2025年算法設(shè)計(jì)與分析考研專業(yè)課專項(xiàng)訓(xùn)練模擬試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、假設(shè)有一個(gè)無(wú)向圖G=(V,E)，其中V是頂點(diǎn)集合，E是邊集合。請(qǐng)回答以下問(wèn)題：1.定義圖G的連通分量。2.描述深度優(yōu)先搜索（DFS）算法的基本思想。3.給出DFS算法在遍歷圖時(shí)用于標(biāo)記頂點(diǎn)狀態(tài)的三種常見(jiàn)標(biāo)記（如：已訪問(wèn)、已探索、已訪問(wèn)完）及其含義。二、給定一個(gè)正整數(shù)n，設(shè)計(jì)一個(gè)算法計(jì)算Fibonacci數(shù)列的第n項(xiàng)F(n)的值。要求：1.寫(xiě)出使用遞歸方法實(shí)現(xiàn)的算法描述（偽代碼或C/C++/Java/Python代碼片段）。2.分析你所設(shè)計(jì)的遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度。3.提出至少一種改進(jìn)方法來(lái)優(yōu)化該算法的時(shí)間復(fù)雜度，并給出改進(jìn)后的算法描述（偽代碼或代碼片段）及其時(shí)間復(fù)雜度分析。三、假設(shè)我們需要設(shè)計(jì)一個(gè)算法，用于在一個(gè)包含n個(gè)元素的數(shù)組A中查找元素x的所有出現(xiàn)位置。數(shù)組元素可能重復(fù)。1.描述使用順序查找方法實(shí)現(xiàn)該算法的基本步驟，并分析其時(shí)間復(fù)雜度。2.描述使用二分查找方法實(shí)現(xiàn)該算法的基本步驟。假設(shè)數(shù)組A已經(jīng)排序，請(qǐng)說(shuō)明二分查找能否直接找到所有x的位置，為什么？如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述如何利用二分查找改進(jìn)查找效率。3.提出一種你認(rèn)為更高效（或更實(shí)用）的算法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，并簡(jiǎn)述其核心思想及大致步驟。四、設(shè)計(jì)一個(gè)算法，在鏈表L中查找并刪除鏈表中的所有重復(fù)元素，使得每個(gè)元素只保留一次。鏈表中的元素值都是整數(shù)。要求：1.假設(shè)鏈表節(jié)點(diǎn)定義如下：```c++structListNode{intval;ListNode*next;ListNode(intx):val(x),next(nullptr){}};```請(qǐng)寫(xiě)出刪除重復(fù)元素的算法的C++代碼實(shí)現(xiàn)。2.分析你所設(shè)計(jì)算法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。五、考慮一個(gè)字符串S和一個(gè)模式串P。設(shè)計(jì)一個(gè)算法，在不使用庫(kù)函數(shù)的情況下，實(shí)現(xiàn)字符串匹配，即查找模式串P在字符串S中的首次出現(xiàn)位置（從S的第1個(gè)字符開(kāi)始）。要求：1.描述KMP(Knuth-Morris-Pratt)算法的基本思想，特別是如何構(gòu)建部分匹配表（PartialMatchTable,PMT）。2.假設(shè)模式串P的長(zhǎng)度為m，請(qǐng)分析KMP算法在最壞情況下的時(shí)間復(fù)雜度。3.簡(jiǎn)述KMP算法相比樸素字符串匹配算法的主要優(yōu)點(diǎn)。六、給定一個(gè)正整數(shù)n，設(shè)計(jì)一個(gè)算法生成所有大小為n的二叉搜索樹(shù)（BinarySearchTree,BST）。二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)包含一個(gè)整數(shù)值和指向左右子樹(shù)的指針。要求：1.請(qǐng)給出二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)的C++定義：```c++structTreeNode{intval;TreeNode*left;TreeNode*right;TreeNode(intx):val(x),left(nullptr),right(nullptr){}};```2.寫(xiě)出生成所有大小為n的BST的算法的C++代碼實(shí)現(xiàn)。3.分析你所設(shè)計(jì)算法的時(shí)間復(fù)雜度。提示：考慮遞歸樹(shù)的形狀。七、假設(shè)你需要維護(hù)一個(gè)動(dòng)態(tài)的數(shù)據(jù)集合，其中經(jīng)常需要插入新元素，并且需要能夠快速找到當(dāng)前數(shù)據(jù)集合中的最大元素。請(qǐng)回答：1.如果數(shù)據(jù)集合中的元素是互不相同的正整數(shù)，你會(huì)選擇哪種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來(lái)高效地支持這些操作？請(qǐng)說(shuō)明理由。2.