第17頁（共17頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大版（2024）七年級期末必刷?？碱}之余角和補(bǔ)角一．選擇題（共8小題）1．（2025春?金鳳區(qū)校級期中）已知∠β＝47°，則∠β的余角是（）A．53° B．133° C．43° D．103°2．（2025春?南海區(qū)校級期中）如圖，射線OC的端點O在直線AB上，∠AOC＝40°，射線OD在∠BOC內(nèi)部，∠BOD與∠AOC互余，則∠DOC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．80° D．90°3．（2024秋?德化縣期末）如圖，∠AOB的大小可由量角器測得，則∠AOB的補(bǔ)角的大小為（）A．140° B．130° C．50° D．40°4．（2024秋?江陽區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）A．延長直線AB到點E，使BE＝AB B．墻上固定一根木條，至少需要兩根釘子，依據(jù)是“兩點之間的所有連線中，線段最短” C．若∠A＝38.78°，則∠A的余角的度數(shù)為51°13'12'' D．直線上有三點A，B，C，AB＝2cm，BC＝5cm，則AC＝7cm5．（2024秋?林州市期末）如圖，射線OC的端點O在直線AB上，∠AOC＝40°，點D在平面內(nèi)，∠BOD與∠AOC互余，則∠DOC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．50°或130° D．90°或170°6．（2024秋?運(yùn)河區(qū)校級期末）如圖，將一副三角板疊在一起，使它們的直角頂點重合于點O，已知∠AOB＝155°，則∠COD的度數(shù)為（）A．15° B．25° C．35° D．30°7．（2024秋?鹿邑縣期末）如圖，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，則圖中∠1，∠2，∠3三個角的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．2∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠1+2∠2﹣∠3＝90°8．（2024秋?沙市區(qū)期末）如圖，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，則∠1，∠2，∠3之間的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90°二．填空題（共5小題）9．（2024秋?綿陽期末）將一副直角三角板如圖放置，若∠AOD＝15°，則∠BOC的大小為．10．（2024秋?河南期末）一個角的余角比它的補(bǔ)角的13還少10°，則這個角的大小是11．（2024秋?綏化期末）已知一個角的補(bǔ)角比這個角的余角3倍大10°，則這個角的度數(shù)是度．12．（2024秋?昆都侖區(qū)期末）如圖（射線OD在∠AOC內(nèi)部），∠AOC與∠BOD都是直角，則下列說法正確的是．（填序號）①若∠COD＝30°，則∠AOB＝150°．②圖中共有5個角．③∠AOD＝∠BOC．④∠AOB與∠DOC的和不變．⑤∠AOD＝45°時，OC平分∠BOD．13．（2024秋?騰沖市期末）一個角補(bǔ)角比它的余角的2倍多30°，這個角的度數(shù)為．三．解答題（共2小題）14．（2024秋?吉首市期末）將一副三角尺疊放在一起．（1）如圖①，若∠1＝4∠2，求∠CAE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠CAD＝2∠BAF，求∠CAF的度數(shù)．15．（2024秋?睢縣期末）【實踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)．（1）如圖1，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起，∠ACD＝∠ECB＝90°．①若∠ECD＝35°，則∠ACB＝；若∠ACB＝140°，則∠ECD＝；②猜想：請直接寫出∠ACB與∠ECD的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，若是兩個同樣的直角三角尺60°銳角的頂點重合在一起，∠ACD＝∠AFG＝90°，則請直接寫出∠GAC與∠DAF的數(shù)量關(guān)系；（3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α、β都是銳角），如圖3，若把它們的頂點O重合在一起，請直接寫出∠AOD與∠BOC的數(shù)量關(guān)系：．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大版（2024）七年級期末必刷?？碱}之余角和補(bǔ)角參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CDBCDBAD一．選擇題（共8小題）1．（2025春?金鳳區(qū)校級期中）已知∠β＝47°，則∠β的余角是（）A．53° B．133° C．43° D．103°【考點】余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)互為余角的定義即可得出答案．【解答】解：∵∠β＝47°，∴∠β的余角是：90°﹣∠β＝90°﹣47°＝43°．故選：C．【點評】此題主要考查了互為余角的定義，理解互為余角的定義，熟練掌握角的計算是解決問題的關(guān)鍵．2．（2025春?南海區(qū)校級期中）如圖，射線OC的端點O在直線AB上，∠AOC＝40°，射線OD在∠BOC內(nèi)部，∠BOD與∠AOC互余，則∠DOC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．80° D．90°【考點】余角和補(bǔ)角；角的計算．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】度數(shù)之和為90度的兩個角互余，據(jù)此可得∠BOD+∠AOC＝90°，再由平角的定義可得答案．