八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)單元檢測卷

第三章勾股定理,能力提升

建議用時(shí)：90分鐘,滿分：120分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列四個(gè)說法：

①如果a,b,。為一組勾股數(shù)，那么2a,2b,2c仍是勾股數(shù)；

②如果直角三角形的兩邊是8、15,那么斜邊必是17；

③如果一個(gè)三角形的三邊是12、25、20,那么此三角形必是直角三角形；

④一個(gè)等腰直角三角形的三邊是a,b,c（a>b=c）,那么/：/：。2=2：1：1.

其中正確的是（）

A.?@B.①@C.②④D.①④

2.如圖，。為數(shù)軸原點(diǎn)，A,8兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)-3,3,作腰長為4的等腰V48C,連接OC,以。為圓心,

OC長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)“表示的實(shí)數(shù)為（）

A.-V5B.75C.-y/1D.6

3.如圖，在直角三角形48c中，ZBAC=90°,AC=6,48=8,點(diǎn)。為8c中點(diǎn)，則力。的長為（）

A.1（）B.4.8C.4D.5

4.如圖，在中，408=90°,DE垂直平分48交8c于點(diǎn)若“。。的周長為14,且4月C=38C,

則,48的長為（）

1/31

5.在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用圖形驗(yàn)證著名的勾股定理，下列選項(xiàng)中的圖形，能證明

勾股定理的是（）

①②③④

A.①②③B.①?④C.②?④D.①②③④

6.如圖，用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌成了一個(gè)正方形圖案.已知大正方形的面積為49,

小正方形的面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊長C＞歹），有下列四個(gè)說法：①/+9=49；

②工一y=2；③x+y=9；(4)2xy+4=49.其中正確的是（）

A.??B.??③C.??③④D.①②④

AF

咫

與

AB

第6題第7題

7.如圖，正方形的面積標(biāo)記為5,以8為斜邊作等腰直角三角形，再以該等腰直角三角形的一條

直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為邑,…,按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則上與S的關(guān)系為（）

A.$8=（亨jsB.H郛

C.&=出￡DS3=（「S,

8.在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有4、8兩個(gè)格點(diǎn),試取格點(diǎn)C,使得V/18C是直角三角形，則這樣的格點(diǎn)C

的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.6D.8

?一―—―r1—1一一一一1l一一一一?

111AD

?1____1___L1___三

111

111

"'A\\B

111BEC

第8題第9題

2/31

9.如圖，長方形川?。。中，/8=3,BC=4,點(diǎn)、E是BC邊上一點(diǎn)、,連接力E,把沿力E折疊，使點(diǎn)8

落在點(diǎn)8,處，若ACE9恰好為直角三角形，則CE的長為（）

A.1B.3C.1或』D.1或3

2

10.如圖，在Rt△4AC中，4cB=90。，4=30。，BC=l,P是48邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△8CQ沿CP折疊,

點(diǎn)8落在ZT處，設(shè)8P=x,當(dāng)ZT落在△4C尸的內(nèi)部時(shí)，x的取值范圍是（）

i<x<V3-1

A.-<x<\B.

2

二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共4（）分）

II.己知百角三角形的兩功長為4和6,那么這個(gè)直角三角形的斜動(dòng)長為.

12.如圖所示，3x3的方格放置在數(shù)軸上，格點(diǎn)正方形的頂點(diǎn)。在數(shù)軸上表示-1.以點(diǎn)。為圓心,

40長為半徑畫弧，交數(shù)軸右側(cè)于點(diǎn)區(qū)則點(diǎn)￡所表示的數(shù)是

第12題

13.清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”.法則的提出，不僅

簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn).由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù):

①3,4,5；②5,12,13：③7,24,25：④9,40,41；……根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為.

14.如圖，三角形紙片V/出。中，N比1C=9O。，AB=2,AC=3,沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)8落

在邊3C上的點(diǎn)。處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)￡＞重合，若折痕與/C的交點(diǎn)為E,則力E的長是.

15.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全

等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的.如圖，直角三角形的直角邊長為。，b,斜邊長為c,若6-。=4,

c=8,則每個(gè)直角三角形的面積為________.

