2025-2026學年度期中考試

高三數(shù)學試題

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1．已知向量=(1,0)，=(2,m)，//，則m=()

A．1B．2C．4D．0

2．若復(fù)數(shù)z滿足z，則z=()

A．2B．·、i2C．1D．

3．已知集合A={x|ln(x-1)≤0}，集合B={x|x2-5x+6≤0}，則AB=()

A．(1,3]B．(-∞,3]C．(-∞,6]D．{2}

4．已知等差數(shù)列{an}不是常數(shù)列，若a1=1，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則a10=()

A．1B．21C．19D．20

5．若f=lna>0,b>0)為奇函數(shù)，則的最小值為()

A．B．·+3C．2、+3D．

6.“函數(shù)y=tan的圖象關(guān)于對稱”是“，k∈Z”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

7．已知函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)，直線y=x與函數(shù)y=f(x)的圖象相切，則lna=()

A．B．eC．e2D．2e

8．已知函數(shù)f(x)若a=(sinα)cosα,b=-(cosα)sinα,c=(tanα)tanα,

則下列結(jié)論正確的是()

A:f(a)>f(b)>f(c)B：f(c)>f(a)>f(b)

C：f(c)>f(b)>f(a)D：f(b)>f(c)>f(a)

二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）

9．已知公差d不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4=S9，則下列結(jié)論正確的有()

A．B．當d<0時，Sn的最大值為S6或S7

S13=0

C．a(chǎn)6+a7=0D．當d>0時，a1<0

10.設(shè)cosαcos5cos(α+β)=4，則()

A．sinαsinB．cos(α-β)=0

C．tanαtanβ=-1D．2tan(α+β)=tanα+tanβ

11.已知定義在R上的函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f,(x)，若f為偶函數(shù)，f為奇函

數(shù)，則()

A．f,(2+x)=f,(x)B．f

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12．已知向量,的夾角為，若||=2，且-2在上的投影向量為，則

=.

13．已知sin且α∈(π,2π)，則tan

14．已知P={αf(α)=0}，Q={βg(β)=0}，若存在α∈P，β∈Q，使得α-β<n，則

2x

稱函數(shù)f(x)與g(x)互為“n距零點函數(shù)”.若f(x)=log2025(x-1)與g(x)=x-ae（e為自然

對數(shù)的底數(shù)）互為“1距零點函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

〔

15.（13分）已知集合A={x<1，B={y∣y=x3-3x2+2,x∈A}.

l

(1)求A；

(2)證明：A≤B.

)

16．（15分）已知函數(shù)f(x)=4sin(|wx+coswx-(w>0)的最小正周期為π.

(,

(1)求w的值；

(2)將函數(shù)f(x)的圖象先向左平移個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)

y=g(x)的圖象，若方程g(x)=m，x只有一個實數(shù)根，求m的取值范圍．

17．（15分）記ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，

已知且

m=(1,cosB),n=(sinC,-·、)，

m丄n,cos2A+cos2B-cos2C=1-2·、sinAsinB

(1)求B；

(2)若ABC的面積為3+，求c．

18．（17分）

n+1

已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an+2.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）如圖，在平面直角坐標系xOy中，若xn依次連接點

，

P1(x1,1)P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，

x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn.

且

(3)記數(shù)列{bn}的前n項和為Anbn，若An≥恒成立，求實數(shù)λ的最大值．

19．（17分）已知函數(shù)f(x)=lnx+asinx-x．

(1)若a=0，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若a=1，證明：f(x)>-1在(1,2)上恒成立；

