page12026學(xué)年甘肅省蘭州市紅古區(qū)九年級上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題

1.一元二次方程x2+2xA.1 B.2 C.?5 D.0

2.下列有關(guān)菱形、矩形、正方形具有的共同性質(zhì)是（

）A.鄰邊相等 B.對角相等

C.對角線互相垂直 D.對角線相等

3.將一元二次方程x2?6x?9=0化成(x+aA.?3，?18 B.3，18 C.3，?18 D.?3，18

4.“長城是中華民族的驕傲”的英文是“TheGreatWallistheprideoftheChinesenation”．在這句英文中，字母“i”出現(xiàn)的頻率是（

）A.17 B.37 C.110 D.18

5.如圖，將矩形ABCD放置在刻度尺上，頂點A，C對應(yīng)的刻度（單位：cm）分別為1和5，則BD的長為（

）

A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm

6.若m，n是一元二次方程x2+3x?9A.6 B.12 C.0 D.18

7.如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)位于對角線AC下方的一點，∠1=∠2，則∠BPC=（A.125° B.130° C.135° D.145°

8.在紀念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利80周年之際，電影《南京照相館》暑期正式上映．上映第一周票房收入達8.98億元，第三周票房收入達12.93億元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增長率增長，設(shè)增長率為x，則可列方程為（

）

A.8.98B.8.98C.8.98D.8.98

9.某花木場有一塊如等腰梯形ABCD的空地（如圖），各邊的中點分別是E、F、G、H，用籬笆圍成的四邊形EFGH場地的周長為40cm，則對角線AC的長度為（）

A.20cm B.15cm C.10cm D.5cm

10.關(guān)于x的一元二次方程的新定義：關(guān)于x的一元二次方程：ax2+bx+c=0與bx2+ax+c=A.2036 B.2030 C.2032 D.2026

11.如圖，在平面直角坐標系中，O是菱形ABCD對角線BD的中點，AD?//?x軸，AD=4，∠A=60°．將菱形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在xA.0,3 B.0,?3 C.0,23 D.0二、填空題

12.當m=__________時，關(guān)于x的方程(

13.在?ABCD中，給出下列條件：①AB=BC；②AC=BD；③AC

14.定義運算：m※n=mn

15.如圖，ABCD和DEFG是兩個不等的正方形，連接BG交DE于H，如果△BHE面積為10，則△DHF面積為__________________．

三、解答題

16.解方程：x

17.如圖，在正方形ABCD中，G是邊BC上一點，連接AG，過點D作DE⊥AG于點E，過點B作BF∥DE，且交AG于點F．求證：AE

18.如圖，△ABD中，∠ABD=∠ADB（1）作點A關(guān)于BD的對稱點C；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法．保留作圖痕跡）（2）在(1))條件下，連接BC,CD,AC，AC與BD交于點O，若AB=

19.落日熔金，沙海與碧波相映成輝，千年壁畫隨歌聲蘇醒．8月29日，由抖音主辦，甘肅省文化和旅游廳、敦煌市委宣傳部指導(dǎo)舉辦的鳴沙山月牙泉“抖音七夕落日派對”隆重啟幕．如圖，現(xiàn)準備利用活動場地一面墻MN(MN最長可用25m)，用總長為40m的絲帶（靠墻一面不用絲帶）圍成一個矩形ABCD觀眾區(qū)．當AB長度為多少時，矩形觀眾區(qū)的面積為150m

20.如圖，在?ABCD中，點E在AD邊上，BE和CE分別是∠ABC和∠BCD的角平分線，以BC為對角線向外作四邊形BECF，使∠BCF=∠AEB，∠

21.閱讀理解材料：已知實數(shù)m，n滿足m2?m?1=0，n2?n?1=0，且m≠n，求nm+mn（1）方程x2?4x?3=0的兩個實數(shù)根為x（2）已知實數(shù)m，n滿足m2?3m+1=0

22.為了解同學(xué)們對某月餅廠家生產(chǎn)的多種月餅的喜愛情況，某實踐探究小組對九年級部分同學(xué)做了調(diào)查，以下是調(diào)查報告的部分內(nèi)容，請完善報告：××小組關(guān)于××學(xué)校學(xué)生月餅品種喜愛情況調(diào)查報告數(shù)據(jù)收集調(diào)查方式抽樣調(diào)查調(diào)查對象××學(xué)校九年級部分學(xué)生數(shù)據(jù)的整理與描述品種A：蓮蓉月餅B：五仁月餅C：豆沙月餅D：水果月餅E：冰皮月餅數(shù)據(jù)分析及運用（1）本次被抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為________，扇形統(tǒng)計圖中，m=（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）甲、乙兩位同學(xué)根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，A，C，E三種月餅最受歡迎，計劃從這三個品種中挑選一種推薦給朋友，請用樹狀圖或列表的方法求出他們恰好選擇同一種月餅的概率