如果數(shù)據(jù)集合中的元素可能包含重復(fù)值，你會(huì)選擇哪種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)？請(qǐng)說(shuō)明理由。3.對(duì)于你選擇的第二種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，請(qǐng)簡(jiǎn)述其主要操作（如插入、查找最大元素）的基本原理或?qū)崿F(xiàn)思路。八、考慮以下遞推關(guān)系：T(1)=1T(n)=2*T(n/2)+n,其中n是2的冪，n≥21.請(qǐng)用遞歸樹(shù)方法或主定理（MasterTheorem）分析該遞推關(guān)系的時(shí)間復(fù)雜度T(n)。2.寫(xiě)出計(jì)算T(n)的非遞歸算法（即，使用循環(huán)）的偽代碼或C/C++/Java/Python代碼實(shí)現(xiàn)。試卷答案一、1.圖G的連通分量是指G的最大連通子圖。一個(gè)連通子圖是G的一個(gè)子圖，其中任何兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有路徑相連，并且是G中最大的具有這種性質(zhì)的子圖（即，無(wú)法再添加G中的其他頂點(diǎn)而保持其連通性）。2.深度優(yōu)先搜索（DFS）算法的基本思想是：從給定圖G的某個(gè)起始頂點(diǎn)v開(kāi)始，首先訪問(wèn)v，然后選擇一個(gè)v的未被訪問(wèn)的鄰接頂點(diǎn)w，從w出發(fā)繼續(xù)進(jìn)行深度優(yōu)先搜索，即遞歸地應(yīng)用DFS算法訪問(wèn)w。重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到無(wú)法繼續(xù)向下訪問(wèn)新的頂點(diǎn)。此時(shí)，回溯到上一個(gè)訪問(wèn)的頂點(diǎn)，檢查其其他未被訪問(wèn)的鄰接頂點(diǎn)，如果存在，則從該頂點(diǎn)出發(fā)繼續(xù)DFS。這個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行，直到所有從起始頂點(diǎn)v可以到達(dá)的頂點(diǎn)都被訪問(wèn)過(guò)。如果圖是連通的，那么所有頂點(diǎn)最終都會(huì)被訪問(wèn)到。如果圖不連通，通常需要從多個(gè)未被訪問(wèn)的頂點(diǎn)開(kāi)始調(diào)用DFS。3.DFS算法中常用的三種標(biāo)記及其含義：*已訪問(wèn)(Visited/Discovery):表示該頂點(diǎn)已經(jīng)被DFS算法發(fā)現(xiàn)（即，在DFS遞歸調(diào)用中已經(jīng)到達(dá)該頂點(diǎn)）。*已探索(Exploring/In-Stack):表示該頂點(diǎn)正處于DFS遞歸調(diào)用棧中，即從該頂點(diǎn)出發(fā)的DFS尚未完成。這個(gè)狀態(tài)通常用于檢測(cè)環(huán)。當(dāng)DFS回溯到某個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，如果其某個(gè)鄰接頂點(diǎn)仍然處于“已探索”狀態(tài)，則說(shuō)明找到了一個(gè)環(huán)。*已訪問(wèn)完(Processed/Finished):表示從該頂點(diǎn)出發(fā)的DFS完全結(jié)束，所有其可達(dá)的子樹(shù)都已遍歷完畢，此時(shí)可以釋放與該頂點(diǎn)相關(guān)的資源（在非遞歸實(shí)現(xiàn)中可能有此標(biāo)記）。二、1.遞歸方法實(shí)現(xiàn)：```c++//偽代碼intFibonacci_Recursive(intn){if(n<=0){return0;//或F(0)=0}if(n==1){return1;//F(1)=1}returnFibonacci_Recursive(n-1)+Fibonacci_Recursive(n-2);}``````c++//C++代碼片段intFibonacci_Recursive(intn){if(n<=0)return0;if(n==1)return1;returnFibonacci_Recursive(n-1)+Fibonacci_Recursive(n-2);}```2.遞歸算法時(shí)間復(fù)雜度分析：該遞歸算法的調(diào)用樹(shù)是一個(gè)嚴(yán)格二叉樹(shù)，深度為n。在每一層，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都進(jìn)行兩次遞歸調(diào)用（除最底層外）。因此，調(diào)用次數(shù)約為2^(n-1)-1。由于每次調(diào)用涉及常數(shù)時(shí)間的計(jì)算，時(shí)間復(fù)雜度為O(2^n)。這是一個(gè)指數(shù)級(jí)復(fù)雜度的算法，效率極低。3.