31/31專題3.1拋物線及其標準方程教學(xué)目標1.經(jīng)歷從具體情景中抽象出拋物線的過程2.掌握拋物線的定義3.掌握拋物線的標準方程和推導(dǎo)過程，會求簡單的拋物線的標準方程教學(xué)重難點1.重點(1)求拋物線的標準方程；(2)拋物線的標準方程的應(yīng)用．2.難點(1)推導(dǎo)拋物線的標準方程；(2)與拋物線有關(guān)的最值問題．知識點01拋物線的定義（重點）拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．定點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．2、拋物線集合表示：P=M【知識剖析】（1）定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．（2）拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的等價性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實質(zhì)．【即學(xué)即練】1．（25高二上·貴州黔西·月考）已知拋物線，則拋物線C的焦點到準線的距離是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】B【解析】由拋物線可得，所以，，故拋物線C的焦點到準線的距離是．故選：B．知識點02拋物線的標準方程（難點）拋物線四種標準方程標準方程圖形焦點坐標準線方程離心率通徑長【知識剖析】（1）標準方程的特征：等號的一邊是某個變量的平方，等號的另一邊是另一個變量的一次單項式．（2）拋物線標準方程中參數(shù)p的幾何意義：拋物線的焦點到準線的距離（焦準距），所以p的值恒大于0．（3）若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向左);（4）若一次項的字母是,則焦點就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負的,焦點就在軸的負半軸上(開口向下).（5）方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向．p的值決定開口大小，p越大，則拋物線開口越大；p越小，則拋物線開口越小．（6）拋物線雖然是不封閉圖形，但與雙曲線不同，它沒有漸近線．【即學(xué)即練】1．（24-25高二下·北京東城·期中）已知拋物線的準線方程為，則該拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為拋物線的準線方程為，所以，解得，則該拋物線的標準方程為，故D正確.故選：D知識點03拋物線的焦半徑公式1．焦半徑的定義設(shè)拋物線上一點，焦點為，準線為，則線段叫做拋物線的焦半徑，過點作準線的垂線段，由拋物線的定義可知，．2．用坐標表示焦半徑公式（1）拋物線，（2）拋物線，．（3）拋物線，（4）拋物線，．注：①．②利用焦半徑公式，我們可以把拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，解題時方便快捷．【即學(xué)即練】1．（24-25高二上·陜西咸陽·期末）若拋物線上一點到焦點的距離與到軸的距離之差為1，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】設(shè)，根據(jù)拋物線定義可知，，又點到焦點的距離與到軸的距離之差為1，則，解得.故選：B題型01拋物線的定義及應(yīng)用【典例1】（24-25高二下·廣東·開學(xué)考試）拋物線的焦點為F，是拋物線C上一點，且，則焦點F到坐標原點O的距離是（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義，列出關(guān)于p的式子，即可求得結(jié)果.【解析】由題意可得，解得，則焦點F到坐標原點O的距離是2.故選：B拋物線的定義及應(yīng)用策略利用拋物線的定義往往能實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與它到準線間的距離的靈活轉(zhuǎn)化，因而拋物線的定義常用于求焦半徑的長、點到準線或坐標軸的距離以及求與焦點相關(guān)的距離的最值問題等..【變式1-1】（23-24高二下·江蘇南京·月考）已知拋物線的焦點為F，準線為l，點A在拋物線C上，點B在準線l上，若是邊長為2的等邊三角形，則的值是（

）.A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用拋物線定義可知，再由等邊三角形的邊長為2即可求得.【解析】根據(jù)題意，易知，由拋物線定義可得，設(shè)準線與l的交點為，如下圖所示：

因此與平行，又是邊長為2的等邊三角形，所以，即,可得，即.故選：A【變式1-2】（24-25高二上·天津東麗·月考）已知拋物線的焦點為為坐標原點，點在拋物線上，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)焦半徑，以及銳角三角函數(shù)即可求解.【解析】過作垂直拋物線的準線，垂足為，過作于點，由于，則，故,進而，故.故選：A

【變式1-3】（24-25高二上·山西晉城·期中）已知點是拋物線：（）上一點，若點到拋物線焦點的距離為10，且點到軸的距離為6，則．【答案】2或18【分析】由拋物線的定義求得坐標，代入拋物線方程即可求解.【解析】由題意，，則．又點在拋物線上，所以，將和代入可得，解得或18．題型02拋物線的焦點與準線【典例2】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）求下列拋物線的焦點坐標和準線方程，并畫出草圖.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)，，草圖見解析(2)，，草圖見解析(3)，，草圖見解析(4)，，草圖見解析【分析】根據(jù)拋物線的方程，即可得焦點坐標以及準線方程，進而作出圖形.【解析】（1）的焦點坐標為，準線方程為，如圖：

