第19頁（共19頁）2025-2026學年上學期初中數學華東師大新版九年級期末必刷?？碱}之列舉所有機會均等的結果一．選擇題（共6小題）1．（2025秋?歷下區(qū)期中）趵突泉、大明湖和千佛山是濟南三大著名景點．若小明從這三個景點中隨機選擇兩個景點游覽，則他能游覽趵突泉的概率為（）A．16 B．13 C．12 2．（2025秋?咸陽期中）編號為1、2、3、4的試管中分別裝有4種溶液，4個試管外觀完全相同，1號試管溶液呈紅色；2號試管溶液呈藍色；3號、4號試管溶液呈紫色．將4個試管放入一個不透明的箱子中，打亂順序后從中隨機抽取2個試管，溶液都為紫色的概率是（）A．12 B．13 C．14 3．（2025?武漢模擬）某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學和三名女同學表現優(yōu)異．若從以上四名同學中隨機抽取兩名同學擔任主持人，則剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率是（）A．16 B．14 C．13 4．（2024秋?高新區(qū)期末）如圖，在一段長管中放置三根完全相同的繩子．小明從左邊隨機選取一根繩子，小華從右邊隨機選取一根繩子，兩人恰好選中同一根繩子的概率是（）A．13 B．23 C．19 5．（2024秋?城關區(qū)校級期末）用圖中兩個可自由轉動的轉盤做“配紫色”游戲（其中一個轉出紅色，另一個轉出藍色即可配成紫色），其中A轉盤被分成相等的兩個扇形，B轉盤被分成相等的三個扇形．如果同時轉動兩個轉盤，那么轉盤停止時指針所指的顏色可配成紫色的概率是（）A．12 B．13 C．14 6．（2025秋?酒泉期中）某班準備從《我愛你中國》《我和我的祖國》《讓世界充滿愛》《在燦爛陽光下》四首歌曲中任選兩首進行排練，以參加市級合唱大賽，那么該班恰好選中《我和我的祖國》和《在燦爛陽光下》這兩首歌曲的概率是（）A．12 B．14 C．16 二．填空題（共6小題）7．（2025秋?東港市期中）將分別標有漢字“鮮”“靈”“東”“港”的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“東港”的概率是．8．（2025?寧夏）為提升學生藝術素養(yǎng)，學校在周三同時開展了多種文藝社團活動．現從參加器樂、舞蹈和聲樂這三個文藝社團的學生中隨機抽取兩名，他們恰好參加同一社團的概率為．9．（2025?滑縣二模）造紙術、指南針、火藥、印刷術是我國古代四大發(fā)明．如圖是秦奮同學收集的四大發(fā)明的不透明卡片，四張卡片除正面圖案外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“指南針”和“印刷術”的概率是．10．（2025春?郫都區(qū)校級期中）為慶祝西南大學附屬中學110周年，該校準備舉辦音樂慶典活動，現從音樂團的2個男生和3個女生中選取2個同學參加表演，恰好選中一個男生和一個女生的概率是．11．（2025秋?薩爾圖區(qū)校級期中）物理課上，同學們做“讓小燈泡亮起來”的實驗．“智慧小組”的實驗電路圖如圖所示，其中A，B，C，D表示電路的開關（同時閉合開關A與B或C與D，小燈泡發(fā)光），L表示小燈泡．當隨機閉合兩個開關時，小燈泡L發(fā)光的概率是．12．（2025春?寶應縣期末）如圖，飛鏢游戲中每一塊小正方形除顏色外都相同．假設飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中小正方形的邊界線或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，擊中的小正方形的概率較大（填“黑色”或“白色”）．三．解答題（共3小題）13．（2025秋?鼓樓區(qū)校級期中）人工智能是數字經濟高質量發(fā)展的引擎，也是新一輪科技革命和產業(yè)變革的重要驅動．人工智能市場分為決策類人工智能，人工智能機器人，語音類人工智能，視覺類人工智能四大類型，將四個類型的圖標依次制成A，B，C，D四張卡片（卡片背面完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻放置在桌面上．（1）隨機抽取一張，抽到決策類人工智能的卡片的概率為；（2）從中隨機抽取一張，不放回，再隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法求抽取到的兩張卡片中不含人工智能機器人的概率．14．（2025秋?蘭州校級期中）九江中學實驗興趣社團的老師為幫助學生正確理解物理變化與化學變化，將5種生活現象分別制成表面看上去無差別的卡片，并分別放入甲、乙兩個口袋中（如圖）．