第15題第16題

3/31

22.(本題10分)如圖所示，已知一塊三角形的花園，測量發(fā)現(xiàn)力4=/lC,BC=20m,。是腰/出上一點(diǎn),

且CZ)=16m,BD=12m.

(1)求證：CD上AB；

(2)求三角形花園VABC的面積.

23.(本題10分)【課本再現(xiàn)】

(1)如圖1,四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大正方形，中間空白部分也是正方形.己知直角三角形的兩

直角邊長分別為“，h,斜邊長為c.課堂上，老師結(jié)合圖形，用不同的方式表示大正方形的面積，證明了

勾股定理/+〃=/.請寫出證明過程.

【類比遷移】

(2)現(xiàn)將圖1中的兩個(gè)直角三角形向內(nèi)翻折，得到圖2,若。=3,6=4,則空白部分的面積為.

【能力提升】

(3)如圖3,在V力4。中，力。是3C邊上的高，HB=4,AC=5,BC=6,設(shè)8。的長為x,請求出x的

值.

圖1圖2圖3

5/31

24.(本題10分)五一即將來臨，某家電商場準(zhǔn)備開展促銷活動(dòng)，現(xiàn)采用移動(dòng)車在公路上進(jìn)行廣播宣傳.已

知一輛移動(dòng)廣播車在筆直的公路//上，沿東西方向由A向"行駛.小麗的家在公路的一側(cè)點(diǎn)C處，且點(diǎn)C

與直線44上的兩點(diǎn)4〃的距離分別為4C=300m,8c=400m,又/18=500m,假如移動(dòng)廣播車周邊250

米以內(nèi)能聽到廣播宣傳.

⑴求ND的度數(shù).

(2)請你通過計(jì)算說明小麗在家能聽到廣播嗎？

(3)若移動(dòng)廣播車在筆直的公路力8上以10米/秒的速度行駛，當(dāng)移動(dòng)廣播車行駛到點(diǎn)E時(shí).，小麗在家剛好聽

到廣播，當(dāng)移動(dòng)廣播車行駛到點(diǎn)尸時(shí)，小網(wǎng)在家剛好不再聽到廣播，即C￡=W=250米，問小麗在家聽到

廣播宣傳的時(shí)長是多長？

25.(本題10分)【背景介紹】千百年來，人們對(duì)勾股定理的證明樂此不疲，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)

余數(shù)學(xué)愛好者.向常春構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的Rt△48C和按如圖1方式放置,

其三邊長分別為a,b,c,NBAC=NDEA=90。.

圖1圖2

(1)請你利用圖1證明勾股定理；

(2)如圖2,在V/18C中，BC=a,4b,AB=c,且c>6>a,當(dāng)V/4C是鈍角三角形時(shí)，猜想/+從與

T之間的關(guān)系，并說明理由；

⑶已知的三邊為小b,c(c為斜邊)，其中“，人滿足(片+〃乂。2+從-4)=5,求Rt△48。的斜

邊的長.

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2025-2026學(xué)年八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)單元檢測卷

第三章勾股定理?能力提升

建議用時(shí)：90分鐘,滿分：120分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列四個(gè)說法：

①如果a,b,。為一組勾股數(shù)，那么2a,2b,2c仍是勾股數(shù)；

②如果直角三角形的兩邊是8、15,那么斜邊必是17；

③如果一個(gè)三角形的三邊是12、25、20,那么此三角形必是直角三角形；

④一個(gè)等腰直角三角形的三邊是a,b,c（a>b=c）,那么/：/：。2=2：1：1.

其中正確的是（）

A.?@B.①@C.②④D.①④

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、勾股樹（數(shù)）問題、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形

【分析】此題主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.

根據(jù)勾股定理對(duì)①進(jìn)行判斷；利用分類討論的思想和勾股定理對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)③

進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理對(duì)④進(jìn)行判斷.