（2）即，它的焦點坐標為，準線方程為，如圖：

（3）的焦點坐標為，準線方程為，如圖：

（4）即，它的焦點坐標為，準線方程為，如圖：

求拋物線的焦點坐標與準線方程1．將方程化為“標準形式”，確定p的值；2．根據(jù)開口方向，推導(dǎo)焦點坐標與準線方程【變式2-1】設(shè)，則拋物線的焦點坐標為．【答案】【解析】設(shè)，拋物線，可知焦點在軸上，焦點坐標為.故答案為：．【變式2-2】下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的焦點坐標是B．雙曲線的頂點坐標是C．拋物線的準線方程是D．雙曲線的離心率【答案】BCD【解析】A：在橢圓中，因為，，則，且焦點在軸上，故A錯誤；B：在雙曲線中，，頂點在y軸上，所以雙曲線的頂點為，故B正確；C：拋物線的準線為，故C正確；D：雙曲線中，，則，所以雙曲線的離心率為，故D正確．故選：BCD．【變式2-3】已知曲線，則C為（

）A．一條拋物線和兩條互相平行的直線B．一條拋物線，且該拋物線的焦點坐標為C．一條拋物線，且該拋物線的焦點坐標為D．兩條拋物線，且這兩條拋物線的焦點之間的距離為4【答案】C【解析】因為，且，所以，即，因此C為一條拋物線，且該拋物線的焦點坐標為.故選：C.題型03求拋物線的標準方程【典例3-1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知拋物線以圓的圓心為焦點，則其標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得到圓心為，可得，再利用標準方程的形式，即可求解.【解析】因為的圓心為，所以，得到，又焦點在軸的正半軸上，所以拋物線的標準方程為，故選：D.【典例3-2】（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化簡為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】等式兩邊同時平方，化簡即可.【解析】由，兩邊同時平方有，故選：B.求拋物線的標準方程的常見方法1.待定系數(shù)法：（1）定位置：根據(jù)條件確定拋物線的焦點在哪條坐標軸上及開口方向；（2）設(shè)方程：根據(jù)焦點和開口方向設(shè)出標準方程；（3）尋關(guān)系：根據(jù)已知條件列出關(guān)于參數(shù)p的方程；（4）得方程：解方程，將p代入所設(shè)方程即得所求．2.定義法：先分析題設(shè)條件，判斷出動點的軌跡，然后根據(jù)拋物線的定義確定方程，即“先定型，再定量”。利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題．【變式3-1】（24-25高二上·湖南·期末）若拋物線上一點到其焦點的距離為9，則該拋物線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線的準線方程為，所以點P到焦點的距離為，所以，拋物線的方程為.故選：B.【變式3-2】求適合下列條件的拋物線的標準方程：(1)焦點F關(guān)于準線的對稱點為；(2)關(guān)于y軸對稱，與直線相交所得線段的長為12．【答案】(1)；(2)【分析】（1）可知拋物線焦點在y軸上，設(shè)其方程為，根據(jù)焦點和準線求得，即可得方程；（2）設(shè)拋物線方程為，根據(jù)弦長列式求解即可.【解析】（1）顯然拋物線焦點在y軸上，設(shè)其方程為，焦點，準線，依題意，，解得，所以拋物線的標準方程為.（2）設(shè)拋物線方程為，由，得，于是，解得，即，所以所求拋物線的標準方程為.【變式3-3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由拋物線的標準方程中參數(shù)的幾何意義即可列式求解.【解析】設(shè)拋物線方程為或，依題意知，∴.∴拋物線方程為.故選：C.題型04與拋物線有關(guān)的軌跡問題【典例4】（24-25高二上·浙江寧波·期中）若點到直線和它到點的距離相等，則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，即可得解.【解析】因為點到直線和它到點的距離相等，所以，點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，設(shè)其方程為，則，可得，故點的軌跡方程為.故選：D.利用拋物線的定義求動點的軌跡方程的策略(1)明確核心：確定拋物線的焦點（定點F）與準線（定直線l，F(xiàn)不在l上）；(2)建系設(shè)點：建立直角坐標系，設(shè)軌跡上動點P(x,y)，寫出F的坐標和l的方程；(3)列等量關(guān)系：用距離公式表示|PF|和P到l的距離，令二者相等；(4)化簡檢驗：整理等式得方程，排除不合定義的情況，即為軌跡方程.【變式4-1】（24-25高二上·福建福州·月考）已知動點到點的距離比它到直線的距離大1，則動點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【解析】由題意可知，動點P到點的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義可知，點P在以為焦點，為準線的拋物線上，其軌跡方程為，故選：D【變式4-2】（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知兩點的坐標分別是，直線相交于點，且直線的斜率與直線的斜率的差是，則點的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)，整理即可得解.【解析】設(shè)，則，整理得，所以動點的軌跡方程是.故選：A.【變式4-3】（24-25高二下·湖南長沙·月考）設(shè)，點在軸上，點在軸上，且，當(dāng)點在軸上運動時，點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點，根據(jù)向量關(guān)系及垂直關(guān)系可得點的軌跡方程.【解析】設(shè)點，因為，則為的中點，且點在軸上，所以，則,又，則，，由，故點的軌跡方程為.故選：D.題型05拋物線中線段和差的最值問題【典例5】（24-25高二上·遼寧·期末）已知拋物線的焦點為，P為拋物線上一點，若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)焦點求得拋物線方程，由拋物線的定義結(jié)合圖形即得.【解析】因為拋物線的焦點為，則，得，所以拋物線的方程為，令，則，設(shè)過P作拋物線準線的垂線于點B，可得，則.故點在拋物線內(nèi)部，過點A作拋物線準線的垂線交拋物線于點P，此時取得最小值，最小值為.故選：C.拋物線中線段和與差的最值問題破解策略由拋物線的定義可知，拋物線上的點M到焦點F的距離與M到準線l的距離相等，故與拋物線相關(guān)的距離的最值問題常通過距離的轉(zhuǎn)化來解決.【變式5-1】（24-25高二下·安徽·月考）已知點P是拋物線上任意一點，若點P到拋物線C的準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線方程可得焦點與準線，根據(jù)拋物線定義，結(jié)合圖象，可得答案.【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，過點F作，交直線m于點E，由拋物線的定義可知，，所以當(dāng)P在線段上時，取得最小值，．故選：B.【變式5-2】（24-25高二上·云南大理·開學(xué)考試）已知為拋物線上任意一點，為拋物線的焦點，為圓上任意一點，則的最小值為（

