第22頁(yè)（共22頁(yè)）2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之垂直于弦的直徑一．選擇題（共8小題）1．（2025秋?通遼期中）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，凱凱在讀完《九章算術(shù)》卷九勾股定理篇記載的“圓材埋壁”問(wèn)題后，突發(fā)靈感，設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)題如圖，CD為圓O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，ED＝4，AB＝16，則直徑CD的長(zhǎng)是（）A．18 B．19 C．20 D．212．（2025秋?臨洮縣期中）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D．若AB＝24，OC＝13，則OD的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．8 D．133．（2025秋?浙江期中）下列說(shuō)法正確的有（）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．直徑是同一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦 C．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧 D．弧分為優(yōu)弧和劣弧4．（2025?惠城區(qū)一模）為了測(cè)量一個(gè)鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內(nèi)，測(cè)得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（）A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm5．（2025?新蔡縣三模）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP的長(zhǎng)可能是（）A．8 B．6 C．4 D．26．（2025?瀘縣校級(jí)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC＝5cm，CD＝8cm，則BE＝（）cm．A．5 B．4 C．3 D．27．（2024秋?白云區(qū)期末）唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長(zhǎng)4m，輪子的吃水深度CD為1m，則該槳輪船的輪子直徑為（）A．52m B．4m C．5m D．8．（2025秋?綏濱縣期中）如圖所示，半徑為1的半圓O上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，若AB＝1，四邊形ABDC的面積最大值為（）A．．2 B．343 C．3 D二．填空題（共5小題）9．（2025秋?吳興區(qū)校級(jí)期中）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞．如圖，某地園林中的一個(gè)圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，求該門洞的半徑是m．10．（2025秋?哈爾濱期中）如圖，CD為⊙O的直徑，CD＝10，弦AB⊥CD于點(diǎn)M，OM：OC＝3：5，則弦AB＝．11．（2025秋?紹興期中）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，AB＝10，CD＝8，則線段AC的長(zhǎng)為．12．（2025秋?龍沙區(qū)期中）已知⊙O的半徑為2，⊙O中有兩條平行的弦AB和CD，AB＝2，CD＝23，則兩條弦之間的距離為．13．（2025秋?紹興期中）如圖，△ABC內(nèi)接于直徑為29的圓O，將弦AC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到弦AD，且AD⊥BC，若AC＝5，則AB＝．三．解答題（共2小題）14．（2025秋?濱海新區(qū)期中）如圖，AD為圓O的直徑，E為弦BC的中點(diǎn)，連接AB，AC．（1）求證：△ABC為等腰三角形；（2）連接BD，CD，若AD＝8，四邊形ABDC的面積為24，求DE的長(zhǎng)．15．（2024秋?志丹縣期末）西安的摔碗酒吸引眾多游客體驗(yàn)，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如圖，這是摔碗酒瓷碗正面的形狀示意圖，AB是⊙O的一部分，D是AB的中點(diǎn)，連接OD，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA，OB．已知AB＝18cm，碗深CD＝6cm，求OA的長(zhǎng)．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之垂直于弦的直徑參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案CBBDCDCB一．選擇題（共8小題）1．（2025秋?通遼期中）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，凱凱在讀完《九章算術(shù)》卷九勾股定理篇記載的“圓材埋壁”問(wèn)題后，突發(fā)靈感，設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)題如圖，CD為圓O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，ED＝4，AB＝16，則直徑CD的長(zhǎng)是（）A．18 B．19 C．20 D．21【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r，利用垂徑定理和勾股定理得到r2＝（r﹣4）2+82，解方程即可．【解答】解：CD為圓O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，ED＝4，AB＝16，連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r，∵OD⊥AB，∴AE＝BE＝8，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣4）2+82，∴r＝10，∴CD＝2r＝20，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是應(yīng)用勾股定理列出關(guān)于⊙O的半徑的方程．2．（2025秋?臨洮縣期中）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D．若AB＝24，OC＝13，則OD的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．8 D．13【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計(jì)算；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】連接OA，由垂徑定理得到AD的長(zhǎng)，再由勾股定理解答即可．【解答】解：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，AB＝24，OC＝13，連接OA，∴AD=12AB=12在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．3．（2025秋?浙江期中）下列說(shuō)法正確的有（）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．直徑是同一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦 C．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧 D．