【詳解】解：:。，b,。為一組勾股數(shù)，???/+/=c?又???（2小+（24=4/+4從=4（標(biāo)+〃），（2C）2=4C2,

???（24+（232=（冽2,...如果“，乩c為一組勾股數(shù)，那么2”,2b,2c仍是勾股數(shù)；故①正確；

如果直角三角形的兩邊是8、15,當(dāng)直角邊為8、15時(shí)，那么斜邊是17,當(dāng)15是斜邊時(shí)，斜邊是15,故②

錯(cuò)誤；

??T22+20、252,.??如果一個(gè)三角形的三邊是12、25、20,那么此三角形不是直角三角形,故③錯(cuò)誤；

:等腰宜.角三角形的三邊是a，b,c（a>b=c）,，6’+<?=/，**-a-\/2b??2-b2:c2:b2:b2=1,

一個(gè)等腰直角三角形的三邊是a,b,c（a>b=c）,那么/：方?：/=2：I：1,故④正確.

正確的有①④.

故選：D.

2.如圖，O為數(shù)軸原點(diǎn)，A,4兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)-3,3,作腰長為4的等腰V48C,連接OC,以。為圓心，

0c長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)則點(diǎn)M表示的實(shí)數(shù)為（）

7/31

c

C.-y/iD.5/7

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、實(shí)數(shù)與數(shù)軸、勾股定理與無理數(shù)

【分析】本題考查了勾股定理及等腰三角形的性質(zhì).先利用等腰三角形的性質(zhì)得到OC_L,46,則利用勾股定

理可計(jì)算出OC=",然后利用叫法可喬利。W==,于是可確定點(diǎn)拉對(duì)應(yīng)的數(shù).

【詳解】解：?.?"6C為等腰三角形，OA=OB=3,

：.OC1AB,

在Rtn（9Z?C中，oc=y/BC2-OB2=-32=J7，

???以。為圓心，CO長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,

OM=0C=幣，

.,?點(diǎn)〃對(duì)應(yīng)的數(shù)為V7.

故選：D.

3.如圖，在直角三角形/BC中，ZZ?JC=90°,JC=6,4？=8,點(diǎn)。為8C中點(diǎn)，則力。的長為（）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、斜邊的中線等于斜邊的一半

【分析】本題考查勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答

本題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到結(jié)論.

【詳解】解：在RtZUA。中，ZZ?JC=90°,44=8,AC=6,

8/31

:.BC=^AB2+AC2=782+62=10，

??,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),

：.AD=-BC=5,

2

故選:D.

4.如圖，在放18。中，"CB=90。,QE垂直平分相交AC于點(diǎn)0,若△力CO的周長為14,且44C=38C,

則月8的長為（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

設(shè)8c氏為x,則力。=38C=1r,根據(jù)。E垂直平分44,得4）=80,再由△ACQ的周長為14,可得

44

AC+CD+BD=AC+BC=14,求出4C=6,BC,由勾股定理，即可解答.

【詳解】解：設(shè)8c氏為x,則4C=：8C=：x,

44

VDE垂直平分43，

，AD=BD,

***Geo=14,

AAC+CD+AD=14.

即,4C+CQ+8Q=/1C+〃C=14,

3

/.-x+x=\4,解得x=8,

4

AAC=6f

???N4CB=90。,

；?AB=dAC2+BC=10.

故選C.

5.在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用圖形驗(yàn)證著名的勾股定理，下列選J貝中的圖形，能證明

9/31

勾股定理的是()

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的證明方法

【分析】本題主要考查勾股定理的證明過程，分別利用每個(gè)圖形面積的兩種不同的計(jì)算方法，再建立等式,

再整理即可判斷.

【詳解】解：在圖①中，整個(gè)圖形的面積等于兩個(gè)三角形的面積加大正方形的面積，也等于兩個(gè)小正方形

的面積加上兩個(gè)直角三角形的面積，

:.c2+2x—ab=a2+h2+2x—ab,

22

整理得/+/=。2,

故①可以證明勾股定理；

在圖②中，大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，

:.4x—ab+c2=(a+b)2,

整理得02+/=/,

故②可以證明勾股定理；

在圖③中，由圖可知三個(gè)三角形的面積的和等于梯形的面積,

—ab+—ab+—c2=—(a+b)(a+b),

2222

整理可得/+/=。2,

故③可以證明勾股定理；

在圖④中，連接8。，

A

10/31

此圖也可以看成繞其直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，再向下平移得到.一方面，四邊形力比力的面積等

于VABC和Rt△4C。的面積之和.另一方面，四邊形/AC。的面積等于RtAJBD和4BCD的面積之和，

整理：b2+ab=c2+a(b-a),

b2+?ab=c2+ab-a，，

:.a1+b2=c

故④可以證明勾股定理；

???能證明勾股定理的是①②③④.

