27/28專題1.3直線的方程教學目標1.了解由斜率公式推導直線方程的點斜式的過程；2.掌握直線方程的點斜式、斜截式、兩點式和一般式；.3.了解平面直角坐標系中任意一條直線都可以用關于x，y的二元一次方程來表示；4.能將直線方程的幾種形式進行互相轉換，并弄清各種形式的應用范圍．教學重難點1.重點(1)幾種直線方程的靈活選用；(2)直線方程的應用．2.難點(1)能根據實際情況選擇正確的直線方程；(2)理解“截距”與“距離”的區(qū)別．知識點01直線方程的點斜式（重點）1.直線的方程一般地,如果一條直線l上的坐標(x,y)都滿足一個方程,滿足該方程的(x,y)所確定的點都在直線l上,我們就把這個方程稱為直線l的方程.2.直線方程的點斜式(1)直線l經過點P(x0,y0),且斜率是k,則直線l的方程是.這個方程是由直線上的一點和斜率(一個方向)所確定的,稱為直線方程的點斜式.(2)當直線與x軸平行或重合時，方程可簡寫為y＝y(tǒng)0.特別地，x軸的方程是；當直線與y軸平行或重合時，不能應用點斜式方程．此時可將方程寫成x＝x0.特別地，y軸的方程是.【知識剖析】直線方程的點斜式的前提條件是：①已知一點P(x0，y0)和斜率k；②斜率必須存在．只有這兩個條件都具備，才可以寫出點斜式方程.【即學即練】1.求滿足下列條件的直線方程的點斜式.(1)過點P(-4,3),斜率k=-3;(2)過點P(3,-4),且與x軸平行;(3)過P(-2,3),Q(5,-4)兩點.[3]知識點02直線方程的斜截式（重點）1.直線在x,y軸上的截距(1)直線l與x軸的交點(a,0)的叫作直線l在x軸上的截距,簡稱橫截距.(2)直線l與y軸的交點(0,b)的叫作直線l在y軸上的截距,簡稱縱截距.2.直線的斜截式方程如果直線l的斜率為k,且與y軸的交點為(0,b),代入直線方程的點斜式,得y-b=k(x-0),即,此方程由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定,所以叫作直線方程的斜截式.【知識剖析】(1)直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況．(2)截距是一個實數(shù)，它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標，可以為正數(shù)、負數(shù)和0.當直線過原點時，它在x軸上的截距和在y軸上的截距都為0.(3)由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和縱截距．(4)斜截式方程與一次函數(shù)的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有區(qū)別：當k≠0時，y＝kx＋b為一次函數(shù)；當k＝0時，y＝b，不是一次函數(shù)．故一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一條直線的斜截式方程．【即學即練】1．根據條件寫出下列直線的斜截式方程.(1)斜率為2,在y軸上的截距是5;(2)傾斜角為150°,在y軸上的截距是-2;(3)傾斜角為60°,與y軸的交點到坐標原點的距離為3.知識點03直線方程的兩點式（重點）1.直線方程的兩點式經過點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直線方程為,我們把這個方程稱為直線方程的兩點式.2.平行于坐標軸的直線方程(1)若x1=x2,y1≠y2,則P1P2與x軸垂直,此時直線l的方程為;(2)若y1=y2,x1≠x2,則P1P2與y軸垂直,此時直線l的方程為.【知識剖析】(1)兩點式方程與這兩個點的順序無關．(2)方程中等號兩邊表達式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等(3)把直線的兩點式方程化為，則該方程表示過平面內任意不同兩點，的直線．【即學即練】1．求過下列兩點的直線的兩點式方程：(1)，；(2)，．2.已知直線的兩點式為，則（）A．直線經過點 B．直線的斜截式為C．直線的傾斜角為銳角 D．直線的點斜式為知識點04直線方程的截距式（重點）1.直線方程的截距式若直線l經過兩點(a,0),(0,b)(其中a≠0,b≠0),則直線l的方程為,此方程稱為直線方程的截距式.2.直線方程截距式與兩點式間的關系直線方程的截距式是兩點式的特例，所取的兩點恰好是直線與坐標軸的交點.【知識剖析】(1)截距式中,x項對應的分母是直線在x軸上的截距，y項對應的分母是直線在y軸上的截距,故由方程便可直接讀出直線在兩坐標軸上的截距.(2)當直線的斜率不存在或斜率為0或直線經過原點時，直線方程不能用截距式表示.【即學即練】1．過、兩點的直線方程是（）A． B．C． D．2．直線在軸上的截距為（）A． B． C．2 D．4知識點05直線方程的一般式（重點）1.直線方程的一般式直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式都是關于x,y的二元一次方程.我們把關于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B0)叫作直線方程的一般式.2.直線方程的一般式的書寫格式(1)對于直線方程的一般式,有如下約定:一般按含x項、含y項、常數(shù)項的順序排列;x項的系數(shù)一般為正;x項、y項的系數(shù)和常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù).(2)直線方程的其他形式都可以化成一般式,因此在解題時,如果沒有特殊說明應把最后結果化為一般式.【知識剖析】(1)方程Ax+By+C=0表示直線的條件是：A,B不同時為0,即A2+B2≠0.(2)直線方程的一般式能夠表示平面上的所有直線,而點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程都不能表示與x軸垂直的直線.【即學即練】1.直線3x－2y－4＝0在x軸、y軸上的截距分別是()A.eq\f(3,4)，－eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)，－2 D.eq\f(4,3)，－22.直線2x-3y+6=0與x軸的交點是A,與y軸的交點是B,O是坐標原點,則△AOB的面積是()A.6 B.3 C.12 D.23．（24-25高二上·寧夏吳忠·期中）若直線的截距式方程化為斜截式方程為，化為一般式方程為，則（