甲口袋中裝有A，B兩張卡片，乙口袋中裝有C、D，E三張卡片．注：沒有生成其他物質的變化叫作物理變化（A、C）；生成其他物質的變化叫作化學變化（B、D、E）．（1）若從乙口袋中隨機抽取1張卡片，抽到物理變化的概率是；（2）從兩個口袋中分別隨機抽取1張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法，求抽出的兩張卡片均是化學變化的概率．15．（2025秋?蘭州校級期中）在街頭巷尾會遇到一類“摸球游戲”，攤主的游戲道具是把分別標有數字1，2，3的3個白球和標有數字4，5，6的3個黑球（球除顏色外，其他均相同）放在口袋里，讓你摸球．規(guī)定：每次付4元錢就玩一局，每局連續(xù)摸兩次，每次只能摸一個，第一次摸完后把球放回口袋里攪勻后再摸一次，若前后兩次摸得的都是白球，攤主就送你12元錢的獎品．（1）用列表法列舉出摸出的兩球可能出現的結果；（2）求出獲獎的概率；（3）如果有100個人每人各玩一局，攤主可能會從這些人身上騙走多少錢？

2025-2026學年上學期初中數學華東師大新版九年級期末必刷?？碱}之列舉所有機會均等的結果參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案DDDADC一．選擇題（共6小題）1．（2025秋?歷下區(qū)期中）趵突泉、大明湖和千佛山是濟南三大著名景點．若小明從這三個景點中隨機選擇兩個景點游覽，則他能游覽趵突泉的概率為（）A．16 B．13 C．12 【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】概率及其應用；應用意識．【答案】D【分析】列表可得出所有等可能的結果數以及他能游覽趵突泉的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：將趵突泉、大明湖和千佛山分別記為A，B，C，列表如下：ABCA（A，B）（A，C）B（B，A）（B，C）C（C，A）（C，B）共有6種等可能的結果，其中他能游覽趵突泉的結果有：（A，B），（A，C），（B，A），（C，A），共4種，∴他能游覽趵突泉的概率為46故選：D．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關鍵．2．（2025秋?咸陽期中）編號為1、2、3、4的試管中分別裝有4種溶液，4個試管外觀完全相同，1號試管溶液呈紅色；2號試管溶液呈藍色；3號、4號試管溶液呈紫色．將4個試管放入一個不透明的箱子中，打亂順序后從中隨機抽取2個試管，溶液都為紫色的概率是（）A．12 B．13 C．14 【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】概率及其應用；數據分析觀念．【答案】D【分析】先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結果數，再找到符合題意的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．【解答】解：將4個試管放入一個不透明的箱子中，打亂順序后從中隨機抽取2個試管，作樹狀圖如下：由樹狀圖可知一共有12種等可能性的結果數，隨機選擇2個試管，溶液都為紫色的結果數有2種，∴溶液都為紫色的概率是212故選：D．【點評】本題主要考查了列表法與樹狀圖法，概率公式，正確畫出樹狀圖或列出表格是解題的關鍵．3．（2025?武漢模擬）某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學和三名女同學表現優(yōu)異．若從以上四名同學中隨機抽取兩名同學擔任主持人，則剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率是（）A．16 B．14 C．13 【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】概率及其應用；運算能力．【答案】D【分析】列表可得出所有等可能的結果數以及剛好抽中一名男同學和一名女同學的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：男女女女男（男，女）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，女）（女，女）女（女，男）（女，女）（女，女）女（女，男）（女，女）（女，女）共有12種等可能的結果，其中剛好抽中一名男同學和一名女同學的結果有6種，∴剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率為612故選：D．