小學(xué)六年級(jí)比例知識(shí)點(diǎn)一、比例的基礎(chǔ)認(rèn)知1.比例的意義表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。它是由兩個(gè)比值相等的比組合而成的，體現(xiàn)了兩個(gè)比之間的等量關(guān)系。例如：$3:4$和$6:8$，因?yàn)?3:4=\frac{3}{4}$，$6:8=\frac{3}{4}$，兩個(gè)比的比值相等，所以可以組成比例$3:4=6:8$；再如，長(zhǎng)方形甲的長(zhǎng)和寬分別是$5cm$和$3cm$，長(zhǎng)方形乙的長(zhǎng)和寬分別是$10cm$和$6cm$，甲的長(zhǎng)寬比$5:3$與乙的長(zhǎng)寬比$10:6$比值都是$\frac{5}{3}$，因此$5:3=10:6$是比例。注意：判斷兩個(gè)比能否組成比例，核心是看它們的比值是否相等。2.比例的各部分名稱在比例中，組成比例的四個(gè)數(shù)叫做比例的項(xiàng)。其中，兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。以比例$a:b=c:d$（或$\frac{a}=\frac{c}iwuqwsq$）為例：外項(xiàng)是$a$和$d$，內(nèi)項(xiàng)是$b$和$c$?？梢院?jiǎn)單記憶為“兩端為外，中間為內(nèi)”。例如：在比例$3:4=6:8$中，外項(xiàng)是$3$和$8$，內(nèi)項(xiàng)是$4$和$6$；在比例$\frac{5}{7}=\frac{15}{21}$中，外項(xiàng)是$5$和$21$，內(nèi)項(xiàng)是$7$和$15$。3.比例與比的區(qū)別和聯(lián)系類別比比例意義表示兩個(gè)數(shù)相除的關(guān)系表示兩個(gè)比相等的式子組成由兩個(gè)數(shù)（前項(xiàng)、后項(xiàng)）組成由四個(gè)數(shù)（兩個(gè)外項(xiàng)、兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)）組成形式如$a:b$或$\frac{a}$如$a:b=c:d$或$\frac{a}=\frac{c}gsgkice$聯(lián)系比例是由兩個(gè)比值相等的比組成的，比是比例的基礎(chǔ)二、比例的基本性質(zhì)與應(yīng)用1.比例的基本性質(zhì)在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，這叫做比例的基本性質(zhì)。用字母表示為：如果$a:b=c:d$（$b$、$d$不為$0$），那么$a\timesd=b\timesc$。例如：比例$3:4=6:8$，外項(xiàng)積$3\times8=24$，內(nèi)項(xiàng)積$4\times6=24$，二者相等；比例$\frac{2}{3}=\frac{6}{9}$，外項(xiàng)積$2\times9=18$，內(nèi)項(xiàng)積$3\times6=18$，同樣相等。特別提示：如果比例的形式是分?jǐn)?shù)形式，交叉相乘的積相等（即“十字交叉法”），這是比例基本性質(zhì)的另一種體現(xiàn)，也是解決比例問題的常用方法。2.比例基本性質(zhì)的應(yīng)用（1）判斷兩個(gè)比能否組成比例方法：分別計(jì)算兩個(gè)比的比值，或計(jì)算兩個(gè)比“外項(xiàng)積”與“內(nèi)項(xiàng)積”，若相等則能組成比例。例：判斷$2:5$和$8:20$能否組成比例？方法一（比值法）：$2:5=\frac{2}{5}$，$8:20=\frac{2}{5}$，比值相等，能組成比例。方法二（積的方法）：外項(xiàng)積$2\times20=40$，內(nèi)項(xiàng)積$5\times8=40$，積相等，能組成比例。（2）解比例求比例中的未知項(xiàng)，叫做解比例。解比例的依據(jù)是比例的基本性質(zhì)，步驟如下：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把比例轉(zhuǎn)化為“外項(xiàng)積=內(nèi)項(xiàng)積”的等式；解這個(gè)簡(jiǎn)易方程，求出未知項(xiàng)的值。例1：解比例$3:x=6:8$解：由比例基本性質(zhì)得$6x=3\times8$→$6x=24$→$x=24\div6$→$x=4$例2：解比例$\frac{x}{4}=\frac{9}{12}$解：交叉相乘得$12x=4\times9$→$12x=36$→$x=36\div12$→$x=3$三、正比例與反比例正比例和反比例是兩種重要的數(shù)量關(guān)系，它們都涉及兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，但變化規(guī)律和關(guān)系不同，是比例應(yīng)用的核心內(nèi)容。1.相關(guān)聯(lián)的量?jī)煞N量中，一種量變化，另一種量也隨著變化，這樣的兩種量叫做相關(guān)聯(lián)的量。例如：路程和時(shí)間（路程變化，時(shí)間也變化）、總價(jià)和數(shù)量（總價(jià)變化，數(shù)量也變化）。