中考撤號(hào)

幾何變換之翻折（軸對(duì)稱）鞏固練習(xí)

1.已知，在10X10網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，△力比是格點(diǎn)三角形（三角形的頂點(diǎn)是網(wǎng)格線

的交點(diǎn)）.

（1）面出△力比、關(guān)于），軸對(duì)稱的△小曲Q

（2）畫出△4片《向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到的△力2層Q；若點(diǎn)/，的坐標(biāo)為（4,2）,請(qǐng)直接寫出用的坐

【分析】（1）分別作出4,B,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4,B\,6；即可.

（2）分別作出點(diǎn)4,B\,G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)42,反，0即可.

【解答】解：（1）如圖，瓦G即為所求.

（2）如圖，△42傷G即為所求.為（-4,-3）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-軸對(duì)稱變換，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決

問(wèn)題.

2.如圖，直線膽是△45C中8c邊的垂直平分線，點(diǎn)尸是直線〃?上的一動(dòng)點(diǎn)，若49=6,AC=4,BC=7,

中考撤號(hào)

(1)求處+加的最小值，并說(shuō)明理由;

(2)求△/1用周長(zhǎng)的最小值.

【分析】(1)根據(jù)線段的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)題意知點(diǎn)。關(guān)于直線〃?的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)8故當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)〃重合時(shí)，力網(wǎng)”值的最小，求出49長(zhǎng)度

即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)為+加=/出=6；

原因：兩點(diǎn)之間，線段最短；

(2)?，〃是8。的垂直平分線，點(diǎn)〃在加上，

工點(diǎn)。關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)8且PB=PC,

?「CZB(=ARPC*AC,

V/C=4,

要使△力;T周長(zhǎng)最小，

即，仍7r最小，

當(dāng)點(diǎn)尸是機(jī)與/步的交點(diǎn)時(shí)，加+陽(yáng)最小，

即以+陽(yáng)=AB,此時(shí)以做=AB^AC=6+4=10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出戶的位置.

3.如圖，在△力勿中，已知4?=優(yōu)"的垂直平分線交相于點(diǎn)M交"于點(diǎn)J/,連接J吸

(1)若NA8c=70°,則/網(wǎng)力的度數(shù)是-50°.

(2)若4片8cm,△制先.的周長(zhǎng)是14cm.

①求為。的長(zhǎng)度；

②若點(diǎn)尸為直線期F上一點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出△物周長(zhǎng)的最小值.

中考撤號(hào)

【分析】(1)依據(jù)△月回星等腰三角形，即可得到N1%的度數(shù)以及//的度數(shù)，再根據(jù)助V是垂直平分線,

即可得到N4W的度數(shù)，進(jìn)而得出/加介的度數(shù)；

(2)①依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得至IJ4U8M進(jìn)而得出△8CV的周長(zhǎng)=力3為4再根據(jù).奶="=8"〃,

△毗、的周長(zhǎng)是14cm,即可得到比、的長(zhǎng)；

②依據(jù)PMPC=PA”C,PA+PC^AC,即可得到當(dāng)戶與加重合時(shí)，用+必三力此時(shí)P階PC最A(yù)、,進(jìn)而得出△取'

的周長(zhǎng)最小值.

【解答】解：(1)'：AB=AC,

：./C=NABC=7G,

???/力=40°,

???一的垂直平分線交AB于點(diǎn)、A；

，/4WU9()°,

工乙W%=50°,

故答案為：50°；

(2)①二時(shí)是/歷的垂直平分線，

??.止則

:.LBCM的周長(zhǎng)=B蚣C9BC=A跟MC+BC=AOBC,

*：XB=AC=8cm,△物笫的周長(zhǎng)是14s〃，

：.BC=\A-8=6(cw)；

②當(dāng)產(chǎn)與必重合時(shí)，△以:的周長(zhǎng)最小.

理由：'：PB^PC=PA+PC,PA+PgC,

??.當(dāng)產(chǎn)與J/重合時(shí)，PA+PC=AC,此時(shí)月為T最小值等于4C的長(zhǎng)，

???△加C的周長(zhǎng)最小值=438。=8+6=14(cm).