【解答】解：∵∠BOD與∠AOC互余，∴∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠DOC＝90°，故選：D．【點評】本題主要考查了余角的定義，平角的定義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?德化縣期末）如圖，∠AOB的大小可由量角器測得，則∠AOB的補(bǔ)角的大小為（）A．140° B．130° C．50° D．40°【考點】余角和補(bǔ)角．【專題】常規(guī)題型．【答案】B【分析】由量角器可得出∠AOB的度數(shù)，從而可求出∠AOB的度數(shù)．【解答】解：由量角器可知∠AOB＝50°，∴∠AOB的補(bǔ)角的大小為130°，故選：B．【點評】本題考查余角與補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是正確理解余角與補(bǔ)角的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．（2024秋?江陽區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）A．延長直線AB到點E，使BE＝AB B．墻上固定一根木條，至少需要兩根釘子，依據(jù)是“兩點之間的所有連線中，線段最短” C．若∠A＝38.78°，則∠A的余角的度數(shù)為51°13'12'' D．直線上有三點A，B，C，AB＝2cm，BC＝5cm，則AC＝7cm【考點】余角和補(bǔ)角；直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線；線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；兩點間的距離；度分秒的換算．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】由直線的性質(zhì)、余角的概念、線段的性質(zhì)等知識分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、延長線段AB到點E，使BE＝AB，故選項A不符合題意；B、墻上固定一根木條，至少需要兩根釘子，依據(jù)是“兩點確定一條直線”，故選項B不符合題意；C、若∠A＝38.78°，則∠A的余角的度數(shù)為90°﹣38.78°＝51.22°＝51°13'12''，故選項C符合題意；D、直線上有三點A，B，C，AB＝2cm，BC＝5cm，則AC＝7cm或AC＝3cm，故選項D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了余角的概念、直線的性質(zhì)、線段的性質(zhì)等知識，熟記有關(guān)概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?林州市期末）如圖，射線OC的端點O在直線AB上，∠AOC＝40°，點D在平面內(nèi)，∠BOD與∠AOC互余，則∠DOC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．50°或130° D．90°或170°【考點】余角和補(bǔ)角；角的概念．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】D【分析】先根據(jù)互為余角的定義求出∠BOD的度數(shù)，再分兩種情況討論：當(dāng)∠BOD在直線AB上方時；當(dāng)∠BOD在直線AB下方時；分別計算即可．【解答】解：∵∠AOC＝40°，∠BOD與∠AOC互余，∴∠BOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，當(dāng)∠BOD在直線AB上方時，∠DOC＝180°﹣∠BOD﹣∠AOC＝180°﹣50°﹣40°＝90°；當(dāng)∠BOD在直線AB下方時，∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣50°＝130°，∴∠DOC＝∠AOD+∠AOC＝130°+40°＝170°；綜上，∠DOC的度數(shù)為90°或170°，故選：D．【點評】本題考查了余角和補(bǔ)角，角的和差，注意分類討論思想的運(yùn)用．6．（2024秋?運(yùn)河區(qū)校級期末）如圖，將一副三角板疊在一起，使它們的直角頂點重合于點O，已知∠AOB＝155°，則∠COD的度數(shù)為（）A．15° B．25° C．35° D．30°【考點】余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：∵∠AOB＝155°，∠AOD＝90°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝65°，∵∠COB＝90°，∴∠COD＝∠COB﹣∠BOD＝25°，故選：B．【點評】本題考查了余角和補(bǔ)角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?鹿邑縣期末）如圖，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，則圖中∠1，∠2，∠3三個角的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．2∠1﹣∠2+∠3＝90° D．∠1+2∠2﹣∠3＝90°【考點】余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀．【答案】A【分析】由∠COE+∠3+∠BOD＝∠3+∠BOD+∠2，得出∠COE＝∠2，再由∠1+∠COE+∠3＝90°，得出正確答案．【解答】解：∵∠COD＝∠EOF＝90°，∴∠COE+∠3+∠BOD＝∠3+∠BOD+∠2，∴∠COE＝∠2，∵∠AOB＝90°，∴∠1+∠COE+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°．故選：A．【點評】本題主要考查互余的概念，關(guān)鍵是掌握余角的性質(zhì)．8．（2024秋?沙市區(qū)期末）如圖，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，則∠1，∠2，∠3之間的數(shù)量關(guān)系為（）A．