）A．6 B．10 C．4 D．8【答案】D【分析】利用拋物線的定義及點與圓的位置關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合計算最值即可.【解析】如圖，過點作垂直準線于點，連接交于點.由題意可得的準線方程為.因為，所以，當(dāng)三點共線時，取得最小值，最小值為，所以的最小值為.故選：D【變式5-3】（24-25高二下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）設(shè)為拋物線上的動點，關(guān)于的對稱點為，記到直線，的距離分別，，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)拋物線定義可得，再根據(jù)結(jié)論兩點之間線段最短求結(jié)果.【解析】拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，因為為拋物線上的動點，到直線，的距離分別，，所以，，因為關(guān)于的對稱點為，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與拋物線的交點時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與拋物線的交點時等號成立，所以當(dāng)點為線段與拋物線的交點時，取最小值，的最小值為，故答案為：.題型06拋物線在實際問題中的應(yīng)用【典例6】（24-25高二上·陜西渭南·期中）圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號處理中心位于焦點處，以頂點為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系，則焦點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線方程為且，結(jié)合點在拋物線上求參數(shù)，即可得焦點坐標.【解析】由題意，設(shè)拋物線方程為且，顯然點在拋物線上，所以，則，故焦點的坐標為.故選：B求解拋物線應(yīng)用題的五個步驟1．建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担?．假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標準方程；3．計算：通過計算求出拋物線的標準方程；4．求解：求出需要求出的量；5．還原：還原到實際問題中，從而解決實際問題．【變式6-1】（24-25高二上·青海海南·期末）圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面2m，水面寬6m，水面上漲1m后，水面寬度為（

）A． B． C． D．8m【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)拋物線的方程為，將代入拋物線方程解出，再將代入即可求解.【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，則點,設(shè)拋物線的方程為，由點可得，解得，所以,當(dāng)時，，所以水面寬度為．故選：B【變式6-2】（23-24高二上·四川德陽·月考）如圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為10米，拱形最高點與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計劃在拱形橋的焦點處懸掛一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈到水面的距離為（

）（結(jié)果精確到0.01）A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68【答案】A【分析】建立平面直角坐標系，設(shè)拋物線的方程，根據(jù)題意知拋物線經(jīng)過點，把點代入拋物線方程即可求出，根據(jù)豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為，即可求出答案.【解析】如圖，設(shè)拋物線的方程為，拋物線經(jīng)過點，所以，解得，所以拋物線頂點到焦點的距離為，故豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為米.故選：A.【變式6-3】如圖是一座拋物線型拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬時，拱頂距離水面，當(dāng)水面上升后，橋洞內(nèi)水面寬為；

