.1勾股定理第1課時(shí)勾股定理知能演練提升一、能力提升1.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,且AB=4,BD=5,則點(diǎn)D到BC的距離是()A.3 B.4C.5 D.92.一株美麗的勾股樹如圖所示,其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的邊長分別是3,5,2,3,則最大正方形E的面積是()A.13 B.26 C.47 D.943.在直線l上依次擺著幾個(gè)正方形(如圖),已知斜放的三個(gè)正方形的面積分別為1,2,3,正放的四個(gè)正方形的面積分別是S1,S2,S3,S4,則S1+S2+S3+S4等于()A.3 B.4 C.5 D.64.如圖,在3×3的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,若BD是△ABC的高,則BD的長為()A.101313 BC.81313 D5.如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,將△ABC折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,折痕為DE,則△ABE的周長為.

6.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形,現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD,對角線AC,BD交于點(diǎn)O.若AD=2,BC=4,則AB2+CD2=.

7.我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖如圖甲所示,它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.在Rt△ABC中,若直角邊AC=6,BC=5,將四個(gè)直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍,得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”,則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(圖乙中的實(shí)線)是.

8.我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖),直角三角形的兩直角邊長分別為a,b(a<b),斜邊長為c.(1)請你運(yùn)用本圖驗(yàn)證勾股定理;(2)如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,那么試求(a+b)2的值.9.如圖,已知正方形ABCD的邊長為2,△BPC是等邊三角形,求△CDP與△BPD的面積.二、創(chuàng)新應(yīng)用10.勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感,他驚喜地發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖①或圖②擺放時(shí),都可以用“面積法”來證明勾股定理.下面是小聰利用圖①證明勾股定理的過程:圖①圖②將兩個(gè)全等的直角三角形按圖①所示擺放,其中∠DAB=90°,求證:a2+b2=c2.證明:連接DB,過點(diǎn)D作邊BC上的高DF,則DF=EC=b-a.∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12又S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a),∴a2+b請參照上述證法,利用圖②完成下面的證明.將兩個(gè)全等的直角三角形按圖②所示擺放,其中∠DAB=90°.求證:a2+b2=c2.

知能演練·提升一、能力提升1.A2.C3.B由勾股定理,得S1+S2=1,S3+S4=3,所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.4.D由勾股定理,得AC=22∵S△ABC=3×3-12×1×2-12×1×3-12×2×3=72,∴12∴13·BD=7,∴BD=7135.7由勾股定理,得BC=4,△ABE的周長為AB+BC=3+4=7.6.20∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°.由勾股定理,得AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,∴AB2+CD2=AD2+BC2.∵AD=2,BC=4,∴AB2+CD2=22+42=20.7.76外圍風(fēng)車的短邊長為6,所以長邊長為52+12所以風(fēng)車的外圍周長是(6+13)×4=76.8.解(1)大正方形的面積為c2,中間部分小正方形的面積為(b-a)2,四個(gè)直角三角形的面積和為4×12ab.由圖形關(guān)系,知大正方形的面積=小正方形的面積+四個(gè)直角三角形的面積,即有c2=(b-a)2+4×12ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b(2)由大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,得每個(gè)直角三角形的面積是3,即12ab=3,則ab=6∵c2=13,∴a2+b2=13.∴(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25.∴(a+b)2=25.9.解作PE⊥BC,PF⊥DC,垂足分別為E,F,如圖.∵△PBC是等邊三角形,∴BP=PC=BC=2,∠PCF=90°-60°=30°,∴PF=12PC=1∴S△CDP=12CD·PF=12×2×1=在Rt△PBE中,BE=1,BP=2,PE=PB∴S△PBC=12BC·PE=12×2×∴S△BPD=S△PBC+S△PCD-S△BCD=3+1-12×2×2=3+1-2=3-1二、創(chuàng)新應(yīng)用10.證明如圖,連接DB,過點(diǎn)B作邊DE上的高BF,則BF=b-a.∵S五邊形ACBED=S