第27頁(yè)（共27頁(yè)）2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之相似三角形的判定與性質(zhì)一．選擇題（共8小題）1．（2025秋?長(zhǎng)治期中）在△ABC和△DEF中，已知ABDE=BCEF=A．23 B．32 C．94 2．（2025秋?青龍縣期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且AE＝2ED，CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，則S△CDF：S△CBF為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：33．（2025秋?宣化區(qū)期中）如圖1，將邊長(zhǎng)為2的正方形剪成四塊，將這四塊圖形恰好無(wú)縫隙無(wú)重疊地拼成如圖2所示的圖形（點(diǎn)D，G，H，C在同一直線上，點(diǎn)D，F(xiàn)，B在同一直線上），則FG的長(zhǎng)為（）A．23 B．34 C．3-54．（2025?天寧區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，AC、BC分別與網(wǎng)格線交于點(diǎn)D、E，則DE的長(zhǎng)為（）A．13 B．23 C．1 D5．（2025秋?清鎮(zhèn)市期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，AB＝6，AE＝2，EC＝1，且ADDB=AEA．2 B．3 C．4 D．66．（2025秋?興隆臺(tái)區(qū)期中）如圖，?ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2：3，EF＝6，則CD的長(zhǎng)為（）A．15 B．10 C．8 D．167．（2025秋?咸陽(yáng)期中）如圖，在△ABC中，BC＝9，BF平分∠ABC交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE，若ADAB=AEAC=A．95 B．75 C．3 D8．（2025?長(zhǎng)春）將直角三角形紙片ABC（∠C＝90°）按如圖方式折疊兩次再展開(kāi)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN C．AN＝BQ=12NQ D二．填空題（共5小題）9．（2025秋?昌平區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，則△ADE與△ABC的面積之比等于．10．（2025秋?碧江區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，這個(gè)直角三角形上可以剪出一個(gè)面積最大的正方形的邊長(zhǎng)是．11．（2025秋?長(zhǎng)治期中）將矩形ABCD和矩形GCEF按照如圖所示的方式擺放，連接ED，AF，若ADCD=GGGF=43，DE＝62，則AF12．（2025?青島）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，AD的中點(diǎn)．連接BF并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)G，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，H為BE的中點(diǎn)，連接GH，CH，CG．下列結(jié)論：①CH∥AE；②∠M＝30°；③S△CGH=320S正方形ABCD；④AG?MF＝CD?AF．正確的是13．（2025秋?府谷縣期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．連接DF，若DE=1，DF=22，則MN＝三．解答題（共2小題）14．（2025秋?昌平區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BD、CE分別為△ABC的兩條高，且交于點(diǎn)O．（1）圖中有對(duì)相似三角形；（2）連接DE，試判斷△ODE與△OCB是否相似，若相似，請(qǐng)給予證明；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2025秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC⊥AD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CD交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：CA?CD＝CB?CF；（2）聯(lián)結(jié)CE，求證：∠ACE＝∠F．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之相似三角形的判定與性質(zhì)參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案ABCBAAAD一．選擇題（共8小題）1．（2025秋?長(zhǎng)治期中）在△ABC和△DEF中，已知ABDE=BCEF=A．23 B．32 C．94 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】A【分析】先證△ABC∽△DEF，再根據(jù)相似三角形面積比是相似比的平方即可得解．【解答】解：∵ABDE∴△ABC∽△DEF，由相似三角形面積比是相似比的平方可知：S△ABCS△DEF∴ABDE故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2025秋?青龍縣期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且AE＝2ED，CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，則S△CDF：S△CBF為（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】三角形；多邊形與平行四邊形；圖形的相似．【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC，AD∥BC，進(jìn)而由AE＝2ED可得DE=13AD=13BC，再由AD∥BC得到△DEF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得DFBF【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AE＝2ED，∴DE=∵AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DFFB∴S△CDFS△CBF=DFFB=13，即S故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2025秋?宣化區(qū)期中）如圖1，將邊長(zhǎng)為2的正方形剪成四塊，將這四塊圖形恰好無(wú)縫隙無(wú)重疊地拼成如圖2所示的圖形（點(diǎn)D，G，H，C在同一直線上，點(diǎn)D，F(xiàn)，B在同一直線上），則FG的長(zhǎng)為（）A．23 B．34 C．