27/28專題2.3直線與圓的位置關系教學目標1．能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關系2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題3．掌握圓與圓的位置關系及判定方法.4．能綜合應用圓與圓的位置關系解決問題.教學重難點1.重點(1)判斷直線與圓的位置關系；(2)圓的切線問題及弦長問題．2.難點(1)解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題;(2)區(qū)分過一點與在一點處的切線方程．知識點01直線與圓的位置關系（重點）1.直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系的圖形表示直線與圓的位置關系2.直線與圓的位置關系的判斷方法（1）幾何法（優(yōu)先推薦）圖象位置關系相交相切相離判定方法；.圓心到直線的距離：.直線與圓相交.；.圓心到直線的距離：.；.圓心到直線的距離：.（2）代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關于“”的一元二次函數(shù)①直線與圓相交；②；③.【知識剖析】比較兩種方法，幾何法避免了繁瑣的計算，并與初中學過的平面幾何知識有機地聯(lián)系起來，是更常用的方法.【即學即練】1．（2025·北京大興·三模）已知直線：與圓：，則（

）A．與相離 B．與相切C．平分 D．與相交但不平分2．（23-24高二上·陜西西安·期中）如果，那么直線與圓的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交或相切知識點02直線與圓相交的弦長問題（拓展）設直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，圓C的半徑為r，圓心到直線的距離為d，弦長為l，則可得圓的弦長公式為.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設交點坐標分別為A,B.

①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.

②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關系可得或的關系式，則可得弦長公式：，或.【即學即練】1．（24-25高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）已知直線x+y=0與圓C:(x?4)2+y2=11相交于A．2113 B．26 C．22．（24-25高二下·上海奉賢·期末）已知直線與圓相交于、兩點，則.知識點03圓的切線問題（拓展）1．自一點引線圓的切線條數(shù)=1\*GB2⑴若點在圓外，則過此點可以作圓的切線;=2\*GB2⑵若點在圓上，則過此點可以作圓的切線;=3\*GB2⑶若點在圓內，則過此點不能作圓的切線.2.切線長公式記圓:；過圓外一點做圓的切線，切點為,利用勾股定理求；.3.切線方程的幾個重要結論已知圓方程為:,若已知切點在圓上,則切線只有一條,其方程是:=1\*GB2⑴經(jīng)過圓上一點的切線方程為;=2\*GB2⑵經(jīng)過圓上一點的切線方程為；=3\*GB2⑶經(jīng)過圓上一點的切線方程為.(4)過圓外一點引圓(標準方程,一般方程)的切線長為一般方程(標準方程)【即學即練】1．（24-25高二上·云南臨滄·月考）過點作圓的切線，則的斜率為（

）A．0 B． C．0或 D．0或2．（24-25高二下·上海閔行·期末）已知點在圓上，則過點M的圓C的切線方程為．知識點04解與圓有關的最值問題（拓展）1.用圓的幾何性質求最值

求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

(1)如圖①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為|AD|=其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；

(2)如圖②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為|AD|=；

(3)如圖③，當直線l與圓C相離時，最小距離為|BD|=，最大距離為|AD|=.r.2.利用直線與圓的位置關系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標——函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)關系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.

(1)形如u=的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.(2)形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.

(3)形如的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.

(3)經(jīng)過圓內一點的最長弦就是經(jīng)過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.題型01直線與圓的位置關系的判斷【典例】（24-25高二上·湖南·期末）直線與圓的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定直線與圓的位置關系的判斷方法(1)代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.(2)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當d<r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d>r時，直線與圓相離.【變式1-1】（24-25高二下·湖南婁底·期中）已知直線和圓，則直線與圓的位置關系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相交或相切【變式1-2】（2025高二·全國·專題練習）已知直線與圓，點，則下列說法錯誤的是（

