人教版數(shù)學(xué)九年級全冊壓軸題專題精選匯編

專題銳角三角函數(shù)

一.選擇題

1.（2020秋?桐城市期末）如圖，平面直角坐標系中的點尸的坐標為（2,4）,OP與x軸正半軸的夾角為a,

A.—B.返C.返D.

2255

2.（2021春?溫縣期末）如圖，小明在騎行過程中發(fā)現(xiàn)山上有一建筑物，他測得仰角為15°；沿水平筆直的

公路向建筑物的方向行駛4千米后，測得該建筑物的仰角為30。，若小明的眼睛與地面的距離忽略不計，

則該建筑物離地面的高度為（）

A.2千米B.2&千米C.2T千米D.當(dāng)3千米

3.（2020秋?八步區(qū)期末）如圖，在A48C中，AC±BC,/A8C=30。，點。是CB延長線上的一點，且A8

=BD,貝Itan/ZMC的值為（）

A.373B.273C.2-1V3D.2-V3

4.（2020秋?高平市期末）如圖，點A、B、C在正方形網(wǎng)格的格點上，sin/BAC=（)

5.（2020秋?南岸區(qū)期末）如圖，"BC中，AB=AC=5,BC=8,貝UsinB的值為（）

6.（2021?宜興市模擬）如圖，在AABC中,ZABC=90°,tan/3AC=2，AO=2,BD=4,連接CD,則

2

co長的最大值是（）

C.2限|D.2巡+2

7.（2021春?沙坪壩區(qū)月考）某網(wǎng)紅地驚現(xiàn)震撼的裸眼3。超清LEO巨幕，成功吸引了廣大游客前來打卡.小

麗想了解該屏AB的高度，進行了實地測量，她從大樓底部C點沿水平直線步行30米到達臺階底

端。點，在。點測得屏幕下端點8的仰角為27。，然后她再沿著i=4：3長度為35米的自動扶梯到達扶

梯頂端E點，又沿水平直線行走了45米到達尸點，在尸點測得屏幕上端點A的仰角為50。（A,B,C,

D,E,F,G在同一個平面內(nèi)，且E、尸和C、。、G分別在同一水平線上），則該LED屏A8的高度約

為（為結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)sin27°~0.45,cos270~0.89,tan27°~0.51,sin50°=0.77,tan50°?1.19）

\A

E

B

A.86.2米B.114.2米C.126.9米D.142.2米

8.（2020秋?北倍區(qū)校級期末）北硝區(qū)政府計劃在縉云山半山腰建立一個基站A8,其設(shè)計圖如圖所示，BF,

即與地面平行，。的坡度為i=l：0.75,EF的坡角為45。，小王想利用所學(xué)知識測量基站頂部A到地

面的距離，若BF=ED,CQ=15米，米，小王在山腳C點處測得基站底部8的仰角為37。，在

F點處測得基站頂部A的仰角為60。，則基站頂部A到地面的距離為（）（精確到01米，參考數(shù)據(jù)：

二.填空題

9.（2020秋?崇川區(qū)期末）如圖，若A,B,C,D都在格點處，AB與CD相交于O,則的余弦值

為____________________

10.（2021春?愛輝區(qū)期末）如圖1是公園某處的幾何造型，如圖2是它的示意圖，正方形的一部分在水平

面下方，測得。E=2米，ZCDF=45°,露出水平面部分的材料長共合計140米（注：共8個大小一

樣的正方形造型，不計損耗），點B到水平面所的距離為米.

圖1圖2

11.（2020秋?錫山區(qū)期末）如圖的正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點都在格點上，則tan/ACB的值

為.

12.（2020秋?覃塘區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A,B,C,。都是小正方形的頂點，A8與C￡＞相交

于點P,則sinZBPD的值是.

14.（2020秋?蒙城縣期末）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C均在格點上，貝UtanB的值

為__________________

15.（2020秋?新吳區(qū)期末）如圖，AABC的頂點都在正方形網(wǎng)格紙的格點上，則sin2C

2

16.（2021春?瑞安市月考）如圖，在河對岸有一等腰三角形場地EFG,FG=EG,為了估測場地的大小，

在筆直的河岸上依次取點C,D,B,A,使PC，/,BG±l,點￡,G,。在同一直線上，在。觀

測/后，發(fā)現(xiàn)/如測得CD=12米，。3=6米，AB=12米，則尸G=米.