改進(jìn)方法：動(dòng)態(tài)規(guī)劃（自底向上）```c++//偽代碼intFibonacci_DP(intn){if(n<=0)return0;if(n==1)return1;intprev1=1,prev2=0;for(inti=2;i<=n;++i){intcurrent=prev1+prev2;prev2=prev1;prev1=current;}returnprev1;}``````c++//C++代碼片段intFibonacci_DP(intn){if(n<=0)return0;if(n==1)return1;intprev1=1,prev2=0;for(inti=2;i<=n;++i){intcurrent=prev1+prev2;prev2=prev1;prev1=current;}returnprev1;}```改進(jìn)算法時(shí)間復(fù)雜度分析：該算法使用循環(huán)，從F(2)開(kāi)始，依次計(jì)算到F(n)，每次計(jì)算只涉及常數(shù)時(shí)間的加法和賦值操作。因此，時(shí)間復(fù)雜度為O(n)?？臻g復(fù)雜度為O(1)，因?yàn)橹恍枰鎯?chǔ)幾個(gè)變量。三、1.順序查找方法：*步驟：初始化一個(gè)空列表`positions`用于存儲(chǔ)結(jié)果。遍歷數(shù)組A的每一個(gè)元素`A[i]`（從0到n-1）。對(duì)于每個(gè)元素，判斷`A[i]`是否等于x。如果等于，則將當(dāng)前索引`i`添加到`positions`列表中。遍歷結(jié)束后，返回`positions`列表。*時(shí)間復(fù)雜度：最壞情況是x不存在或只出現(xiàn)在最后一個(gè)位置，需要遍歷整個(gè)數(shù)組。時(shí)間復(fù)雜度為O(n)。2.二分查找方法：*步驟：首先確保數(shù)組A已經(jīng)排序。然后使用標(biāo)準(zhǔn)的二分查找算法查找元素x。*能否直接找到所有位置：不能。二分查找算法在找到一個(gè)與x相等的元素后，只能確定一個(gè)位置（通常是中間位置）。它無(wú)法直接告訴你x是否在其他位置。*如何利用二分查找改進(jìn)效率：可以利用二分查找找到x的第一個(gè)出現(xiàn)位置`left_index`，再利用二分查找找到x的最后一個(gè)出現(xiàn)位置`right_index`。這兩個(gè)位置之間的所有元素（即`A[left_index]`到`A[right_index]`）都等于x。因此，可以先用二分查找找左邊界`left_index`，再用二分查找找右邊界`right_index`，然后返回`[left_index,right_index]`這個(gè)區(qū)間內(nèi)的所有索引。兩次二分查找的時(shí)間復(fù)雜度均為O(logn)?？偟臅r(shí)間復(fù)雜度為O(logn)。3.更高效/實(shí)用的算法：哈希表（或排序+順序查找）*核心思想：如果允許修改數(shù)組或使用額外空間，可以首先遍歷數(shù)組，將每個(gè)元素及其索引存入哈希表（鍵為元素值，值為包含該值所有索引的列表）。查找時(shí)，直接查詢哈希表即可。*方法一（哈希表）：遍歷數(shù)組O(n)時(shí)間，存入哈希表。查找x時(shí)O(1)時(shí)間即可獲取所有索引列表?？侽(n)時(shí)間，O(n)空間。*如果不允許修改數(shù)組且不能使用額外空間：先對(duì)數(shù)組排序O(nlogn)時(shí)間。然后使用類似二分查找的方法，找到第一個(gè)x和最后一個(gè)x的索引，如上所述，時(shí)間O(logn)?？倳r(shí)間復(fù)雜度O(nlogn)。這是在不允許額外空間的情況下通常最優(yōu)的方法。四、1.C++代碼實(shí)現(xiàn)：```c++structListNode{intval;ListNode*next;ListNode(intx):val(x),next(nullptr){}};ListNode*deleteDuplicates(ListNode*head){if(!head)returnhead;ListNode*current=head;while(current->next){if(current->val==current->next->val){//刪除當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的下一個(gè)節(jié)點(diǎn)ListNode*temp=current->next;current->next=temp->next;deletetemp;//釋放內(nèi)存}else{//移動(dòng)到下一個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)current=current->next;}}returnhead;}```2.算法時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度分析：*時(shí)間復(fù)雜度：算法遍歷了鏈表一次。對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)，最多進(jìn)行常數(shù)時(shí)間的比較和指針操作（以及可能的刪除操作，刪除操作也涉及常數(shù)時(shí)間指針修改）。因此，時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，其中n是鏈表的長(zhǎng)度。*空間復(fù)雜度：算法只使用了固定的幾個(gè)指針變量（`head`,`current`,`temp`），不依賴于鏈表的大小。