三角形定則在力的合成中應(yīng)用試題一、基礎(chǔ)概念辨析題例1：判斷下列關(guān)于三角形定則的說法是否正確，并說明理由。（1）三角形定則僅適用于共點力的合成，非共點力無法用該定則求解合力。（2）兩個分力大小分別為3N和4N，若采用三角形定則合成，合力大小一定為5N。（3）在三角形定則中，分力矢量的箭頭與箭頭相連或箭尾與箭尾相連均可構(gòu)成閉合三角形。解析：（1）正確。三角形定則的本質(zhì)是矢量加法的幾何表達(dá)，需保證分力作用線交于一點（共點力），否則無法通過平移構(gòu)成閉合三角形。（2）錯誤。合力大小取決于分力夾角：當(dāng)夾角為0°時合力為7N，180°時為1N，90°時為5N。三角形定則中，合力為第三邊長度，其大小需根據(jù)余弦定理計算：(F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta})（θ為分力夾角補(bǔ)角）。（3）錯誤。三角形定則要求兩分力首尾相連（即一個分力的箭頭連接另一個分力的箭尾），合力矢量由第一個分力的箭尾指向第二個分力的箭頭，構(gòu)成閉合三角形。若箭尾相連，則需用平行四邊形定則。二、靜態(tài)平衡問題例2：如圖所示，質(zhì)量為m的物體靜止于傾角為θ的光滑斜面上，用沿斜面向上的拉力F1和垂直于斜面的支持力F2共同作用保持平衡。已知重力加速度為g，試用三角形定則求F1和F2的大小。解析：受力分析：物體受重力G=mg（豎直向下）、拉力F1（沿斜面向上）、支持力F2（垂直斜面向上），三力共點且平衡，合力為零。矢量合成：根據(jù)平衡條件，F(xiàn)1與F2的合力F合應(yīng)與重力G等大反向（豎直向上）。采用三角形定則時，將F1、F2首尾相連，其合力F合為閉合邊。幾何關(guān)系：重力G可分解為沿斜面向下的分力G1=mgsinθ和垂直斜面向下的分力G2=mgcosθ。由于F1與G1平衡，F(xiàn)2與G2平衡，故F1=G1=mgsinθ，F(xiàn)2=G2=mgcosθ。驗證：若將F1（沿斜面向上）與F2（垂直斜面向上）首尾相連，其合力方向豎直向上，大小為(\sqrt{F1^2+F2^2}=mg)，與重力等大反向，符合三角形定則閉合條件。三、動態(tài)力合成問題例3：質(zhì)量為m的小球用輕繩懸掛于天花板，現(xiàn)用水平力F緩慢拉動小球，使繩與豎直方向夾角從0°逐漸增大至α。已知繩長為L，重力加速度為g，求：（1）拉力F與繩拉力T的合力大小變化；（2）當(dāng)α=60°時，F(xiàn)和T的大小。解析：（1）合力變化：小球緩慢移動過程中始終處于平衡狀態(tài)，拉力F與繩拉力T的合力F合需與重力G平衡，故F合=mg（豎直向上），大小始終不變。（2）三角形定則應(yīng)用：將F（水平向右）與T（沿繩斜向左上方）首尾相連，合力F合（豎直向上）為閉合邊，構(gòu)成直角三角形。幾何關(guān)系：F合為直角三角形的斜邊，F(xiàn)為α角對邊，T為斜邊鄰邊。計算：(F=mg\tan\alpha)，(T=\frac{mg}{\cos\alpha})。當(dāng)α=60°時，(F=mg\tan60°=\sqrt{3}mg)，(T=\frac{mg}{\cos60°}=2mg)。四、多力合成問題例4：三個共點力F1=2N（水平向右）、F2=3N（豎直向上）、F3=4N（與水平方向成60°角斜向左上），試用三角形定則求其合力大小。解析：分步合成：三角形定則適用于兩個力的合成，多力合成需分步進(jìn)行：第一步：合成F1和F2。F1水平向右，F(xiàn)2豎直向上，首尾相連后構(gòu)成直角三角形，合力(F_{12}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\approx3.61N)，方向與水平方向夾角(\alpha=\arctan(\frac{3}{2})\approx56.3°)。