II，II

CDBAI

17.（2021?新洲區(qū)模擬）如圖，在R3A8C中，ZACB=90°,AC=10,BC=5,M是射線AB上的一動點，

以AM為斜邊在AABC外作R3AMN,且使tanZMAN=」，。是的中點，連接ON.則ON長的最

2

小值為________________

18.（2021?樂山）如圖，已知點A（4,3）,點8為直線y=-2上的一動點，點C（0,九），-2<n<3,AC

±BC于點C,連接AB.若直線A3與x正半軸所夾的銳角為a,那么當(dāng)sina的值最大時，n的值

為__________________

三.解答題

19.（2020秋?安丘市期末）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要策略.在計算tanl5。時，如

圖，在RtAACB中，ZC=90°,ZABC=30°,延長使連接A。，得/。=15。，所以tanl5。

—AC—1—2-M=2-F

CD2+^3（2g（2-英）

類比這種方法，計算tan22.5。（畫圖并寫出過程）.

20.（2021?西藏）如圖，為了測量某建筑物CD的高度，在地面上取A,8兩點，使A、B、。三點在同一條

直線上，拉姆同學(xué)在點A處測得該建筑物頂部C的仰角為30。，小明同學(xué)在點2處測得該建筑物頂部C

的仰角為45。，且45=10加.求建筑物C。的高度.

（拉姆和小明同學(xué)的身高忽略不計.結(jié)果精確到0.1加，后1.732）

21.（2021?淮安）如圖，平地上一幢建筑物與鐵塔C。相距50m，在建筑物的頂部A處測得鐵塔頂部C

的仰角為28。、鐵塔底部。的俯角為40。，求鐵塔C￡）的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin28°=0.47,cos28cM）.8，tan28yo.53,sin40°~0.64,cos40°=0.77,tan40°=0.84）

22.（2021?撫順）某景區(qū)A、B兩個景點位于湖泊兩側(cè)，游客從景點A到景點B必須經(jīng)過C處才能到達.觀

測得景點B在景點A的北偏東30°,從景點A出發(fā)向正北方向步行600米到達C處，測得景點8在C的

北偏東75。方向.

（1）求景點2和C處之間的距離；（結(jié)果保留根號）

（2）當(dāng)?shù)卣疄榱吮憬萦慰陀斡[，打算修建一條從景點A到景點B的筆直的跨湖大橋.大橋修建后，

從景點A到景點3比原來少走多少米？（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：72=1.414,73=1-732）

北

東

23.（2021?鞍山）小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小

明自公園北門A處出發(fā),沿南偏東30。方向前往游樂場D處;小華自南門B處出發(fā),沿正東方向行走150m

到達C處，再沿北偏東22.6。方向前往游樂場。處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同.求公

園北門A與南門2之間的距離.（結(jié)果取整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin22.6°=—,co22.6°~—,tan22.6°~—,?

131312

=4.732）

22J

I

24.（2020秋?文登區(qū)期末）生活中，我們經(jīng)?？吹接械拇皯羯习惭b著遮陽蓬，如圖1.現(xiàn)在要為一個面向正

南方向的窗戶安裝一個矩形遮陽蓬.如圖2,A8表示窗戶的高，CQ表示遮陽蓬，且A8=1.5加，遮陽蓬

與窗戶所在平面的夾角等于75。.已知該地區(qū)冬天正午太陽最低時，光線與水平線的夾角為30。；

夏天正午太陽最高時，光線與水平線的夾角為60。，若使冬天正午陽光最低時光線最大限度的射入室內(nèi)，

而夏天正午陽光最高時光線剛好不射入室內(nèi)，試求出遮陽蓬的寬度CD.

25.（2021?荊門）某海域有一小島P,在以尸為圓心，半徑r為10（3+，門）海里的圓形海域內(nèi)有暗礁.一

海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測得小島尸位于北偏東60。的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛20加海里后到達2

處，此時觀測小島P位于8處北偏東45。方向上.