【答案】【解析】以拋物線頂點為原點，對稱軸為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系：

設(shè)拋物線方程為，由題意可得：因為橋洞內(nèi)水面寬時，拱頂距離水面，所以在拋物線上，所以解得，所以拋物線方程為當(dāng)水面上升后，不妨設(shè)由圖可知則，解得，所以，所以當(dāng)水面上升后，橋洞內(nèi)水面寬為.練基礎(chǔ)1．已知拋物線上一點到其焦點的距離為4，則（

）A．3 B． C．6 D．【答案】C【解析】點在拋物線上，拋物線開口向右，，又點到拋物線焦點的距離為4，，.故選：C.2．拋物線的焦點為，點P是拋物線上任意一點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】拋物線的焦點為，準線為，根據(jù)拋物線的定義可知，拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以的最小值也即是到準線的距離的最小值，當(dāng)與原點重合時，到準線的距離最小為，也即是的最小值為.故選：A3．方程可以化簡為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，兩邊同時平方有，故選：B.4．在平面直角坐標系xOy中，為拋物線的焦點，點在上，若軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線，焦點，當(dāng)軸時，，則，解得，即或，如下圖，不妨取，則，所以．故選：D5．設(shè)，，常數(shù)，定義運算“”：，若，則動點的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【答案】D【分析】根據(jù)題干運算定義，推出，從而得到，所以，即，從而根據(jù)點P的軌跡判斷正確選項.【解析】，，，,即．故點P的軌跡為拋物線的一部分．故選：D．6．（多選）當(dāng)實數(shù)變化時，關(guān)于的方程表示的曲線的形狀可能是（

）A．一條直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，由圓錐曲線的定義，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【解析】當(dāng)時，表示軸；當(dāng)時，表示軸；所以A正確；時，方程表示以原點為圓心的單位圓，所以B正確；或時，方程表示雙曲線，所以C正確；且時，方程表示橢圓，故D錯誤．故選：ABC7．（多選）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點為，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．若直線傾斜角為，則C． D．與之間的距離為3【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，求出點的坐標，再逐項分析判斷.【解析】拋物線的焦點為，由軸，，得，直線斜率，直線方程為，由，得，對于A，，，A正確；對于B，，由，，得，B正確；對于C，，C正確；對于D，與之間的距離為，D錯誤.故選：AC8．設(shè)，若拋物線的焦點為坐標原點，則.【答案】/【解析】易知拋物線的焦點坐標為，將拋物線向上或向下平移個單位可得到拋物線，由焦點坐標變?yōu)?，可?故答案為：.9．已知拋物線的焦點為，，是上兩點，若，則.【答案】/0.5【解析】由拋物線，，是上兩點，得，結(jié)合，得，又，則，故，故答案為：10．求適合下列條件的拋物線的標準方程：(1)頂點在原點，準線方程為；(2)頂點在原點，且過點；(3)頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線上.【解析】（1）由題意頂點在原點，準線方程為，可知拋物線焦點在y軸負半軸上，且，故拋物線標準方程為；（2）由題意頂點在原點，且過點，則拋物線焦點可能在y軸正半軸或x軸負半軸上，則設(shè)拋物線標準方程為或，分別將代入，求得，故拋物線標準方程為或；（3）由于直線與x軸的交點為，由題意可知拋物線焦點為，則，故拋物線標準方程為；11．如圖是一座拋物線型拱橋橫截面的示意圖，當(dāng)水面在l時，拱頂O離水面2m，水面寬那么當(dāng)水面下降1m后.(1)水面的寬為多少?(2)求此時橫截面中水面中心A到拋物線上的點距離的最小值.【解析】（1）以頂點O為坐標原點建立如圖所示坐標系，設(shè)方程為，因為在拋物線上，代入得，所以拋物線方程為，令，解得，所以水面的寬為.（2）設(shè)為拋物線上動點，則水面中心到拋物線上的點距離為：，可知當(dāng)時，，故此時水面中心到拋物線上的點距離的最小值為.練提升12．已知過拋物線C：的焦點F的直線l交C于A，B兩點，O為坐標原點，點為C上一點，記的面積分別為，若，則的最小值為（