注意：并非所有相關(guān)聯(lián)的量都成比例，只有當(dāng)兩種量的變化存在“固定規(guī)律”時(shí)，才成正比例或反比例。2.正比例的意義與判斷（1）意義兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（商）一定，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。用字母表示：如果用$x$和$y$表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用$k$表示它們的比值（一定），那么$\frac{y}{x}=k$（一定）。（2）實(shí)例與判斷方法實(shí)例：汽車行駛的速度一定時(shí)，路程和時(shí)間成正比例。因?yàn)?\frac{路程}{時(shí)間}=速度$（一定），路程隨時(shí)間的增加而增加，比值始終不變。判斷方法：①兩種量是否相關(guān)聯(lián)；②變化方向是否一致（一種量增加，另一種量也增加；一種量減少，另一種量也減少）；③相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值是否一定。例：判斷“單價(jià)一定時(shí)，總價(jià)和數(shù)量是否成正比例”？分析：①總價(jià)和數(shù)量是相關(guān)聯(lián)的量（數(shù)量變化，總價(jià)也變化）；②變化方向一致（數(shù)量越多，總價(jià)越高）；③$\frac{總價(jià)}{數(shù)量}=單價(jià)$（一定），因此成正比例。3.反比例的意義與判斷（1）意義兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，那么這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。用字母表示：如果用$x$和$y$表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用$k$表示它們的乘積（一定），那么$x\timesy=k$（一定）。（2）實(shí)例與判斷方法實(shí)例：長(zhǎng)方形的面積一定時(shí)，長(zhǎng)和寬成反比例。因?yàn)?長(zhǎng)\times寬=面積$（一定），長(zhǎng)隨寬的增加而減少，乘積始終不變。判斷方法：①兩種量是否相關(guān)聯(lián)；②變化方向是否相反（一種量增加，另一種量減少；一種量減少，另一種量增加）；③相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積是否一定。例：判斷“總路程一定時(shí)，速度和時(shí)間是否成反比例”？分析：①速度和時(shí)間是相關(guān)聯(lián)的量（速度變化，時(shí)間也變化）；②變化方向相反（速度越快，時(shí)間越短）；③$速度\times時(shí)間=總路程$（一定），因此成反比例。4.正比例與反比例的區(qū)別對(duì)比項(xiàng)目正比例關(guān)系反比例關(guān)系相關(guān)聯(lián)的量的變化方向一致（同增同減）相反（一增一減）核心規(guī)律比值（商）一定乘積一定字母表達(dá)式$\frac{y}{x}=k$（一定）$x\timesy=k$（一定）實(shí)例工作效率一定，工作總量與工作時(shí)間工作總量一定，工作效率與工作時(shí)間四、比例的實(shí)際應(yīng)用比例在生活和數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用廣泛，常見的有比例尺問題、按比例分配問題，以及利用正、反比例解決實(shí)際問題。1.比例尺（1）比例尺的意義圖上距離和實(shí)際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。它是表示“圖上距離”與“實(shí)際距離”縮放關(guān)系的比例，體現(xiàn)了“縮小”或“放大”的程度。公式：比例尺=圖上距離:實(shí)際距離或比例尺=$\frac{圖上距離}{實(shí)際距離}$（2）比例尺的分類①數(shù)值比例尺：用數(shù)字表示的比例尺，如$1:10000$（表示圖上$1cm$代表實(shí)際$10000cm$，即$100m$）、$20:1$（表示圖上$20cm$代表實(shí)際$1cm$，屬于放大比例尺，常用于精密零件圖）。②線段比例尺：在圖上用線段標(biāo)注出圖上距離對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離，如，表示圖上$1cm$對(duì)應(yīng)實(shí)際$50km$。（3）比例尺的應(yīng)用（三大核心問題）解決比例尺問題的關(guān)鍵是統(tǒng)一“圖上距離”和“實(shí)際距離”的單位，再根據(jù)比例尺公式靈活變形計(jì)算。求比例尺：已知圖上距離和實(shí)際距離，直接代入公式計(jì)算，注意單位統(tǒng)一后再化簡(jiǎn)。

例：一幅地圖上，北京到上海的圖上距離是$12cm$，實(shí)際距離是$1320km$，求這幅地圖的比例尺。解：統(tǒng)一單位，$1320km=132000000cm$→比例尺=$12:132000000=1:11000000$求圖上距離：已知實(shí)際距離和比例尺，圖上距離=實(shí)際距離×比例尺。