（1）求A,尸之間的距離AP；

(2)若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險？請說明理由.如果有觸礁危險，那么海監(jiān)船由B

處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域？

26.(2021?天津)如圖，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔257海里的A處遇險，發(fā)出求救信號.一

艘救生船位于燈塔C的南偏東40。方向上，同時位于A處的北偏東60。方向上的B處，救生船接到求救

信號后，立即前往救援.求的長(結(jié)果取整數(shù))參考數(shù)據(jù)：tan40%0.84,盜取1.73.

27.(2021?武漢模擬)如圖，已知8c是。。的直徑，CA平分/8CE,延長EC交。。于點。，連接。。并

延長交A2于點E

(1)求證：AOLBD-,

(2)已知tan/ACE=3,求tan/APO.

2

A

'E

28.（2021?資陽）資陽市為實現(xiàn)5G網(wǎng)絡(luò)全覆蓋，2020-2025年擬建設(shè)5G基站七千個.如圖，在坡度為i

=1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB,小芮在坡腳C測得塔頂A的仰角為45。，然后她沿坡面

行走13米到達。處，在。處測得塔頂A的仰角為53。.（點A、B、C、。均在同一平面內(nèi)）（參考數(shù)據(jù):

sin53°~—,cos53°~—,tan53°~—)

553

(1)求。處的豎直高度；

(2)求基站塔A8的高.

人教版數(shù)學(xué)九年級全冊壓軸題專題精選匯編

專題銳角三角函數(shù)

一.選擇題

1.（2020秋?桐城市期末）如圖，平面直角坐標系中的點P的坐標為（2,4）,。尸與x軸正

半軸的夾角為a,則sina的值為（）

A.—B.近C.SD.

2255

【思路引導(dǎo)】如圖，過點P作尸“Lx軸于H.利用勾股定理求出OP,可得結(jié)論.

：.OH=2,PH=4,

，°P=VOH2+PH2=V22+42=2巡'

sina=PH4_275

OP275虧

故選：D.

2.（2021春?溫縣期末）如圖，小明在騎行過程中發(fā)現(xiàn)山上有一建筑物，他測得仰角為15。；

沿水平筆直的公路向建筑物的方向行駛4千米后，測得該建筑物的仰角為30。，若小明的

眼睛與地面的距離忽略不計，則該建筑物離地面的高度為（）

A.2千米B.2y千米C.2匾千米D.e區(qū)千米

2

【思路引導(dǎo)】過C作CDJ_A8于。，先證/BAC=/BCA,得BC=AB=4千米，再由含

30。角的直角三角形的性質(zhì)求出CD的長即可.

【完整解答】解：如圖，過C作COLAB于D,

則NCZ）8=90°,

由題意得：ZBAC=15°,ZCB￡>=30°,AB=4千米，

：.ZBCA=ZCBD-ZBAC=30°-15°=15°,

：.ZBAC^ZBCA,

.,.BC=AB=4千米，

在RtABC。中，NCBD=30°,

：.CD=—BC=2（千米），

2

即該建筑物離地面的高度為2千米，

故選：A.

?二二

A,^<15°>r前。

“4千米D

3.（2020秋?八步區(qū)期末）如圖，在AABC中，ACLBC,NABC=30。，點。是CB延長線

上的一點，且貝han/ZMC的值為（）

【思路引導(dǎo)】設(shè)AC=a,通過解直角三角形用含。代數(shù)式分別表示出2C,C。的值，然

后作比求解.

【完整解答】解：設(shè)AC=a,

??ZABC=30°,

.\AB=2AC=2a,

'：tanZABC=—=返，

BC3

，5C=AC=，

?:AB=BD=2a,

：.CD=BC+BD=(2+?)a,

?f/n”CD(2+>/3)arr

..tanZ￡>AC=——=---------=2+v3-

ACa

故選：C.

4.(2020秋?高平市期末)如圖，點A、B、。在正方形網(wǎng)格的格點上，sinNR4C=()

A.也B?運C?運D.返

1313266

【思路引導(dǎo)】如圖，取格點T,連接87交AC于H,MBHLAC,設(shè)3H=a,則A”=

5a,利用勾股定理求出AB,可得結(jié)論.

【完整解答】解：如圖，取格點T,連接BT交AC于H,則BHLAC,設(shè)BH=a,則AH

Va2+(5a)2=^66Z,

故選：C.

