第23講空間中的垂直關(guān)系

學(xué)校姓名____________班級

一、知識梳理

1.直線與平面垂直

(1)定義：一般地，如具直線/與平面a相交于一點A,且對平面a內(nèi)任意一條

過點4的直線〃，，都有則稱直線/與平面。垂直(或/是平面。的一條垂

線，。是直線/的一個垂面)，記作其中A為垂足.

(2)直線與平面垂直的充要條件：直線/與平面a內(nèi)的任意直線都垂直.符號表示

為：Z_La<=>V/??ca,ILm.

(3)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一條直線與一個平面內(nèi)的1mua,〃ua.tn

判定

兩條11交直線垂直，則這條直

定理7

線與這個平面垂直/_!_〃，貝ij/_La

m

性質(zhì)兩直線垂直于同一個平面，那l-La

定理么這兩條直線作7m.La

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角稱為這條斜線與平面所成

的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或

在平面內(nèi)，則它們所成的角是0。的角.

(2)范圍：0,72T.

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角,這條直線稱

為二面角的棱，這兩個平面稱為二面角的面；

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任里一點O,以。為垂足分別在半平

面。和￡內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB,則射線OA和08所成的角稱為二面

角的平面角.

(3)二面角的范圍：[0,71].

4.平面與平面垂直

（1）平面與平面垂直的定義

一般地，如果兩個平面a與4所成角的大小為90°,則稱這兩個平面互相垂

直，記作aA-P，

（2）判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

一個平面經(jīng)過另一個平間

lua]

判定定理的一條垂線,則這兩個平5a_L￡

面互相垂直￡1

如果兩個平面互相垂直，如果?A

那么在一個平面內(nèi)垂直于B=m,AOua,

性質(zhì)定理

它們交線的直線垂直于另4hAO_L〃?，則

一個平面40"

二、考點和典型例題

1、直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

【典例M]（2022?全國?高二）設(shè)小、〃是兩條不同的直線，a、夕是兩個不同的平面,

則下列命題正確的是（）

A.若,〃〃a,n1/a,則/〃〃〃B.若〃a//Py則，“〃夕

C.若〃?〃a,a_L夕，則，〃_L//D.若m//n,rn_La,則〃J_a

【答案】D

【詳解】

A選項，〃//a,則〃?,〃可能平?行，相交，異面，故A錯誤；

B選項，mHa,aHR,則可能故B錯誤：

C選項，〃力a,a",則可能mu夕,也可能加〃版,故C錯誤;

D選項，根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直一個平面，則另一條也垂直該平面，故D正確.

故選：D.

【典例1-2]（2022?山東煙臺?三模）若〃和。分別為空間中的直線和平面，則“a_Le”是

垂直a內(nèi)無數(shù)條直線''的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】

若則“垂宜內(nèi)所有百線，因此，命題“若〃_La,則。垂直。內(nèi)無數(shù)條宜?線”正

確，

。垂直a內(nèi)無數(shù)條直線，若這無數(shù)條直線中無任何兩條直線相交，此時直線?？梢栽诹⒚?/p>

。內(nèi)，即不能推出。_La,

所以“a_La”是垂直。內(nèi)無數(shù)條直線”的充分不必要條件.

故選：A

【典例1-3】（2019?山西凍康-中高二階段練習(xí)）設(shè)〃?，〃是兩條不同的直線，a,夕是兩

個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若m_L〃，n//a,則陽_La

B.若"i〃￡,B工a,則，於_La

C.若加_L夕，〃_L夕，〃_LG,則〃?_La

D.若，〃_L〃，〃_!_/?,fl-La,則，〃_La

【答案】C

【詳解】

對于A,由〃?J_〃，〃〃?？傻谩╥〃a或m與a相交或故A錯誤；

對于B,由〃?〃少，0_La可得機〃a或機與a相交或/〃ua,故B錯誤；

對于C,由機_1_/，〃_!_夕可得〃?〃〃，又〃_La,所以加_La,故C正確；

對于D,由〃?_L〃，0_1_夕可得〃?〃a或與a相交或mu”，故D錯誤.

故選：C.

【典例1-4】（2022?全國?高二課時練習(xí)）直三棱柱ABC-AqG中，若N84C=90。，

AB=AA,=\fAC=2,E是棱AC上的中點，則點A到平面8CE的距離是（）

A.1B.也C."D.且

333

【答案】C

【詳解】

故選：c.

【典例1-5】（2022?湖南岳陽?模擬預(yù)測）如圖，正方形八8CO中，E,〃分別是BC,C。的

中點，G是E尸的中點，現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使8.

C,。三點重合，重合后的點記為“，那么，在這個空間圖形中必有（）

A.所在平面

B.所在平面

C.〃凡LZL4EF所在平面

D.〃G_!_△/!￡：尸所在平面

【答案】A

【詳解】

解析：原圖中A/）_L。產(chǎn)，A8J_8E,所以折起后AHA.EH,FHC\EH=H,

又FHu平面EFH,EHu平面EFH,所以所在平面.故A正確，B錯誤；

由上知，4HGA豐%,故D錯誤；由原圖知〃?與E”不垂直，故C錯誤.