）A．若點在圓上，則直線與圓相切B．若點在圓內，則直線與圓相離C．若點在圓外，則直線與圓相離D．若點在直線上，則直線與圓相切【變式1-3】（24-25高二下·云南昆明·階段練習）已知圓，直線，則直線與圓的公共點個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．與有關，不能確定題型02由直線與圓的位置關系求參【典例】（2025·浙江·模擬預測）已知圓，則“點在圓外”是“直線與圓相交”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解方程或不等式破解直線與圓的位置關系中的含參問題由直線與圓的位置關系求參數(shù)的值或取值范圍時，常利用幾何法構造關于參數(shù)的方程或不等式，通過解方程或不等式得到所得的結果.【變式2-1】（24-25高三下·重慶·階段練習）設集合，，若只含一個元素，則（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2025·北京·模擬預測）“”是“直線與圓相交”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件題型03圓的切線問題【典例3-1】（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．6【典例3-2】（24-25高二上·天津·期末）已知圓C直線l過點，若直線l與圓C相切，則直線l的方程為.圓的切線問題求解策略(1)當一條直線l與圓C相切時，毫無疑問地要用到圓心C到直線l的距離d=r(r為圓C的半徑).(2)當一條直線l與圓C相切于點P時，則lPC.(3)過圓外一點P向圓C作切線，切點為Q，則必定會用到.【變式3-1】（24-25高二上·遼寧沈陽·月考）過點作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（24-25高三下·上海·階段練習）已知為圓上一點，過點的圓的切線的方程為.【變式3-3】（24-25高二下·上?！て谥校┻^點與圓相切的兩條直線的夾角為，則．題型04圓的切線長、切點弦問題【典例4-1】（2024高二·全國·專題練習）已知圓外一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為和，則直線的方程為.【典例4-2】（24-25高二上·浙江金華·期末）點P為直線上一動點，過點P作圓的切線，切點為Q，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2圓的切線長、切點弦問題求解策略（1）切線長公式：過圓外一點引圓(標準方程,一般方程)的切線長為一般方程(標準方程)（2）切點弦所在直線方程：若點在圓外，過點引圓的兩條切線，切點為，則切點弦(兩切點的連線段)所在直線的方程為（圓的方程為），代入即可的直線的方程.【變式4-1】（2025·重慶·三模）過圓O：外的點作O的一條切線，切點為M，則（

）A．2 B． C． D．4【變式4-2】（24-25高二上·江蘇南京·期中）已知圓，是x軸上動點，分別是圓的切線，切點分別為兩點，則直線恒過定點．【變式4-3】（2025高二·全國·專題練習）已知圓，直線過點.(1)若直線與圓相切，求直線的方程；(2)當直線的斜率存在且與圓相切于點時，求.【變式4-4】（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知的三個頂點分別為，，，直線經(jīng)過點.(1)求外接圓的標準方程；(2)若直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程；(3)若是圓上的兩個動點，當最大時，求直線的方程.題型05求圓的弦長【典例】（24-25高二上·江蘇揚州·期末）已知直線l:x+ay?a?1=0，a∈R與圓C:x?22+y2=4交于A，A．2 B．2 C．22 圓的弦長問題求解策略當直線與圓相交時，因幾何法求弦長較方便，一般不用代數(shù)法.用幾何法求解圓的弦長的一般步驟：第一步：確定圓的半徑r；第二步：求解圓心到直線的距離d；第三步：代入公式求解弦長.【變式5.1】（24-25高二上·貴州黔西·期末）求直線l:3x?y?6=0被圓C:x2+y2A．10 B．5 C．102 D．【變式5.2】（24-25高三上·河北·期末）已知圓x2+y2?2x+2y?10=0A．2 B．22 C．23【變式5-3】（24-25高二下·上海虹口·期末）已知圓經(jīng)過點，且圓心為．(1)求圓的標準方程；(2)若直線經(jīng)過兩點，且與圓相交于點，求線段的長．題型06由圓的弦長求參【典例】（24-25高二下·云南·期中）已知直線與圓交于A、B兩點，若，則a的值是（

）A． B． C． D．由圓的弦長求參問題求解策略利用幾何法得到圓的弦長、弦心距、半徑三者之間的關系，從而構造關于參數(shù)的方程并解之.【變式6-1】（24-25高二上·貴州六盤水·期末）已知直線y=x+m被圓x2+y2+2x?15=0截得的弦長為42，則A．?1或3 B．2 C．?3或5 D．4【變式6-2】（24-25高二上·山東·階段練習）直線3x?4y+10=0與以點C(?1,?2)為圓心的圓相交于A，B兩點，且|AB|=8，則圓C的方程為（