因此，空間復(fù)雜度為O(1)，即常量級(jí)空間。這是一個(gè)原地算法。五、1.KMP算法基本思想及PMT構(gòu)建：*基本思想：KMP算法的核心思想是在不匹配發(fā)生時(shí)，能夠充分利用已經(jīng)匹配成功的部分信息，避免將主串指針`i`回溯到之前已經(jīng)匹配過(guò)的位置。它通過(guò)模式串自身的“前綴”和“后綴”具有相同模式的信息，來(lái)確定`i`應(yīng)該移動(dòng)到哪個(gè)位置繼續(xù)比較。*部分匹配表(PMT)構(gòu)建：PMT（也稱為失敗函數(shù)或最長(zhǎng)相同前后綴數(shù)組）用于記錄模式串P的每個(gè)前綴（長(zhǎng)度為k的前綴`P[0..k-1]`）的最長(zhǎng)相同前后綴的長(zhǎng)度`lps[k]`。構(gòu)建PMT的過(guò)程是：初始化`lps[0]=0`。設(shè)置兩個(gè)指針`len`（當(dāng)前最長(zhǎng)相同前后綴的長(zhǎng)度）和`i`（模式串索引，從1開(kāi)始）。遍歷模式串P，比較`P[i-1]`和`P[len-1]`。如果相等，`len`加1，`lps[i]=len`，然后移動(dòng)`i`繼續(xù)比較。如果不相等，且`len`不為0，則將`len`修改為`lps[len-1]`（即查找更長(zhǎng)的相同前后綴），然后繼續(xù)比較`P[i-1]`和`P[len-1]`。如果`len`為0（即當(dāng)前前綴無(wú)相同前后綴），則`lps[i]=0`，`i`加1。2.KMP算法最壞情況時(shí)間復(fù)雜度：對(duì)于模式串P的長(zhǎng)度為m，KMP算法在最壞情況下的時(shí)間復(fù)雜度為O(m+n)，其中n是主串S的長(zhǎng)度。最壞情況發(fā)生在主串S和模式串P在大部分時(shí)間內(nèi)都能部分匹配，但每次不匹配后都需要利用PMT回溯，且PMT的值增長(zhǎng)緩慢（例如，當(dāng)P="001001"時(shí)）。盡管如此，相比于樸素算法的O(mn)，KMP算法仍然具有顯著的時(shí)間效率提升。3.KMP算法相比樸素算法的主要優(yōu)點(diǎn)：*無(wú)需回溯主串指針：這是KMP最主要的優(yōu)點(diǎn)。在樸素算法中，一旦比較失敗，主串指針`i`必須回溯到上一個(gè)匹配成功的位置之前才能繼續(xù)比較。而KMP算法利用PMT，可以在不移動(dòng)`i`或只移動(dòng)很少的距離的情況下繼續(xù)比較。*時(shí)間復(fù)雜度更優(yōu)：在最壞情況下，KMP算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(m+n)，而樸素算法為O(mn)。對(duì)于長(zhǎng)模式串或需要多次匹配的情況，KMP的效率優(yōu)勢(shì)明顯。*空間復(fù)雜度：KMP需要額外的O(m)空間來(lái)存儲(chǔ)PMT。但這通常被認(rèn)為是可接受的，以換取時(shí)間上的巨大優(yōu)化。六、1.二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)C++定義：```c++structTreeNode{intval;TreeNode*left;TreeNode*right;TreeNode(intx):val(x),left(nullptr),right(nullptr){}};```2.生成所有大小為n的BST的算法：```c++#include<vector>//遞歸函數(shù)：生成以root為根，大小在lo到hi范圍內(nèi)的所有BSTvoidgenerateTreesHelper(intlo,inthi,std::vector<TreeNode*>&result){if(lo>hi){//空樹(shù)也是一個(gè)有效的BSTresult.push_back(nullptr);return;}for(introotVal=lo;rootVal<=hi;++rootVal){//生成左子樹(shù)std::vector<TreeNode*>leftSubtrees;generateTreesHelper(lo,rootVal-1,leftSubtrees);//生成右子樹(shù)std::vector<TreeNode*>rightSubtrees;generateTreesHelper(rootVal+1,hi,rightSubtrees);//將左子樹(shù)和右子樹(shù)與當(dāng)前根節(jié)點(diǎn)組合for(autoleft:leftSubtrees){for(autoright:rightSubtrees){TreeNode*currentRoot=newTreeNode(rootVal);currentRoot->left=left;currentRoot->right=right;result.push_back(currentRoot);}}}}//主函數(shù)：生成所有大小為n的BSTstd::vector<TreeNode*>generateTrees(intn){std::vector<TreeNode*>allTrees;if(n==0)returnallTrees;generateTreesHelper(1,n,allTrees);returnallTrees;}```3.