北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

I.已知全集4=（-2,3],4=（-1,0）,則"4=（）

A.（-2,-l]U[0,3~B.（-2,-1）U（0,3]C.[0,3]D.(0,3]

2.已知復(fù)數(shù)z=?,則z的實(shí)部為（）

A.4B.-4C.1D.-1

3.設(shè)實(shí)數(shù)。,力滿足a>方，則（）

A./>〃B.2">2"C.b\D.sin”>sinh

4.己知平面向量方二（加,2）/=（-2,4）.若方//（2力+8），則機(jī)二)

A.-4B.4C.-1D.1

5.已矢Q/(t)=2\則/(l+log23)=()

A.6B.5C.4D.3

6.下列函數(shù)中，存在極小值的是（）

A.y=\gxB.y=x(x-l)(x-2)

C.y=2D.y=x+siuv

7.已知數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，工為其前〃項(xiàng)和，“&>的”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.圭表（如圖I）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括

一根直立的標(biāo)竿（稱為“表''）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為

“圭”）.當(dāng)正午太陽照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在全面上，圭面上日影長度最長的那一天

定為冬至，H影長度最短H勺那一天定為夏至.圖2是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示

意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即上"C）為265,夏至正午太陽高度角（即上/WC）

試卷第I頁，共4頁

為73.5。，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即。3的長）為a,則表高（即/1C的長）為

()

觀至正午陽九

asin53.2sin47,

A.B.

入inS

alan26.5'un735,(Isin265sin735

C.D.

??n47

9.如圖所示，已知正方形力4c'。的中心為點(diǎn)O,其邊長為2.分別以4&GO為圓心，1為

半徑作圓.若動(dòng)點(diǎn)尸,。,，“”分別在圓8，圓4，圓。，圓。上，則OQ+OM+ON的

10.已知/'（x）的定義域?yàn)镽,對(duì)于任意的XWR,總有f（2+x）=/（2-x）,

/（2x）+2=［/（.v）］2成立，且/'（x）在［。,2］單調(diào)遞減.則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.八。）+/：）=1B./（2025）=1C./（大）為偶函數(shù)

D.＞（小2

試卷第2頁，共4頁

二、填空題

II.函數(shù)火幻=ln(2-x)的定義域是.

12.使等式Sina=cos(a，；卜立的一個(gè)a的值為-------.

13.已知平面向羈1,0Hlj)滿足.51““卜

14.已知“),卜:/CT

ar,-1<*<1

(1)當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)八工)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為；

(2)若MleR,3.￥,GR,.X2*占，使得/(rj=/(應(yīng))，則。的取值范圍為.

15.已知數(shù)列｛〃”｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，?,=a,a2=b,且對(duì)于任意的〃WN?有

J

a-=.<1+a-四成立.給出下面四個(gè)結(jié)論：

②存在出力，使得｛〃”｝單調(diào)遞增;

③若。<b,則對(duì)于任意的〃GN*,都有。2e-1<%”+1:

④若對(duì)于任意〃GMM”=用成立，則｛為｝為常數(shù)列.

其中正確命題的序號(hào)為.

三、解答題

16.已知數(shù)列｛〃”｝為等差數(shù)列，公差”為整數(shù)，/+4=-4,且生+2,四,生+2成等比數(shù)列.

(1)求｛凡｝的通項(xiàng)公式：

(2)記力=a,c=(a)%,求數(shù)列｛/)+C｝的前?〃項(xiàng)和S

n/萬n'月々種?

17.已知函數(shù)=siav(sin3x+cow)+COSA-(COS3X+sinv).

(1)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及最小正周期；

(2)設(shè)加<0,若集合卜/㈠卜、工"rWxWO卜合有兩個(gè)元素，求〃，的取值范圍.

試卷第3頁，共4頁

《北京市清華大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案ADBCABCDDB

1.A

【分析】由補(bǔ)集的概念即可求解.

【詳解】已知全集U=(-2,3],/I=(-l,0),則“./=(-2,?l]U[0,3].

故選：A.

2.D

【分析】由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算得到z,從而得到z的實(shí)部.

l-3i(l-3i)0-i)-2-4i.八

【詳解】Z=——=————T-=——=-I-21,所以實(shí)部為?1,

】?!(141)0-1)2

故選：D.

3.B

【分析】對(duì)于ACD,取。=0二■兀即可說明錯(cuò)誤；對(duì)于B,結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判

斷.

【詳解】對(duì)于ACD,取〃二■兀，此時(shí)">62、加|>加)、sin”>sinb不成立，

對(duì)于B,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù))，=2、是增函數(shù)，a>b,所以2a>2分，故B正確.