23.已知關(guān)于x的一元二次方程x2（1）求證：無論m取何值，方程總有兩個實數(shù)根；（2）矩形ABCD的兩條邊AB,BC恰好是這個方程的兩個根，當m=

24.平?jīng)雒紫愦讱v史悠久，相傳可追溯至遠古的黃帝問道廣成子時期．某超市銷售一批精裝平?jīng)雒紫愦?，平均每天能售?0瓶，每瓶盈利15元．為了擴大銷售、增加盈利及盡快減少庫存，超市決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當每瓶醋每降價1元時，平均每天可多售出4瓶．超市要想使這批米香醋的銷售利潤平均每天達到396元，每瓶醋應(yīng)降價多少元？

25.在學(xué)習了《特殊平行四邊形》這一章后，老師布置了一項課后作業(yè)：利用所學(xué)知識在一張長8cm，寬6cm的矩形紙片ABCD上作出一個菱形．①小明的方案，如圖1

連接BD；

作BD的垂直平分線，交AD,BC,BD于點E，F(xiàn)，O；

連接BE,DF；②小彤的方案，如圖2

利用刻度尺找到四條邊的中點E，F(xiàn)，G，H；

順次連接E，F(xiàn)，G，H；

四邊形EFGH即為所作的菱形．

【解答問題】（1）方案設(shè)計正確的是________（寫出序號即可）；（2）請選擇一種正確的方案進行證明；（3）直接寫出哪種方案構(gòu)成的四邊形面積大，且最大面積是多少．

26.綜合與探究

定義：對于一個四邊形，我們把依次連接它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”，如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們就把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．

概念理解：

（1）下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是________．

A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

性質(zhì)探究：（2）如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的結(jié)論：

①________；

②________；

問題解決：（3）如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB,AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE,EG（4）如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB,CD的中點．試探索BD與

參考答案與試題解析2025-2026學(xué)年甘肅省蘭州市紅古區(qū)九年級上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.【答案】B【考點】此題暫無考點【解析】本題考查一元二次方程定義．根據(jù)題意利用一元二次方程一般形式即可得到本題答案．【解答】一元二次方程x2+2x?5=02.【答案】B【考點】矩形的性質(zhì)利用菱形的性質(zhì)證明正方形的性質(zhì)【解析】本題考查了菱形、矩形、正方形的性質(zhì)，根據(jù)菱形、矩形、正方形的性質(zhì)逐項分析判斷，即可求解．【解答】解：A．鄰邊相等：菱形和正方形滿足，但矩形鄰邊不一定相等（僅正方形相等），本選項不符合題意．

B．對角相等：菱形、矩形、正方形均為平行四邊形，對角均相等，本選項符合題意．

C．對角線互相垂直：菱形和正方形滿足，但矩形對角線不一定垂直（僅正方形垂直），本選項不符合題意；

D．對角線相等：矩形和正方形滿足，但菱形對角線不一定相等（僅正方形相等），本選項不符合題意．

綜上，三者共同性質(zhì)為對角相等，

故選B．3.【答案】D【考點】解一元二次方程-配方法【解析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【解答】解：∵x2?6x?9=0，

∴x2?6x=9，

則x4.【答案】C【考點】求某事件的頻率【解析】本題考查求頻率，直接利用頻率公式進行計算即可．【解答】解：一共40個字母，字母“i”出現(xiàn)了4次，

∴P=440=5.【答案】C【考點】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長【解析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先求出AC的長度，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由題意得：AC=4cm，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴BD=AC6.【答案】A【考點】已知式子的值，求代數(shù)式的值根與系數(shù)的關(guān)系【解析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟悉掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

把x=m代入x2+3x?9=0可得到m2+【解答】已知m，n是一元二次方程x2+3x?9=0的兩個根，則m2+3m=9．7.【答案】C【考點】三角形內(nèi)角和定理根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度【解析】由正方形的性質(zhì)可得∠ACB=∠BAC=45°，可得【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACB=∠BAC=45°，