3-5【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】先結(jié)合圖1和圖2，得GF＝AH，再證明△DGF∽△DHB，故r2-r=【解答】解：∵將邊長(zhǎng)為2的正方形剪成四塊，將這四塊圖形恰好無(wú)縫隙無(wú)重疊地拼成如圖2所示的圖形（點(diǎn)D，G，H，C在同一直線上，點(diǎn)D，F(xiàn)，B在同一直線上），∴GF＝AH，EF＝AB＝2，∠DFG＝∠B＝90°設(shè)GF＝AH＝r，則FB＝2﹣r＝BH，∴DB＝DF+FB＝4﹣r，∵∠DFG＝∠B＝90°，∠D＝∠D，∴△DGF∽△DHB，∴GFHB即r2-解得r=5+3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，配方法解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．4．（2025?天寧區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，AC、BC分別與網(wǎng)格線交于點(diǎn)D、E，則DE的長(zhǎng)為（）A．13 B．23 C．1 D【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】B【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例定理推導(dǎo)出CECB=23，再由DE∥AB，證明△DEC∽△ABC，則DEAB=【解答】解：如圖，取格點(diǎn)H、F，連接CH、BH、EF，∵正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，∴AB＝1，CF＝2，CH＝3，∵EF∥BH，∴CECB∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，∴DEAB∴DE=23AB故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△DEC∽△ABC是解題的關(guān)鍵．5．（2025秋?清鎮(zhèn)市期中）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，AB＝6，AE＝2，EC＝1，且ADDB=AEA．2 B．3 C．4 D．6【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】三角形；推理能力．【答案】A【分析】設(shè)DB＝x，則AD＝6﹣x，由ADDB=AEEC得6-x【解答】解：由題可知：AB＝6，設(shè)BD＝x，則AD＝6﹣x，∵ADDB=AEEC，AE＝2，∴6-x解得x＝2，∴DB＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（2025秋?興隆臺(tái)區(qū)期中）如圖，?ABCD中，EF∥AB，DE：EA＝2：3，EF＝6，則CD的長(zhǎng)為（）A．15 B．10 C．8 D．16【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)EF∥AB，得△DEF∽△DAB，從而EF：AB＝DE：DA＝2：5，即可求出AB的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．【解答】解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴EF：AB＝DE：DA＝2：5，∴6：AB＝2：5，∴AB＝15，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝15，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△DEF∽△DAB是解題的關(guān)鍵．7．（2025秋?咸陽(yáng)期中）如圖，在△ABC中，BC＝9，BF平分∠ABC交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，連接DE，若ADAB=AEAC=A．95 B．75 C．3 D【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】A【分析】延長(zhǎng)DE，BF交于點(diǎn)G，可證△ADE∽△ABC，得DE∥BC，得出BD＝DG，可證△EFG∽△CFB，求出EG=15BC，則【解答】解：如圖，∠DAE＝∠BAC，ADAB=AEAC，延長(zhǎng)DE，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，∴∠CBG＝∠DGB，∵∠ABC的平分線BF交AC于點(diǎn)F，∴∠DBG＝∠CBG，∴∠DBG＝∠DGB，∴BD＝DG，∵EG∥BC，∴△EFG∽△CFB，∴EGBC∵EFEC=16，EC＝∴EFCF∴EG=則BD-故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．8．（2025?長(zhǎng)春）將直角三角形紙片ABC（∠C＝90°）按如圖方式折疊兩次再展開(kāi)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MN C．AN＝BQ=12NQ D【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）；平行線分線段成比例．【專(zhuān)題】三角形；圖形的相似；展開(kāi)與折疊．【答案】D【分析】由折疊可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC，則MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理逐一判斷即可．【解答】解：由折疊可得：DE⊥AC，PQ⊥AC，MN⊥AC，AM＝MD＝DP＝PC，∴MN∥DE∥PQ∥BC，故A正確，不符合題意；∴△ADE∽△ACB∽△AMN，∴DEBC=AD∴BC＝2DE，DE＝2MN，∴BC＝4MN，∴BC＝2DE＝4MN，故B正確，不符合題意；∵M(jìn)N∥PQ∥BC，∴PCAC=BQAB=∴BQ=AN=14∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，∴MNDE=AMAD=∴MNDE≠DE故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）9．（2025秋?昌平區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，則△ADE與△ABC的面積之比等于1：4．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】推理填空題；三角形；推理能力．【答案】1：4．【分析】由中位線的性質(zhì)可知DE∥BC、DE=12BC，由DE∥BC可得△ADE∽△【解答】解：∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=∴∠ADE＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∵DE=∴S△故答案為：1：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2025秋?