故選：B.

4.C

【分析】計(jì)算出21+加=(2〃?-2,8),根據(jù)向量平行得到方程，求出利=」.

【詳解】M+岳=2(加,2Y(-2,4>(2機(jī)-2,8),

(為+6),故8加-2(2加-2)=0,解得M=-1.

故選：C

5.A

【分析】由指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.

,+,OB23

【詳解】已知/'(x)=211+log;3)=2=2x2=2x3=6.

故選:A.

答案第I頁，共14頁

6.B

【分析】對(duì)于AC,由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷即可：對(duì)于BD,求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)

性，進(jìn)一步得極小值情況即可.

【詳解】對(duì)于AC,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)p=1改、y=2,是增函數(shù)，故它們都不存在極小值，故AC

錯(cuò)誤；

對(duì)于B,=x(x-l)(x-2)=X3-3x2+2x,求導(dǎo)得y=3/-6x+2,

y,=-6A-+2>0~*x<I'3或sI+*,y=3W-+2<0-Ix<I*"，

所以y=x(x-l)(x-2)在YC.I-</l+曰,xo'上單調(diào)遞增，在"乎J?乎:上單調(diào)

遞減，

所以y=x(x-l)(.v-2)在彳=|.理處取得最小值，故B正確；

3

對(duì)于D,對(duì)y=x+sinv求導(dǎo)得y,=1+cosx>0,且y,=1+cosx=0不恒成立,

所以y=x+sinx是增函數(shù)，即y=x+sinx不存在極小值.

故選：B.

7.C

2

【分析】由題意S3>/OS?>0,S’>aQS、>0,進(jìn)一步得S4=S2(l+7)>0?S2>0B|J

可求解.

【詳解】因?yàn)?S>GOS?>0,S5>%U?W>0，而S4=S2(1+才)>O0S2>0,其口q是

等比數(shù)列的公比，

從而'$>的”是5>%”的充分必要條件.

故選：C.

8.D

【解析】先求上84),在A84)中利用正弦定理求4),在七△4CO中即可求力C.

［詳解］上84。=73.5°-26.5°=47°,

BDADAD

在.△BAD中由正弦定理得:

sin/BAD&in2RDsin265

asm265

所以力。=

sin47"

答案第2頁，共14頁

又因?yàn)樵贛△/CO中，=sinJL4DC=sin73.5°,

“…八,…casin265sin735

所以AC=ADxsin73.5

Kin47

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形應(yīng)用舉例，考查了正弦定理，屬于中檔題.

9.D

【分析】利用引用角度作為圓上動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)，然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來求模，最后可求最

大值.

P(l+cos(Z1+sinO),Q(T+cos1+sinM(-l+cosy,-l+siny)jV(l+cosS-l+sin0.

則。尸=(H8sa.l+sma).oO=(-l+cos^.l+sinq

div).0、>=(1+cus%-1.sin0

??一??'—?,一?I

所+OQ+OM+。、=(cosacos伙cos"sin*sin分siny+sui0)

，(8§a+8§。+??尸850)'>(sma*sin/?*sin74sin^)

■j4+2cos(a一夕).2cos(a-7),2a?(a-0).2co5(6-y).28s(8-^).2cos(7.0)

當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí)取等號(hào)，

故選：D.

10.B

【分析】由題可推導(dǎo)函數(shù)/(x)的一個(gè)解析式為2AS：X,然后可判斷.

【詳解】因?yàn)?cos2瞅+2=2(2cos2WA--1)+2=4cos?=[2cos映]"

答案第3頁，共14頁

所以/(x)=2cosg符合/⑵)+2=[/(.v)]2,

又/?(2+x)=./(2-x)，所以f(x)關(guān)于x=2對(duì)稱,且/(x)在[0,2]單調(diào)遞減,

所以2"=兀-tV=y.

即符合題意得一個(gè)函數(shù)人工)=2cos^x,

，八(H

/⑼+/、I,故A正確：

I”\工)

202S

712025)=2cos^-?=0.故B錯(cuò)誤：

[K\7T

/(-.v|=2cosj=2cos-x=/(.xJ,故C正確：

k2/2

!/'Ct)lw2,故D正確；

故選：B.

11.9,2）

【分析】利用對(duì)數(shù)的限制條件可得答案.

【詳解】由題意得，2-》＞0得工＜2,所以定義域是（-8,2）.

故答案為：（-8.2）

12.i（答案不唯一）.

【分析】由誘導(dǎo)公式得cos|n...