弧分為優(yōu)弧和劣弧【考點(diǎn)】垂徑定理；圓的認(rèn)識(shí)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】B【分析】由垂徑定理，等弧的定義，圓的弦的定義，即可判斷．【解答】解：A、平分弦的直徑垂直于弦，此命題錯(cuò)誤；B、直徑是同一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦，命題正確；C、能夠完全重合的兩條弧是等弧，故原命題錯(cuò)誤；D、一條弦把圓分成兩條弧，兩條弧可能都是半圓，故原命題錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，垂徑定理，圓的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵是掌握垂徑定理，等弧的定義，圓的弦的定義．4．（2025?惠城區(qū)一模）為了測(cè)量一個(gè)鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內(nèi)，測(cè)得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（）A．4cm B．8cm C．5cm D．10cm【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】連接AB、CD交于點(diǎn)D，根據(jù)垂徑定理求出AD，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：連接AB、CD交于點(diǎn)D，由題意得，OC⊥AB，則AD=設(shè)圓的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣2）cm，在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，則該鐵球的直徑為10cm，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．5．（2025?新蔡縣三模）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP的長(zhǎng)可能是（）A．8 B．6 C．4 D．2【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)P的位置，OP為半徑時(shí)，最長(zhǎng)，OP⊥AB時(shí)，最短，求出OP的取值范圍，即可得出結(jié)果．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，OP為半徑，長(zhǎng)度最長(zhǎng)為5；當(dāng)OP⊥AB時(shí)，由垂線段最短，可知此時(shí)OP最短，∵OP⊥AB，∴AP=∴OP=∴3≤OP≤5，∴OP的長(zhǎng)可能是4；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意得出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，OP為半徑，長(zhǎng)度最長(zhǎng)為5；當(dāng)OP⊥AB時(shí)，由垂線段最短是解題的關(guān)鍵．6．（2025?瀘縣校級(jí)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OC＝5cm，CD＝8cm，則BE＝（）cm．A．5 B．4 C．3 D．2【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．【答案】D【分析】利用垂徑定理得到再利用勾股定理計(jì)算出OE＝3cm，然后計(jì)算OB﹣OE即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴OB＝OC＝5cm，∵弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝4cm，在Rt△OCE中，OC＝5cm，∴OE=∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2（cm）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，熟知垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．能夠利用垂徑定理解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?白云區(qū)期末）唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長(zhǎng)4m，輪子的吃水深度CD為1m，則該槳輪船的輪子直徑為（）A．52m B．4m C．5m D．【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】C【分析】設(shè)該槳輪船的輪子半徑為r，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程，即可求解．【解答】解：∵AB＝4，OC⊥AB，∴AD＝DB=12AB＝2設(shè)該槳輪船的輪子半徑為rm，在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2即r2＝（r﹣1）2+22，解得：r=∴該槳輪船的輪子直徑為52×2＝5（故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．8．（2025秋?綏濱縣期中）如圖所示，半徑為1的半圓O上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，若AB＝1，四邊形ABDC的面積最大值為（）A．．2 B．343 C．3 D【考點(diǎn)】垂徑定理；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，分別過(guò)點(diǎn)A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于點(diǎn)E、F、G，根據(jù)垂線段線段最短可知HF＜OH，再由梯形的中位線定理可知，HF=12（AE+【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OB，分別過(guò)點(diǎn)A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于點(diǎn)E、F、G，如圖，∵AB＝1，⊙O的半徑＝1，∴OH=3∵垂線段最短，∴HF＜OH，∴HF=12（AE+∴S四邊形ABDC＝S△AOC+S△AOB+S△BOD=12×1×AE+12=12AE=12（AE+BG＝HF+34≤故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）9．（2025秋?吳興區(qū)校級(jí)期中）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞．如圖，某地園林中的一個(gè)圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，求該門洞的半徑是1.3m．【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力．【答案】1.3．【分析】設(shè)半徑為rm，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可．【解答】解：設(shè)圓的半徑為rm，由題意可知，DF=12CD=12m，EFRt△OFD中，OF=r2-(12)∴r2-(1解得r＝1.3．故答案為：1.3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．10．（2025秋?哈爾濱期中）如圖，CD為⊙O的直徑，CD＝10，弦AB⊥CD于點(diǎn)M，OM：OC＝3：5，則弦AB＝8．【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】8．