故選：D.

6.如圖，用4個(gè)全等的直角三角形與I個(gè)小正方形鐫嵌成了一個(gè)正方形圖案.已知大正方形的面積為49,

小正方形的面積為4,若用x,y表示宜角三角形的兩直角邊長（丫＞y），有下列四個(gè)說法：①9+/=49；

②》-卜=2；③x+y=9；④2xy+4=49.其中正確的是（）

AF

A.?@B.①?③C.0@③④D.①②④

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】以弦圖為背景的計(jì)算題

【分析】本題考查了勾股定理及正方形和三角形的邊的關(guān)系，此圖被稱為“弦圖”，熟悉勾股定理并認(rèn)清圖中

的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、直角三角形面積的計(jì)算公式及勾股定理解答.

【詳解】解：①???V48c為直角三角形，

???根據(jù)勾股定理：x2+y2=4）=49,故本選項(xiàng)正確：

②由圖可知，x-y=C￡=C=2,故本選項(xiàng)正確；

③由2孫+4=49可得2孫=45①,

11/31

又：x2+/=49@,

??.①+②得，，+2切+/=49+45,

整理得，（x+y）2=94,

x-y=相工9，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

④由圖可知，四個(gè)直角三角形的面枳與小正方形的面枳之和為大正方形的面枳，

列出等式為4xgx^+4=49,

即2個(gè)+4=49；故本選項(xiàng)正確.

，正確結(jié)論有①②④.

故選:D.

7.如圖，正方形/也的面積標(biāo)記為S，以CO為斜邊作等腰直角三角形，再以該等腰直角三角形的一條

直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為§2,…，按照此規(guī)律繼續(xù)卜.去，則$8與§的關(guān)系為（）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

【分析】本題考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形等知識(shí)，熟練掌握勾股定理，找出規(guī)律

是解題的關(guān)鍵.設(shè)正方形44co的邊長為。，求出$=42,邑=；“2,S,…找出規(guī)律

即可得出結(jié)論.

12/31

【詳解】

解：如圖，設(shè)正方形48C。的力長為明

則￥=力,

?.?△CQE是等腰直角三角形，

DE=CE,NCED=900,

CD2=DE2+CE2=IDE2,

.___V2__

..DE=—CDn=—ci,

22

?Qf及Y-

..3、=—a=-a,

I2J2

???面積標(biāo)記為S3的等腰直角三角形的直角邊長為交X交°=L,

222

渭=&)=6)/

故選：D.

8.在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有小〃兩個(gè)格點(diǎn)，試取格點(diǎn)C,使得vx8c是直角三角形，則這樣的格點(diǎn)C

的個(gè)數(shù)是（）

13/31

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】在網(wǎng)格中判斷直角三角形

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)是直角三角形得出多種情況解答.

以點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出符合條件的有2個(gè)點(diǎn)；以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)有3個(gè)點(diǎn),

以點(diǎn)8為直角頂點(diǎn)時(shí)有3個(gè)點(diǎn)，夫8個(gè).

【詳解】解：如圖所示：

其中/0=，『+]2=及,5C,=712+12=V2,AB=2,

*：AC；+BC；=AB2,

，△川g為直角三角形,

同理：△4BC?為直角三角形,

網(wǎng)格中其他點(diǎn)C如圖所示,

所以格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是8,

故選:D.

9.如圖，長方形4BCD中,/1B=3,5c=4,點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接北，把沿花折疊，使點(diǎn)8

落在點(diǎn)"處，若恰好為直角三角形，則CF的長為（）

14/31

A.1B.3C.1或』D.1或3

2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問題、矩形與折疊問題

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn).分為兩種情況，當(dāng)NCB￡=90。和

NC￡b=90。時(shí)，將圖形畫出，利用折疊性質(zhì)和勾股定理求解即可.