2、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

【典例2-1】（2022?寧夏?石嘴山市第三中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)。，夕為兩個平面，則

。，尸的充要條件是（）

A.。，尸平行于同一個平面B.a,￡垂直于同一個平面

C.。內(nèi)一條直線垂直于夕內(nèi)一條直線D.。內(nèi)存在一條直線垂直于/

【答案】D

【詳解】

。，夕平行于同一個平面時，則?！☉?，A錯誤；

a,4垂直于同?個平面時，。，夕可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，

B錯誤；

。內(nèi)一條百線垂直于用內(nèi)一條百線，a,夕可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不

垂直，C錯誤；

a內(nèi)一條直線垂直于用，則aJ?4，反之也成立，D1E確.

故選：D.

【典例2-2】（2022?安徽?南陵中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)巾/是三條不同的直線，a平是

兩個不同的平面，則下列命題為真命題的是（）

A.若〃?〃a,，?ua,則用〃〃B.若〃〃則〃_La

C.若，?Ua,mu0,則。_1_夕D.若〃2則〃?〃夕

【答案】C

【詳解】

A選項，若〃?〃a〃ua,則也〃可能異面，所以A選項錯誤.

B選項，若，?〃△尸_La,則可能〃ua,所以B選項錯誤.

C選項，若mLa,mu/3,根據(jù)面面垂直.的判定定理可知。_L/，所以C選項正確.

D選項,若〃?〃〃,〃〃/,/〃夕，則可能加u/7,所以D選項錯誤.

故選：C

【典例2-3]（2022.貴州?模擬預(yù)測（理））如圖，在四面體48c2中,若AB=CB,

AD=CD,七是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.平面A8C_L平面48。B.平面平面8OC

C.平面A4CJ_平面D.平面"C_L平面4OC

【答案】C

【詳解】

因八/2=。4,AD=CD,E是八C的中點，則8E_L4cZ)E_LAC,而BEcDQ—E,

BE、Dfu平面8OE,

則有AC_L平面4OE,又ACu平面ABC,所以平面人8（＞_平面8/）E,C正確;

在平面ABC內(nèi)取點P,作PM_LA及PN_L8￡,垂足分別為M,N,如圖，

因平面ABC_L平面BDE,平面/WC1平面BDE=BE,則PN八平面BDE,則有

PNLBD,

若平面48CJ_平面4B/）,同理可得PM_L8O，而PMcPN=P,PM,PNu平面ABC,

于是得3。_L平面ABC,顯然8。與平面A5C不一定垂直，A不正確；

過A作△A3。邊上的高AF,連",由_八4力￡&CB/）得，C〃是二C8。邊8。上的

高，

則NAPC是二面角A-BQ-C的平面角，而N4FC不一定是直角，即平面A3。與平面

BDC不一定垂直，B不正確：

因ACJ■平面8DE,則/OE5是二面角O—AC—8的平面角，NOE5不一定是直角，

平面A8C與平面A。。不一定垂直，D不正確.

故選：C

【典例2-4】（2022?江西南昌?一模（理））已知在邊長為6的菱形A8CO中，NBAD=&）。,

點、E,產(chǎn)分別是線段A。，8c上的點，且AE=8產(chǎn)=2.將四邊形正沿放翻折，當折

起后得到的幾何體AEO-8FC的體積最大時，下列說法：①AO_LM；②BC〃平面

ADE；③平面OEFC_L平面”莊；④平面4）￡_L平面莊，其中正確的個數(shù)是

B

AA

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【詳解】

將四邊形ABFE沿E/翻折，得到幾何體AED-BFC

在幾何體AED—8R?中，。后//。￡。/匚平面。叫，QEz平面CM

所以O(shè)E//平面CFB

AEI/BF,BFu平面CFB,AE<z平面CFB

所以A笈〃平面C/小

又AE。石=邑所以平面CF3//平面AOE

BCu平面C7?方，所以8c〃平面A。石，故②正確.

過點。作交￡/J'//,過〃作〃G_LA8交于點G

過點。作C7VJ?印交E廠的延長線于N,過N作NMJ.AB交月4的延長線于點M

則四棱錐C-BFNM與Z)-AEHG是全等的兩個四棱錐.

由NM_LA3,則MW_LEF.GV_L￡F,MNcCN=N,所以EFL平面CMN

￡尸_1平面?！?、?！昶矫?。〃。，人任平面LWG,則A。與E尸不垂直，故①不正確

三棱柱CNM-DHG為直三棱柱.

幾何體AED-I3FC的體積與三棱柱CNM-OHG體積相同.

三棱柱CNM-DHG的體積為V=S3?NE

在直角三角形。陽中.。6二4,/￡：。H=30。，所以石”=2

所以NE=6+2=8

當S\?M面積最大值時，幾何體AED-BFC的體積最大.

