單元檢測卷（五）平面向量與復(fù)數(shù)

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.（24-25高三下?重慶沙坪壩?開學(xué)考試）復(fù)數(shù)z滿足z（l-i）=3-2i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)彳的虛部為

（）

A.；B.—C.—iD.—i

2222

【答案】B

【難度】0.94

【知識點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共加復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z,進(jìn)而求出其共扼復(fù)數(shù)的虛部.

所以-z=95：1i的虛部是一1：.

222

故選:B

2.（24-25高三上?山東濟(jì)寧?期末）已知復(fù)數(shù)z滿足匕l(fā)=-i,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法求出z即可得對應(yīng)點(diǎn)的位置.

【詳解】由匕1=—,

z-i一「

所以在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)（-11）位于第二象限.

故選：B.

3.（24-25高三上?山東煙臺?期末）已知向量,出滿足歸+同=26,且5=（1,1）,則同=（）

A.叢B.2C.V5D.3

【答案】D

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、已知數(shù)量積求模、坐標(biāo)計(jì)算向量的模

【分析】由題意可得/=2標(biāo)，方=2,又K+B|=2后，可得/+2標(biāo)+初=20,可求口.

【詳解】因?yàn)榱?-2可，所以好一芯）=0,所以7一2標(biāo)=0,所以7=2標(biāo)，

又因?yàn)榭?4=2百，所以7+2標(biāo)+片=20,又心。，1），所以r=1+1=2，

所以2『+2-20,所以/_9,所以口=>

故選：D.

4.（23?24高三下?北京西城?開學(xué)考試）平面向量￡與坂的夾角是?，且同=1,忖=2,如果布一+小

祀=￡-3坂，點(diǎn)。是線段6c的中點(diǎn)，那么|礪卜（）

A.75B.273C.3D.6

【答案】A

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】平面向量的混合運(yùn)算、已知數(shù)量積求模

【分析】利用向量模的計(jì)算公式可求口斗.

【詳解】因?yàn)镺是線段6c的中點(diǎn)，故而=；（萬+就）=g儂-25）=1兀

故園=田-2。石+/=^5-2x1x2x1=73,

故選：A.

5.（24-25高三下?山西大同?期末）已知萬是單位向量，且??方=；.若平面向量萬滿足力二"3=2,

則同的值為（）

A.延B.逑C.&D,72

33

【答案】B

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)計(jì)算向量的模、解析法在向量中的應(yīng)用

【分析】構(gòu)建合適的直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知得G=（L0）,I,設(shè)萬=（加并結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表

示列方程求向量坐標(biāo)，進(jìn)而求模長.

【詳解】由題意，得同=1司=1,設(shè)向最后、石的夾角為仇

-11JT

因?yàn)榉叫?；7,所以cose=；；,故夕=彳.

223

以。為原點(diǎn)，以G方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，

使坂的起點(diǎn)與o重合，終點(diǎn)在第一象限，則G=(I,O),李

故選:B

6.(24?25高三下?廣東惠州?階段練習(xí))已知平面向量瓦B滿足同=1,同=2,且他-2/；)_L3,則卜-3卜

()

A.瓜B.V5C.2D.1

【答案】C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】已知數(shù)量積求模、垂直關(guān)系的向量表示

【分析】根據(jù)向?qū)彺怪钡玫较蛄炕駼的數(shù)最積，再將模長轉(zhuǎn)化為數(shù)鼠?積即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?B)_LI,所以(1—2B"=0,即/_21取=0，

因?yàn)橥?1,所以21坂=1，

|a-b|=J(G=>la2+b2-2a-b，乂慟=2,

所以忖_,-2.

故選：c.

7.（24-25?河南?二模）已知網(wǎng)=|詞=1,|岡=0,OA+OB^OC=Q,設(shè)次與灰的夾角為a，貝恒二

（）

A.240°B.225°C.135°D.90°

【答案】C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】用定義求向量的數(shù)量積、數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算、已知模求數(shù)量積

【分析】利用向量的平方等于模的平方來求解夾角即可.

【詳解】由方+赤得：麗=-（方+無）n麗，=（方

因?yàn)閨次卜|礪卜1,|OC|=V2,所以1=1+2+2而.反=|厲，阮卜0$（而，反）=7,

即cos@,西=*一冬

因?yàn)楹螄?0,司，所以（玩同寸,

故選：C.