門,近?步得a=即可求解.

(詳解】因?yàn)閏os]；-a；=sina=cos|"一口?

a=a+

所以"ia.k'/.

故答案為：（答案不唯一）.

13.18

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得卜=2yi,再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】因?yàn)椤白Αā?A~\所以同九

所瑋『="G=2X2XF|X*,而，解匍G|,2G

答案第4頁，共14頁

所以方+.刁+力2=8萬+2刁力=32力=3x2x23*-二汴

故答案為：18.

【分析】（1）通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用極值點(diǎn)的概念判斷即可.

（2）條件要求函數(shù)非單射的，即存在不同自變量有相同的函數(shù)值，結(jié)合分段困數(shù)，需分析。

使兩段函數(shù)值有重疊或單調(diào)性不唯一，進(jìn)而確定a的取值范圍.

【詳解】（1）當(dāng)a=1時(shí)，/（X）

:當(dāng)xN1或xW?l時(shí)，/（x）=-2x,即/（x）在（1,+8）單調(diào)遞減；/（工）在G8,-。單調(diào)遞增，

當(dāng)-1<x<1時(shí)，<（x）=1>0恒成立，即/（X）在Gi，D宜調(diào)遞增，

:在x=-l處，左側(cè)/（x）單調(diào)遞增，右側(cè)/（X）單調(diào)遞增.：x=-1不是極值點(diǎn)；

在x=l處，左側(cè)/（X）單調(diào)遞增，右側(cè)/（x）單調(diào)遞減，：x=1是極值點(diǎn)；

故函數(shù)/'（X）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè).

（2）若WM6氏31GR,x；#x,,使得/（馬）二/（通），意味著函數(shù)/'（X）的每個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)至

少兩個(gè)不同自變量，即函數(shù)不是單射，

由題意得，當(dāng)x21或x<-1時(shí)，/；（.V）=-2x,即/（x）在（1,+8）單調(diào)遞減；/（X）在（-8,-1）

單調(diào)遞增，

：/（工）在X=±1時(shí)取最大值，即/（X）的值域?yàn)椋?8,/-口，

當(dāng)?1<X<1時(shí)，/（.X）=at恒成立，y（.Y）的值域分別為：當(dāng)1>0時(shí)，/（.X）G（口”）；當(dāng)4<0

時(shí)，/（x）W（a,-a）;當(dāng)”0時(shí)，/（x）W{o}；

要保證題干的條件，必須滿足一次函數(shù)的值域與二次函數(shù)的值域有交集，且一次函I數(shù)值域被

包含于二次函數(shù)的值域，

當(dāng)。=0時(shí)，/（x）=（.此時(shí)符合題意，

0.

當(dāng)〃工0時(shí)，一次函數(shù)的值域?yàn)椋?M4。，要求（-W4D二即“</_],解得

答案第5頁，共14頁

?,如.I?75-t-1*Vs

Hz——,故/—或ag.........-?

LI272

綜上所訴，則。的取值范圍為V."叵2網(wǎng)乎手?P)

故答案為：1；卜.￥302￥,?)

15.①③④

【分析】利用作差法比較大小判斷①@;根據(jù)遞增數(shù)列的定義判定②,根據(jù)常數(shù)列定義判定

④

【詳解】由筆=-W-

所如=Jo；+a：—ap=V&

要證明42-,只需證明Jb%(彳;.

-k*/

即證4〃+4/-4^^h2+a2+2abo(a-b)50,

這總是成立，因此結(jié)論①正確，

使得｛。"｝單調(diào)遞增，假設(shè)勺=。v%=/)v%.JU_a*-Jk

若b<J?/*

即/(b2+cr-ab—>/■曲)0-b)>0,

：a>0,：a-b>0,：a>b與q<b矛盾，

所以不存在a,6,使得｛〃”｝單調(diào)遞增；故②錯(cuò)；

若a<b,故%>%,而a"」=&：“?。：-”

故。：+2⑶；=凡+i(?！?1■凡),且片+2?4；+i=((6-勺+1)，

故由。2>可得。3>，。3<。2，依次有。4<。2,a4>ai；

4>%，%V，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：V小，

當(dāng)〃:1時(shí)，由前述分析可得勺<小，

設(shè)當(dāng)〃二k時(shí)，〃2hl<a2k^\，則a2A?+1-。2卜1—aik(。2斤一。2?-1)，

答案第6頁，共14頁

故?！保拘?，故匹+=故42Kl＜〃2A，

故成+2-確+1=(。獨(dú)-。乂+1)＞。即。2*+2＞。2*+1?