∴∠1+∠BCP=45°，

∵∠1=∠8.【答案】B【考點】一元二次方程的應(yīng)用——增長率問題【解析】本題考查的知識點是由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出等量關(guān)系式．

根據(jù)題意可得出第二周的票房為8.98(1+【解答】增長率為x，則第二周的票房為8.98(1+x)，第三周的票房為8.98(1+x9.【答案】A【考點】等腰梯形的性質(zhì)菱形的判定【解析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)可推出四邊形EFGH為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得其邊長，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求得梯形對角線AC的長度．【解答】解：連接BD

∵四邊形ABCD是等腰梯形

∴AC=BD

∵各邊的中點分別是E、F、G、H

∴HG=12AC=EF，EH=12BD=FG

∴HG=EH=EF=FG10.【答案】D【考點】此題暫無考點【解析】本題考查了配方法的應(yīng)用以及一元二次方程的定義，利用“交換二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項式相等的條件列出關(guān)于m與n的方程組，求出方程組的解得到m與n的值，進而利用非負數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最小值即可．【解答】因為(m?2)x2?4x+1=0與(n+6)x2+3x+1=0是“交換二次方程”，

所以m?2=3n+6=?411.【答案】D【考點】含30度角的直角三角形勾股定理的應(yīng)用利用菱形的性質(zhì)求線段長根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【解析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

由菱形的性質(zhì)可得，A、B、C均在坐標軸上，再由直角三角形的性質(zhì)可得OD=12【解答】解：根據(jù)菱形的對稱性可得：當點D落在x軸正半軸上時，A、B、C均在坐標軸上，如圖，

∵∠BAD=60°,AD=4，

∴∠OAD=30°，

∴OD=12AD=2，

∴AO二、填空題12.【答案】?【考點】一元二次方程的定義【解析】本題考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程ax2+bx+c=【解答】解：由題意可得：m2?7=2，且m?3≠013.【答案】①③【考點】添一個條件使四邊形是菱形【解析】根據(jù)菱形和矩形的判定方法即可解題,見詳解.【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴①AB=BC；根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形,此項正確,

②AC=BD；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形,此項錯誤,

③AC⊥BD；根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形,此項正確,

④AB⊥BC；根據(jù)有一個角是14.【答案】有兩個不相等的實數(shù)根【考點】根的判別式定義新符號【解析】此題暫無解析【解答】解：∵2※x=1，

∴2x2?2x?2=115.【答案】10【考點】根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等底等高的三角形面積相等等知識，掌握這些知識是解題的關(guān)鍵；連接BD,AE,AH，由正方形的性質(zhì)得S△BHE=S△【解答】解：如圖，連接BD,AE,AH，

∵四邊形ABCD和DEFG是兩個正方形，

∴AB?//?CD，DE?//?GF，DG=DE,AB=AD，

∴S△BHE=S三、解答題16.【答案】x1=【考點】解一元二次方程-配方法【解析】本題主要考查了解一元二次方程，靈活運用配方法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵．

直接運用配方法求解即可．【解答】解：x2?4x?32=0，

x2?4x=32，17.【答案】見解析【考點】兩直線平行內(nèi)錯角相等全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明【解析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．通過正方形的性質(zhì)得出相關(guān)角和邊的關(guān)系，再結(jié)合垂直的性質(zhì)得到角的等量關(guān)系，最后利用全等三角形的判定定理證明兩個三角形全等，從而得出對應(yīng)邊相等．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵DE⊥AG，

∴∠AED=∠DEF=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，

又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，

∴∠ADE18.【答案】見解析；圖見解析，點B到AD的距離是12013【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)作垂線(尺規(guī)作圖)勾股定理的應(yīng)用根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長【解析】（1）先運用尺規(guī)作出線段BD的垂直平分線，然后再作出OC=OA即可確定點（2）先根據(jù)題意作圖，再由軸對稱的性質(zhì)、等角對等邊可證明四邊形ABCD是菱形可得AC⊥BD、OB=12BD=5、AD=【解答】（1）解：如圖：點C即為所求．

（2）解：∵∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

∵C是點A關(guān)于BD的對稱點，

∴CB=AB，CD=AD．

∴AB=BC=CD=AD．

∴四邊形ABCD是菱形．又AB=13，BD=10，

∴AC⊥BD，OB=12BD=5，AD=19.【答案】當AB長度為15m時，矩形觀眾區(qū)的面積為150【考點】一元二次方程的應(yīng)用——幾何圖形面積問題【解析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．

