1.1集合

錄

01課標(biāo)要求........................................................................2

02落實(shí)主干知識(shí)....................................................................3

一、集合的含義與表示.............................................................3

二、集合間的基本關(guān)系..............................................................3

三、集合的基本運(yùn)算................................................................3

四、常用二級(jí)結(jié)論..................................................................4

03探究核心題型....................................................................5

題型一：集合的含義與表示..........................................................5

題型二：元素與集合的基本關(guān)系......................................................5

題型三：集合元素的特征............................................................6

題型四：集合間的基本關(guān)系..........................................................7

題型五：集合的基本運(yùn)算............................................................7

題型六：集合與排列組合的綜合應(yīng)用.................................................8

題型七：韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算...............................................9

題型八：容斥問題.................................................................10

題型九：集合中的創(chuàng)新問題.........................................................11

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01課標(biāo)要求

1、了解集合的含義，了解全集、空集的含義.

2、理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.

3、會(huì)求兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集.

4、能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系

和基本運(yùn)算.

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02落實(shí)主干知識(shí)

一、集合的含義與表示

1、元素與集合：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱元素；把一些元素組成的總體叫做集合.集合中的元素具有:

確定性，互異性，無序性.

2、元素。與集合力的關(guān)系：e,￡；

3、集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖圖）.

4、常見數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*或N.ZQR

二、集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合力、B,如果集合4中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素，我們就說

這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合4為集合8的子集，記作力￡4（或,讀作“4包含于8”（或

“3包含4”）.

直子集：如果集合力仁8,但存在元素xs8,且x區(qū)力，我們稱集合/是集合后的直子集，記作

43（或8*力）.讀作“A真包含于B”或“B真包含A

（3）相等：如果集合/是集合8的子集（AqB,且集合8是集合力的子集（BqA）,此時(shí)，集合

力與集合8中的元素是一樣的，因此，集合力與集合8相等，記作4=8.

（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素?的集合叫做空集，記作0；。是任何集合的子集，是任何非空集

合的真子集.

三、集合的基本運(yùn)算

1、①并集：A^B={x\xeA,或rw8}；

②交集：/inB={x|xe4且xe團(tuán)：

③補(bǔ)集：={X\XGU,且

④全集：一個(gè)集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U

2、運(yùn)算律

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①交換律力U8=8U4，=

②結(jié)合律（/u“）uc=/iu（4uc）,（/n3）nc=/n（4nc）；

③分配律（力nA）uc=（/iuc）n（4uc）,（ju^）nc=（.4nc）u（2?nc）；

④德摩根律視/U8）=（"i）n（?,-C5）=（"）u（心）.

四、常用二級(jí)結(jié)論

（1）若集合力中有〃個(gè)元素如,°2,…，/｝，則集合力的所有子集個(gè)數(shù)為23所有非空子集的個(gè)數(shù)是

2”-1,所有其子集的個(gè)數(shù)是2”7,所有非空真子集的個(gè)數(shù)是2"-2.

（2）包含關(guān)系的各種等價(jià)表示：①4U8=8=/q8；②408=/=力08；③

力fl（電8）=0=；④（q,，4）U8=U=力q8；⑤d0

（3）容斥原理

Card（AuB）=Card（A）+Card（B）-Card（AcB）.

（4）牢記兩個(gè)注意點(diǎn)

①在應(yīng)用條件AuB=B=力cB=Ao4q8時(shí)要樹立分類討論的思想，將集合A是空集的情況優(yōu)先

進(jìn)行討論.

②在解答集合問題時(shí)，要注意集合元素的特性，特別是互異性對(duì)集合元素的限制.

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03探究核心題型

題型一：集合的含義與表示

【例1】（2025?重慶?三模）已知集合力={1,2},8={2,4},則。={k|工￡4），￡用的元素個(gè)數(shù)為

（）

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧與總結(jié)】

（1）確定集合中的代表元素.

（2）確定元素的限制條件.

（3）理解元素的互異性，在解決集合中含有字母的問題時(shí)，一定要返回代入驗(yàn)證，防止與集合中元素

的互異性相矛盾.

【變式1-1]（2025?廣東揭陽?二模）已知集合力=＜（》,y）?+則4中元素的

個(gè)數(shù)為（）

A.7B.9C.11D.13

【變式1?2】（2025?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有1、3、7、9四個(gè)數(shù)，從這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相加，

可以得到多少個(gè)不同的數(shù)（）

A.5B.6C.7D.12

【變式1?3】（2025?甘肅平?jīng)?模擬預(yù)測(cè)）已知集合力={0,2},8={-1,1,2},C={ab\a^A.beB],

則集合。的子集有（）

A.64個(gè)B.63個(gè)C.16個(gè)D.15個(gè)

題型二：元素與集合的基本關(guān)系

【例2】（2025?重慶?二模）已知全集。={1,2,3,4,5},集合〃滿足Q4={1,2,5},則（）

A.3任MB.C.5eMD.41M

【方法技巧與總結(jié)】

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明確元素與集合的“屬于”或“不屬于”關(guān)系。判斷時(shí)，看元素是否滿足集合定義條件。若滿足，則

元素屬于該集合；若不滿足，則不屬于。此關(guān)系用于界定元素與集合的歸屬，是集合論的基礎(chǔ)。

【變式2?1】（2025?遼寧?二模）設(shè)集合<={x|2x-l網(wǎng)若25,則機(jī)的取值范圍是（）

A.m<3B.m>3C.m<3D.tn>3

【變式2?2】（2025?河南?三模）已知集合/=卜產(chǎn)<1},。"工8,則（）.