(3)存在x，不等式asin(lnx)≥lnx-x+3成立，求實數(shù)a的取值范圍．

高三期中考試數(shù)學試題答案

題號1234567891011

答案DBACCBABABDBCDABC

(|

12．【答案】13．答案：-14．【答案】

(,

15.（13分）（1）即<0，

可得解得-1<x<2，故集合A={x|-1<x<2}..............5分

（2）依題意，集合B={y∣y=x3-3x2+2,x∈A}，y=x3-3x2+2，y,=3x2-6x，

當x∈(-1,0)時，y,>0，y=x3-3x2+2單調(diào)遞增，

當x∈(0,2)時，y,<0，y=x3-3x2+2單調(diào)遞減，

且當x=-1時，y=(-1)3-3×(-1)2+2=-2，

當x=0時，y=03-3×02+2=2，當x=2時，y=23-3×22+2=-2，..............10分

綜上，當x∈(-1,2)時，y∈(-2,2]，即集合B={y∣-2<y≤2}，由（1）得，集合A={x|-1<x<2}，

因此AB........................................................................................................13分

16．（15分）（1）f=4sincoswxsinwxcoswx+2·i3cos2wx-v3

=sin2wx+·i3cos2wx=2sin.....................................................................5分

又f(x)的最小正周期為π,w>0，則T=π=，所以w=1........................7分

（2）由（1）知f=2sin所以g=2sin，..................9分

|()

因為x所以2x+∈，2sin2x+∈-2............11分

,(,,

利用圖形得到故的取值范圍是-

m(--1，-1{3}................................15分

17．（15分）（1）由cos2A+cos2B-cos2C=1-2、sinAsinB化簡得到

a2+b2-c2=2abcosC，................................................3分

對比已知a2+b2-c2=·、ab，

可得cosC..................................5分

因為C∈(0,π)，所以sinC>0，

2

(2)2

從而sinC=·、1-cos2C=-,

1|=

(2,2

又因為丄，所以sinC=cosB，即cosB

注意到B∈(0,π)，所以B分

π·、ππππ5π

（2）由（1）可得B=,cosC=，C∈(0,)，從而C=,A=π--=,

3243412

())

而sinA=sin=sin|(+=×+×=，...............................9分

|(,(,

由正弦定理有

從而ac,bc，...............................12分

由三角形面積公式可知，ABC的面積可表示為

3+

由已知ABC的面積為3+，可得c2=3+，所以c=2................................15分

8

18．（17分）（1），n+1，

a1=2an+1=2an+2

為等差數(shù)列，...............................3分

首項為=1，公差為1，

n

n，:an=n×2................................5分

（2）過P1,P2,P3,……Pn+1向x軸作垂線，垂足分別為Q1,Q2,Q3,……Qn+1,

由得n，則n+1nn

(1)xn==2xn+1-xn=2-2=2.

PQQ

記梯形nn+1n+1n的面積為由題意得：

Pcn.

nn-1，

cn=×2..............................................8分

所以

Tn=c1+c2+c3+......+cn

=3×20+5×21+7×22+……+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1

①

又123n-1n

2Tn=3×2+5×2+7×2+……+(2n-1)×2+(2n+1)×2

@

-得

①@02n-1nn

-Tn=3×2+2(2+2+......+2)-(2n+1)×2=(1-2n)×2-1

所以n

Tn=(2n-1)×2+1.............................................................................................11分

則bn............................................13分

則An.....................14分

由An恒成立，即恒成立，

即恒成立，由單調(diào)遞增，

「

故當時，n+1-=，

n=1|L()

min

故2λ≤,即λ≤,所以λ的最大值為．...............................17分

19．（17分）解析：（1）當a=0時，函數(shù)f(x)=lnx-x的定義域為(0,+∞)，所以

f'分

則x∈(0,1)時，f'(x)>0，f(x)遞增；x∈(1,+∞)時f'(x)<0，f(x)遞減..............4分

（2）當a=1時，

，

f(x)=lnx+sinx-x

需證：lnx+sinx-x>-1，

即lnx+sinx-x+1>0在x∈(1,2)上恒成立；........................6分

令g(x)=lnx+sinx-x+1，x∈(1,2)

則：g'cosx-1在x∈(1,2)時遞減，...............................8分

因為