）A．16 B．20 C．25 D．28【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線方程，設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理、結(jié)合拋物線定義及基本不等式求出最小值.【解析】由點在拋物線C上，得，由，得，解得，拋物線C：的焦點，設(shè)直線l：，，由，得，則，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為25．故選：C13．造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過坐標原點O，且C上的點滿足橫坐標大于，到點的距離與到定直線的距離之積為4，則C在第一象限的點的縱坐標的最大值與1的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)曲線C上任意一點為，由題意求出其方程為：，再取，求，即得答案.【解析】設(shè)曲線C上任意一點為，由題意知，曲線C方程為：，其中，將點代入曲線方程，得：，則.故曲線C方程為：，其中.可得，當(dāng)時，.因此C在第一象限的點的縱坐標的最大值.故選：D.14．（多選）已知拋物線，其焦點為；雙曲線的離心率為，其左、右焦點分別為，已知在第一象限存在公共點，則下列說法正確的是（

）A．曲線的焦點坐標為B．曲線C2的漸近線為C．存在，使得點的橫坐標為10D．若以為直徑的圓與軸相切于點，則【答案】BD【分析】求出拋物線的焦點，判斷A的真假；求雙曲線的漸近線方程，判斷B的真假；假設(shè)點的橫坐標為10成立，根據(jù)點在拋物線上，求出縱坐標，再代入雙曲線方程進行驗證，判斷C的真假；根據(jù)條件求出點坐標，代入雙曲線方程求，可判斷D的真假.【解析】對A：因為拋物線的標準方程為：，所以其焦點坐標為，故A錯誤；對B：由題意，.所以雙曲線的漸近線方程為：，故B正確；對C：當(dāng)點的橫坐標為10，因為點在拋物線上，且位于第一象限，所以點坐標為.又點在雙曲線上，所以，該方程無解.所以不存在，使得點的橫坐標為10，故C錯誤；對D：如圖：15．古希臘的幾何學(xué)家用一個不過頂點的平面去截一個圓錐，將所截得的不同的截口曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．如圖所示的圓錐中，AB為底面圓的直徑，為PB的中點，某同學(xué)用平行于母線PA且過點的平面去截圓錐，所得截口曲線為拋物線．若該圓錐的高，底面半徑，則該拋物線的焦點到準線的距離為．【答案】【分析】先利用中位線計算，結(jié)合對稱性判斷拋物線以為對稱軸，焦點在上，再以頂點為原點建立坐標系，設(shè)拋物線標準方程，根據(jù)點在拋物線上求得參數(shù)p即得結(jié)果.【解析】因為為底面圓的直徑，，，，所以，則，所以，則都是等腰直角三角形.因為M是PB的中點，O是AB的中點，則，，截圓錐平面平行于母線PA且過母線PB中點M，故O在截面上，根據(jù)對稱性可知拋物線的對稱軸為，焦點在上，建立以M為原點，為x軸，過M點的垂線為y軸，設(shè)拋物線與底面交點為E，則，設(shè)拋物線為，則，解得，即該拋物線焦點到準線的距離為p，即為.故答案為：16．如圖，在平面直角坐標系中，已知，動點在圓上，動點Q在拋物線上，點Q在軸上的投影為，則的最小值為，的最小值為．

【答案】【分析】第一空：根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，結(jié)合阿氏圓的性質(zhì)得，第二空，，利用光線最短原理，取最小值時的點應(yīng)該滿足的平分線的反向延長線經(jīng)過圓心，即可求解.【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)的焦點為，準線為，由拋物線定義可得，所以，設(shè)，則由阿氏圓的性質(zhì)得，當(dāng)，，，四點共線時取到最小值．易知，利用光線最短原理，取最小值時的點應(yīng)該滿足的平分線的反向延長線經(jīng)過圓心，所以，當(dāng)點的坐標為時取到最小值．故答案為：，17．已知定點，定直線，動點在直線上，過點且與垂直的直線上有一動點，滿足，請討論點的軌跡類型．【解析】如圖，設(shè)，則．由，得．化簡得，當(dāng)時，點的軌跡是拋物線；當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，點軌跡是橢圓；當(dāng)時，，點軌跡是雙曲線．18．已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合．(1)求拋物線的方程；(2)如圖，若過點的直線與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，證明：．【分析】（1）根據(jù)橢圓的方程求出右焦點，從而得拋物線的焦點，從而得到拋物線方程；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出，再通過向量垂直的條件來證明．【解析】（1）設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，，又，，該橢圓的右焦點為，又拋物線的焦點為，所以，解得，故拋物線的方程為．（2）直線過點且與拋物線交于不同的兩點，故直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，即，方程的判別式，設(shè)，，則，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，因為，，所以，.19．如圖