）A．(x+1)2+(y+2)C．(x+1)2+(y+2)【變式6.3】（24-25高二上·河南濮陽·期中）已知直線l經(jīng)過點P2,1，且與圓C：x+12+y?22=9相交于A，B兩點，若A．x?y?1=0或7x+y?15=0 B．x?2y=0或7x+y?15=0C．4x+3y?11=0或3x+4y?10=0 D．4x?3y?5=0或3x?4y?2=0題型07圓的中點弦問題【典例】已知圓內一點，求以為中點的弦所在的直線方程．解決圓的中點弦問題的三種策略(1)利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求出中點坐標；(2)設出弦的兩個端點的兩個坐標，代入圓的方程利用作差法求出斜率，此即為點差法；(3)利用圓本身的幾何性質，即圓心與弦中點所連直線與弦垂直求出斜率.【變式7-1】（2024·廣西·模擬預測）已知，分別為軸、軸上的動點，若以線段為直徑的圓過點，則線段的中點的軌跡方程為（

）.A． B．C． D．【變式7-2】（2023·四川綿陽·模擬預測）已知EF是圓的一條弦，且，P是EF的中點，當弦EF在圓C上運動時，直線上存在兩點A，B，使得恒成立，則線段AB長度的最小值是（

）A． B．C． D．【變式7-3】（24-25高二上·江蘇鹽城·期末）已知圓．(1)若一直線被圓C所截得的弦的中點為，求該直線的方程；(2)設不過圓心的直線與圓C交于A，B兩點，把的面積S表示為m的函數(shù)，并求S的最大值．題型08直線與部分圓的交點問題【典例】（24-25高二上·山東濟南·期中）若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．破解直線與部分圓的交點問題的具體策略一條直線和一個圓的一部分有交點時，如果用代數(shù)法去研究，則要轉化為一元二次方程根的取值情況，過程比較繁瑣，因此這類問題一般采用數(shù)形結合的方法去研究，研究應抓住兩類直線：一是切線；二是過端點的直線.【變式8-1】（24-25高二上·江西吉安·月考）直線與曲線恰有1個交點，則實數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【變式8-2】（24-25高二上·山東濟南·期中）若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式8-3】（24-25高二上·福建泉州·期中）若直線與曲線至少有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型09與圓有關的最值問題【典例9-1】（24-25高二上·廣東廣州·期中）已知圓，直線，點在直線上運動，直線分別與圓相切于點，則四邊形的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【典例9-2】已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上.(1)求yx(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值與最小值.解直線與圓的最值問題的兩大絕技(1)代數(shù)法：利用平面幾何中的有關公式，構造函數(shù)，把問題轉化為函數(shù)的最值，然后根據(jù)函數(shù)最值的求法進行求解.在轉化過程中常用到向量的數(shù)量積、一元二次方程根與系數(shù)的關系、換元等知識和方法.(2)幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的位置變化情況，找到最大、最小取值點.【變式9-1】（24-25高二上·江蘇南京·月考）已知圓C：，直線l：．則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（

）A． B． C． D．【變式9-2】（24-25高二下·河南周口·月考）已知直線與圓交于兩點，設弦的中點為，為坐標原點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式9-3】(多選)實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋2x＝0，則下列關于yx－1的判斷正確的是 A.yx－1B.yx－C.yx－1D.yx－題型10圓與光反射問題的綜合【典例】（24-25高二上·安徽馬鞍山·期末）從點射出的一束光線在軸上反射后與圓相切，則反射光線所在直線的方程為（

）A． B．C． D．光反射問題實質是對稱問題的一種，一般考慮點關于某直線對稱.【變式10-1】（2025·北京西城·一模）在平面直角坐標系中，若從點發(fā)出的光線經(jīng)過點，且被軸反射后將圓平分，則實數(shù)（