【詳自星】解：如圖，當(dāng)NC6￡=90°時(shí)，

???在矩形中，/出=3,BC=4,/8=90。，

.**AC=JAB，BC2=5,

由折疊性質(zhì)可得：4B'E=/B=90。,AB'=AB=3,B'E=BE,則點(diǎn)"在AC上,

?,.B,C=AC-AB,=2,

設(shè)8E=x,則：CE=4-x,B,E=BE=x

在Rtz^'CE中，由勾股定理可得：X2+22=（4-X）2,

3

解得：x=],

??./=：,則CE=2,

22

由折疊性質(zhì)可得：NWE=NABE=90。,B'E=BE,

???四邊形48E"為正方形，

:?BE=B'E=AB=3,則CE=I,

15/31

綜匕8E=1^1,

故選.C.

10.如圖，在《△/AC中，ZJC5=90°,4=30。，BC=1,P是44邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△品尸沿”折疊,

點(diǎn)8落在"處，設(shè)8P=x,當(dāng)4'落在的內(nèi)部時(shí)，x的取值范圍是（）

C.l<x<^

D.—<x<>/3-1

222

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折疊問題

【分析】當(dāng)C『_L/1〃時(shí)，點(diǎn)ZT落在月2?上時(shí)，此時(shí)=當(dāng)ZT落在/C上時(shí)，得到

B,P=AB,=AC-B,C=AC-BC解答即可.

本地考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)。作CE148尸點(diǎn)E,

VZJ=30°,BC=\,乙4cB=90。，

:?AB=2BC=2,AC7AB「BC'=B/8=60。，

???當(dāng)。與點(diǎn)E時(shí)重合時(shí)，點(diǎn)"落在48卜.時(shí)，此時(shí)==

，當(dāng)8'落在NC上時(shí)，ZCB'P=ZB=60°,B'C=BC=l,

/.乙4=4乙*=30。,

???PB'=AB',

；?B'P=AB'=AC-B'C=AC-BC=6-1，

<x<>/3—1,

2

故選：D.

二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

16/31

11.已知直角三角形的兩邊長為4和6,那么這個(gè)直角三角形的斜邊長為.

【答案】6或2萬

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形

【分析】本題考查的是勾股定理，即在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長

的平方.

己知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，所以求斜邊的長必須分類討論，即6是

斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解.

【詳解】解：當(dāng)6是斜邊時(shí)，第三邊長=序不=26；

當(dāng)4和6是直角邊時(shí)，斜邊長="+62=2內(nèi)；

???斜邊的長為：6或24I，

故答案為：6或2JIL

12.如圖所示，3x3的方格放置在數(shù)軸上，格點(diǎn)正方形力BCQ的頂點(diǎn)。在數(shù)軸上表示7.以點(diǎn)。為圓心,

力。長為半徑畫弧，交數(shù)軸右側(cè)于點(diǎn)E,則點(diǎn)￡所表示的數(shù)是.

【答案】V5-1

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、勾股定理與無理數(shù)

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，利用勾股定理求出力。的長是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)利用勾股定

理求出力。的長，再由已知條件得到OE的長，然后利用數(shù)軸上的兩點(diǎn)間的距離公式求出答案即可.

【詳解】解：由題意可知：OA=2,OD=\,

在RL4。。中，AD=ylOA2+OD:=V22+I2=45，

DE=AD=后，

OE=DE-OD=V5-1，

???點(diǎn)E表示的數(shù)為

17/31

故答案為：石-1.

13.清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”.法則的提出，不僅

簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn).由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù)：

①3,4,5：②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；……根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為.

【答案】11,60,61

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)字類規(guī)律探索、勾股樹（數(shù)）問題

【分析】本題考查勾股定理，數(shù)字類規(guī)律探究，觀察可知，每組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)字為奇數(shù)，后面兩個(gè)數(shù)

字為兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，得到第⑤組勾股數(shù)的第1個(gè)數(shù)為11,設(shè)箕2個(gè)數(shù)為x,則第3個(gè)數(shù)為x+1,根據(jù)勾

股定理列出方程進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意，第⑤組勾股數(shù)的第1個(gè)數(shù)為11,設(shè)第2人數(shù)為K,則第3個(gè)數(shù)為K+1,

由勾股定理，得：+/=（*+12,

解得：x=60?