5.（2020秋?南岸區(qū)期末）如圖，AABC中，AB=AC=5,8c=8,貝UsinB的值為（）

B

【思路引導(dǎo)】過點A作AHL2C于"利用勾股定理求出可得結(jié)論.

【完整解答】解：過點A作于H.

VAB=AC=5,AH±BC,

：.BH=CH=—BC=4,

2

AAH=VAB2-BH2=A/52-42=3.

故選：c.

6.（2021?宜興市模擬）如圖，在AABC中，NABC=90。，tan/BAC=」，A￡）=2,BD=4,

2

連接CD,則CD長的最大值是（）

A.275+—B.2V5+Ic.2V5+—D.2V5+2

2

【思路引導(dǎo)】如圖，在AD的下方作R3ADT,使得/AOT=90。，DT=1,連接CT,則

人7=巡，證明AD48s△TXC,推出理=組=￡,推出TC=2巡,再根據(jù)CD<DT+CT,

TCATV5

可得31+2巡,由此即可解決問題.

【完整解答】解：如圖，在AA的下方作R3AOT,使得NAOT=90。，07=1,連接CT,

貝IJAT=y/5,

D

..AD_AB

'DT-BC-'

.AD=DT

"AB-BC)

ZADT=ZABC=90°,

AADT^AABC,

ADAT

ZDAT=ABAC,=

ABAC

：.ZDAB=ZTAC,

..AD=AB

'AT-AC）

：./\DAB^/\TAC,

?DB_AD_2

"TC-AT-V5，

；.TC=2掂，

??CD<DT+CT,

.,.CZX1+2V5，

；.C。的最大值為1+2巡，

故選：B.

7.（2021春?沙坪壩區(qū)月考）某網(wǎng)紅地驚現(xiàn)震撼的裸眼3。超清工即巨幕，成功吸引了廣大

游客前來打卡.小麗想了解該LED屏AB的高度，進行了實地測量，她從大樓底部C點

沿水平直線步行30米到達臺階底端。點，在。點測得屏幕下端點B的仰角為27°,然后

她再沿著力=4：3長度為35米的自動扶梯到達扶梯頂端E點，又沿水平直線行走了45

米到達尸點，在尸點測得屏幕上端點A的仰角為50。（A,B,C,D,E,F,G在同一

個平面內(nèi)，且E、b和C、O、G分別在同一水平線上），則該LED屏A8的高度約為（）

（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)sin27tM）.45,cos27°?0.89,tan27°M.51,sin50°s0.77,

tan50°~1.19）

A.86.2米B.114.2米C.126.9米D.142.2米

【思路引導(dǎo)】作EMLGC于設(shè)五E交AC于N,則EN=MC=DM+DC,EM=NC=

NB+BC,由三角函數(shù)定義求出8C,由坡度求出EM=28米，河。=21米，得出CM=51

米，F(xiàn)N=96米,再由三角函數(shù)定義求出AN,即可得出答案.

【完整解答】解：作EMJ_GC于設(shè)FE交AC于N,如圖所示：

貝ijEN=MC=DM+DC,EM=NC=NB+BC,

由題意得：ZAFN=50°,FE=45米，DC=30米，DE=35米，ZBDC=21°,ED的坡

度i=4：3,

VtanZBDC=—,

DC

/.BC=￡>Cxtan27°~30x0.51=15.3（米），

的坡度為4：3=—,

MD

：.EM=NC=—ED=28（米），0M=31DC=21（米），

55

：.EN=MC=DM+DC=21+30=5l（米），

FN=FE+EN=45+51=96（米），

AN

VtanZAFN=—,

FN

AN=尸Nxtan50°*96x1.19=114.24（米），

：.AB=AC-BC=AN+NC-BC=114.24+28-15.3-126.9（米）.

故選：C.

8.（2020秋?北倍區(qū)校級期末）北倍區(qū)政府計劃在縉云山半山腰建立一個基站AB,其設(shè)計

圖如圖所示，BF,EZ）與地面平行，CD的坡度為i=l：0.75,所的坡角為45。，小王想

利用所學(xué)知識測量基站頂部A到地面的距離，若BF=ED,CO=15米，EF=3g米,

小王在山腳C點處測得基站底部8的仰角為37。,在尸點處測得基站頂部A的仰角為60。，

則基站頂部A到地面的距離為（）（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：V3-1-73,sin37°s0.60,

cos37°?0.80,tan37°?0.75）

A.21.5米B.21.9米C.22.0米D.23.9米

【思路引導(dǎo)】延長AB交過點C的水平線于交DE延長線于點N,作于G,

于X,根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)果.