中考撤號(hào)

硼=/煙=60°=/BPF,

"PFB=60°.

???△物'是等邊三角形，

:.PB=PF,AFP=\2^=4PBQ.

,:￡BP54QPF=60°,/APR/QPF=60°,

???(BPQ=/APF,

在△/%?和中，

(ZBPQ=ZAPF

\PB=PF，

UPBQ=乙PFA

:.APBgAPFA(力SI),

：.PQ=PA,

丁/加鋁=60°,

???△/〃鋁是等邊三角形.

(2)解：補(bǔ)全圖形，如圖2所示：

圖2

②解：結(jié)論：BQ=I/AB.

理由：如圖3中，在劭上取一點(diǎn)E使得處、二",連接

?:乙FBP=30°,BF=BP,

??.△的是等邊三角形，

"BPF=/APQ=6Q°,

???￡APB=zm,

'：PB=PF,PA=PQ,

:.\BPA二△FPQ(SAS),

:』B=QF,

JBgBRFgBRAB.

中考撤號(hào)

【點(diǎn)評(píng)】考杳等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加營(yíng)用輔助線，

構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

5.國(guó)慶期間，廣場(chǎng)上對(duì)一片花圃做了美化造型（如圖所示），整個(gè)造型構(gòu)成花的形狀.造型工面呈軸對(duì)稱,

其正中間“花蕊”部分（區(qū)域①）擺放紅花，兩邊“花瓣”部分（區(qū)域②）擺放黃花.

（1）兩邊“花瓣”部分（區(qū)域②）的面積是」小土法一.（用含。的代數(shù)式表示）

（2）已知。=2米，紅花價(jià)格為220元/平方米，黃花價(jià)格為180元/平方米，求整個(gè)造型的造價(jià)（冗取

【分析】（1）區(qū)域②的面積=三個(gè)正方形的面積+應(yīng)該半圓的面積.

（2）分別求出區(qū)域①，②的面積，再乘以單價(jià)即可.

【解答】解：（1）區(qū)域②的面積=2次+?『42=2"+]?42.

故答案為：2*+]?標(biāo).

（2）整個(gè)造型的造價(jià)：220（2X22,fX22）+180（2X22+n*22）=2960（元）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱，正方形的性質(zhì)，代數(shù)式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)月所學(xué)知識(shí)解

決問(wèn)題.

6.如圖，在。40中，力〃的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)況與勿的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)反力〃與以'相交于點(diǎn)。，連接力〃,

BD.

（1）求證：四邊形/I坑心為菱形：

（2）若/。=8,問(wèn)在回上是否存在點(diǎn)R使得用勿最小？若存在，求線段9的長(zhǎng)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

中考撤號(hào)

【分析】（1）根據(jù)題意得出40=〃。，ADVBE.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出/歷〃切.即可得出/力/=/

BED.從而證得△月娛△〃龍34S）,得到仇HAZ即可證得四邊形月肱是平行四邊形.由前上BE,證得

四邊形力睡是菱形；

（2）作點(diǎn)〃關(guān)于比的對(duì)稱點(diǎn)〃，DD,交函于點(diǎn)G,延長(zhǎng)陽(yáng)過(guò)2/作〃歸_跖于點(diǎn)機(jī)連接力交比'于點(diǎn)

P,此時(shí)物隹'最小；根據(jù)題意得到80=%.BM=GD.即可得到⑼=〃0=9g4.進(jìn)一步得到加=周上

ppop2o

=

BM.通過(guò)證得△以76△J儂'，得至歸MKD=7EUM3Q?進(jìn)而證得BP=3

【解答】（1）證明：???筋垂直平分力〃

.：,A0=D0,ADLBE.

???四邊形力成力是平行四邊形，

：,AB//CD.

???乙ABE=/BED.

*：AA0B=ADOE,

又A0=DO,

:.\A0痛XDOE<AAS）,

：.B0=E0.

乂A0=DO,

；.四邊形業(yè)僅是平行四邊形.