碧江區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，這個(gè)直角三角形上可以剪出一個(gè)面積最大的正方形的邊長(zhǎng)是247【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】三角形；矩形菱形正方形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】247【分析】當(dāng)四個(gè)點(diǎn)在三角形的邊上時(shí)面積為最大，對(duì)此進(jìn)行分類(lèi)討論進(jìn)行求解面積進(jìn)行比較即可．【解答】解：當(dāng)正方形CDFE為下圖的情況時(shí)，∵四邊形CDFE為正方形，∴設(shè)FE∥DC，DC＝EF＝CE＝x，BE＝8﹣x，∴△ABC∽△FBE，∴EFAC∴x6x=∴正方形CDFE的面積為247當(dāng)正方形GHIJ為下圖的情況時(shí)，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=∴S△∴AC?BC＝AB?CK，∴6×8＝10CK，∴CK＝4.8，設(shè)正方形GHIJ的邊長(zhǎng)為x，∵四邊形GHIJ為正方形，∴∠BHI＝∠AGJ＝90°，IJ∥AB，∴HI∥CK∥GJ，∴△CIJ∽△CBA，△BIH∽△BCK，∴HICK=BI∴BC=BI?∴BI?∴4.8BI∴4.8BI＝10CI，又∵BI+CI＝BC＝8，∴BI=∴在HICK=BI∴x=∴正方形GHIJ的面積為12037∴面積最大的正方形的邊長(zhǎng)是247故答案為：247【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用和正方形的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解決本題的關(guān)鍵．11．（2025秋?長(zhǎng)治期中）將矩形ABCD和矩形GCEF按照如圖所示的方式擺放，連接ED，AF，若ADCD=GGGF=43，DE＝62，則AF的長(zhǎng)為【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的相似；推理能力．【答案】102．【分析】連接AC和CF，易證△ACD∽△FCE，再證△ACF∽△DCE，進(jìn)而即可得解．【解答】解：如圖，連接AC和CF，在矩形ABCD、矩形CEFG中，CE＝GF，EF＝CG，∠ADC＝∠CEF＝90°．∵ADCD∴AD∴ADEF∴△ACD∽△FCE，∴∠ACD＝∠FCE，∴∠ACD+∠FCD＝∠FCE+∠FCD，即∠ACF＝∠ECD．∵△ACD∽△FCE，∴AC∴△ACF∽△DCE，∴AFDE∵ADCD∴ACCD∵DE=62，解得AF=10故答案為：102．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2025?青島）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，AD的中點(diǎn)．連接BF并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)G，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，H為BE的中點(diǎn)，連接GH，CH，CG．下列結(jié)論：①CH∥AE；②∠M＝30°；③S△CGH=320S正方形ABCD；④AG?MF＝CD?AF．正確的是①④【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】證明△ADE≌△BCE（SAS），推出∠AED＝∠BEC，再由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得∠HCE＝∠BEC，推出∠HCE＝∠AED，可得到CH∥AE，故①正確；證明∠M＝∠ABF，由正切函數(shù)的定義可判斷②錯(cuò)誤；由平行線的性質(zhì)求得S△CGH＝S△CEH，即可求得S△CGH=18S正方形ABCD，故③錯(cuò)誤；證明△【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴∠AED＝∠BEC，∵點(diǎn)H為BE的中點(diǎn)，∴HC=∴∠HCE＝∠BEC，∴∠HCE＝∠AED，∴CH∥AE，故①正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，即AB∥DM，∴∠M＝∠ABF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAF＝90°，∵點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，∴AF=∴tanM=∴∠M≠30°，故②錯(cuò)誤；∵CH∥AE，∴S△CGH＝S△CEH，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，∴S正方形ABCD＝（2a）2＝4a2，S△∴S△CGH=18S正方形ABCD≠3∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADE＝∠BAF＝90°，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，AD的中點(diǎn)，∴DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠EAD＝∠FBA，∵∠M＝∠FBA，∴∠M＝∠EAD，∵AB∥DM，∴△ABF∽△DMF，∴ABDM∵點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，∴ABDM∴DM＝AB＝CD，∵∠AFG＝∠MFD，∠M＝∠EAD，∴△AFG∽△MFD，∴AGMD∵DM＝CD，∴AGCD∴AG?MF＝CD?AF，故④正確；故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2025秋?府谷縣期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．連接DF，若DE=1，DF=22，則MN＝【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的全等；圖形的相似；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥CD于Q，先證明△ABE≌△GEF得到GF＝AE，GE＝AB，進(jìn)而證明AE＝GD，得到GF＝DG＝2，則AB＝BC＝CD＝GD+DE＝3，證明四邊形FGDQ是矩形，得到FQ＝DG＝2，CD∥FG，DQ＝GF＝2，證明△DEM∽△GEF，求出DM=23，證明△BCN∽△FQN，求出CN【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥CD于Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD＝AB，∵△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴∠BEF＝90°，BE＝EF，∴∠AEB+∠GEF＝90°，∴∠ABE＝∠GEF，∵FG⊥AD，∴∠G＝∠A＝90°，∴△ABE≌△GEF（AAS），∴GF＝AE，GE＝AB，∴AB＝AD＝GE，∴AE＝GD，∴GF＝GD，∵DF=2∴GF=∴AB＝BC＝CD＝GD+DE＝3，∵CD⊥DG，F(xiàn)G⊥DG，F(xiàn)Q⊥CD，∴四邊形FGDQ是矩形，∴FQ＝DG＝2，CD∥FG，DQ＝GF＝2，∴△DEM∽△GEF，CQ＝CD﹣DQ＝1，∴DMFG=DE∴DM=∵BC⊥CD，F(xiàn)Q⊥CD，∴FQ∥BC，∴△BCN∽△FQN，∴CNQN=BC∴CN=∴MN=故答案為：2615【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）14．