【完整解答】解：如圖，延長交過點C的水平線于M,交。E延長線于點N,作DG

.DG_4

CG3

設(shè)。G=4攵，CG=3k,則CO=5上

.?.5k=15,

:?k=3,

：.DG=nfCG=9,

YE/的坡角為45。，EF=3?

:.EH=FH=3,

四邊形BNHF和四邊形DGMN是矩形，

:.BF=NH=DE,BN=FH=3,DN=MG,NM=DG=\2,

：.BM=BN+NM=15,

在RtABCM中，NBCM=37。，

MC=MG+CG=DN+CG=NH+HE+DE+CG=2BF+3+9=2BF+n,

：.BM=CM'tanZBCM,

.*.15=（28尸+12）x0.75,

：.BF=4,

在RtAABF中，ZAFB=60°,

AB=BF*tan60°=4V3?6.92（米），

AM=AB+BM=6.92+15=21.9（米）.

故選：B.

二.填空題

9.（2020秋?崇川區(qū)期末）如圖，若A,B,C,。都在格點處，43與相交于O,則/

B。。的余弦值為H.

一］。一

【思路引導(dǎo)】如圖，取格點T,連接CT.DT.利用平行線的性質(zhì)證明/BOO=/TCr),

求出CT,CD,可得結(jié)論.

【完整解答】解：如圖，取格點T，連接CT.DT.

觀察圖象可知，CT//AB,CTLDT,

:.NBOD=/TCD,ZCrD=90°,

VCr=Vl2+22=^,C￡>=V52+52=5^2,

：.cosZBDO=cosZTCD=-=^==^^-,

CD5&10

故答案為：叵.

10

10.（2021春?愛輝區(qū)期末）如圖1是公園某處的幾何造型，如圖2是它的示意圖，正方形

的一部分在水平面EF下方，測得。E=2米，NCDF=45。，露出水平面部分的材料長共

合計140米（注：共8個大小一樣的正方形造型，不計損耗），點8到水平面所的距離

為—竺返一米.

EDF

圖1圖2

【思路引導(dǎo)】延長AE交C。的延長線于T,連接交DE于，設(shè)A8=%米.解直角

三角形求出JT,ET,TD,構(gòu)建方程求出力z,再求出BT,可得結(jié)論.

【完整解答】解：延長AE交的延長線于T,連接27交DE于?設(shè)&8=根米.

???四邊形ABCT是正方形，

.?.AB=BC=Cr=7X=m米，/BTC=45°,

ZCDF=ZEDT=45°,

；./"￡）=90。，

ZETD=90°,

：.ZTED=ZTDE=45°,

：.TE=DT,

；￡>E=2米，TJLDE,

:.EJ=JD=1（米），

：.JT=—DE=\（米），

2

:.ET=DT=M（米），

由題意，AB+BC+AE+CD=140-？8=17.5,

：.2m+2Gn-瓜=17.5,

：.BT=42m=(^Zl+1)(米),

8

：.BJ=BT-"=35我（米）.

故答案為：竺返

圖1圖2

11.（2020秋?錫山區(qū)期末）如圖的正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點都在格點上，則tan/ACB

的值為包

-19一

過點A作于H.利用面積法求出AH,再利用勾股定理求

出BH,CH,可得結(jié)論.

過點A作AH±BC于H.

S^ABC=—x2x4^—?BC'AH,

22

：.AH=—,

5

"B//=7AB2-AH2=^22-(|-)2=-|>

619

：.CH=BC-BH=5--,

55

8

：.tanZACB=—=-^-8

CH1919

5

故答案為：旦

19

12.（2020秋?覃塘區(qū)期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A,B,C,。都是小正方形的頂點,

與CD相交于點P,則sin/BPD的值是返.

—2―

【思路引導(dǎo)】連接AE、BE.通過平行四邊形的判定說明4E〃C￡>,從而得到NEA2=/

DPB.再利用勾股定理的逆定理判斷AAEB的形狀，最后求出sinZBPD的值.

