27/28專題2.4圓與圓的位置關(guān)系教學目標1.能根據(jù)兩圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.2.能利用兩圓的位置關(guān)系解決一些相關(guān)問題.教學重難點1.重點(1)判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)解決兩圓的公共弦及兩圓的公切線問題2.難點(1)求兩圓的公切線長；(2)由兩圓位置關(guān)系求參．知識點01圓與圓的位置關(guān)系（重點）1.圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.其中，外離與內(nèi)含統(tǒng)稱為，外切與內(nèi)含統(tǒng)稱為2.圓與圓的位置關(guān)系的判斷（1）幾何法若兩圓的半徑分別為，，兩圓連心線的長為d．位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示交點個數(shù)01210d與，的關(guān)系2.代數(shù)法設圓:，圓:聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次方程，求出其=1\*GB2⑴圓與圓；=2\*GB2⑵圓與圓；=3\*GB2⑶圓與圓.【知識剖析】比較兩種方法，幾何法避免了繁瑣的計算，并與初中學過的平面幾何知識有機地聯(lián)系起來，是更常用的方法.【即學即練】1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．外離 D．相交2．（24-25高二上·陜西西安·期末）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切知識點02兩圓的公切線（拓展）兩圓的公切線是指與兩圓都相切的直線,可分為外公切線和內(nèi)公切線.兩圓的公切線有如圖所示的5種情況:(1)外離時,有公切線,分別是外公切線,內(nèi)公切線;(2)外切時,有公切線,分別是外公切線,內(nèi)公切線;(3)相交時,有公切線,都是外公切線;(4)內(nèi)切時,有公切線;(5)內(nèi)含時,公切線.【即學即練】1．（2025·山東·模擬預測）已知圓與圓有三條公切線，則（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖北孝感·期末）圓與圓的公切線共有條知識點03兩圓的公共弦（拓展）1.兩圓公共弦所在的直線方程兩圓相交時,有一條公共弦,如圖所示,設圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.②①-②,得.③若圓C1與圓C2相交,則③為直線方程,設P(x0,y0)為圓C1與圓C2的交點,則點P(x0,y0)滿足x02+y02+D1x0+E1y0+F1=0和x02+y02+D2x0+E2y0+F2=0,所以(D1-D2)x0+(E1-E即點P(x0,y0)滿足直線方程,故P(x0,y0)在③所對應的直線上,③表示過兩圓C1與C2交點的直線,即公共弦所在直線的方程.【即學即練】1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）圓與圓的公共弦所在直線的方程為（

）A． B． C． D．2．已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0與圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,則兩圓的公共弦所在的直線方程為.知識點04常見的圓系方程（拓展）常見的圓系方程1、同心圓圓系(1)以為圓心的同心圓圓系方程:;(2)與圓同心圓的圓系方程為:;2、過線圓交點的圓系過直線與圓交點的圓系方程為:__________________________;3、過兩圓交點的圓系過兩圓交點的圓系方程為,此圓系不含).【知識剖析】(1)對于過兩圓交點的圓系方程，當時,上述方程為一次方程,兩圓相交時,表示公共弦方程;兩圓相切時,表示公切線方程.(2)為了避免利用上述圓系方程時討論圓過,可等價轉(zhuǎn)化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:.【即學即練】1．（2024高二·全國·專題練習）過圓：和圓：的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．C． D．題型01圓與圓的位置關(guān)系的判斷【典例1】（24-25高二下·廣西南寧·月考）已知圓.動點在直線上運動，現(xiàn)以點為圓心半徑為作圓記為，則圓與圓的位置為（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)含 D．相交或相切判斷圓與圓的位置關(guān)系的一般步驟（1）將兩圓的方程化為標準方程(若圓的方程已是標準形式，此步驟不需要);（2）分別求出兩圓的圓心坐標和半徑；（3）求兩圓的圓心距d；（4）比較d與的大小關(guān)系；（5）根據(jù)大小關(guān)系確定位置關(guān)系.【變式1-1】（24-25高二上·浙江·月考）已知圓，則以下選項中與圓內(nèi)切的圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式1-2】（24-25高二下·上?！て谥校﹫A與圓的位置關(guān)系不可能為（）A．相切 B．相交 C．內(nèi)含 D．外離題型02由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【典例2-1】（24-25高二上·北京豐臺·期末）已知圓與圓外切，則（