A.一1比8B.-1任力C.IwBD.

【變式2?3】（2025?陜西漢中?二模）已知集合/={2m+石〃帆CZ,〃€N},則（）

A.Ji史力B.一2+5上任力C.4eJD.7+26wA

題型三：集合元素的特征

【例3】（2025?廣東深圳?二模）已知等差數(shù)列{叫的公差為牛，集合S=kosa“l(fā)〃eN},若

S={a,b,c},則a+b+c=（）

A.-1B.0C.1D.x/3

【方法技巧與總結(jié)】

利用集合元素的特征：確定性、無序性、互異性.

【變式3-11（2025?高三?安徽宣城?期末）已知集合4={0,4//},8={O,4,3。-2},若力=B,則

。的值是（）

A.1或2B.-1或()C.1D.-1

【變式3-2】（2025?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知集合彳=,〃2},={1,4},若1￡兒則力UB中所有元

素之和為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式3-3]已知集合[={〃7+2,2〃?2+〃"，若364，則〃？的值為（）

333

A.1B.--C.1或一三D.-1或7

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題型四：集合間的基本關(guān)系

【例4】已知集合人丹=E+兀rrKTL+了7TP，則（）

4

A.M=NB.M口NC.N=MD.McN=0

【方法技巧與總結(jié)】

（1）在判定兩個(gè)集合之間的關(guān)系時(shí)，我們通常會(huì)采用兩種主要方法。第一種是邏輯分析法，此方法

要求我們先對(duì)集合的表達(dá)式進(jìn)行化簡處理，再通過分析化簡后的表達(dá)式來明確兩個(gè)集合之間的邏輯關(guān)系。

第二種方法則是列舉法，具體操作是分別將兩個(gè)集合中的所有元素列舉出來，然后通過對(duì)比這些元素來直

觀地判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系。

（2）已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為

參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

【變式4-1］（2025?北京?二模）已知集合/=卜|/+2%=0},集合8={小+1>0},那么（)

A.力DB=0B.A^BC.BqAD.(4加8.0

【變式4?2】（2025?河北保定?二模）已知集合力={(X，MP=(xT)(x-5)},8二{(xj)l￡=4*,則

4c8的真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.15

【變式4-3］（2025?四川成都?三模）已知集合力={刈<x<3},B={x\x<m},若/qB,則實(shí)數(shù)

的取值范圍是（）

A.{m\m<1}B.C.{w|w<3|D.{〃?加23}

【變式4?4】（2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=a+〃i(%/)eR),若集合X={(〃⑼卜)+2z+2=o},

則A的子集個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.4D.8

題型五：集合的基本運(yùn)算

【例5】（2025?寧夏銀川?三模）已知全集/={xeN|x?10},集合

M={XGN|X2-4X+3<()},N={2,4,6,8,10},則0(MuN)=()

A.{5,7,9}B.{1,2,3,4,6,8,10}C.{0,5,7,9}D.{0,1,2,3,4,6,8,10}

【方法技巧與總結(jié)】

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在處理集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，可視元素特性選擇合適表示方法。若元素為離散型，可借助Venn

圖直觀展示集合關(guān)系；若元素連續(xù)分布，則宜用數(shù)軸表示，同時(shí)需特別留意數(shù)軸端點(diǎn)的包含或排除情況。

1

【變式（2025?山西朔州?二模）若集合力={小<4},8=x-Nl,則/c（48）=（）

X

A.（5]B.（0,1]c.（-oo,0）u（0,i]D.（-O>,0]u（l,4）

【變式5?2】（2025?湖南長沙?二模）已知全集U=4U8=&eN|0?xS4},/lc08）={1,2,3},

則集合〃=（）

A.{0}B.{4}C.{0,4}D.{1,2,3,4）

【變式5-3]（2025?黑龍江遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知集合A={xeZ||x-l|<2）,B={x|x2-3x+2<o）,

則Nc（44）=（）

A.{0}B.{-1,0,3}C.{1,2}D.{-1,0,1,2,3}

【變式5-4]（多選題）（2025?江西萍鄉(xiāng)?二模）已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合=

且滿足：/I5={3,5},（瘠4"（膽）={2,4},則下列說法正確的為（）

A.4eAB.6eAUB

C.集合A可能是{1,3,5,6}D.（瘠N）U（uB）={l,2,4,6}

題型六：集合與排列組合的綜合應(yīng)用

【例6】（2025?北京朝陽?模擬預(yù)測(cè)）己知集合"={1,2,3.4},若集合小B滿足:力qBqU,則集

合對(duì)（48）共有（）個(gè).