■:ADIBE,

???四邊形兒物'是菱形：

（2）解：如圖所示：作點(diǎn)〃關(guān)于比的對(duì)稱點(diǎn)〃，DD'交a'于點(diǎn)G,延長(zhǎng)陽(yáng)，過(guò)〃作〃歸_旗于點(diǎn)M連

接"交8c于點(diǎn)只此時(shí)物陽(yáng)最小；

■:土冊(cè)1)=40BC=4BGD=90°,

中考撤號(hào)

，四邊形必能是矩形.

：,BO=DG,

同理冽/=①

???M=D0=*AD=A.

又50=EO,

：.BO=EO=mL

?:tEBP=4M=90°,4BEP=4MED,

:.△BEMMMED',

.BP_BE_2

??麗一前一

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形求得的判定和性質(zhì)，菱形的判定

和性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在長(zhǎng)方形力題中，［4=8,49=1(),點(diǎn)足為優(yōu)、上一點(diǎn)，將△力掰沿力/折疊，使點(diǎn)5落在長(zhǎng)方形

內(nèi)點(diǎn)尸處，連接外，且〃尸=6.

(1)求證：AFVDF.

(2)求跖的長(zhǎng).

中考撤號(hào)

【分析】（1）由折替的性質(zhì)和勾股定理的逆定理證出△月加是直角三角形即可：

（2）,設(shè)BE=x,則獷'=x,DE=6+x,￡C=10-x,在R/△戊方中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】（1）證明：???將△四￡沿四折疊，使點(diǎn)6落在長(zhǎng)方形同點(diǎn)/處，

:JF=AB=8,

■:心1）戶=62+82=I00=1。2=力也

???△/”尸是直角三角形，N4叨=90°

:.AF,DF、

（2）解：由折疊的性質(zhì)得：BE=FE,/B=/AFE=90：

又4叨=90°,

???/力密/力朋=180°,

:,點(diǎn)、D,F,少在一條直線上，

???四邊形力比〃是矩形，

：,BC=AD=^,CD=AB=6,Z6^90°,

設(shè)BE=x,則牙-x,DE=6+x,仇=10-x,

在R/△戊方中，由勾股定理得：/+笫=陽(yáng),

即（107）2+82=（6+x）2.

解得：x=4.

:?RE=4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理.、勾股定埋等知識(shí)；熟練掌握翻折

變換的性質(zhì)和勾股定理以及逆定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，△4％中，/力390°.〃是邊/應(yīng)上一點(diǎn)，點(diǎn)〃關(guān)于直線力。的對(duì)稱點(diǎn)為￡,連接并延長(zhǎng)笈

至點(diǎn)凡ACF=EC.連接力區(qū)BF.

（1）依題意補(bǔ)全圖形：

（2）猜想線段18AE,法的數(shù)量關(guān)系并證明.

中考撤號(hào)

【分析】(1)根據(jù)要求畫出圖形艮］可.

(2)結(jié)論：AB=AE^BF.想辦法證明力力區(qū)劭=“即可.

(2)結(jié)論：AB=AE+BF.

理由：???〃，￡關(guān)于力C對(duì)稱，

：.DELAC,CE=CD,AE=ADt

'：EC=a,

：.CD=CE=CF,

:?￡EDF=90°,

：.ED\FD,

：.AC//DF,

??Z%=90°,

:JCLBC,

：,DFLBC.

?：CD=CF,

???/垂直平分線段/乃，

:?BD=BF,

?:AB=A/BD,AD=AE,BD=BF,

：,AB=AE+BF,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-軸對(duì)稱變換，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意,

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

中考核等

9.如圖，在△/比中.AB=AC,點(diǎn)￡在線段8C上，連接然并延長(zhǎng)到G,使得用=月￡,過(guò)點(diǎn)G作?！ㄆ龇?/p>

別交比,4C于點(diǎn)RD.