例：某操場(chǎng)實(shí)際長(zhǎng)$100m$，比例尺是$1:500$，求圖上長(zhǎng)是多少厘米？解：$100m=10000cm$→圖上距離=$10000\times\frac{1}{500}=20cm$求實(shí)際距離：已知圖上距離和比例尺，實(shí)際距離=圖上距離÷比例尺。

例：一幅零件圖的比例尺是$20:1$，圖上零件的長(zhǎng)是$4cm$，求零件的實(shí)際長(zhǎng)。解：實(shí)際距離=$4\div\frac{20}{1}=0.2cm$（注意：放大比例尺的實(shí)際距離比圖上距離?。?.按比例分配（1）意義把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配，這種分配方法叫做按比例分配。它是“平均分”的延伸，適用于需要按比例分配資源、任務(wù)、數(shù)量等場(chǎng)景。（2）解題步驟根據(jù)比例求出總份數(shù)：把比例的各項(xiàng)相加，得到總份數(shù)；求出每份的數(shù)量：用總數(shù)量除以總份數(shù)，得到每份是多少；求出各部分的數(shù)量：用每份的數(shù)量分別乘比例的各項(xiàng)，得到對(duì)應(yīng)部分的數(shù)量。（3）實(shí)例例1：學(xué)校把$120$本圖書按照$3:2$的比例分給五年級(jí)和六年級(jí)，五、六年級(jí)各分得多少本？解：①總份數(shù)=$3+2=5$（份）；②每份數(shù)量=$120\div5=24$（本）；③五年級(jí)分得=$24\times3=72$（本），六年級(jí)分得=$24\times2=48$（本）。例2：甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)按$2:3:5$的比例分配一項(xiàng)$1000$萬元的工程任務(wù)，各隊(duì)分得多少萬元？解：①總份數(shù)=$2+3+5=10$（份）；②每份=$1000\div10=100$（萬元）；③甲隊(duì)=$100\times2=200$（萬元），乙隊(duì)=$100\times3=300$（萬元），丙隊(duì)=$100\times5=500$（萬元）。3.用正、反比例解決實(shí)際問題（1）解題核心先判斷題目中的兩種相關(guān)聯(lián)的量成什么比例關(guān)系，再根據(jù)正、反比例的意義列出比例（或方程）求解。（2）解題步驟找出題目中兩種相關(guān)聯(lián)的量，明確它們的變化關(guān)系；判斷這兩種量成正比例還是反比例（看比值一定還是乘積一定）；設(shè)未知量為$x$，根據(jù)正、反比例的意義列出比例（或方程）；解比例（或方程），檢驗(yàn)并寫出答案。（3）實(shí)例例1（正比例應(yīng)用）：一輛汽車$3$小時(shí)行駛$180km$，照這樣的速度，$5$小時(shí)行駛多少千米？解：①相關(guān)聯(lián)的量：路程和時(shí)間，速度一定，成正比例；②設(shè)$5$小時(shí)行駛$x$千米，列比例：$\frac{180}{3}=\frac{x}{5}$；③解比例：$3x=180\times5$→$x=300$。答：$5$小時(shí)行駛$300km$。例2（反比例應(yīng)用）：一批貨物，用載重$4$噸的卡車運(yùn)，需要$15$次運(yùn)完；如果用載重$6$噸的卡車運(yùn)，需要多少次運(yùn)完？解：①相關(guān)聯(lián)的量：載重量和次數(shù)，貨物總重量一定，成反比例；②設(shè)需要$x$次運(yùn)完，列方程：$6x=4\times15$；③解方程：$x=\frac{60}{6}=10$。答：需要$10$次運(yùn)完。五、易錯(cuò)點(diǎn)與解題技巧總結(jié)1.常見易錯(cuò)點(diǎn)①混淆“比”和“比例”：比是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，比例是兩個(gè)比的等式，避免出現(xiàn)“$3:4$是比例”的錯(cuò)誤表述。②解比例時(shí)忘記統(tǒng)一單位：尤其是比例尺問題中，圖上距離和實(shí)際距離的單位常不一致（如$cm$和$km$），必須先統(tǒng)一單位再計(jì)算。③正、反比例判斷錯(cuò)誤：關(guān)鍵是區(qū)分“比值一定”還是“乘積一定”，避免把“變化方向一致”作為判斷正比例的唯一依據(jù)（如“身高和年齡”相關(guān)聯(lián)但不成比例）。④按比例分配時(shí)總份數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤：若比例是“連比”（如$2:3:5$），總份數(shù)是各項(xiàng)之和，不是兩兩相加。⑤放大比例尺應(yīng)用失誤：放大比例尺（如$20:1$）中，圖上距離大于實(shí)際距離，計(jì)算實(shí)際距離時(shí)要用圖上距離除以比例尺，避免與縮小比例尺混淆。2.解題技巧①解比例“三步走”：一找（找內(nèi)項(xiàng)、外項(xiàng)），二列（列外項(xiàng)積=內(nèi)項(xiàng)積的等式），三解（解方程）。②正、反比例判斷“三問”：一問是否相關(guān)聯(lián)