算法時(shí)間復(fù)雜度分析：這個(gè)算法使用遞歸?？紤]遞歸樹(shù)的形狀。對(duì)于大小為n的BST，其生成算法的結(jié)構(gòu)與卡特蘭數(shù)C_n相關(guān)。卡特蘭數(shù)C_n的遞推關(guān)系為C_n=sum(C_i*C_{n-1-i})forifrom0ton-1。生成所有大小為n的BST的總數(shù)等于C_n。算法的遞歸調(diào)用次數(shù)大致與卡特蘭數(shù)C_n成正比。因此，生成所有大小為n的BST的算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(C_n)?？ㄌ靥m數(shù)C_n大約為O(4^n/(n^(3/2)*sqrt(pi)))。所以時(shí)間復(fù)雜度也可以近似表示為O(4^n/sqrt(n))。這是一個(gè)指數(shù)級(jí)復(fù)雜度的算法。七、1.數(shù)據(jù)集合元素為互不相同的正整數(shù)，選擇的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：二叉搜索樹(shù)（BST）或平衡二叉搜索樹(shù)（如AVL樹(shù)、紅黑樹(shù)）。*理由：在BST中，插入操作可以在O(logn)時(shí)間內(nèi)完成（期望情況下，對(duì)于隨機(jī)數(shù)據(jù)）。查找最大元素只需要持續(xù)向右子節(jié)點(diǎn)移動(dòng)，直到到達(dá)最右節(jié)點(diǎn)，這個(gè)操作的時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)（對(duì)于平衡BST）或O(h)，其中h是樹(shù)的高度（對(duì)于非平衡BST，最壞情況下為O(n)）。BST的插入和查找最大元素操作都相對(duì)高效。2.數(shù)據(jù)集合元素可能包含重復(fù)值，選擇的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：堆（特別是最大堆）或排序數(shù)組。*理由：*最大堆：堆是一種特殊的完全二叉樹(shù)，其中每個(gè)父節(jié)點(diǎn)的值都大于或等于其所有子節(jié)點(diǎn)的值（最大堆）。堆的根節(jié)點(diǎn)就是整個(gè)堆中的最大元素。插入操作的時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)。查找最大元素的時(shí)間復(fù)雜度為O(1)。如果需要?jiǎng)h除最大元素，可以將其與堆底元素交換，然后進(jìn)行堆調(diào)整，時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)。堆適合于需要頻繁獲取最大元素，且插入操作也比較頻繁的場(chǎng)景。*排序數(shù)組：如果數(shù)組保持排序狀態(tài)，則最大元素位于數(shù)組的最后一個(gè)位置。查找最大元素的時(shí)間復(fù)雜度為O(1)。插入操作需要將新元素插入到正確的位置以保持排序，最壞情況下時(shí)間復(fù)雜度為O(n)（如果插入位置在數(shù)組開(kāi)頭）。如果插入操作不頻繁，排序數(shù)組也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。3.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)操作原理/思路：*對(duì)于堆：插入時(shí)，將新元素添加到堆的末尾，然后通過(guò)與父節(jié)點(diǎn)比較，如果值更大則與父節(jié)點(diǎn)交換，這個(gè)過(guò)程稱為“上浮”（heapify-up）。查找最大元素就是返回堆頂元素。刪除最大元素后，將堆底元素移到根位置，然后通過(guò)比較與子節(jié)點(diǎn)，如果值更小則與較大的子節(jié)點(diǎn)交換，這個(gè)過(guò)程稱為“下沉”（heapify-down）。*對(duì)于排序數(shù)組：查找最大元素，返回?cái)?shù)組的最后一個(gè)元素。插入新元素，首先使用二分查找找到合適的插入位置`pos`（時(shí)間O(logn)），然后將從`pos`到末尾的元素都向后移動(dòng)一個(gè)位置（時(shí)間O(n)），最后將新元素放在位置`pos`。八、1.遞推關(guān)系時(shí)間復(fù)雜度分析：*方法一：遞歸樹(shù)*遞歸樹(shù)每一層代表遞歸調(diào)用一次T(n/2)。*根節(jié)點(diǎn)是T(n)。*根節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)是T(n/2)+n。*每個(gè)T(n/2)節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)是T(n/4)+n/2。*...*樹(shù)的深度是log?(n)（因?yàn)槊看蝞除以2）。*在第k層（k=log?(n)-1），有2^(log?(n)-1)=n/2個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的成本是n/(2^k)+n=n(1/2^k+1)。