(1)求證：△/應(yīng)口△屋；

(2)若⑺=3,CD=1,求力〃的長(zhǎng)度；

(3)過(guò)點(diǎn)〃作〃〃_1_a'于〃，〃是直線〃〃上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接"；AP,FP,若NU45°,在(2)的條件

【分析】(1)根據(jù)/MS證明三角形全等即可.

(2)求出的長(zhǎng)，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

(3)證明點(diǎn)少與點(diǎn)。關(guān)于直線切對(duì)稱，推出當(dāng)點(diǎn)〃與〃重合時(shí)，△刈/，’的周長(zhǎng)最小，最小值=△［如'的周

長(zhǎng).

【解答】(1)證明：如圖1中，'：GD//AB.

：./B=/EFG,

在△力比'和△旌中，

(ZB=ZEFG

\z-AEB=Z.GEF,

(AE=EG

:ZBI注4GFE(AAS).

(2)解：如圖1中,

中考撤號(hào)

'：AB=AC,

：?/B=NACB,

'：DF//AB,

:.(DFC=NB,

:.￡DFC=4DCF,

：、DC=DF=k

?：DG=3,

:.FG=DG-DF=2,

<\AB3XGFE,

：/B=GF=2.

(3)解：如圖2中，9：AB=AC=2,

G

圖2

???N4NC=45°,

，/陰C=9()°,

:?/FDC=/BAC=9G,BPFDLAC

*：AC=AB=2,CD=1,

：?RA=DC

中考撤號(hào)

:?FA=FC,

：,ZC=ZFAC=45°,

，N"C=90°,

：.I)F=DA=DC=\,

：,AF=V'2,

■:DH1CF,

：,FH=CH,

，點(diǎn)尸與點(diǎn)。關(guān)于直線如對(duì)稱，

???當(dāng)點(diǎn)尸與〃重合時(shí)，△川廠的周長(zhǎng)最小，最小值=Z\4F的周長(zhǎng)=2+\泛.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是正確尋找全等一:角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

10.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A(5,0),4(3,4),C(0,4),點(diǎn)〃在QJ上，/制=N1,BHtOA于

H.

(1)判斷△"國(guó)的形狀，并說(shuō)明理由.

(2)求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

(3)若夕是剛上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求力的面積.

【分析】(1)依據(jù)勾股定理即可得到如的長(zhǎng)，依據(jù)點(diǎn)力的坐標(biāo)即可得到處的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△，《仍是等腰三

角形；

(2)依據(jù)四邊形〃&Y/是矩形，即可得到C〃=ZT=3,進(jìn)而得出力仁力。-/川=2,再根據(jù)放是等腰三角

形，即可得到〃〃的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)〃的坐標(biāo)：

(3)連接/C,交BH于P,連接.叨，依據(jù)勿=為，可得叱P汾g叱PA+CD=A0CD,此時(shí)，△尸C力的周

長(zhǎng)最小，求得分=￡,再根據(jù)S△疝=S稅彩Mx-S^COD-顯利進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)△力神是等腰三角形，理由如下:

中考撤號(hào)

圖1

4),0(0,4),

：.BC//OA,OC=4,

???義△8火、中，OB=^'32+42=5,

?:A(5,0),

???加=5,

：.QA=OB,即△/!如的等腰三角形;

(2)如圖1,?:BHLAO,BC//OA,

:ZBHO=9。。=ACOH=ABCO.

???四邊形式是矩形，

：?0II=BC=3,

：.A/f=AO-//O=2,

?:NABg/1,

:./ABO=4CBD,

由BC//AO可得/3=/CBD,

由(1)可得N2=N/18。，

AZ3=Z2,

：/B=DB,

：.//f=D//=2,

：.()!)=OH-力/=3-2=1,

(1,0)；

(3)如圖2,連接“，交剛于尸，連接做

中考撤號(hào)

由(2)可得，PD=PA,

:.PC+PACD=POPA+CD=A&CD,

此時(shí)，△解的周長(zhǎng)最小，

設(shè)4C的解析式為j，=G+8?#0),

把,4(5,0),6*(0,4)代入可得，

[0=5k+b

l4=b'

fk_4

解得

{b=4

直線AC的解析式為y=-1x+4,

當(dāng)工=3時(shí)，y=

QO

：.P(3,即加=(

S梯形PHOC~S^COD~S*HD

=(^4)X3_1X4X1_1X82

2225

「28

--2-i

24

=T-

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理、二角形的面積以及最短路線問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要

考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn).