（2025秋?昌平區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BD、CE分別為△ABC的兩條高，且交于點(diǎn)O．（1）圖中有6對(duì)相似三角形；（2）連接DE，試判斷△ODE與△OCB是否相似，若相似，請(qǐng)給予證明；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】證明題；推理能力．【答案】（1）6；（2）相似，證明：∵BD、CE分別為△ABC的兩條高，∴∠OEB＝∠ODC＝90°，∵∠BOE＝∠COD，∴△BOE∽△COD，∴OBOC∴OBOE∵∠BOC＝∠EOD，∴△ODE∽△OCB．【分析】（1）通過(guò)分析三角形的角的關(guān)系，找出滿(mǎn)足相似三角形判定條件的組合，共得到6對(duì)相似三角形；（2）先由高的性質(zhì)和對(duì)頂角相等證明△BOE∽△COD，推出比例關(guān)系，再結(jié)合角相等，證明△ODE∽△OCB．【解答】解：（1）題圖中相似三角形有△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△COD∽△CAE，△COD∽△BAD，△BEO∽△BDA，△BOE∽△CAE，共6對(duì)．故答案為6；（2）相似；證明：∵BD、CE分別為△ABC的兩條高，∴∠OEB＝∠ODC＝90°，∵∠BOE＝∠COD，∴△BOE∽△COD，∴OBOC∴OB∵∠BOC＝∠EOD，∴△ODE∽△OCB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．15．（2025秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC⊥AD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CD交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：CA?CD＝CB?CF；（2）聯(lián)結(jié)CE，求證：∠ACE＝∠F．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；圖形的相似；推理能力．【答案】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥AD，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC＝90°，∵AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥CD交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴∠AEB＝∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠BCD＝90°+∠ACD，∵∠CAF+∠AOE＝90°，∠CBD+∠BOC＝90°，且∠AOE＝∠BOC，∴∠CAF＝∠CBD，∴△CAF∽△CBD，∴CACB∴CA?CD＝CB?CF．（2）聯(lián)結(jié)CE，∵∠OAE＝∠OBC，∠AOE＝∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴OAOB∴OAOE∵∠AOB＝∠EOC，∴△AOB∽△EOC，∴∠ABO＝∠ACE，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠BDC，∴∠ACE＝∠BDC，由（1）得△CAF∽△CBD，∴∠F＝∠BDC，∴∠ACE＝∠F．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得BC∥AD，因?yàn)锳C⊥AD，所以∠ACB＝∠DAC＝90°，由AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥CD交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，得∠AEB＝∠DCF＝90°，則∠ACF＝∠BCD＝90°+∠ACD，再證明∠CAF＝∠CBD，則△CAF∽△CBD，所以CACB=CFCD，則CA?CD＝（2）聯(lián)結(jié)CE，由∠OAE＝∠OBC，∠AOE＝∠BOC，證明△AOE∽△BOC，得OAOB=OEOC，變形為OAOE=OBOC，再證明△AOB∽△EOC，得∠ABO＝∠ACE，因?yàn)椤螦BO＝∠BDC，所以∠ACE＝∠BDC，由相似三角形的性質(zhì)得∠【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥AD，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC＝90°，∵AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥CD交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴∠AEB＝∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠BCD＝90°+∠ACD，∵∠CAF+∠AOE＝90°，∠CBD+∠BOC＝90°，且∠AOE＝∠BOC，∴∠CAF＝∠CBD，∴△CAF∽△CBD，∴CACB∴CA?CD＝CB?CF．（2）聯(lián)結(jié)CE，∵∠OAE＝∠OBC，∠AOE＝∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴OAOB∴OAOE∵∠AOB＝∠EOC，∴△AOB∽△EOC，∴∠ABO＝∠ACE，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠BDC，∴∠ACE＝∠BDC，由（1）得△CAF∽△CBD，∴∠F＝∠BDC，∴∠ACE＝∠F．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、等角的余角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，推導(dǎo)出∠ACF＝∠BCD，∠CAF＝∠CBD，進(jìn)而證明△CAF∽△CBD是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．2．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見(jiàn)的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴(lài)全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決．3．平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四邊形的對(duì)角相等．③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．4．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個(gè)