)習(xí))已知直線為一my+爪一1=0恒過點P,則過點P并與直線無-2y+

4=0垂直的直線方程為()

A.2x+y-3=0B.2%4-y4-1=0

C.x—2y+l=0D.2x—y+3=0

【變式1-1](2025?山東?二模)已如直線2與直線x-y=0平行，且在'軸上的截距是-2,則直線，的方程是

()

A.x-y+2=0B.x-2y+4=Q

C.x-y-2=0D.x+2y-4=0

【變式1-2]（25?26高二上?全國?單元測試）將直線A：x+y-2=0繞點（2,0）順時針旋轉(zhuǎn)90。得到直線%，

則直線，2的方程是（）

A.2x-y+4=0B.x4-y+2=0

C.x—y—2=0D.2x—y—4=0

【變式1-3]（24-25高二上?廣東廣州?階段練習(xí)）己知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點4（1,2）,3（—2,3）,則過點4

且與直線A8垂直的直線!的方程為（）

A.3x-y-1=0B.3x-y-2=0

C.3x4-y—5=0D.3y-x-5=0

【題型2兩條直線平行及其應(yīng)用】

【例2】（2025?寧夏中衛(wèi)?三模）若直線小(m-2)x+3y+3=0與直線2x+(m-l)y4-2=0平行,

則Kl=()

A.4B.1C.1或-4D.-1或4

【變式2-1]（2025?上海?三模）設(shè)a為實數(shù)，直線L：ax+y=l,直線分x+ay=2a,則“a=1”是乜,%平

行”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分又不必要

【變式2-2]（2025?天津和平?二模）若aeR,直線x+2ay-l=0,直線％：（3a-l）x-ay-1=0,

貝ij七=0"是“J/%”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-3]（2025?廣東茂名?一模）已知直線卬％+my-5=0,直線（mx+y+3=0,若"IIl2f則實

數(shù)m的值為（）

A.1B.-1C.-1或1D.0

【題型3兩條直線垂直及其應(yīng)用】

【例3】（2025?陜西西安?二模）已知點N（4,m）,且直線MN與直線2x-y+3=0垂直，貝ijm=

()

72

A.-6B.-C.D.9

［變式3-1］（2025?河南鄭州?模擬預(yù)測）已知直線h%+my+1=0與直線，2：%+（1-2m）y-3=0,則“me

{1,一2}”是“1_112”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式3-2］（2024?河南?三模）已知直線4x+8y+C=0與直線y=2%-3垂直，則（）

A.A=-2B^0B.A=2B^0

C.B=-2A^0D.B=2A^0

【變式3-3］（25?26高三上?四川綿陽?開學(xué)考試）已知直線卬2%-y+l=0與%：工+卜丫-3=0垂直,則

實數(shù)k的值為（）

A.2B.-2C.:D.一

22

【題型4直線的交點問題】

【例4】（2025高二?全國?專題練習(xí)）直線2x+5y-7=0和3x+2y+6=0的交點坐標(biāo)為（）

A.（4,3）B.（3,4）C.（-4,3）D.（-4,-3）

【變式4-1］（24-25高二上?云南曲靖期中）已知直線［過直線卬x-y=0和%：%+丫-2=0的交點，且與

3%+4y-5=0平行，則［的方程是（）

A.3x+4y+7=0B.3%+4y-7=0

C.4%-3y+1=0D.4x-3y-1=0

【變式4-2］（24-25高二上?遼寧葫蘆島?期末）直線2x-y+3=0與x+ay-l=0互相垂直，則這兩條

直線的交點坐標(biāo)為（）

A.（1,5）B.（-1,-1）C.（-1,1）D.（-2,-1）

【變式4-3］（24-25高二上?廣東東莞?階段練習(xí)）若直線x+2y-4=0與直線％：kx—y+2k+l=0

的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是（）

A.-焉)

C.UQ,+°°)D.(-8,-3"-}+8)

【題型5點到直線的距離公式的應(yīng)用】

【例5】（24-25高一下?浙江寧波?期末）已知直線/過點P（2,2）后傾斜角為135。，則點Q（—2,0）到直線/的距

離為（）

A.V2B.2V2C.3V2D.4加

【變式5?1】（25-26高二上?全國?單元測試）已知力（-3,-4）,8（6,3）兩點到直線6Qx+y+l=0的距離

相等，則。的值為（）

【變式5-2］（24-25高二上?廣東廣州?階段練習(xí)）點（3,7）到直線2%—y—3=0的距離為（）

A.-4B.y/2C.2\［2D.竽

【變式5-3］（24?25高二上?湖北武漢?期中）已知直線Z1：x+y-3=0與/2:3x-y-l=0相交于點M,

則點M到直線l3-.2x-y+l-0的距離為（）

A.YB.誓C.V5D.2V5

【題型6兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用】

【例6】（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）平行直線h2x-3y+2=0與％：ay-x+2=0之間的距離為（）

A?石B.gC.—D,—

【變式6-1］（2025?四川綿陽?模擬預(yù)測）若直線h%+2y-3=0與直線0kx-2y+1=01kWR）平行，

則這兩條直線間的距離為（）

A立B辿C&D偵

505J555

【變式6-2］（2025?上海奉賢?二模）直線3%+4y-5=0上的動點P和直線3x+4y+10=0上的動點Q,

則點P與點Q之間距離的最小值是.

【變式6-3］（24-25高三上?上海虹口?階段練習(xí)）已知mWR,直線匕:-y+7=0,%：7九%+y-1=0,

若，iII￡則。與h之間的距離為.