）A． B． C．7 D．13【典例2-2】（24-25高二上·貴州黔南·月考）已知圓與圓外離，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的策略根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，利用圓心距與半徑的和或差的絕對值的大小關(guān)系列出關(guān)系式，求出參數(shù)的值或取值范圍，注意相切和相離均包括兩種情況.【變式2-1】（24-25高二上·貴州畢節(jié)·期末）已知圓：，圓：，如果這兩個圓有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（24-25高二上·江蘇常州·期中）若圓上總存在兩點到點的距離等于3，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型03由兩圓的位置關(guān)系求圓的方程【典例】求與圓C1:(x-2)2+(y+1)2=4相切于點A(4,-1),且半徑為1的圓C2的方程.由兩圓的位置關(guān)系求圓的方程的具體策略這類問題主要有兩種題型：一是兩圓相切時已知其中一個圓的方程求另一個圓的方程，此時要注意兩圓是內(nèi)切還是外切;二是求過兩圓交點的圓的方程，這類問題可直接求出兩圓交點，再借助圓的幾何性質(zhì)求解，也可借助圓系方程巧解.【變式3-1】（24-25高二上·重慶·階段練習）寫出一個半徑為，且與圓：及直線：都相切的圓的方程只需寫出符合條件的一個方程即可【變式3-2】（2025高三·全國·專題練習）已知圓的方程為，試寫出一個圓心在原點且與圓相切的圓的方程為．（寫出一個即可，若寫出多個答案，以第一個答案判分）【變式3-3】（24-25高二上·江蘇無錫·階段練習）寫出一個同時滿足下列條件①②的圓的方程：.①與圓相切，②與x軸相切.【變式3-4】（24-25高二上·陜西榆林·期末）已知圓.(1)若直線過點，且與圓相切，求直線的方程；(2)若圓的半徑為3，圓心在直線上，且與圓外切，求圓的方程.題型04兩圓的公共弦問題【典例】（24-25高三下·黑龍江·階段練習）圓與的公共弦長為（

）A． B． C． D．4解決兩圓公共弦問題的一般步驟第一步：判斷兩圓有沒有公共弦；第二步：如果存在公共弦，那么只需要將兩圓的方程相減，即可求得公共弦所在直線的方程；第三步：求出其中一個圓的圓心到公共弦的距離；第四步：利用勾股定理求出公共弦長.【變式4-1】（24-25高二上·廣東東莞·期中）已知圓與圓相交于A，B兩點，則兩圓公共弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式4-2】（24-25高二上·陜西咸陽·期末）已知圓與圓交于、兩點，則（

）A． B． C． D．【變式4-3】（24-25高二上·黑龍江·期中）已知圓，點，若直線，分別切圓于，兩點，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式4-4】（24-25高二上·甘肅蘭州·期末）已知圓與圓相交于兩點，則的面積為（

）A． B． C． D．題型05公切線的條數(shù)問題【典例5-1】（24-25高二上·江蘇無錫·期中）圓與圓的公切線條數(shù)是（

）A． B． C． D．【典例5-2】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知圓：與圓：，若圓與圓有且僅有一條公切線，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．由位置關(guān)系確定兩圓公切線的條數(shù)先判斷兩圓的位置關(guān)系，再由位置關(guān)系確定兩圓公切線的條數(shù),當兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時，它們的公切線條數(shù)分別為：4條，3條，2條，1條，0條.【變式5-1】（24-25高二上·山東·期中）圓：與圓：的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-2】（24-25高二下·福建福州·月考）已知圓：與圓：有兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【變式5-3】（24-25高二上·安徽·月考）與點的距離為2，且與點的距離為1的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式5-4】（24-25高二上·重慶·期中）若圓與圓有公切線，則實數(shù)的范圍是（