故dk+3-原+l=〃2X+2(。2A+2-〃2/+1)＞。即。2“3＞“2*+1,

故由數(shù)學(xué)歸納法可得生"T＜七"],故③對(duì)：

若〃WN＞M,+3=4，

所以q=a,a2=b,a3=c,q=a,a$=b,…,

根據(jù)遞推得《=VI*c,

at=+a；力=。nJb*-c。=an。'+c'-cb=，，

a?Ja；.a；a.at，6n、份.c：-ac=6na：.一■ac.6，

、卜?it“卜c

由/：+c：-M=J,解得a二人二c,即｛a”｝為常數(shù)列.故④對(duì)；

a：?('-〃c?N

故答案為：①③④

16.(l)a?-In-5

(2)2w:-3n+2*'-；

【分析】(1)利用等差數(shù)列，聯(lián)立求得勺M,從而得到通項(xiàng)公式；

(2)寫出數(shù)列｛/)“｝,｛cj的通項(xiàng)公式，利用分組求和求得數(shù)列｛2+「｝的前〃項(xiàng)和S”.

【詳解】(I)由題意得為i+d=-4,

4=血+2)(生+2),即儲(chǔ)+然丫二e+51+2)伉+4+2),即1?a「3d?1=0,

-4-t/)

代入4=---,得到2加?51+2=0，解得d=2,或"=Q(舍)，

則4二-3,所以a“=%+(〃-l)d=2〃-5.

1+a2

(2)b=二4n-5c-(.x,2)?=(-2pT-2"',

則S”二(A?八???h,??c.)(I.[….20-2)2n2.3〃+2"_1

,)1)

答案第7頁，共14頁

17.（1）單調(diào)遞增區(qū)間為-券+式,，+/4WZ,

T=n

L??

(2P?

【分析】）利用兩角和與差正弦余弦公式將/"）變形為、弓

（1sin|’2.x?:.再根據(jù)正弦的周

期公式及整體代換法求正弦的單調(diào)增區(qū)間即可.

（2）法一，令/（、）■&,解得?Ax*WZ,由集合卜|/（x）=J5./W4*4（）|恰有兩個(gè)

元素，令％=-2,-3,即可得到〃？的取值范圍：法二，由xW,,0],得到2x.：/2州）：

444■

的范圍，由集合卜|/（幻=&.娥￡*40|恰有兩個(gè)元素，得到-9<2析+；4-與，解出相

即可.

【詳解】(1)J\x)=sinx(sin3.v?coxv]+co&v(cr一inv|

=siiusin3x+cos.vcos3x+siiucos.v+co&vsiiix

■QH(?XCI)N2X?Hin2vCxin2x?

因此/(X)的最小正周期r?：X.

設(shè)-：.IE<2r-::

解得-一kit4x",ktik￡Z.

88

因此/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4Axn4AnAez.

8oJ

(2)方法一：令&，于是皿卜一：卜1,

因此2A■?*=：+解得x='+CAWZ.

42R

因?yàn)榧蟢|/“）=Jim恰有兩個(gè)元素,

叱…23n/15K3nI5?l

所以--viw￡--1C即I1WG

RX了)

方法二：因?yàn)閄￡[叫o],所以二?：?2.1

44

若集合卜|/(幻=&.刷￡]4()|恰有兩個(gè)元素，

llx.nIn回陽23xI5n

貝nIl]—-<2iw+—S--1解得—?《0§??

242XX

J2”I5il

即Hn加C

I88J

答案第8頁，共14頁

18.（l）＞'=4x+l

⑵16

【分析】（1）首先求得函數(shù)/G）的表達(dá)式，求導(dǎo)，只需求得/（1）=5/（1）=4即可得解；

（2）首先得S&M8=-；〃+3/2,0＜，＜6,然后構(gòu)造函數(shù)目（/）=一:尸+3*,0＜/＜6,利用導(dǎo)

數(shù)求最大值即可.

b=O。=6

【詳解】（1）由題可咋%皿+…，解圓

bO'

：/（x）=-x2+6x,f,（x）=-2x+6.

t=10t/(l)=5,/(l)=4,故切線方程p=4x+l；

<2)過點(diǎn)的切線方程y=ft(/)(x-/)+f(t)=￡。卜-獷。)+/(/)，

■乂(，)+/(/)=2/2-6r-r+6r=r,所以8(0,『)

故工*盟=：(673/

/.X

令g(“=_，，+3/,則/(，)=_,+6/=_](，_4)=11時(shí)，

：0<r<6,：/=4.