）A． B． C． D．知識點06直線方程的點法式（拓展點）1.直線的法向量與直線的方向向量垂直的向量稱為直線的法向量.2.直線方程的點法式已知直線l經過Px0,y0,且它的一個法向量為n=【即學即練】1.（24-25高二下·上?！て谥校┮阎蛄繛橹本€的一個法向量，則a的值為．2.寫出直線l:2x-y-1=0的一個法向量a=.

知識點07過定點的直線系（拓展點）直線過定點P0(x0,y0)時,我們可設直線的方程為，由此方程可知,k取不同的值時,它就表示不同的直線,且每一條直線都經過定點P0(x0,y0),當k取遍所允許的每一個值時,這個方程就表示經過定點P0的許多直線,所以把這個方程叫做過定點P0的直線系方程.由于過點P0(x0,y0)且與x軸垂直的直線不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直線系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中沒有直線【即學即練】1.方程y=k(x-1)(k表示A.過點(－1,0)的一切直線B.過點(1,0)的一切直線C.過點（1，0）且不垂直于x軸的一切直線D.過點(1,0)且除x軸外的一切直線2.已知直線l:y=kx+2k+1.求證:直線l過定點.題型01利用點斜式求直線方程【典例】已知直線l經過點P(-2,3),且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4,求直線l的方程.求直線的點斜式方程的步驟及注意點：(1)求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)點斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．【變式1】（24-25高二上·甘肅白銀·期末）過點且斜率為2的直線與坐標軸圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二下·安徽·階段練習）直線經過點，傾斜角是直線的傾斜角的，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式3】（24-25高二上·廣東東莞·期中）直線的方程為，.(1)若直線在兩坐標軸上的截距相等，求的方程；(2)若直線分別交軸、軸的正半軸于點、，點是坐標原點．若的面積為，求的值.題型02利用斜截式求直線方程【典例】求斜率為34求直線的斜截式方程的方法：(1)斜截式方程的應用前提是直線的斜率存在．(2)直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個參數(shù)，因此要確定直線方程只需兩個獨立條件即可．【變式1】（2017·全國·高考真題）過點且斜率小于0的直線與軸，軸圍成的封閉圖形面積的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【變式2】設直線l的傾斜角是直線y＝eq\r(3)x＋1的傾斜角的eq\f(1,2)，且與y軸的交點到x軸的距離是3，則直線l的方程是____________________．題型03利用兩點式求直線方程【典例】已知△ABC的頂點是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，若AB與y軸交于點E，BC與x軸交于點F，求直線EF的方程．(1)當已知兩點坐標,求過這兩點的直線方程時,首先要判斷是否滿足直線方程的兩點式的適用條件:兩點的連線不平行于坐標軸,若滿足,則考慮用兩點式求方程.(2)已知兩點坐標時，也可利用這兩點先出求其斜率，再利用點斜式得到直線方程.【變式1】（24-25高二上·廣東茂名·階段練習）經過點，的直線方程為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·河南南陽·期中）已知三個頂點的坐標分別為，，，則邊上的中線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．題型04利用截距式求直線方程【典例】（1）求過點P(2,3),并且在兩軸上的截距相等的直線方程;(2)求過點P(1,3)，且與x軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線方程.