【分析】連接OA，因?yàn)镃D為⊙O的直徑，CD＝10，所以O(shè)A＝OC＝5，由弦AB⊥CD于點(diǎn)M，得∠OMA＝90°，AM＝BM，因?yàn)镺M：OC＝3：5，所以O(shè)M=35OC＝3，則AM=OA2-OM2【解答】解：連接OA，∵CD為⊙O的直徑，CD＝10，∴OA＝OC=12CD=12∵弦AB⊥CD于點(diǎn)M，∴∠OMA＝90°，AM＝BM，∵OM：OC＝3：5，∴OM=35OC=35∴AM=OA∴AB＝2AM＝2×4＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2025秋?紹興期中）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，AB＝10，CD＝8，則線段AC的長(zhǎng)為45．【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】45．【分析】連接OD，由CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，得CE＝DE，∠AEC＝∠OED＝90°，而AB＝10，CD＝8，則OA＝OD＝5，CE＝DE＝4，所以O(shè)E=OD2-DE2=3，則AE＝OA+OE【解答】解：連接OD，∵CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，∴CE＝DE，∠AEC＝∠OED＝90°，∵AB＝10，CD＝8，∴OA＝OD=12AB＝5，CE＝DE=12∴OE=OD∴AE＝OA+OE＝8，∴AC=CE2故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2025秋?龍沙區(qū)期中）已知⊙O的半徑為2，⊙O中有兩條平行的弦AB和CD，AB＝2，CD＝23，則兩條弦之間的距離為3+1或3-1【考點(diǎn)】垂徑定理；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】計(jì)算題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①弦AB和CD在圓心同側(cè)；②弦AB和CD在圓心異側(cè)；作出半徑和弦心距，利用勾股定理和垂徑定理求解即可【解答】解：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖1所示，∵AB＝2，CD＝23，∴AF＝1，CE=3∵OA＝OC＝2，∴EO＝1，OF=3∴EF＝OF﹣OE=3②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖2所示，∵AB＝2，CD＝23，∴AE＝1，CF=3∵OA＝OC＝2，∴EO=3，OF＝1∴EF＝OF+OE=3綜上所述：AB和CD之間的距離為3-1或故答案為：3+1或3-【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．13．（2025秋?紹興期中）如圖，△ABC內(nèi)接于直徑為29的圓O，將弦AC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到弦AD，且AD⊥BC，若AC＝5，則AB＝212929【考點(diǎn)】垂徑定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】2129【分析】連接并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CD、CF、DF，則∠ADF＝∠ACF＝90°，AF=29，由旋轉(zhuǎn)得AD＝AC＝5，則DF＝CF=(29)2-52=2，所以S△ADF＝S△ACF=12×5×2＝5，則S四邊形ADFC＝10，可證明AF垂直平分CD，由S四邊形ADFC=12×29CD＝10，求得CD=202929，因?yàn)锳D⊥BC于點(diǎn)E，所以∠AEB＝∠AEC＝∠DEC＝90°，由勾股定理得52﹣AE2=(202929)2【解答】解：連接并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CD、CF、DF，∵AF是⊙O的直徑，且⊙O的直徑為29，∴∠ADF＝∠ACF＝90°，AF=29∵將弦AC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到弦AD，AC＝5，∴AD＝AC＝5，∴DF＝CF=(29∴S△ADF＝S△ACF=12×5×2∴S四邊形ADFC＝S△ADF+S△ACF＝5+5＝10，∵AD＝AC，DF＝CF，∴點(diǎn)A、點(diǎn)F都在CD的垂直平分線上，∴AF垂直平分CD，∴S四邊形ADFC=12×29∴CD=20∵AD⊥BC于點(diǎn)E，DE＝5﹣AE，∴∠AEB＝∠AEC＝∠DEC＝90°，∴AC2﹣AE2＝CD2﹣DE2＝CE2，∴52﹣AE2=(202929)2-（∴AE=105∵∠AEB＝∠ACF，∠B＝∠AFC，∴△AEB∽△ACF，∴ABAF∴AB=2129AF故答案為：2129【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）14．（2025秋?濱海新區(qū)期中）如圖，AD為圓O的直徑，E為弦BC的中點(diǎn)，連接AB，AC．（1）求證：△ABC為等腰三角形；（2）連接BD，CD，若AD＝8，四邊形ABDC的面積為24，求DE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】垂徑定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．【答案】（1）證明：∵E為弦BC的中點(diǎn)，AD為直徑，∴AD⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形；（2）4-【分析】（1）由垂徑定理得AD⊥BC，BE＝CE，然后由線段垂直平分線的性質(zhì)可得答案；（2）連接OB，由AD＝8，四邊形ABDC的面積為24，得BC＝6，在Rt△OBE中，由勾股定理求出OE=7，然后根據(jù)DE＝OD﹣【解答】（1）證明：∵E為弦BC的中點(diǎn)，AD為直徑，∴AD⊥BC，BE＝CE，∴AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形；（2）解：如圖，連接OB，由條件可知12∴BC＝6，∴BE＝3，∵AD＝8，則OB＝OD＝4，在Rt△OBE中，OE=∴DE=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．15．（2024秋?志丹縣期末）西安的摔碗酒吸引眾多游客體驗(yàn)，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．如圖，這是摔碗酒瓷碗正面的形狀示意圖，AB是⊙O的一部分，D是AB的中點(diǎn)，連接OD，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA，OB．已知AB＝18cm，碗深CD＝6cm，求OA的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】垂徑定理的應(yīng)用；勾股定理．【專題】三角形．【答案】394【分析】根據(jù)垂徑定理得出AC=BC=12【解答】解：∵D是AB的中點(diǎn)，∴OD⊥AB，∴AC=設(shè)OA＝rcm，∵CD＝6cm，則OC＝（r﹣6）cm．在Rt△OAC中，由勾股定理得OC2+AC2＝OA2，即（r﹣6）2+92＝r2，解得r=∴OA的長(zhǎng)為394【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理、勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見(jiàn)的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決．2．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．3．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)