11.如圖，為矩形/厲⑦的對(duì)角線，將邊力6沿力￡折疊，使點(diǎn)笈落在〃'上的點(diǎn)處處，將邊修沿0r折疊,

使點(diǎn)〃落在月C上的點(diǎn)N處.

(1)求證：四邊形力即'是平行囚邊形；

(2)若力9=6,力。=10,求四邊形底/的面積及力￡與〃之間的距離.

中考撤號(hào)

【分析】(1)首先由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證得月ADMBC,N4V尸=90°,Z6Mf=90°,易得4V

=CM，由平行四邊形的判定定理可得結(jié)論；

(2)由/必=6,AC^IO,可得a=8,設(shè))=x,MElf=8-x,0^10-6=4,在出△四V中，利用勾股定

理可解得x,由平行四邊形的面積公式可得結(jié)果.

【解答】(1)證明：???四邊形四⑦是矩形，

：,AD//BC,AB//CD,

：.^CAB=Z.ACD.

由折疊的性質(zhì)可得/川QN泌G4ACF=4FC1),

又■：4(:3/ACD,

："EAC=/ACF,

：,AE//CF,

???四邊形力旗尸是平行四邊形：

(2)解：在R/449C中，AB=6,於=10,

則根據(jù)勾股定理得，BC=8.

?:AM=AB-6,

：.Clf=AC-AJf=AC-45=4.

設(shè)"=x,則應(yīng)一￡48?x,

在R/△昂￡中，利用勾股定理可得球F+OP=密,

即(8-x)2+42=x2,解得x=5,

故四邊形形Z77的面積=力加Q?=6X5=30.

在R/ZM跖中，由勾股定理得AE=3^/5,

設(shè)仍與療'之間的距離為力，

貝I」力￡?〃=30,

即1向1=30,

??.h=26

中考核等

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理和勾股定理等，綜合運(yùn)用各定

理是解答此題的關(guān)鍵.

12.問(wèn)題提出：

(1)如圖①，在△力比、中，49是力比邊仇?的高，點(diǎn)￡是仇?上任意點(diǎn)，若49=3,則力L的最小值為3；

(2)如圖②，在等腰△/1比中，Ali=AC,/創(chuàng)仁120°,〃少是力。的垂直平分線，分別交比'、力。于點(diǎn)〃、

E,DE=\cm,求△力物的周長(zhǎng)；

問(wèn)題解決：

(3)如圖③，某公園管理員擬在園內(nèi)規(guī)劃一個(gè)回區(qū)域種植花卉，且為方便游客游覽，欲在各頂點(diǎn)之間

規(guī)劃道路力8、比和力￡滿足/陰C=90°,點(diǎn)月到回的距離為2h〃.為了節(jié)約成本，要使得力樂(lè)BC、AC

之和最短，試求力8+%力C的最小值(路寬忽略不計(jì)).

【分析】(1)根據(jù)49是比邊國(guó)的高，點(diǎn)￡是8c上任意點(diǎn)，力ZH3,即可求力￡的最小值；

(2)根據(jù)力8=",//C=120°,可得N8=/C=30°,根據(jù)配'是月。的垂直平分線，可得止CO,Z.DAC

=NC=30°,ZBAD=90°,根據(jù)勾股定理即可求出△/!劭的周長(zhǎng)；

(3)延長(zhǎng)辦到點(diǎn)〃，使得加=應(yīng)，延長(zhǎng)a1到點(diǎn)反使得以=的連接妝AE,〃少的最小值即為月儕叱47

的最小值，以M為斜邊向下作等腰直角三角形。/以點(diǎn)〃為圓心，勿為半徑作圓〃，180。與D0E=

135°,可得點(diǎn)月在弦妙所對(duì)