/.x+l=61；

工第⑤組勾股數(shù)為11,60,61；

故答案為：11,60,61.

14.如圖，三角形紙片V月8。中，/9。=90。，力8=2,4C=3,沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)8落

在邊8C上的點(diǎn)。處；再折疊紙片，使點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，若折痕與力C的交點(diǎn)為E,則力E的長是.

JEC

13

【答案】?

0

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問題

【分析】本題主要考杳了折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí).根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：

AD=AB=2,CE=DE,ZADB=NB,4CDE=4C,進(jìn)而證明N4）=90。，然后利用勾股定理建立方程求

解即可.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：AD=AB=2tCE=DE,4ADB=4B，NCDE=NC,

?/ABAC=90°,

???Z/y+ZC'=90u,

18/31

NADB+NCDE=90。,

AADE=180°-(+Z.CDEj=90°,

設(shè)=^DE=CE=AC-AE=3-x,

在Rt"O七中，由勾股定理得：AD2+DE2=AE2^

222

2+(3-X)=X,

解得：%=:，

6

??.AE=—,

6

13

故答案為：

6

15.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全

等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的.如圖，直角三角形的直角邊長為叫b,斜邊長為%若b-a=4,

C=8,則每個(gè)直角三角形的面積為.

【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、用勾股定理解三角形、以弦圖為背景的計(jì)算題

【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，

根據(jù)勾股定理得/+〃=1=64,由已知條件結(jié)合完全平方公式可得/—2數(shù)+〃=16,進(jìn)而求出仍=24,

則此題可解.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理得a2+〃=c2,

■:方一a=4,c=8,

.?.0)2=16,a2+b2=64,

??a~—2ab+b~=16?

即ab=24t

???直角三角形的面積為:"=12.

故答案為：12.

19/31

16.如圖，在四邊形/BC'O中，ZABC=ZADC=90\分別以加?、BC、CD、。力為邊向外作正方形.若乙

的面積是31,丙的面積是18,丁的面積是9,則48的長為.

【答案】2M

【知識(shí)點(diǎn)】以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

【分析】本題主要考查的是勾股定理的靈活運(yùn)用，解答的關(guān)鍵是利用兩個(gè)直角三角形公共的斜邊.利用勾

股定理的幾何意義解答.

【詳解】解：如圖,連接NC,

：.AD2+CD2=AB2+BC2^

丁乙的面積是31,丙的面積是18,丁的面積是9,

.?.31+18二次+9，

AB1=40，

二/4=2而，或力4=-2而（舍去，不符合題意）,

故答案為：2\/70.

17.如圖長方體木箱的長、寬、高分別為12m,4m,3m則能放進(jìn)木箱中的直木棒最長為cm.

【答案】13

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握勾股定理：化任何一個(gè)直角二角形中，兩條直角邊

20/31

長的平方之和一定等于斜邊長的平方.首先利用勾股定理計(jì)算出BC的長，再利用勾股定理計(jì)算出AC的長

即可.

【詳解】解：連接8C，AB,如圖所示，為最氐邊

由題意可知，BC=\/32+42=5

在RtZ\/18。中，4c=12,BC=5,AACB=90°

那么=V122+52=13(cm)

故答案為：13.

18.加圖，小巷左右兩側(cè)是移直的墻壁,一架梯子斜靠在左墻▽，梯子底端到左墻角的距離為2米，頂端

距離地面1.5米.若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2.4米，則小巷的寬度為

【知識(shí)點(diǎn)】求梯子滑落高度（勾股定理的應(yīng)用）

【分析】在中，根據(jù)勾股定理求出NE的長，再在RSCDE中，求出CE的長，最后由3c=8E+CE

進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，

根據(jù)題意得：AE=DE,

在中，45=1.5米，BE=2米,

：.AE=ylAB2+BE2='(⑸)1=2.5米,

化山△C。七中，。上=2.5米，C〃=2.4米,

21/31

:.CE=y/DE2-CD1=7(2.5)2-(2.4)2=0.7米，

EC=BE+CE=2+0.7=2.7米,

???小巷的寬度為2.7米，

故答案為：2.7.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型.