8.（24-25高三下?貴州貴陽?階段練習(xí)）已知平面向量a人滿足|?=3/=（-1,百），且m+B）_L（］-6不）,

則向量。與向量B的夾角是（）

7tn2兀5兀

A.-B.-C.——D.—

6336

【答案】C

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】數(shù)量積的運(yùn)算律、向量夾角的計(jì)算、垂直關(guān)系的向量表示、坐標(biāo)計(jì)算向量的模

【分析】根據(jù)向量夾角公式求得cos/,與=-3，從而得解.

【詳解】根據(jù)題意，|J|=3,p|=J（-l）2+（V3）2=2,

乂（萬+1）_L（彳-6。）,W,J（a+b）-（a-6b）=a-5ab-6b=9--6x4=0,

所以a=-3，

-31

3x22'

又兩向最夾角范圍為［0,司，

所以向量G與向量B的夾角是牛.

故選：C

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選型中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯得0分.

9.(23?24高三上?湖北荊州?階段練習(xí))已知3=(2,-4),書=(1,3),則下列結(jié)論正確的是()

A.(a+h^A.hB.卜+2%^C.￡與3的夾角為手D.［在B方向上的投影向量是J前

【答案】AC

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、坐標(biāo)計(jì)算向量的模、向量垂直的坐標(biāo)表示、求投影向量

【分析】A.利用平面向量的數(shù)量枳運(yùn)算求解判斷；B.利用平面向量的模公式求解判斷；C.利用平面向量夾角

公式求解判斷；D.利用平面向量的投影向量的定義求解判斷.

【詳解】解：因?yàn)?=(2,-4),1=(1,3),

所以"+很=（3,-1）,則R+4方=3xl+（-l）x3=0,所以（Z+，|1B,故A正確;

￡+2坂=(4,2),所以M+2+j42+22=2后,故B錯誤；

cos《,B)=|g=-因?yàn)?,今?0,可，所以(￡,今=與，故C正確;

￡在3方向上的投影向量是2￥*二工

故D錯誤;

\b\

故選：AC

10.(24-25?湖北黃石?模擬預(yù)測)下列命題中，正確的命題是()

A.已知心不為非零向量，若B+小忖-可，則"囚的夾角為銳角

B.若4>6>c,則一■—<—

a-cb-c

C.已知A：=C：,則〃=27

D.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X~8(10,0.8),則當(dāng)X=8時概率最大

【答案】BCD

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】向量夾角的計(jì)算、由已知條件判斷所給不等式是否正確、組合數(shù)的計(jì)算、服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)

變量概率最大問題

【分析】應(yīng)用數(shù)量積公式結(jié)合夾角公式計(jì)算判斷A,應(yīng)用不等式性質(zhì)計(jì)算判斷B,應(yīng)用組合數(shù)及排列數(shù)計(jì)算

判斷C,列不等式求解概率最大值判斷D.

【詳解】A.因?yàn)槭?/；卜卜叫，兩邊同時平方，得（石+肛〉（1一/，RRa2+b2+2ab>a2+b2-2db>所

以1B>o,

"\

因此COS0B）>O,因?yàn)椋ㄍ呷f）€[0,可，所以（7與€o,y,

L乙）

因此不與]的夾角為銳角或零角，故A錯誤，符合題意；

對于B,由于a>6>c,^a-c>b-c>0,故一--<—^—,B正確，

a-cb-c

對于選項(xiàng)C：根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算公式可得，A：=^*="（〃-2）（〃_l）,

=加=n（/?-3）（A?-2）（n-l）

W-4!（?-4）!"24~

因?yàn)锳：=C：,所以有〃（〃—2）（〃—1）=〃（〃-3）（；”（〃-1）,即詈=1解得〃=27,故選項(xiàng)C正確；

對于選項(xiàng)D：因?yàn)樵?0次射擊中，擊中FI標(biāo)的次數(shù)為X,X~8（10,0,8）,

當(dāng)X=攵時，對應(yīng)的概率?（X=4）=C：°x0?x022，

P(X=A)_尊。.0.8憶0.2g_4(11-攵)