【題型7與距離有關(guān)的最值問題】

【例7】（2025?廣東佛山?模擬預(yù)測）已知實數(shù)x,y滿足3x+4y=5,則d+產(chǎn)的最小值為（）

A-C-D.1

?5|J5

【變式7-1］（25-26高二上?全國?單元測試）若動點4（與,yj,取小心）分別在直線加5%-12y+2=0與

，2：5x—12y+8=0上移動，貝IJ4B的中點M到原點的距離的最小值為（）

A.—B.V2C.-D.V13

132

【變式7-2］（24-25高三上?浙江?期中）已知函數(shù)/?（%）=（。-2）/+6%-。+1（a,匕WR目。工2）在區(qū)間

［1,2］上有零點，則/+/的最小值為（）

31

A.：B.C.2D.1

22

【變式7-3］（2025?內(nèi)蒙古赤峰?三模）出租車幾何，乂稱曼哈頓距離（ManhailanDislance）,最早由十九世

紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基在研究度量幾何時提出，用以標(biāo)明兩點在各坐標(biāo)軸上的絕對差之和.設(shè)點4（巧,力），

8*2,我），則力，8兩點之間的曼哈頓距離為=|%1-必+1月一%1?已知點尸1（-1，0），尸2（1，0），動點P

滿足|仍/11|+|田921|=4,Q是直線上x+2y-5=0上的動點，則|PQ|的最小值為（）

A延B在C延D延

八，5a5J565

【題型8點、線間的對稱問題】

【例8】（24-25高二下?上海?階段練習(xí)）點尸（2,-3）關(guān)于直線/:y=x+l的對稱點為（）

A.（-3,4）B.（-4,-3）C.（-4,3）D.（-3,-4）

【變式8-1］（24-25高二上?廣東濟(jì)遠(yuǎn)期中）己知直線人:%—y+3=0，bx—y—l=0,若。關(guān)于“對稱的

直線為，2,則直線%的方程是（）

A.x-y-3=0B.%-y4-5=0

C.x-y4-3=0D.x—y—5=0

【變式8?2】(24-25高二上?江蘇無錫?階段練習(xí))如圖已知力(4,0),8(0,4),0(0,0),若光線L從點P(2,0)射

再經(jīng)直線。B反射回原點P,則光線L所在的直線方程為（）

x-5C.y=3x-6D.y=4%—8

【變武8-3］（24-25高二上?全國?單元測試）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，

黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺之后黃昏時

從山腳卜.某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍

營所在的位置為8（-2,0）,若將軍從山腳下的點40,0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為％+2y=3,貝廣將

軍飲馬”的最短總路程為（）

A.早B.5C.V15D.y

【題型9直線系方程】

［例9］（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）過兩直線卬％-3y+4=0和%：2%+y+5=0的交點和原點的直

線方程為（）

A.3x-19y=0B.19x-3y=0

C.19x+3y=0D.3x+19y=0

【變式9-1］（24-25高二上?安徽合肥?期末）過直線3%-2、+3=0與％+丫一4=0的交點，與直線2x+y-

1-0平行的直線方程為（）

A.2x4-y-5=0B.2x+y+1=0

C.x4-2y-7=0D.x—2y+5=0

【變式9-2］（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）經(jīng)過點P（l,0）和兩直線、:％+2y-2=0；Z2:3x-2y+2=0

交點的直線方程為.

【變式9-31（24-25高二上?湖北武漢?階段練習(xí)）過兩直線2023x-2022y-1=0和2022%+2023y+1=0

的交點且過原點的直線方程為.

過關(guān)測試

一、單選題

1.（2025?遼寧鞍山?模擬預(yù)測）若直線匕:（a-2）x+y+l=0與直線，2：2x-（a+l）y-2=0互相平行，

則實數(shù)a的值為（）

A.0B.IC.（）或1D.?；?1

2.（2025?山西?三模）已知直線，1：?！?、+。=0與12：（。一4）%-5、-4=0,則“Q=5”是1，2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2025?廣西桂林?一模）已知直線/的一個方向向量為五=（2,1）,則過點4（1,-1）且與，垂直的直線方程為

（）

A.x2y3=0B.x2y\1=0

C.2x4-y-3=0D.2x+y-1=0

4.（2025?四川成都?模擬預(yù)測）已知直線2%+y-2rn=0與直線4%-加、-3=0平行，則它們之間的距

離是（）

A11V5n11V5c3向n9遙

A.——B.——-C.—D.—

510105

5.（2024?山東?一模）過直線為+y+2=0與無一y-4=0的交點且與直線工+2y+1=0垂直的直線方

程為（）

A.x+2y4-5=0B.%+2y—5=0

C.2x—y4-5=0D.2x—y—5=0

6.（2025?廣東深圳?模擬預(yù)測）點P（-1,3）關(guān)于直線％-y=0的對稱點為Q,則點Q到直線3%+y-2=0

的距離為（）

A.當(dāng)B.3V10C.粵D.V10

7.（2025?山東?一模）實數(shù)a,b滿足a+b+1=0,則a?—2Q+爐的最小值為（）

A.2B.1C.0D.-1

8.（2025?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）設(shè)直線Z:x+y-l=0,一束光線從原點。出發(fā)沿射線y=kx{x>0）

向直線/射出，經(jīng)I反射后與x軸交于點M,再次經(jīng)%軻反射后與y軸交于點N.若\MN\=?,

則k的值為（）

二、多選題

9.（2025高二上?全國?專題練習(xí)）（多選）已知直線。:x+ay+1=0,（Q-1）無+y+Q=。，則下列

說法正確的是（）

A.當(dāng)a=l時，直線。的傾斜角為45。B.若，［1%，則a=：

C.若"/①則Q=-lD.直線％的縱截距為一a

10.（25?26高二上?全國?單元測試）平行于直線x