求解此類題需過雙關：一是待定系數(shù)法關，即根據題中條件設出直線方程，如在x軸、y軸上的截距分別為a，b(a≠0，b≠0)的直線方程常設為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1；二是方程(組)思想關，即根據已知條件，尋找關于參數(shù)的方程(組)，解方程(組)，得參數(shù)的值．【變式1】（24-25高二下·湖南·階段練習）已知直線經過點，與兩坐標軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標原點，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·山東青島·階段測試）直線過點且與軸、軸的正半軸分別交于兩點，為坐標原點，求分別滿足下列條件的直線方程：(1)的周長為12；(2)的面積為6．【變式3】（24-25高二下·上?！るA段練習）直線過點，且與軸，軸正半軸分別交于兩點.(1)若，求直線的方程；(2)求的面積的最小值.題型05直線一般式方程的應用【典例】設直線l的方程為(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)若直線l在x軸上的截距為－3，則m＝________；(2)若直線l的斜率為1，則m＝________.直線方程的幾種形式的轉化【變式】根據下列各條件寫出直線的方程，并化成一般式．(1)斜率是－eq\f(1,2)，經過點A(8，－2)；(2)經過點B(4,2)，平行于x軸；(3)在x軸和y軸上的截距分別是eq\f(3,2)，－3；(4)經過兩點P1(3，－2)，P2(5，－4)．題型06直線方程的點向式與點法式【典例】已知ABC的三個頂點分別是A(1,1),B(-2,3),C(3,4)（1）求BC邊上的高所在直線的方程；（2）如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形，求點D的坐標.（1）直線方程的點向式：已知直線l經過Px0,y0,且它的一個方向向量為n=A，B,則稱為直線方程的點向式，特別地，當方向向量為（2）直線方程的點法式：已知直線l經過Px0,y0,且它的一個法向量為n=【變式1】（24-25高二上·貴州遵義·階段練習）過點且以直線的方向向量為法向量的直線方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高二上·山西陽泉·期中）已知過點的直線的方向向量，則的方程為（

）A． B．C． D．【變式3】（2025·上海徐匯·三模）直線m過點且法向量，則直線m的點法式方程為.題型07根據直線方程求直線的斜率與傾斜角【典例1】（1）已知直線的方程是，則（）A．直線經過定點，斜率為 B．直線經過定點，斜率為C．直線經過定點，斜率為 D．直線經過定點，斜率為（2）直線的傾斜角是（）A． B． C． D．(1)將直線方程轉化為斜截式，便可得到直線的斜率，從而求得傾斜角.(2)對于一般式方程，當時，其斜率為.【變式1】（24-25高二下·浙江·開學考試）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二下·廣東·階段練習）直線的斜率為（

）A． B． C． D．【變式3】已知直線經過點，則直線傾斜角的大小為．題型08直線圖象的辨析【典例】(多選)在同一直角坐標系中，下列選項能正確表示直線y＝ax與y＝x＋a的是（）對于直線圖象的辨析題，一般將直線方程寫成斜截式，從而確定斜率及縱截距，便可結合坐標系確定直線圖象.【變式1】（24-25高二·江蘇·課后作業(yè)）直線可能是（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高二·陜西西安·段測）已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．題型09利用斜率、截距的幾何意義解決問題【典例】已知ab<0,bc<0，則直線ax+by=c通過（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限判斷一條直線過象限問題,一般將直線方程化為斜截式,再據此作出直線,由圖確定直線所過象限.【變式1】（24-25高二上·江蘇淮安·階段練習）直線不經過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式2】（24-25高二下·上海楊浦·期中）若直線經過第一、二、四象限，則（