19.在一個(gè)長6米，寬為6米的正方形草地上，如圖堆放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長平行且大于場

地寬片。，木塊的主視圖的高是G米的正三角形，一只昆蟲從點(diǎn)力處到c處需要走的最短路程是米.

【答案】io

【知識(shí)點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)、等功三角形的性質(zhì)

【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，將木塊表面展開，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，用勾股定理計(jì)算

解答即可.

【詳解】解：設(shè)正三角形的邊長為X,

???正三角形的高是G，

???由二線合一和勾股定理，得：(石=x2,

x=2,

???正三角形的邊長為2,

如圖，將木塊展開，得到如圖的長方形,

如圖長方形的Z8相當(dāng)于是6+2+2—2=8米,寬5c=6米.

在RtZX/lBC中，

4C=用+82=10米,

???昆蟲從點(diǎn)4處到。處需要走的最短路程是10米.

故答案為：10.

20.如圖，。為等腰直角V4/C(ZJ/yC=90")內(nèi)一點(diǎn)，連接CM,(JB,OC,/力?！?135,OA=1,

22/31

OB=6,則oc的長為.

【答案】x/7

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定

義

【分析】將線段80繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段的，連接E。、EA,則EB=OB=5ZBOE=90°,

所以O(shè)E2=EB2+O1=6，由404=135。，NBOE=NBEO=45。,得/力?！?90。，而。力=1,貝ij

EA=\loA2+OE2=\/7?再證明“78。絲△48E，即可得到OC=￡4=J7?

【詳解】解：將線段80繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段的，連接EO、EA,則28=04=71，/8OE=90。，

???OE2=EB2+OB2=（可+（可=6，

V^AOB=\35°,ZBOE=NBEO=45。,04=1,

???ZAOE=ZAOB-/BOE=90°,

EA=y/OA2+OE2=Vl2+6=x/7，

???V力AC是等腰直角三角形，48c=90。，

:.CB=AB,NCBO=/ABE=90c-ZABO,

在AC8O和"BE中，

CB=AB

NCBO=NABE,

OB=EB

23/31

：.KBO@“BE(SAS),

/.OC=EA=y/l,

故答案為：yfl.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確地

作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共5小題，共50分)

21.(本題10分)如圖，小正方形的邊長為1,三角形。的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上：

(l)J/?=：BC=：AC=

(2)求出8。的長

【答案】⑴石,2,石；

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三角形中線求面積、勾股定理與網(wǎng)格問題

【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形中線的性質(zhì)，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)勾股定理和網(wǎng)格的特點(diǎn)求解即可；

(2)可求出5八謝=2,由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得點(diǎn)力為我的中點(diǎn)，則S^e=；S&K=l，CD=\AC=—>

222

過點(diǎn)。作。H_L8C于"，可求出。，=1,則獷-。〃2=_L,BH=BC-BH=',據(jù)此可得

22

BD=y/BH2+DH2=—.

2

【詳解】(1)解：由題意得，AB=\l\2+22=>/5,BC=2,/C=J『+22=石;

(2)解：由題意得，S"c=；x2x2=2,

由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得點(diǎn)。為4c的中點(diǎn)，

SgcD=7sxBC=1，CD--AC=-，

222

如圖所示，過點(diǎn)D作DH工BC于H,則

DH=1,

24/31

：.CH=4cb1-DH2=-,

2

3

??.BH=BC-BH=-,

2

???BD=y/BH2+DH~=—

22.(本題10分)如圖所示，已知一塊三角形的花園，測量發(fā)現(xiàn)=8c=20m,。是腰48上一點(diǎn),

且CO=16m,8O=12m.

(1)求證：CQ145；

(2)求三角形花園V48C的面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)150m2

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形

【分析】此題主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：圻果三角形的

三邊長心b,。滿足/+從=c2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

(1)首先根據(jù)。=16,8。=12,5。=20氏可利用勾股定理逆定理證明/8。。=90。，進(jìn)而得到CQ148；

(2)設(shè)4)=xm,則48=/lC=(x+12)m,再利用勾股定理可得/+?=(x+12＞，解方程可得x的值,

即可求出力。的長，進(jìn)而得到力3氏，然后即可算出面積.