所以當(dāng)kN1時P(X=I)=喟?0.8。.0.2"i一—~k~

P（X=k）4⑴一口44

令網(wǎng)上*ri"，，-八"即"心彳,

因?yàn)閗wNL所以1W4W8目MwN*,

P(X=k\4(11-Ar)44

令.可得

所以尸（X=O）<P（X=1）<P（X=2）<...<P（X=8）>P（X=9）>P（X=1O）,

即上=8時，概率P（X=8）最大，故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

11.（24-25高二下?甘肅慶陽?期中）在直角二角形力伏；中，AB1AC,。為線段僅:上一點(diǎn)，則下列說法正

確的有()

A.不存在直角三角形48C,使得口耳是|祠，區(qū)斗的等差中項(xiàng)

B.若NBAD=NC4D,N8=$,BD=6，則/。=1

6

C.若力B=3,JC=4,。是△力8c的內(nèi)切圓在8C上的切點(diǎn)，則力。="至

5

D.若Bn=cn,則存在直角三角形相。，使得|而|是|麗，|N|的等比中項(xiàng)

【答案】BCD

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】正弦定理解三角形、數(shù)量積的運(yùn)算律、等差中項(xiàng)的應(yīng)用、等比中項(xiàng)的應(yīng)用

【分析】舉反例判斷A,根據(jù)正弦定理求解判斷B,利用等面積法求得ZU8C的內(nèi)切圓半徑「=1,然后利用

向量法判斷C,舉出實(shí)例得到D正確.

【詳解】對于A,畫=3,亞卜4,匹卜5,滿足|畫是畫"網(wǎng)的等差中項(xiàng),A錯誤:

對FB,直角三角形力8c中，ABLAC,故NBAD=/CAD=J

4

rz?ADBD

由止弦定理口]<;——-=-~,

sinNBsinNB/lD

又N8=2，BD=O，故/。=1,BJE確：

6

對于C,設(shè)△X8C的內(nèi)切圓為，

由三角形面積可知;x3x4=gx(3+4+5)xr,則△力3c的內(nèi)切圓半徑r=1,

由幾何關(guān)系知，"。=2,。。=3,故而屈，BPAB-JC=-Z§--JC,

22

所以歷二：刀+：就，~AD=[-18+-Jc\=—AB+—AC=—f

55(55J25255

則,40=晅，故C正確；

5

對于D,取48=1,AC=2+5貝1」8。2=8+4百，AD，=[BC2=2+百,

4

故畫2m畫.同]

即存在直角三角形川紇，使得|畫是畫"狗的等比中項(xiàng)，枚D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分,共15分.

12.（24-25高三下?云南?階段練習(xí)）己知不=（1,4）石=（石①在B方向上的投影向量為岑則心.

【答案】6

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、求投影向量

【分析】由投影向量的定義，結(jié)合已知有叵兇坂=3弓，即可得.

42

a'bb>/3+k工\f3r、石+kGr-

【詳解】由萬在5方向上的投影向量下「同二^-即*1=券，解得4=技

故答案為：G

13.（24-25?安徽合肥?二模）已知△力4c為銳角三角形，且力4=5,JC=6,。的面積為6灰，則

BC=.

【答案】7

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形

【分析】由面積和兩邊長,可以求出夾角力的正弦值，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出余弦值，最后利用余弦

定理求出另一邊長即可.

【詳解】由484c。沁4=（、5、65出力=6#，得sin4=平，

又AABC為銳角三角形,所以角力為銳角，所以cos<="i=

“、4a小小-im/AB2+AC2-BC2俎I52+62-BC2

在A45C中，由余弦定理cos/=-------------------------,得：一=------------,

2ABAC52x5x6

/.BC2=49,BC=7.

故答案為：7.

14.（24-25高一下?廣東清遠(yuǎn)?期中）如圖，在平面四邊形>18C。中，2ABC々,AB工AD,

36

CD=4AB,WJtanACAD=.

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】正弦定理解三角形、幾何圖形中的計(jì)算

【分析】設(shè)/，。=凡由正弦定理得而金二巖,嬴金=懸萬,兩式相除即可求出

tanZCJD.

【詳解】設(shè)NCWP在"C。中，由正弦定理可得而金二照①,

由48_L4?？贘得/84。=—,PPJZ.BAC—0,Z.ACB=TC—Z.ABC—Z.BAC=n---------0—0—,

22326

4CAB

在2U8C中，由正弦定理可得②，

sin/44csinZJCB

sin—sin（^-—

①②兩式相除，得嗎嘿二*一,即-

smZ.ADCABsin<9.冗]sin0

Sin—

6

整理得tan0=冬叵，故tanZ.CAD=2叵.