）A． B．C． D．【變式10-3】（24-25高二上·新疆博爾塔拉·期末）已知圓C的圓心在直線上，且經(jīng)過點和點．(1)求圓C的標準方程；(2)一條光線從點射出，經(jīng)x軸反射后，與圓C相切，求反射后的光線所在直線的方程．題型11直線與圓相交時，求過交點的圓的方程【典例】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知圓.(1)求過點且與圓相切的直線方程;(2)求經(jīng)過直線與圓的交點,且面積最小的圓的方程.兩招搞定過直線與圓的交點的圓的方程第一招：解方程組法，即聯(lián)立直線與圓的方程，通過解方程組求出交點坐標，再根據(jù)交點坐標求圓的方程；第二招：圓系方程法，即設出圓系方程，再借助已知條件求出圓系方程中的參數(shù).一般地，過直線與圓與交點的圓系方程為(為參數(shù)).【變式11-1】（24-25高一上·陜西西安·聯(lián)考）經(jīng)過直線與圓的交點，且經(jīng)過點的圓的方程為.【變式11-2】（24-25高二上·江蘇無錫·期中）已知一個圓經(jīng)過直線與圓的兩個交點，并且面積有最小值，求此圓的方程．題型12直線與圓的實際應用【典例】（24-25高二上·廣東梅州·期中）某公園有一形狀可抽象為圓柱的標志性景觀建筑物，該建筑物底面直徑為8米，在其南面有一條東西走向的觀景直道，建筑物的東西兩側有與觀景直道平行的兩段輔道，觀景直道與輔道距離10米.在建筑物底面中心的東北方向米的點處，有一全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物的高度.(1)在西輔道上距離建筑物地面中心0距離5米處的游客，是否在該攝像頭的監(jiān)控范圍內?(2)求觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內的長度.坐標法解決圓的實際應用問題用坐標法解決圓的實際問題時應注意以下幾點：(1)應在利于解題的原則下建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，不可隨便建立；(2)在實際問題中，有些量具有一定的限制條件，轉化成代數(shù)問題時要注意取值范圍；(3)靈活運用圓的方程和性質、直線與圓的位置關系等知識解決數(shù)學問題；(4)最后一定要將代數(shù)結果轉化成幾何結論.【變式12-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如圖，已知一艘停在海面上的海監(jiān)船上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一艘輪船從位于海監(jiān)船正東的處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北的處島嶼，速度為．這艘輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測到的時長為（

）A．1小時 B．0.75小時 C．0.5小時 D．0.25小時【變式12-2】如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O為坐標原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標系．圓C經(jīng)過O，A，B(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險?題型13利用設而不求思想解決直線與圓相交問題【典例】（24-25高二上·安徽·階段練習）已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點.過定點的動直線與圓交于，兩點，為坐標原點.(1)求圓的標準方程；(2)求的最大值.代數(shù)法破解直線與圓的綜合問題直線與圓的綜合問題一直是高考熱點，常常考查直線與圓的位置關系，定點、定值問題，解決這類問題首先考慮幾何法，當不能用幾何法求解時，通常將直線方程代入圓的方程消去y（也可以消去x），得到一個關于變量x(或變量y)的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關系或弦長公式進行求解.【變式13-1】（2025·山東·二模）直線與圓交于兩點，，則為（

）A． B． C． D．【變式13-2】（24-25高三上·山東泰安·階段練習）現(xiàn)定義：若圓上一動點，圓外一定點，滿足的最大值為其最小值的兩倍，則稱為圓的“上進點”.若點同時是圓和圓的“上進點”，則稱為圓“”的“牽連點”.已知圓.(1)若點為圓的“上進點”，求點的軌跡方程并說明軌跡的形狀；(2)已知圓，且均為圓“”的“牽連點”.（i）求直線的方程；（ii）若圓是以線段為直徑的圓，直線與交于兩點，探究當不斷變化時，在軸上是否存在一點，使得軸平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.一、單選題1．（2025·陜西西安·模擬預測）直線與圓的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定的2．（23-24高二上·北京·期中）以點為圓心，且與直線相切的圓的方程為（

）A．B．C．D．3．（24-25高二上·貴州六盤水·期末）已知直線被圓截得的弦長為，則（

）A．或3 B．2 C．或5 D．44．（24-25高二下·河南新鄉(xiāng)·階段練習）設一個圓心在直線上的圓與兩條坐標軸均相切，則這個圓的半徑為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．2或5．（24-25高二上·四川綿陽·期中）已知圓，過原點作圓的弦，則的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．（2024高二·全國·專題練習）若直線與交于兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二下·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知是曲線上一動點，若滿足的點恰有2個，則實數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．3

8．（24-25高二下·安徽安慶·月考）若是直線上一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（

）