【完整解答】解：如圖所示：連接AE、BE.

'：AC=ED=1,AC//ED,

四邊形AEDC是平行四邊形.

：.AE//CD.

：.ZEAB=ZDPB.

*.*BE=AE={§2+]2=V10，

AB—J?2+42=V20=2?

：.AB2=A^+BE1.

是等腰直角三角形.

：.ZEAB=ZDPB=45°.

J?

:.sinZBPD=sin45°=".

2

護公電衣Vs

13.（2020秋?撫州期末）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A,B,C,。都在這些

近,

小正方形的頂點上，AB,8相交于點O,則cos/3。。~~5~~

【思路引導(dǎo)】連接CE、DE,利用正方形對角線的性質(zhì)先說明CEHMZCED=90°,

這樣把求/BOO的余弦值轉(zhuǎn)化為求NEC。的余弦值，在在Rt^CED中，可利用勾股定理

和直角三角形的邊角關(guān)系求解.

【完整解答】解：如圖，連接CE、DE.

'：AB,CE、即都是正方形的對角線，

ZCEF=/ABF=ZOED=ZCEO=45°.

'：ZCEF=ZABF,

：.CE//AB.

：.ZECD=ZBOD.

'：ZOED=ZCEO=45°,

：.ZCED^90°.

在RtACED中,

22

CTVl+1_V2_V5

cosZECD=—

CDVl2+32V105

：.cosZBOD=^-

5

故答案為：s

5

14.（2020秋?蒙城縣期末）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C均在格點上,

則tanB的值為工.

一2一

【思路引導(dǎo)】如圖，取格點E,連接EC,則2,A,E共線，NE=90。.利用勾股

定理求出EC,EB,可得結(jié)論.

【完整解答】解：如圖，取格點E,連接AE,EC,則8,A,E共線，Z￡=90°.

E

EC=yj+2=,BE=?22+42=2''^"^，

tanB=EC1

BE2

故答案為：5?

2

15.（2020秋?新吳區(qū)期末）如圖，AABC的頂點都在正方形網(wǎng)格紙的格點上，貝usin=二匕=

2

V10

~W~'

【思路引導(dǎo)】如圖，取格點T,連接AT,BT,設(shè)3T的中點為“，連接CH.證明CB=

CT,利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

【完整解答】解：如圖，取格點T,連接AT,BT,設(shè)87的中點為H,連接CH.

,:BC=S+q2=5?CT=^52+52=542,

：.CB=CT,

?:BH=HT,

：.ZHCA=ZHCBfCHLBT,

?：HT=Q心4爬，

..ZC_TH_V5-V10

??olll--^=",

2CT57210

故答案為：叵.

10

16.(2021春?瑞安市月考)如圖，在河對岸有一等腰三角形場地EFG,FG=EG,為了估測

場地的大小，在筆直的河岸上依次取點C,D,B,A,使尸C，/,BG±l,點E,

G,。在同一直線上，在。觀測廠后，發(fā)現(xiàn)/FDC=/EDA,測得。=12米，DB=6

米，A8=12米，則FG=8遍米.

CDBAI

【思路引導(dǎo)】過點G作GMVAE于G.GNLEF于N,過點D作DJLI,過點F作FT

于T.利用相似三角形的性質(zhì)證明DF=FG,再證明推出EN=EM

=FN,證明△EGMgZ\EGN(A4S),推出EM=EN,設(shè)在RsETF中，利用勾

股定理求出方程求出m,即可解決問題.

【完整解答】解：過點G作GMLAE于G.GNLEF于N,過點。作“，/,過點尸作

FT±AE于T.

'：FCn,BGU,EA±l,

：.ZFCD=NE4￡>=90。，BG//AE,

'：ZFDC=ZEDA,

:ZCDsMEAD,AGBDSEAD,

?OF=CD=9DG=DB=1

??而一應(yīng)—應(yīng)一正一?