∠1+∠2+∠3＝90° B．∠1+∠2﹣∠3＝90° C．∠2+∠3﹣∠1＝90° D．∠1﹣∠2+∠3＝90°【考點】余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀．【答案】D【分析】由∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，得出∠3＝∠BOD，而∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，即可得到答案．【解答】解：∵∠3+∠BOC＝∠DOB+∠BOC＝90°，∴∠3＝∠BOD，∵∠EOD+∠1＝90°，∴∠BOD﹣∠2+∠1＝90°，∴∠3﹣∠2+∠1＝90°，故選：D．【點評】本題考查互余的概念，關(guān)鍵是掌握余角的性質(zhì)．二．填空題（共5小題）9．（2024秋?綿陽期末）將一副直角三角板如圖放置，若∠AOD＝15°，則∠BOC的大小為165°．【考點】余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】165°．【分析】根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可．【解答】解：∵∠AOD＝15°，∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝90°﹣15°＝75°，∴∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝75°+90°＝165°，故答案為：165°．【點評】本題考查角的和差，關(guān)鍵是掌握角的和差關(guān)系．10．（2024秋?河南期末）一個角的余角比它的補(bǔ)角的13還少10°，則這個角的大小是60°【考點】余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】60°．【分析】設(shè)這個角的度數(shù)為x°，則它的補(bǔ)角為（180﹣x）°，它的余角為（90﹣x）°，根據(jù)題意可得：90﹣x=13（180﹣x）﹣【解答】解：設(shè)這個角的度數(shù)為x°，則它的補(bǔ)角為（180﹣x）°，它的余角為（90﹣x）°，由題意得：90﹣x=13（180﹣x）﹣解得：x＝60，∴這個角的大小是60°，故答案為：60°．【點評】本題考查了余角和補(bǔ)角，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．11．（2024秋?綏化期末）已知一個角的補(bǔ)角比這個角的余角3倍大10°，則這個角的度數(shù)是50度．【考點】余角和補(bǔ)角．【專題】計算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】相加等于90°的兩角稱作互為余角，也作兩角互余．和是180°的兩角互為補(bǔ)角，本題實際說明了一個相等關(guān)系，因而可以轉(zhuǎn)化為方程來解決．【解答】解：設(shè)這個角是x°，則余角是（90﹣x）度，補(bǔ)角是（180﹣x）度，根據(jù)題意得：180﹣x＝3（90﹣x）+10解得x＝50．故填50．【點評】題目反映了相等關(guān)系問題，就可以利用方程來解決．12．（2024秋?昆都侖區(qū)期末）如圖（射線OD在∠AOC內(nèi)部），∠AOC與∠BOD都是直角，則下列說法正確的是①③④⑤．（填序號）①若∠COD＝30°，則∠AOB＝150°．②圖中共有5個角．③∠AOD＝∠BOC．④∠AOB與∠DOC的和不變．⑤∠AOD＝45°時，OC平分∠BOD．【考點】余角和補(bǔ)角；角的概念．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】①③④⑤．【分析】①先根據(jù)余角的定義求出∠AOD，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；②根據(jù)圖形即可系和等量關(guān)系即可求解；③根據(jù)同角的余角相等即可求解；④根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解⑤根據(jù)角平分線的定義即可解答．【解答】解：∵∠AOC與∠BOD都是直角，∴①若∠COD＝30°，則∠AOD＝60°，則∠AOB＝150°，故正確；②根據(jù)圖形圖中共有6個角，分別為：∠AOD，∠DOC，∠COB，∠AOC，∠DOB，∠AOB，故錯誤；③∠AOD＝∠BOC，故正確；④∵∠AOB+∠DOC＝90°+90°＝180°，∴∠AOB與∠DOC的和不變，故正確；⑤∵∠AOC與∠BOD都是直角，∠AOD＝45°，∴∠DOC＝45°，∴OC平分∠BOD，故正確，所以說法正確的是：①③④⑤．故答案為：①③④⑤．【點評】本題考查余角和補(bǔ)角，掌握余角和補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?騰沖市期末）一個角補(bǔ)角比它的余角的2倍多30°，這個角的度數(shù)為30°．【考點】余角和補(bǔ)角．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)這個角為x，根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念列出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)這個角為x，由題意得180°﹣x＝2（90°﹣x）+30°，解得x＝30°．答：這個角的度數(shù)是30°．故答案為：30°．【點評】本題考查的是余角和補(bǔ)角的概念，若兩個角的和為90°，則這兩個角互余；若兩個角的和等于180°，則這兩個角互補(bǔ)．三．解答題（共2小題）14．（2024秋?吉首市期末）將一副三角尺疊放在一起．（1）如圖①，若∠1＝4∠2，求∠CAE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠CAD＝2∠BAF，求∠CAF的度數(shù)．【考點】余角和補(bǔ)角；角的計算．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）18°．