）A． B．C． D．題型06求公切線方程及長度【典例】（24-25高二上·湖南·月考）圓：與圓：的內(nèi)公切線長為（

）A．3 B．5 C． D．4兩圓的公切線方程及公切線長求解策略(1)求兩圓公切線方程的方法：設出兩圓公切線方程，再利用兩圓圓心到公切線的距離各等于相應圓的半徑.(2)外公切線長公式：外公切線長（d為圓心距，分別為兩圓的半徑.(3)內(nèi)公切線長公式：內(nèi)公切線長（d為圓心距，分別為兩圓的半徑.【變式6-1】（24-25高二上·廣西南寧·期中）已知圓，圓，則兩圓公切線的方程為.【變式6-2】（2024·河南·模擬預測）已知圓，圓，直線分別與圓和圓切于兩點，則線段的長度為．【變式6-3】（24-25高二上·湖南·期中）寫出與圓和圓都相切的一條直線方程.題型07圓系方程的應用【典例】（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圓C：．(1)求過點且與圓C相切的直線方程；(2)求圓心在直線上，并且經(jīng)過圓C與圓Q：的交點的圓的方程．圓系方程的應用策略求過兩圓交點的圓的方程，一般用代數(shù)法，即先求出兩圓的交點，再利用圓的幾何性質(zhì)確定圓心的坐標和半徑；也可由題意設出所求圓的方程，再根據(jù)條件建立方程組，最后求出圓的方程，或直接用圓系方程求解，這樣會使運算簡捷.【變式7-1】（23-24高二下·全國·課堂例題）圓經(jīng)過點，且經(jīng)過兩圓和圓的交點，則圓的方程為．【變式7-2】已知圓C1:x2+y2-x+y-2=0和圓C2:x2+y2=5.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程,并求出公共弦長;(2)求過圓C1和圓C2的交點,且圓心在直線3x+4y-1=0上的圓的方程.題型08動圓圓心的軌跡問題【典例】（2024·甘肅張掖·一模）已知圓，半徑為3的圓與圓外切，則點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．求動圓圓心的軌跡方程求動圓圓心軌跡方程的方法,即設圓心坐標為(x,y),利用兩圓相切的幾何性質(zhì),及兩點間距離公式得到x,y之間的關(guān)系.在化簡時,要注意結(jié)合圖形確定方程中自變量x的取值范圍.【變式8-1】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知半徑為1的動圓與圓相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A．B．或C．D．或【變式8-2】（2025·江蘇·高二開學考試）若圓C1:x2+y2A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．AB中點的軌跡方程為xD．AB中點的軌跡方程為x題型09圓與圓的位置關(guān)系與其他知識的交匯【典例】（23-24高二上·浙江·期中）已知圓與圓，則“”是“圓與圓外切”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件兩圓位置關(guān)系與其他知識的交匯兩圓的位置關(guān)系常與集合、充分性與必要性交匯，考查集合運算或充分性、必要性的判斷，對于這類題型，要注意各個擊破的策略，即分別利用圓的知識和集合、邏輯知識進行作答.【變式9-1】（2025·浙江臺州·高二期中聯(lián)考）設m∈R，已知圓和圓：，則“”是“圓C1和圓C2相交”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式9-2】（23-24高三上·全國·階段練習）“或”是“圓與圓存在公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型10兩圓位置關(guān)系的新定義題【典例】（多選）（24-25高二上·福建廈門·期中）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系中，已知，，點滿足，設點的軌跡為圓，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的方程是B．的取值范圍為C．圓與圓有四條公切線D．過點A作直線，若圓上恰有三個點到直線距離為，該直線斜率為與兩圓位置關(guān)系有關(guān)的新定義題破解策略求解兩圓位置關(guān)系新定義題，需精讀定義，轉(zhuǎn)化為數(shù)學式；對比傳統(tǒng)關(guān)系，借助圖形輔助，分類討論、代入驗證，留意隱含條件.【變式10-1】（24-25高二上·江蘇無錫·期中）“晚旁”徽標是借兩個圓設計而成，其狀如月（如圖陰影部分）．已知圓，，其中．為圓與圓的交點，若弦將圓分為長度之比為1:2的兩段弧，則組成“晚旁”的兩段弧長之比為．（請寫出長度較小的弧與長度較長的弧的長度之比，即該比值小于1．）

【變式10-2】（24-25高二下·上海寶山·階段練習）如圖是用個圓構(gòu)成“卡通鼠”的形象，點是圓的圓心，圓過坐標原點；點、均在軸上，圓與圓的半徑都等于，圓、圓均與圓外切．

(1)求圓心與圓心的坐標；(2)已知直線過點若直線截圓、圓、圓所得弦長均等于，求出的值.一、單選題1．（24-25高二上·四川成都·月考）若圓與圓相交于、，則所在直線方程是（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·上?！て谥校﹫A與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切3．（24-25高二下·河北石家莊·開學考試）已知圓，圓，則這兩個圓的公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（24-25高二上·重慶榮昌·期中）已知圓與圓有且僅有一條公共切線，則實數(shù)的值為（

）A．3 B．2 C．2或-1 D．3或5．（2025·浙江·三模）若圓與圓（a，）有且僅有一條公切線，則從點到圓的切線長為（

）A．1 B． C． D．26．（2025·山東煙臺·三模）若圓與圓交于M，N兩點，則四邊形的面積為（

）．A．5 B． C． D．107．（24-25高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）已知為坐標原點，.若動點滿足，則正數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．8．（23-24高二上·河北石家莊·期中）若直線與圓及圓共有3個公共點，則所有符合條件的a的和為（

）A．0 B． C． D．二、多選題9．（2025·廣西河池·二模）已知圓方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的取值范圍為B．若已知在圓內(nèi)，則C．若，則直線與圓相離D．若，圓關(guān)于直線對稱的圓方程為10．（24-25高二上·江蘇揚州·期末）已知圓與圓，下列選項正確的有（

）A．若，則兩圓外切B．若，則直線為兩圓的一條公切線C．若，則兩圓公共弦所在直線的方程為D．若，則兩圓公共弦的長度為11．（24-25高二上·四川樂山·期末）已知