【詳解】(1)解：-CD=\6,BD=\2,BC=20

???122+162=202,

；?DB2+CD2=BC2,

???4BCD是直角三角形，且NBDC=90°,

：.CDA.ABx

(2)解：設(shè)4￡)=xm,則48=HC=(x+12)m,

25/31

/BDC=90°,

???ZADC=90°,

:.X2+162=(X+12)2,

14

解得：X=y,

14

即4。的長為

1450

：.AC=AB=BD+JZ)=12+y=y,

???三角形花園V”C的面積為:x與x18=150(n?).

23.(本題10分)【課本再現(xiàn)】

(1)如圖1,四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大正方形，中間空白部分也是正方形.已知直角三角形的兩

直角邊長分別為*b,斜邊長為c.課堂上，老師結(jié)合圖形，用不同的方式表示大正方形的面積，證明了

勾股定理/+〃=02.請寫出證明過程.

【類比遷移】

(2)現(xiàn)將圖1中的兩個(gè)直角三角形向內(nèi)翻折，得到圖2,若。=3,6=4,則空白部分的面積為.

【能力提升】

(3)如圖3,在V/l8c中，力。是4。邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,設(shè)8。的長為x,請求出x的

值.

【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、用勾股定理解三角形、勾股定理的證明方法

【分析】(1)利用以c為邊的正方形和4個(gè)直角三角形的面積和等于以邊為(a+b)的正方形的面積建立方

程，即可得出結(jié)論;

26/31

(2)由折疊后空白部分的面積為邊長為c的正方形的面積-2個(gè)直角三角形的面積可得答案；

(3)設(shè)80的長為％,則CD=3C-5O=6-x,根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

【詳解】解：(1)依題意，???大的正方形的面積可以表示為(。+6)2,

大的正方形的面積還可以表示為，+4x$b=c2+2"

(a+6)'=c2+2ab

*'?a2+lab+b2=c2+lab

:.a?+〃?；

(2)空白部分的面積=邊長為。的正方形的面積-2個(gè)直角三角形的面積=。2-2xg",

a=3tb=4,

???空白部分的面積=3?+4?—2x^x3x4=25—12=13；

(3)???設(shè)8。的長為x,^]CD=BC-BD=6-x

???NO是AC邊上的高

??.AD1BC

?\AB2-BD2=AC2-CD2

:.42-X2=52-(6-X)2

解得V.9

4

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn).

24.(本題10分)五一即將來臨，某家電商場準(zhǔn)備開展促銷活動(dòng)，現(xiàn)采用移動(dòng)車在公路上進(jìn)行廣播宣傳.已

知一輛移動(dòng)廣播車在筆直的公路18上，沿東西方向由A向6行駛.小麗的家在公路的一側(cè)點(diǎn)。處，且點(diǎn)C

與直線48上的兩點(diǎn)48的距離分別為力C=300m,8c=400m,又力8=500m,假如移動(dòng)廣播車周邊250

米以內(nèi)能聽到廣播宣傳.

(1)求//C8的度數(shù).

(2)請你通過計(jì)算說明小麗在家能聽到廣播嗎？

(3)若移動(dòng)廣播車在筆直的公路46上以10米/秒的速度行駛，當(dāng)移動(dòng)廣播車行駛到點(diǎn)七時(shí)，小麗在家剛好聽

27/31

到廣播，當(dāng)移動(dòng)廣播車行駛到點(diǎn)尸時(shí)，小網(wǎng)在家剛好不再聽到廣播，即CE=C〃=250米，問小麗在家聽到

廣播宣傳的時(shí)長是多長？

【答案】⑴4c5=90。

⑵小麗在家能聽到廣播，計(jì)算見解析

(3)小麗在家聽到廣播宣傳的時(shí)間為14秒

【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響(勾股定理的應(yīng)用)

【分析】本題考查勾股定理的逆定理，勾股定理的應(yīng)用；

(1)利用勾股定理的逆定理判斷△力8C的形狀；

(2)過點(diǎn)C作。。，48,根據(jù)等積法求出8