:.DF=2DG,DE=3DG,

:.EG=FG=2DG,

:.FD=FG,

：.ZFDG=ZFGD=ZGFE+ZGEF,

,:GE=GF,

：.ZGEF=ZGFE,

VZFDJ+ZFDC=90°,ZEDJ+ZEDA=90°,NFDC=/EDA,

???ZFDJ=NEDJ,

：.2ZEDJ=2ZGEF,

：.ZEDJ=/DEF,

9

：DJ//AEf

：.ZEDJ=/AED,

???ZDEA=ZDEFf

VGM1AE,GN工EF,

：./EMG=NENG=9U。,

?：EG=EG,

：./\EGM^/\EGN（AAS）,

:.EM=EN,

*：GE=GF,GALLER

:?FN=EN=EM,

?..四邊形4BGM,四邊形CFZ4都是矩形，

：.AB=GM^CD=6（米），

?:DF=EG,ZFCD=ZGME=90°,

.?.RtAFCD^RtAEA/G（HL）,

：.CF=EM,

設(shè)AM=m米則AE=3m米，EM=CF=AT=FN=EN=2m米,

：.ET=AE-AT^m（米），

在RtAEFT中,FT^+ET1=EF2,

.,.3CP+ni2—（4加）2,

：.m=2yj~15^-2A/I5（舍棄），

：.FN=4yJ-15（米），

：GN=GM=12米，

FG22

=VFN-K；N=7（4715）2+122=8加（米），

故答案為：8遍.

17.（2021?新洲區(qū)模擬）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=10,BC=5,M是射線

AB上的一動點，以AM為斜邊在AABC外作Rt^AMN,且使tanNAMN=1,0是BM

2

的中點，連接ON.則ON長的最小值為,疵

【思路引導(dǎo)】作NPLAB于點尸，設(shè)AM長為無，用含x代數(shù)式表示出ON,然后通過配

方求解.

【完整解答】解：作NP1AB于點P,

在RtAACB中，由勾股定理得：

AB=VAC2+BC2=1102+52=5立,

設(shè)AM長為X,貝|JBM=5掂-X,

:.AN=2MN,

/MM=VAN2+NM2

:.MN=SAM=SX,AN=2MN=^&X,

555

同理，在RtAANP中可得心=返松=2%,AP=2NP=￡,

555

?.,。為中點，

...BO=LM='疾f,

22

：.AO=AB-BO=^!-^+X,

2

.?.OP=AO-AP=^+X-￡=2g3x,

2510

在RtAONP中，由勾股定理得0尸=0尸2+NL,

即ON2=（25遮-3,）2+（2尤）2=A（25/-150泥x+3125）=—（x2-6A/5X+125）

1051004

(X-3泥)2+20,

4

.?.當(dāng)x=3巡時，ON2取最小值為20,

...ON最小值為2巡.

故答案為：2巡.

18.(2021?樂山)如圖，已知點A(4,3),點2為直線y=-2上的一動點，點C(0,w),

-2<M<3,4。，2。于點。，連接42.若直線AB與x正半軸所夾的銳角為a,那么當(dāng)

sina的值最大時，n的值為_2*_.

【思路引導(dǎo)】當(dāng)sina的值最大時，則tana=&^■第值最大，即當(dāng)BG最大時，sina的

BNBN

值最大，設(shè)BG=y,由tanZCAM=tanZBCG,得到y(tǒng)=-—(n-3)(n+2),進而求解.

4

【完整解答】解：過點A作AMLy軸于點作ANLBN交于點N,

,直線y=-2〃x軸，故NA3N=a,

當(dāng)sina的值最大時，則tana=￡^W-值最大,

NBNB

故BN最小，即BG最大時，tana最大，

即當(dāng)8G最大時，sina的值最大，

設(shè)BG=y,

則AM=4,GC=n+2,CM=3-n,

VZACM+ZMAC=90°fZACM+ZBCG=90°9

：.ZCAM=ZBCG,

tanNCAM=tanZBCG,

.?.0■里，即圭nq,

AMCG4n+2

.'.y=-—("-3)(n+2),

4

：--<0,

4

故當(dāng)(3-2)=/"時，y取得最大值，

故n=—,

2

故答案為：工.

2

三.解答題

19.(2020秋?安丘市期末)構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要策略.在計

算tanl5。時，如圖，在R3ACB中，NC=90。，ZABC=30°,延長CB使連

接A。，得/。=15。，所以tanl5°=32=—^==-~噂=、=2-遮.