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．4．（2024秋?高新區(qū)期末）如圖，在一段長管中放置三根完全相同的繩子．小明從左邊隨機選取一根繩子，小華從右邊隨機選取一根繩子，兩人恰好選中同一根繩子的概率是（）A．13 B．23 C．19 【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】概率及其應用；運算能力．【答案】A【分析】用樹狀圖表示從左邊隨機選取一根繩子，再從右邊隨機選取一根繩子所有等可能出現的結果，再根據概率的定義進行計算即可．【解答】解：左側的繩頭分別用A、B、C表示，右側的繩頭分別用a、b、c表示，從左邊隨機選取一根繩子，再從右邊隨機選取一根繩子，用樹狀圖表示所有等可能出現的結果如下：共有9種等可能出現結果，其中恰好選中同一根繩子的有3種，所以恰好選中同一根繩子的概率為39=故選：A．【點評】本題考查列表法或樹狀圖法，列舉出所有等可能出現的結果是正確解答的關鍵．5．（2024秋?城關區(qū)校級期末）用圖中兩個可自由轉動的轉盤做“配紫色”游戲（其中一個轉出紅色，另一個轉出藍色即可配成紫色），其中A轉盤被分成相等的兩個扇形，B轉盤被分成相等的三個扇形．如果同時轉動兩個轉盤，那么轉盤停止時指針所指的顏色可配成紫色的概率是（）A．12 B．13 C．14 【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應用；運算能力．【答案】D【分析】用樹狀圖表示同時轉動兩個轉盤指針所指顏色所有等可能出現的結果，再根據概率的定義進行計算即可．【解答】解：用樹狀圖表示同時轉動兩個轉盤指針所指顏色所有等可能出現的結果如下：共有6種等可能出現的結果，其中能配成紫色的有1種，所以同時轉動兩個轉盤，那么轉盤停止時指針所指的顏色可配成紫色的概率是16故選：D．【點評】本題考查列表法或樹狀圖法以及概率的計算方法，列舉出所有等可能出現的結果是正確解答的關鍵．6．（2025秋?酒泉期中）某班準備從《我愛你中國》《我和我的祖國》《讓世界充滿愛》《在燦爛陽光下》四首歌曲中任選兩首進行排練，以參加市級合唱大賽，那么該班恰好選中《我和我的祖國》和《在燦爛陽光下》這兩首歌曲的概率是（）A．12 B．14 C．16 【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應用；數據分析觀念．【答案】C【分析】根據題意畫出樹狀圖得出所有等可能情況數和恰好選中《我和我的祖國》和《在燦爛陽光下》這兩首歌曲的情況數，然后根據概率公式即可得出答案．【解答】解：將《我愛你中國》《我和我的祖國》《讓世界充滿愛》《在燦爛陽光下》四首歌曲分別用A，B，C，D表示，選擇兩首歌曲的情況如圖：共有12種等可能的結果數，其中恰好選中《我和我的祖國》和《在燦爛陽光下》兩首歌曲的有2種，則恰好選中《我和我的祖國》和《在燦爛陽光下》這兩首歌曲的概率=2故選：C．【點評】本題主要考查列表法與樹狀圖法，概率公式，畫出樹狀圖展示所有等可能的結果是解題的關鍵．二．填空題（共6小題）7．（2025秋?東港市期中）將分別標有漢字“鮮”“靈”“東”“港”的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“東港”的概率是16【考點】列表法與樹狀圖法．【專題】概率及其應用；應用意識．【答案】16【分析】先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，再找出兩次摸出的球上的漢字組成“東港”的結果數，然后根據概率公式計算．【解答】解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“東港”的結果數為2，所以兩次摸出的球上的漢字組成“東港”的概率=2故答案為：16【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．8．（2025?寧夏）為提升學生藝術素養(yǎng)，學校在周三同時開展了多種文藝社團活動．現從參加器樂、舞蹈和聲樂這三個文藝社團的學生中隨機抽取兩名，他們恰好參加同一社團的概率為13【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應用；數據分析觀念．【答案】13【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，隨機抽取兩名恰好選擇同一個社團的有3種情況，再由概率公式求解即可．