（0.4）（4,6）

t4

g'Q)

+0■

極大

gQ)/

值

：g（/）max=g（4）=16，故,4戶8面積最大值為16,當(dāng)/=4時(shí)取到.

答案第9頁，共14頁

19.⑴；

（2）答案見解析

【分析】（1）根據(jù)正弦定理、二倍角公式得COS/ng即可；

（2）結(jié)合余弦定理逐一分析各個(gè)條件下V48C是否存在，然后結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即

可求解.

【詳解】（1）由正弦定理，sm'jnJ,

ba

.1—.smBsiiU2.

---sin/n/鳳in;I一■-MMCOM

ba

：/￡（O,7r）,：sinJ>0,故cos4=［上/=g.

3（KA4

@2c-b=2,：/=；,：/=b'+c2-be,

故4c2-4bc+b2=4a2-3Z）!=4.

由4=7有3〃=4x48,/?=8,故c=5.

故Ss業(yè).=，csinJloJJ

③由余弦定理，AosC二":,49”一九"

2ab1414

于是49-c?=24,解得C=5（負(fù)值舍去）.

因?yàn)閏os4=6■e=1所以?5624=0,

2bc21062

（6-8）（8+3）=。解得6=8（負(fù)值舍去）.

故SA.C=besinJ-ioJi

20.（I）〃=e2

答案第10頁，共14頁

（2）答案見解析

（3）aG[0,2e）u{e2}

【分析】（1）先對(duì)/（工）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)％（2）=0即可解出a的值：

（2）先求導(dǎo)，分別對(duì)a40,0<?<e,?=e,a>e四種情況分類討論函數(shù)單調(diào)性即可；

<3）/（x）>0的解集為[叫+8）,說財(cái)（X）<0的解為（-8,〃）由于/（\）=（x-2）（2e'-?）,

由x-220可得XW12,+8）,所以要么2e'-ar=0只有一個(gè)根為2,要么2e'-ax>0恒成立.①

若只有一個(gè)根為2,可得a=e2；若2e'-at>0恒成立，當(dāng)。:0時(shí)該不等式恒成立，當(dāng)a<0

2（-

時(shí)，取x二一代入2e,-ax=2e'-l<0，不符合題意，舍；當(dāng)。>0時(shí)，2eax>0可

°I）

化為2>二，設(shè)求導(dǎo)求單調(diào)性求其最大值即可解得0<“<2e,再考慮端點(diǎn)值

aee,

〃=2e時(shí)，不符合題意，舍，即得。的取值范圍.

【詳解】（1）由題可匍;（x）=（2x-2）e-2ax+2*

由曲線y=/（x）在（2,/（2））處的切線與），軸垂直，可得￡（2）=2e二2〃=0,

因此。=e2.

（2）由題知《）定義域?yàn)镽,U/（x）=⑵-2）e'-2ax+2a=2（x?l）（e'-a）,

①當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)任意xGR,e「a>0,

令/（工）=0,則x=1,列表如下：

X(-31)1(1,+國

/；（X）-0+

/G)極小值Z

所以/（、）的增區(qū)間為（1,+8）,減區(qū)間為（-8,。；

②當(dāng)0<“<e時(shí)，=0,可得X1=l,x2=Ina,且Ina<1,列表如下:

X(-fIna)Ina（1叫1）1

答案第11頁，共14頁

f,(')+0-0+

/(.V)7極大值極小值7

所以/'(x)的增區(qū)間為(-8,Ina)和(1,+8),減區(qū)間為(lnc“)：

③當(dāng)〃=e時(shí)，f,(A)=2(x-1)(e'-e),

(A)=0,可得x=I,列表如下：

X(-8,1)\(i,+國

+0+

/G)7

所以/(x)在R上單調(diào)遞嬋；

④當(dāng)〃>e時(shí)，令/(x)=0,可得M=l,x2=In。，Ulna>1,列表如下:

X(-8」)1Ina(1M,+a)

/1(')+0-0+

/(')Z極大值極小值

所以/G)的增區(qū)間為(-8,1)和(lna,+8),減區(qū)間為(1,In”)，

綜上所述：當(dāng)aWO時(shí)，/(x)的增區(qū)間為(1,+8),減區(qū)間為(-8,1)：

當(dāng)0<a<e時(shí)，/(X)的增區(qū)間為(-8,1M)和(1,+8),減區(qū)間為

當(dāng)。二e時(shí)，/(X)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃>e時(shí)，/(Q的增區(qū)間為(-8,1)和伽氏+8),減區(qū)間為(1,Ina).

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