第二步：合成F_{12}與F3。F3大小4N，方向與水平方向成60°角斜向左上，即與F_{12}夾角θ=180°-56.3°+60°=183.7°（需通過坐標(biāo)系確定相對角度）。余弦定理計算：合力(F_{合}=\sqrt{F_{12}^2+F3^2+2F_{12}F3\cos(180°-\theta)})（θ為F_{12}與F3的夾角）。代入數(shù)據(jù)得：[F_{合}=\sqrt{13+16+2\times3.61\times4\times\cos(183.7°)}\approx1.2N]驗證：若采用正交分解法，F(xiàn)1=2N（x軸），F(xiàn)2=3N（y軸），F(xiàn)3=-2N（x軸分量：4cos120°）+3.464N（y軸分量：4sin60°），合力F_x=2-2=0N，F(xiàn)_y=3+3.464≈6.464N，與三角形定則結(jié)果矛盾，說明分步合成時角度計算錯誤。正確夾角應(yīng)為F_{12}（56.3°）與F3（120°）的夾角θ=120°-56.3°=63.7°，則：[F_{合}=\sqrt{13+16+2\times3.61\times4\times\cos63.7°}\approx6.5N]（注：多力合成時需注意矢量方向的相對關(guān)系，建議結(jié)合坐標(biāo)系確定夾角。）五、臨界與極值問題例5：兩個分力F1和F2的合力大小為10N，其中F1=6N，若保持F1方向不變，僅改變F2的大小和方向，求F2的最小值及此時F2與F1的夾角。解析：三角形定則模型：將F1的箭尾固定，其箭頭為F2的箭尾起點，F(xiàn)2的箭頭終點需落在以合力F合（10N）箭尾為圓心、F合大小為半徑的圓上（因合力F合由F1箭尾指向F2箭頭）。幾何極值：F2的最小值對應(yīng)圓上點到F1箭頭的最短距離，即圓心與F1箭頭連線的垂線長度。此時F1、F2、F合構(gòu)成直角三角形，F(xiàn)2為直角邊。計算：根據(jù)勾股定理，(F2_{\text{min}}=\sqrt{F_{合}^2-F1^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8N)，此時F2與F1垂直（夾角90°）。六、實際應(yīng)用問題例6：一艘小船在靜水中速度為v1=4m/s，現(xiàn)要渡過流速為v2=3m/s的河流，河寬d=100m。若要求小船以最短位移渡河，試用三角形定則求船頭指向與河岸的夾角及渡河時間。解析：運動合成：小船實際速度v實為船速v1與水速v2的矢量和，最短位移為河寬d（需v實垂直河岸）。三角形定則應(yīng)用：將v2（沿河岸向下）與v1（船頭指向）首尾相連，v實（垂直河岸）為閉合邊。此時v1、v2、v實構(gòu)成直角三角形，v2為直角邊，v1為斜邊。幾何關(guān)系：設(shè)船頭與河岸上游夾角為θ，則(\cos\theta=\frac{v2}{v1}=\frac{3}{4})，故(\theta=\arccos(\frac{3}{4})\approx41.4°)。垂直河岸分速度(v_{實}=v1\sin\theta=4\times\sqrt{1-(\frac{3}{4})^2}=\sqrt{7}\approx2.645m/s)。渡河時間：(t=\fracckqcec0{v_{實}}=\frac{100}{\sqrt{7}}\approx37.8s)。七、易錯點總結(jié)矢量方向混淆：三角形定則中“首尾相連”的順序錯誤，導(dǎo)致合力方向反向。夾角計算錯誤：多力合成時未考慮分力方向的相對性，直接套用銳角計算余弦值。動態(tài)問題忽略平衡條件：如例3中誤認(rèn)為合力隨夾角增大而變化，實際平衡狀態(tài)下合力始終為零。數(shù)學(xué)工具誤用：在非直角三角形中直接用勾股定理求合力，需牢記余弦定理的普適性：(F_{合}^2=F1^2+F2^2-2F1F2\cos\a