CD2+>/3(2g(2-英)

類比這種方法，計算tan22.5。(畫圖并寫出過程).

【思路引導(dǎo)】如圖，在等腰直角A4BC中，ZC=90°,延長C8至點O,使得48=8￡>,

則設(shè)AC=1,求出CQ,可得結(jié)論.

【完整解答】解：如圖，在等腰直角AABC中，ZC=90°,延長CB至點。，使得A3=

,/ZABC^45°=ZBAD+ZD=2ZD,

ZD=22.5°,

設(shè)AC=1,則BC=1,AB=V2AC=V2,

ACD=CB+BD=CB+AB=1+V2，

tan22.5°=tan￡)==——=-------,L———_i.

20.(2021?西藏)如圖，為了測量某建筑物CO的高度，在地面上取A,8兩點，使A、B、

。三點在同一條直線上，拉姆同學(xué)在點A處測得該建筑物頂部C的仰角為30。，小明同

學(xué)在點8處測得該建筑物頂部C的仰角為45。，且43=10".求建筑物CD的高度.

(拉姆和小明同學(xué)的身高忽略不計.結(jié)果精確到0.1切，加切.732)

【思路引導(dǎo)】連接AC、BC,由銳角三角函數(shù)定義求出AD=43CD,再由AB

=AD-BD,即可求解.

【完整解答】解:連接AC、BC,如圖所示：

由題意得：ZA=30°,NO8c=45°,AB=10m,

在RtABDC中，tanN￡)BC=±2=tan45°=l,

BD

：.BD=CD,

在R3ACD中，tanZDAC=—=tan30°=返，

AD3

:.AD=MCD,

：.AB=AD-BD=yf3CD-CD=IO(m),

解得:CD=5?+5al3.7(m),

答：建筑物CO的高度約為13.7九

21.(2021?淮安)如圖，平地上一幢建筑物A2與鐵塔CD相距50相，在建筑物的頂部A處

測得鐵塔頂部C的仰角為28。、鐵塔底部。的俯角為40。，求鐵塔的高度.

(參考數(shù)據(jù):sin28°~0.47,cos28°?0.8,tan28°?0.53,sin40°~0.64,cos40°~0.77,tan40°~0.84)

【思路引導(dǎo)】過A作AE，C。，垂足為E.分別在RtAAEC和R3AED中，由銳角三角

函數(shù)定義求出CE和OE的長，然后相加即可.

【完整解答】解：如圖，過4作AELCO,垂足為E.

則A￡=50/77,

在RtAAEC中，CE=AE?tan28°=50x0.53=26.5(m),

在RtAAE。中，DE=AE?tan40°=50x0.84=42(m),

CD=CE+DE~26.5+42=68.5(m).

答:鐵塔CD的高度約為685".

22.(2021?撫順)某景區(qū)A、2兩個景點位于湖泊兩側(cè)，游客從景點A到景點8必須經(jīng)過C

處才能到達.觀測得景點B在景點A的北偏東30°,從景點A出發(fā)向正北方向步行600

米到達C處，測得景點B在C的北偏東75。方向.

(1)求景點8和C處之間的距離；(結(jié)果保留根號)

(2)當(dāng)?shù)卣疄榱吮憬萦慰陀斡[，打算修建一條從景點A到景點B的筆直的跨湖大橋.大

橋修建后,從景點A到景點B比原來少走多少米？(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):加日.414,

V3?1.732)

【思路引導(dǎo)】(1)通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，在R3AC。中，可求出C。、AD,

根據(jù)外角的性質(zhì)可求出的度數(shù)，在R3BC。中求出8C即可；

(2)計算AC+BC和的長，計算可得答案.

【完整解答】解：(1)過點C作CQLAB于點。，

由題意得，NA=30°,ZBCE=75°,AC=600m,

在R3ACJ9中，ZA=30°,AC=600,

；.CZ)=!AC=300(m),

2

AZ)=返A(chǔ)C=300盜(m),

2

/BCE=W=/A+/B,

：.ZB=75°-ZA=45°,

：.CD=BD=300(m),

BC=V2CD=3OOA/2(m),

答：景點2和C處之間的距離為300&加；

(2)由題意得.

AC+BC=(600+300A/2)m,

AB^AD+BD=(300