【解答】解：把“器樂文藝社團”、“舞蹈文藝社團”、“聲樂文藝社團”分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，隨機抽取兩名恰好選擇同一個社團的有3種情況，∴他們恰好參加同一社團的概率為：39故答案為：13【點評】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．9．（2025?滑縣二模）造紙術、指南針、火藥、印刷術是我國古代四大發(fā)明．如圖是秦奮同學收集的四大發(fā)明的不透明卡片，四張卡片除正面圖案外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“指南針”和“印刷術”的概率是16【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應用；數據分析觀念．【答案】見試題解答內容【分析】根據題意畫出樹狀圖得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，根據概率公式求解可得．【解答】解：印刷術、造紙術、火藥和指南針分別用A、B、C、D表示，根據題意畫圖如下：由樹狀圖可知，抽到的兩張卡片恰好是“指南針”和“印刷術”的概率是212故答案為：16【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．10．（2025春?郫都區(qū)校級期中）為慶祝西南大學附屬中學110周年，該校準備舉辦音樂慶典活動，現從音樂團的2個男生和3個女生中選取2個同學參加表演，恰好選中一個男生和一個女生的概率是35【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應用；數據分析觀念．【答案】35【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結果與恰好選中一個男生、一個女生的結果數，再由概率公式求解即可．【解答】解：從音樂團的2個男生和3個女生中選取2個同學參加表演，作樹狀圖如下：由圖可知，共有20種等可能的結果，其中選取的2個學生恰好是一個男生和一個女生的結果有12種，∴選取的2名學生恰好是1名男生、1名女生的概率為：1220故答案為：35【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，概率公式，解答本題的關鍵是熟練掌握概率的求法：概率＝所求情況數與總情況數之比．11．（2025秋?薩爾圖區(qū)校級期中）物理課上，同學們做“讓小燈泡亮起來”的實驗．“智慧小組”的實驗電路圖如圖所示，其中A，B，C，D表示電路的開關（同時閉合開關A與B或C與D，小燈泡發(fā)光），L表示小燈泡．當隨機閉合兩個開關時，小燈泡L發(fā)光的概率是13【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應用．【答案】13【分析】先列出隨機閉合兩個開關的所有可能情況，再找出能讓小燈泡發(fā)光的情況，最后根據概率公式計算概率．【解答】解：隨機閉合兩個開關，所有可能的情況有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6種．同時閉合開關A與B或C與D，小燈泡發(fā)光，能讓小燈泡發(fā)光的情況有AB、CD，共2種．∴小燈泡L發(fā)光的概率是P=故答案為：13【點評】本題主要考查了概率的計算，熟練掌握概率公式是解題的關鍵．12．（2025春?寶應縣期末）如圖，飛鏢游戲中每一塊小正方形除顏色外都相同．假設飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中小正方形的邊界線或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，擊中白色的小正方形的概率較大（填“黑色”或“白色”）．【考點】幾何概率．【專題】概率及其應用；數據分析觀念．【答案】見試題解答內容【分析】用黑色小正方形和白色小正方形的個數分別除以正方形的總個數可得．【解答】解：∵共有36個小正方形，其中黑色正方形的有16個，白色正方形有20個，∴任意投擲飛鏢一次，剛好擊中黑色小正方形的概率是1636任意投擲飛鏢一次，剛好擊中白色小正方形的概率是2036∵49∴擊中白色的小正方形的概率較大．故答案為：白色．【點評】本題考查幾何概率：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種可能，那么事件A的概率P（A）=m三．解答題（共3小題）13．（2025秋?鼓樓區(qū)校級期中）人工智能是數字經濟高質量發(fā)展的引擎，也是新一輪科技革命和產業(yè)變革的重要驅動．