33

故答案為：巫

3

四、解答題：本題共5小題，每小題77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（24-25?天津河北?模擬預(yù)測）已知向量不=（-3,1）,A=（1,-2）,=（1,-1）.

⑴求21-5的坐標(biāo)，硒勺值；

⑵若云//（2+而），求實(shí)數(shù)〃的值;

（3）若云_L（I+序），求實(shí)數(shù)〃的值.

【答案】⑴21-3=（-7,4）,%卜石;

（2）女=-2；

4

（3）k=~.

【難度】0.85

【知識點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、由向量共線（平行）求參數(shù)、已知向量垂直求參數(shù)、利用坐標(biāo)

求向量的模

【分析】（1）由向?qū)?線性關(guān)系和模長的坐標(biāo)運(yùn)算求2G-B坐標(biāo)科|同；

（2）由向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù);

（3）由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù).

【詳解】(1)由題設(shè)22-B=2?(-3,l)-(l,-2)=(-7,4),同=#+商=石；

（2）由題設(shè)］+序=（一3,1）+上（1,一2）二（女一3/一2左），又K〃（2+屆）,

所以?二-^-，則〃-3二2左一1,可得〃=一2；

1-I

(3)由(2)Rcl(a+kb),則乙伍+%5)=太一3+2左一1=0,可得左=3.

3

16.(24-25?上海金山?三模)已知〃?=(jisinx,2cosx71

,/?=(2cosx,sinx),函數(shù)〃x)=6一6〃.

⑴求函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵在△/A。中，若/（力）=3,8。=近，且的面積為差，求小+女.

【答案】⑴?+A?！?版(ZreZ)

36

(2)5

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】輔助角公式、余弦定理解三角形、數(shù)量積的坐標(biāo)表示、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性

【分析】（1）先利用三角恒等變換化簡/（x），進(jìn)而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解;

（2）由/（彳）=3可求角4進(jìn)而由右用=半可求力4/C的值，從而利用余弦定理求出力8+￡的值.

【詳解】（1）由題意，而sinX,2cosx—=(VJsinx,2sinx),萬=(2cosx,sinx),

==6-2->/3sinxcosx-2sin2x

=6-V3sin2x+cos2x-l=5-2sin2x~—.

由^+2〃兀<2xJK當(dāng)+2履(％GZ),可得三+而WxK1+EAcZ,

irSir

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為不+日”+E(￡eZ).

36

己卜得一］7T

(2)由/(/)=5-2sin2A-3,sin（24=1,

6J

因?yàn)?＜力＜兀，所以一?＜2力—乎，所以24-?=1,即4=￡.

666623

因?yàn)?.=吧，所以！力氏彳0?114=,4870*立=地，得彳84C=6.

22222

又BC=V7,所以482+4C2-2d87Ccos/=7,

即(Z!3+4C)2-3/B./C=7,

所以(4=34〃./lC+7=3x6+7=25

即,48+4C=5.

17.(24-25?廣西?模擬預(yù)測)已知向量所=111(；+，,小皿》,n=sin(；-x,cosx，設(shè)函數(shù)/(x)=而?萬.

(1)化簡/(x)并寫出/(x)的最小正周期：

⑵在△力8C中，角48,C對的邊分別為4。，若=a=J7,ZUBC的面積為逆，。是線段4C

的中點(diǎn)，求|力。|的值.

【答案】⑴/(x)=sin(2x+JT=n

(訓(xùn)回=平

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】三角恒等變換的化簡問題、余弦定理解三角形、數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【分析】(1)利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式和輔助角公式化簡/('),再杈據(jù)三角函數(shù)

的周期公式求最小正周期即可；

(2)由/(X)求出彳，由三角形面積公式和余弦定理求出曲和/+/,再根據(jù)。是線段8c的中點(diǎn)可得

AD=-[AB+AC）,利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】（1）由題意可得/（》）=啟?萬=sin[；+x卜nJ+5/isinxcosx

it（it.（兀）6.、（it兀

=sin————xsin——x+——sin2x=cos——xsin—-x----sin2x

[2（4JJU；2U）（4）2

=1sinf71sin2x=—cos2x+—sin2x=sinf2x+-11X

2U）222I6）

故最小正周期為r=B=7T.