本題可先設(shè)出AB的長度，再根據(jù)矩形周長和面積公式列出方程，最后求解方程并結(jié)合墻長的限制條件確定AB的長度．【解答】解：設(shè)AB=x米，則BC=(40?2x)米，

根據(jù)題意得：x(40?2x)=150，

整理得：x2?20x+75=0，

解得：x1=520.【答案】見解析【考點】利用平行四邊形的性質(zhì)證明證明四邊形是矩形【解析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

先證明四邊形BECF是平行四邊形，再結(jié)合角平分線的定義可得到∠BEC【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB?//?DC，

∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠BCD=180°．

∵∠BCF=∠AEB，∠CBF=∠DEC，

∴∠BCF=∠CBE，∠CBF=∠BCE．

∴CF?//?BE，21.【答案】4，?5【考點】通過對完全平方公式變形求值分式的化簡求值二次根式的混合運算根與系數(shù)的關(guān)系【解析】（1）直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）m，n可看作方程x2?3x+1=0【解答】（1）解：∵方程x2?4x?3=0的兩個實數(shù)根為x1，x2，

∴（2）解：∵m2?3m+1=0，n2?3n+1=0，且m≠n，

∴m，n可看作方程22.【答案】120，30見解析1【考點】由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量畫條形統(tǒng)計圖條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)列表法與樹狀圖法【解析】（1）本題考查了樣本容量，圓心角的計算，畫條形統(tǒng)計圖，頻數(shù)的計算，利用畫樹狀圖或列表的方法求解隨機事件的概率，樣本估計總體，掌握以上基礎(chǔ)的統(tǒng)計知識是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)頻數(shù)除以所占百分比等于樣本容量，再計算A的占比即可;

(2)根據(jù)頻數(shù)之和等于樣本容量，確定C組的人數(shù)，完善統(tǒng)計圖即可;

【解答】（1）解：根據(jù)題意，得18÷15%=120（人），

m%=36120=0.3=（2）喜歡豆沙月餅的人數(shù)為：120?36?12?（3）根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

一共有9種等可能結(jié)果，其中兩位同學(xué)選擇同一種月餅有3種可能結(jié)果，

P?甲23.【答案】見解析7，3【考點】根的判別式根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)正方形的判定【解析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運用根的判別式進行判定即可求解；（2）根據(jù)題意，當矩形ABCD是正方形時，AB=BC，即方程有兩個相等的根，所以(m【解答】（1）解：證明：關(guān)于x的一元二次方程x2?(m?1)x+3m（2）解：矩形ABCD的兩條邊AB,BC恰好是這個方程的兩個根，

∵當矩形ABCD是正方形時，AB=BC，即方程有兩個相等的根，

∴(m?7)2=0，

解得，m=7，

當m=7時，一元二次方程為：x2?6x24.【答案】每瓶醋應(yīng)降價6元【考點】營銷問題(一元二次方程的應(yīng)用)【解析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)每瓶醋應(yīng)降價x元，可使超市銷售利潤平均每天達到396元，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【解答】解：設(shè)每瓶醋應(yīng)降價x元，可使超市銷售利潤平均每天達到396元，

根據(jù)題意得：(15?x)(20+4x)=396，

整理得：x2?10x+24=25.【答案】①②方案①，見解析方案①面積最大，最大面積為37.5c【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)與三角形中位線有關(guān)的證明根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積【解析】（1）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，結(jié)合三角形中位線定理，判定兩種方案都是正確的，解答即可；（2）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，進行證明即可；（3）利用菱形的面積等于對角線乘積的一半和平行四邊形的面積計算，比較大小即可．

本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，熟練掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【解答】（1）解：根據(jù)作圖，四條邊相等的四邊形是菱形，可以判定，兩種方案都是中正確的；

故答案為：①②；（2）解：方案1：四邊形BEDF為菱形，理由如下：

由作法得：EF是BD的垂直平分線，

∴EF⊥BD,OB=OD,EB=ED,FB=FD，

∴∠BEO=∠DEO，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD?//?BC，

∴∠BFO=∠DEO，

∴∠BFO=∠BEO，

∴BF=BE，

∴BF=BE=ED=DF，

∴四邊形BEDF為菱形，

方案2：四邊形EFGH（3）解：方案1:∵四邊形ABCD是矩形，