）A．且 B．且C．且 D．且題型10利用直線方程求參數(shù)的值或取值范圍【典例】（1）若y＝a|x|與y＝x＋a(a>0)有兩個公共點，則a的取值范圍是（）A．a>1 B．0<a<1C．a＝1 D．0<a<1或a>1（2）已知點，直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C．D．（3）直線y＝eq\f(1,2)x＋k與兩坐標軸圍成的三角形的面積不小于1，則實數(shù)k的取值范圍是________．一般地，若已知，過點作垂直于軸的直線，過點的任一直線的斜率為，則當與線段不相交時，夾在與之間；當與線段相交時，在與的兩邊．【變式1】（2025浙江杭州高二上聯(lián)考）直線經過點，在軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍為（）A． B．C． D．【變式2】（2025河南鄭州高二上聯(lián)考）已知直線和以為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為.題型11中心直線系過定點問題【典例】求證:無論m為何值,直線l:y=(m-1)x+2m+1總過第二象限.中心直線系過象限問題實質是中心直線系過定點問題，即要證中心直線系過哪個象限，只需證明中心直線系所過的定點在該象限內.【變式1】已知直線l:y=ax-15a+(1)求證:無論a為何值,直線l總經過第一象限;(2)為使直線不經過第二象限,求a的取值范圍.【變式2】（24-25高二下·上海寶山·期末）已知直線.(1)證明：對任意實數(shù)，直線都經過一個定點；(2)若直線在軸、軸上截距相等，求直線的方程.題型12與直線有關的數(shù)學文化題【典例】（24-25高二上·湖南長沙·期中）瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為“歐拉線”.已知的頂點，，，則的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．與直線有關的數(shù)學文化題常以新定義的形式出現(xiàn)，求解的關鍵是認真審題，讀懂新定義，再利用新的信息解決問題.【變式】（24-25高二下·甘肅嘉峪關·開學考試）數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知的頂點，，，則的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．題型13直線方程在實際生活中的應用【典例】如圖,某小區(qū)內有一塊荒地ABCDE,現(xiàn)欲在該荒地上劃出一塊長方形地面(不改變方位)進行開發(fā),問如何設計才能使開發(fā)部分的面積最大?最大面積是多少?(已知BC=210m,CD=240m,DE=300m,EA=180m)坐標法解決直線方程的實際應用問題的基本步驟(1)認真審題,將實際問題轉化為平面幾何問題;(2)建立平面直角坐標系,將平面圖形中的點用坐標表示、直線用方程表示.(3)借助方程及直線間的位置關系解決問題.【變式1】（24-25高二上·河北保定·期中）一條光線從點射出，經過直線反射后與軸相交于點，則入射光線所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【變式2】在路邊安裝路燈,路寬23m,燈桿長2.5m,且與燈柱成120°角.路燈采用錐形燈罩,燈罩軸線與燈桿垂直.當燈柱高h約為多少時,燈罩軸線正好與道路路面的中線相交?(精確到0.01m)單選題1．（24-25高二上·湖南懷化·期末）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·廣東清遠·階段練習）直線的斜率為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·浙江臺州·期末）已知直線的一般式方程為，則（

）A．直線的截距式方程為B．直線的截距式方程為C．直線的斜截式方程為D．直線的斜截式方程為4．（24-25高二上·山東聊城·階段練習）若直線經過第一、二、四象限，則有（

）A．， B．，C．， D．，5．（24-25高二上·廣東陽江·階段練習）已知直線，則l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·云南·期中）數(shù)學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點為、、，則其歐拉線的一般式方程為（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·河北保定·開學考試）已知為非零實數(shù)，且滿足，則一次函數(shù)的圖象一定經過第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四8．（24-25高二上·山西·階段練習）直線