4.2簡單的三角恒等變換

目錄

01課標要求........................................................................2

02落實主干知識....................................................................3

一、兩角和與差公式................................................................3

二、二倍角公式....................................................................3

三、降幕公式......................................................................3

四、1升屬公式......................................................................3

五、輔助角公式....................................................................4

常用二級結(jié)論......................................................................4

03探究核心題型....................................................................6

題型一:