A.36B.48C.64D.81

【方法技巧與總結(jié)】

在運(yùn)用排列與組合理論處理集合相關(guān)問題，或求解集合中元素?cái)?shù)量時(shí)，關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化

的策略。通過深入剖析問題本質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為排列組合模型，從而高效地找到解決方案。

【變式6-1]（2025-山西-模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)從一含10個(gè)元素的集合S的子集中隨機(jī)選出2個(gè)不同的子集,

被選山的子集之間必須滿足包含或被包含的關(guān)系，則滿足該選取條件的選法有種.

【變式6-2]設(shè)集合力是由所有滿足下面兩個(gè)條件的有序數(shù)組?,七,七,.％,%,無6）構(gòu)成：①茗€{-1,0,1}；

②14W|+同+闖+k4|+|再|(zhì)+聞43；則集合4中的元素共有個(gè).

【變式6?3】設(shè)集合/={1,2,3,4,5,6},若/的非空子集4〃滿足力口4=0,我們稱有序集合對(duì)（40

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為/的“互斥集合對(duì)“，則集合/的“互斥集合對(duì)”的個(gè)數(shù)為一.（用數(shù)字作答）

題型七：韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算

【例7】（2025?山東棗莊?二模）已知全集為U,集合48是U的兩個(gè)子集，若力D8/0,則下列

運(yùn)算結(jié)果為A的子集的是（）

A.B.（%4）cB

C.月0（”）D.（腫）u（a）

【方法技巧與總結(jié)】

Venn圖是一種借助平面幾何圖形來直觀表示集合的工具，通常以封閉曲線（多為矩形等）的內(nèi)部區(qū)

域來代表集合。這種圖形化表達(dá)方式生動(dòng)形象，能將抽象的集合問題具象化。借助Venn圖的直觀特性，

可深入領(lǐng)會(huì)集合概念與運(yùn)算公式，清晰呈現(xiàn)集合間的關(guān)聯(lián)。

【變式7?1】（2025?安徽合肥?三模）已知集合力={0,1,2,3,4,5},8={0,2,4,6,8},則圖中陰影部分所

【變式7?2】（2025?廣東佛LI?二模）圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（）

C.D.（力u〃）c（AuC）

【變式7?3］（多選題）（2025?湖南長沙-模擬預(yù)測(cè)）圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（）

A.Bc(AuC)B.JuC)

C.BcCjAuC)D.(4C5)58CC)

【變式7-4］（多選題）（2025?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）已知集合48均為R的子集，若/口5=0,則

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()

A.力B.除AqB

C.JuB=RD.(馴)WR8)=R

題型71：容斥問題

【例8】（2025?江蘇?一模）我市某校共有1500名學(xué)生在學(xué)校用午餐，每次午餐只能選擇在樓上或

樓F的一個(gè)食堂用餐，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)天在樓上食堂用午餐的學(xué)生中，有1。%的學(xué)生第二天會(huì)到樓下食堂用午

餐：而當(dāng)天在樓下食堂用午餐的學(xué)生中，有15%的學(xué)生第二天會(huì)到樓上食堂用樓午餐，則一學(xué)期后，在樓

上食堂用午餐的學(xué)生數(shù)大約為（）

A.700B.800C.900D.1000

【方法技巧與總結(jié)】

容斥原理

card（/\^=cardA+card3+cardC-card（A^\B）-card（B[yC）-card（A^\C）+cardiA^yB^C）.

【變式8-1]（多選題）（2025?河北石家莊?三模）某?！拔逡惶飶竭\(yùn)動(dòng)會(huì)”上，共有12名同學(xué)參加

100米、400米、1500米三個(gè)項(xiàng)目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加

“1500米比賽”,“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人,“400米和1500米”

都參加的有3人，則下列說法正確的是（）

A.三項(xiàng)比賽都參加的有2人B.只參加100米比賽的有3人

C.只參加400米比賽的有3人D.只參加1500米比賽的有1人

【變式8?2】“運(yùn)動(dòng)改造大腦”，為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，某班學(xué)生積極參加學(xué)校組織的體育特色課堂，課

堂分為球類項(xiàng)目4徑賽項(xiàng)目從其他健身項(xiàng)目C該班有25名同學(xué)選擇球類項(xiàng)目A,20名同學(xué)選擇徑賽項(xiàng)目

從18名同學(xué)選擇其他健身項(xiàng)目C；其中有6名同學(xué)同時(shí)選擇力和用4名同學(xué)同時(shí)選擇力和C,3名同學(xué)同

時(shí)選擇8和C.若全班同學(xué)每人至少選擇一類項(xiàng)目且沒有同學(xué)同時(shí)選擇三類項(xiàng)目，則這個(gè)班同學(xué)人數(shù)是

（）

A.51B.50C.49D.48

【變式8-3】學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，高三⑴班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參

加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比

賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽.若從該班參加比賽的同學(xué)中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行訪談，則抽取到的同

學(xué)只參加田徑一項(xiàng)比賽的概率為（）