當NM_LCN時SVCNM面積最大值.由NM工NE,NEcCN=N,則MW_L平面CFED

又NMu平面尸胡石，所以平面所4￡_1_平面C正。；故③正確.

若平面45EJ.平面ABEE，由面AOE平面=

過。作O”'J_AE交AE于點〃'，則O〃'_L平面A4莊

則過點。有兩條直線與平面A8在垂直，這與過平面外?點有且只有?條直線

與平面垂直相矛盾.

所以④不正確.

故選：B

【典例2-5】（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖,在四面體。一ABC中，若AB=CB,AD=

CD,E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

D

A

A.平面ABC_L平面ABO

B.平面A8O_L平面8QC

C.平面A〃C_L平面BQE,且平面AOCJ■平面/"花

D.平面A8C_L平面AOC,且平面ADC_L平面BDE

【答案】C

【詳解】

因為AB=CB,且E是AC的中點，所以8E_LAC,同理有OE_L4C,于是AC_L平面BOE.

因為AC在平面A8C內(nèi)，所以平面A8C_L平面8QE又由于ACu平面ACQ,所以平面

4coJ_平面BDE.

故選：C

3、平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

【典例3-1】（2022?安徽省舒城中學(xué)三模（理））設(shè)加，〃是不同的直線，。，夕，/是不

同的平面.，則下面說法正確的是（）

A.若a~L4，九則

B.若a工0,m//a,則〃?

C.若〃?_La,niHpy則a_L4

D.若mHri,〃ua,貝!Jm//a

【答案】C

【詳解】

A：由aJL〃，aLyy則力或4了相交，錯誤；

B：由a工。，則m〃6或mu/7或科戶相交,錯誤；

C：由向R,則存在直線Zu夕且〃/%而〃?_La則/工。，根據(jù)面面垂直的判定易知

a工P,正確；

D：由〃〃/〃，〃ua,則加//?；騧ua,錯誤.

故選：C

【典例3?2】（2022?北京?北大附中三模）已知平面a,6,九直線加和〃，則下列命題中正

確的是（）

A.若〃?，則a〃夕

B.若aJ_八/_Ly,則

C.若上〃/〃J_a,則n//a

D.若a、n〃a,則〃i〃〃

【答案】A

【詳解】

選項A正確，因為垂直于同一直線的兩個平面互相平行；

選項B錯誤，平面々和夕也可以相交；

選項C錯誤，直線”可能在平面白內(nèi)：

選項D錯誤，直線機和〃還可能相交或者異面.

故選：A.

【典例3-3】（2021?黑龍江?大慶外國語學(xué)校高二期末）如圖，已知平面A8CO,四邊

形4癥”為矩形，四邊形A4CO為直角梯形，ND48=90。，ABCD,AD=CD=2,

A3=4.

（1）求證：4；〃平面8CE；

（2）求證：平面八CFJ■平面BCE.

【解析】（1）證明：因為四邊形A8E/為矩形，所以A尸〃3E,乂BEu'F面BCE,AFU

平面4CE,所以A尸〃平面6CE.

（2）過C作。例_LA8,垂足為M,因為AO_L/X?,所以四邊形AOCM為矩形.

因為AO=CD=2,AB=4,所以4M=M4=2,AC=2應(yīng),CM=2,BC=2五，所以

AC2+BC2=A8\所以4C_L“C.因為A/1.平面A3CD,AF//BE,

所以8E1平面ABC。，所以BE_LAC.又BEu平面BCE,8Cu平面BCE

BEBC=B,

所以J.'KllUBCE,乂ACu半血4CR所以平血ACF±y皿BCE.

【典例3-4】（2022?江西南昌?高二期中（理））兩個全等的正方形A8C。和ABE產(chǎn)所在平面

相交于A8,MeAC,NGFB,且AM=/W,過M作于從求證:

(1)平面MM7//平面BCE；

(2)MV//平面BCE.

【解析】(1)在正方形488中，MH±AB.BCA.AB,貝1)“〃//成7,又“”0平面

BCE,BCu平面BCE,因此M”//平面5CE,

AKAAU

由MH//AC,得——=——，而AM=RV,AC=FB,則有MC=N8,

MCHB

FNAMAH

即=777=H=F，于是得NH//AF//BE,又NHa平面BCE,瓦Tu平面5CE，則

NBMCHB

NH//平面BCE,

因MHcNH=H,MH,NHu平面MNH,

所以平面MN"http://平面BCE.

⑵由（1）知：平面MN"http://平面BCE,而MVu平面MN”，

所以MN〃平面BCE.

【典例3-5】（2022?福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，已知四邊形A8CO是邊

長為2的菱形，NA8G60。，平面平面ABC。，EFAC,AE=AB,AC=2EF.

（1）求證：平面“EOJ"平面八￡下。；

(2)若四邊形AEFC為直角梯形，且EAJ_AC,求直線BD與