人工智能市場分為決策類人工智能，人工智能機器人，語音類人工智能，視覺類人工智能四大類型，將四個類型的圖標依次制成A，B，C，D四張卡片（卡片背面完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻放置在桌面上．（1）隨機抽取一張，抽到決策類人工智能的卡片的概率為14（2）從中隨機抽取一張，不放回，再隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法求抽取到的兩張卡片中不含人工智能機器人的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應用；應用意識．【答案】（1）14（2）12【分析】（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中抽到決策類人工智能的卡片的結果有1種，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的結果數以及抽取到的兩張卡片中不含人工智能機器人的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中抽到決策類人工智能的卡片的結果有1種，∴抽到決策類人工智能的卡片的概率為14故答案為：14（2）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12種等可能的結果，其中抽取到的兩張卡片中不含人工智能機器人的結果有：（A，C），（A，D），（C，A），（C，D），（D，A），（D，C），共6種，∴抽取到的兩張卡片中不含人工智能機器人的概率為612【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．14．（2025秋?蘭州校級期中）九江中學實驗興趣社團的老師為幫助學生正確理解物理變化與化學變化，將5種生活現象分別制成表面看上去無差別的卡片，并分別放入甲、乙兩個口袋中（如圖）．甲口袋中裝有A，B兩張卡片，乙口袋中裝有C、D，E三張卡片．注：沒有生成其他物質的變化叫作物理變化（A、C）；生成其他物質的變化叫作化學變化（B、D、E）．（1）若從乙口袋中隨機抽取1張卡片，抽到物理變化的概率是13（2）從兩個口袋中分別隨機抽取1張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法，求抽出的兩張卡片均是化學變化的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【專題】概率及其應用；推理能力．【答案】（1）13（2）13【分析】（1）根據概率公式計算即可；（2）列出表格，根據表格解答即可；【解答】解：（1）由題意知，從乙口袋中隨機抽取1張卡片，共有3種等可能的結果，其中抽到物理變化的結果有1種，∴概率是13故答案為：13（2）列表如下：乙甲CDEA（A，C）（A，D）（A，E）B（B，C）（B，D）（B，E）共有6種等可能的結果，其中抽出的兩張卡片均是化學變化的結果有共2種，∴概率P=【點評】本題考查了用樹狀圖或列表法求概率，掌握樹狀圖或列表法是解題的關鍵．15．（2025秋?蘭州校級期中）在街頭巷尾會遇到一類“摸球游戲”，攤主的游戲道具是把分別標有數字1，2，3的3個白球和標有數字4，5，6的3個黑球（球除顏色外，其他均相同）放在口袋里，讓你摸球．規(guī)定：每次付4元錢就玩一局，每局連續(xù)摸兩次，每次只能摸一個，第一次摸完后把球放回口袋里攪勻后再摸一次，若前后兩次摸得的都是白球，攤主就送你12元錢的獎品．（1）用列表法列舉出摸出的兩球可能出現的結果；（2）求出獲獎的概率；（3）如果有100個人每人各玩一局，攤主可能會從這些人身上騙走多少錢？【考點】列表法與樹狀圖法；有理數的混合運算；概率公式．【專題】實數；概率及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）列表如下：1234561（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）共有36種等可能的結果數；（2）14（3）100元．【分析】（1）通過列表的方式列舉出所有可能的摸球結果即可；（2）先找出兩次都摸白球的結果數，共9種，再根據概率公式計算即可；（3）結合概率的知識，計算一定人數參與游戲時，攤主的盈利情況．【解答】解：（1）通過列表的方式列舉出所有可能的摸球結果即可，列表如下：1234561（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）共有36種等可能的結果數；（2）前后兩次摸得的都是白球的結果數為9，所以概率=9（3）100×即如果有100個人每人各玩一局