（2）因?yàn)?（g=sin（H+：j=l,且/“0,兀），

所以＜+?=1，解得/=￡,

o23

由Siwc=—/?csinJ=—hc=^^-i得6c=6,

&麗242

由余弦定理/=b2+c2-2bccosAb2+c2-be=7,解得〃+,2=13,

又因?yàn)?。是線段AC的中點(diǎn)，所以而=g（而+衣），

得瓦，+JC2+2|JB||^C|cosJ）=1^13+2x6xl>=?.

故1明-?

18.（24-25?北京?模擬預(yù)測）在△力8C中，角48.C所對功分別為〃Ac.已知:

V?sinJsinC=sin2J+sin2C-sin?Z?.

⑴求8；

（2）已知。=4,再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使得△/4C存在且唯一確定，并求△/13C的面積.

①〃=3；

②c=2〃sinC；

@7B-AC=\6-

【答案】（1）8=：

4

（2）若選①不符題意，選②滿足題意且S““C=4+4>/5,選③滿足題意且53〃=8

【難度】0.65

【知識點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形、用定義求向品的數(shù)

量積

【分析】（1）由正弦定理角化邊，再由余弦定理邊化角即可求解；

（2）若選①，可余弦定理運(yùn)算可知此時△44C存在但不唯一，不符題意；若選②，由正弦定理可知此時

b=4近,此時通過余弦定理可唯一解出。滿足題意，結(jié)合三角形面積公式求解即可；若選③，一方面有

cZ?cosA=b-c—l.=16,另一方面a=4,旦/=°2一4&c+16，由此可唯一解出c,進(jìn)而b也唯一，滿

2

足題意，結(jié)合三角形面積公式即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)?sinJsinC=sin2/l+sin2C-sin;;8.

所以缶0=6+'2一〃，即COS8="2+T-）=立，

2ac2

所以V,

4

（2）若選①力=3,因?yàn)椤?4,8==，

4

所以由余弦定理有9=16+c?-2x4xcx"，整理得c?-4亞+7=0，

2

解得C=2VZ±1,此時△月8c存在但不唯一，不符題意：

caa4.bbrr.

若選②c=2asinC,則sinCsin/JJsinB-Jl,

22—

所以此時〃=4夜，

由余弦定理有32=16+C2—2X4XCX』Z,整理得1一4加°-16=0，

2

解得c=2五+2卡或c=2近一2遍（舍去），此時△力5c存在且唯」

=gacsin8=Jx4x(20+2網(wǎng)X￥=4+46

II.SA”

-222

若選③刀.就=16，則Hcos"=_—=16,

Ztf=4,Kb2=16+c2-2x4xcx=c2-4&c+16，

2

所以整理得。2-2岳-16=0,解得c=4丘或c=-2&（舍去），

此時△/AC存在口唯一，

II.Slj?r=—acsin^=—x4x4>/2x-^=8.

—222

19.（24-25?廣東廣州?二模）設(shè)〃eN',4,集合心二次叵二師當(dāng)?shù)?…,x,J,%W{0,1},134小，eN1（工

為向量），若。"4，生，％，…，%）C匕，B=3也也，…也）6勺，定義々電=E。也.

i-1

（1）若乙方16巴，且1=（0,1,1,1）,5=（1,1,0,1）,11二鼠5=2,寫出所有的3；

（2）若瓦Ge2,,且,=（覃』,…,1）,設(shè)滿足口石=，”的B的個數(shù)為/（〃?），求的值；

m=0

⑶從集合匕中任取兩個不同的向量記G4=X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴(1,1，1,0),(1,0"),(01,0，1)

(2)5(—l)m/5)=(T)j〃N4,〃eN?