（2）120°．【分析】（1）根據(jù)∠1+∠2＝90°，∠1＝4∠2，求出∠2＝18°，根據(jù)∠1+∠CAE＝∠1+∠2＝90°，即可解答；（2）根據(jù)∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠BAF＝60°，求出∠CAD﹣∠BAF＝30°，根據(jù)∠CAD＝2∠BAF，求出∠BAF＝30°，最后求出結(jié)果即可．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝4∠2，∴4∠2+∠2＝90°，∴∠2＝18°，∵∠DAE＝90°，∴∠1+∠CAE＝∠1+∠2＝90°，∴∠CAE＝∠2＝18°．（2）∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠BAF＝60°，∴∠CAD﹣∠BAF＝30°，又∵∠CAD＝2∠BAF，∴∠BAF＝30°，∴∠CAF＝∠BAF+∠CAB＝30°+90°＝120°．【點評】本題主要考查了幾何圖形中角的計算，三角尺中角的計算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形板中角的度數(shù)．15．（2024秋?睢縣期末）【實踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)．（1）如圖1，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起，∠ACD＝∠ECB＝90°．①若∠ECD＝35°，則∠ACB＝145°；若∠ACB＝140°，則∠ECD＝40°；②猜想：請直接寫出∠ACB與∠ECD的數(shù)量關(guān)系：②∠ACB+∠ECD＝180°．（2）如圖2，若是兩個同樣的直角三角尺60°銳角的頂點重合在一起，∠ACD＝∠AFG＝90°，則請直接寫出∠GAC與∠DAF的數(shù)量關(guān)系∠GAC+∠DAF＝120°；（3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α、β都是銳角），如圖3，若把它們的頂點O重合在一起，請直接寫出∠AOD與∠BOC的數(shù)量關(guān)系：∠AOD+∠BOC＝α+β．【考點】余角和補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識．【答案】（1）①145°，40°；②∠ACB+∠ECD＝180°；（2）∠GAC+∠DAF＝120°；（3）∠AOD+∠BOC＝α+β．【分析】（1）①本題已知兩塊直角三角尺實際就是已知三角板的各個角的度數(shù)，根據(jù)角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度數(shù)；②根據(jù)前兩個小問題的結(jié)論猜想∠ACB與∠ECD的大小關(guān)系，結(jié)合前兩問的解決思路得出證明；（2）根據(jù)（1）解決思路確定∠GAC與∠DAF的大小并證明；（3）由于∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是銳角），而∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：（1）①∵∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，∴∠DCB＝90°﹣35°＝55°，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝145°，∵∠ACB＝140°，∠ACD＝90°，∴∠DCB＝140°﹣90°＝50°，∵∠ECB＝90°，∴∠DCE＝90°﹣50°＝40°，故答案為：145°，40°；②猜想得∠ACB+∠ECD＝180°（或∠ACB與∠ECD互補(bǔ)），理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，∴∠ACB+∠ECD＝180°；故答案為：∠ACB+∠ECD＝180°（2）∠GAC+∠DAF＝120°，理由如下：由于∠GAC＝∠GAD+∠DAF+∠FAC，故∠GAC+∠DAF＝∠GAD+∠DAF+∠FAC+∠DAF＝∠GAF+∠DAC＝60°+60°＝120°；故答案為：∠GAC+∠DAF＝120°（3）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由：∵∠AOD＝∠AOB+∠BOD，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC，即∠AOD＝α+β﹣∠BOC，∴∠AOD+∠BOC＝α+β．故答案為：∠AOD+∠BOC＝α+β．【點評】本題考查余角與補(bǔ)角，掌握互為余角、互為補(bǔ)角的意義以及圖形中角的和差關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．

考點卡片1．直線的性質(zhì)：兩點確定一條直線（1）直線公理：經(jīng)過兩點有且只有一條直線．簡稱：兩點確定一條直線．（2）經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條，過兩點就唯一確定，過三點就不一定了．2．線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短線段公理兩點的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．簡單說成：兩點之間，線段最短．3．兩點間的距離（1）兩點間的距離連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離．（2）平面上任意兩點間都有一定距離，它指的是連接這兩點的線段的長度，學(xué)習(xí)此概念時，注意強(qiáng)調(diào)最后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖形．線段的長度才是兩點的距離．可以說畫線段，但不能說畫距離．4．角的概念（1）角的定義：有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．（2）