*?=0

⑶分布列見解析，

【難度】0.15

【知識點(diǎn)】二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和、寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列、求離散型隨機(jī)變量的均值、向量新

定義

【分析】（1）設(shè)設(shè)/二（G，G，G，1），G?{0，l}，，川1,234},根據(jù)定義列方程求G，G，Q，%，由此可得結(jié)論；

（2）方法一：根據(jù)定義，由條件可得/（m）=C;，由二項(xiàng)式定理可得由此可求結(jié)論；

m=O

方法二：根據(jù)定義，由條件可得〃m）=C：,結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)C：+C：i=C3,分〃為奇數(shù)，〃為偶數(shù)兩種

情況結(jié)合裂項(xiàng)相消法分別求結(jié)論；

C）方法一：根據(jù)定義確定隨機(jī)變量X的可能取值，再結(jié)合定義和計(jì)數(shù)原理求P（X=k）,由此可得分布

3"1*-0n-1Kr*n-l

列，結(jié)合期望公式可得七（X）=Q-i）.2”0丁一再分別計(jì)算牙袋"，yc,化

簡可得結(jié)論；

方法二：根據(jù)定義確定隨機(jī)變量X的可能取值，再結(jié)合定義和計(jì)數(shù)原理求P（X=〃-攵），由此可得分布列,

結(jié)合期望公式可得%”）二/二產(chǎn)］吟3、C：-乎3c-〃弓《+孕Cj,再分別計(jì)算：3飛.

nZC?,￡&由此可求結(jié)論.

f=i/=!/=!

【詳解】（1）設(shè)卜=（%。2，。3，。4），^€{0,1},/€{1,2,3,4},

因?yàn)橹?（0,1,1,1）,3=（1,1,0,1）,ac=b-c=2>

所以c2+C3+C4=2,q+c2+c4=2,

所以q=03,

若勺=。3=0，則C2=c%=l,

若C]=J=1,則02=1,c4=0u￡t2=0,c4=1,

所以滿足==2的m為：(M,1,0),(1,0,1,1),(0,1,0,1).

(2)解法1：因?yàn)闊o良匕摳=(1,1,1,…,1),

則滿足，石等價于向量6的坐標(biāo)中有加個位置上的值為1,剩下〃一機(jī)個位置上的值為0,即/(m)=C>

由二項(xiàng)式定理,±(-ifc：rw(-If=(1-1/=0,

m=0m=0

所以亍(一1『/(〃?)=一(一1)",

m=0

m-0?

因此N(T『/?=(T),〃之4,〃eM,

n-1

解法2：因?yàn)樨暗?

則滿足=,〃等價于向量5的坐標(biāo)中有用個位置上的值為1,剩下〃-〃?個位置上的值為0,即/W)=C>

因?yàn)镃：+C：T=C；M，所以C；=C￡+C；，n>2fneN*,0<m<n,

所以，〃為奇數(shù)時，Z(-if=1-C>C；-C>?.-4-(-ifC；；-1

m=0

=i-(c3+%)+(CL+cL,)-(cL,+**..+(*+c：：；)

=i--i.

〃為偶數(shù)時，S(—i)"'/(，〃)=i—c；+c：—c：+…+(—iy"c：T

m=0

=i-)+(cL+c3)一(c3+c：」)+…一?二"c：：；)

二Y-.

m=O?

因此27(-1)。(加)=(-1廣'，〃"，〃eN’;

n-l

(3)解法L若￡%=〃，則2=(11,LT),5=(1",…,1),與I/為不相等的向最矛盾,

所以隨機(jī)變量X的可能取值有0,123,…，〃-1,

對FX=A-的隨機(jī)變量，在坐標(biāo)師生，為，…M)與佃也也,…也)中有左個對應(yīng)位置上的值均為1,剩下“-〃

個對應(yīng)位置上的值有3種對應(yīng)關(guān)系,

且"A-個對應(yīng)位置上的值不能同時為0,否則，兩個向量相等,

此時所對應(yīng)情況數(shù)為C：?(3"T-1)；種.

CO"-1)T*(尸7)

匕中元素的個數(shù)為2"個,所以P(X=%)=

Cj-(2n-l).2w

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123???n-\

3"-1『尸-1）2c丁

p（2"-1）2（2n-l）-2fl（2,,-l）-2n（2,,-l）-2J?■?（2"-1）2

?-ik,C*,(3nk—1)3'k"CkIn-i

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)喑=近T產(chǎn)百丁一產(chǎn)嚴(yán)斗

首先計(jì)算s里.

*-03

設(shè)(1+X)”=C：+xC：+x2C；+/C：+…+x"C：,

兩邊求導(dǎo)得，〃（1+x）z=C；+2xC：+3/C：+…+〃/-￡：,

兩邊乘以x后得，以。+x)z=xC\+2x2C；+3.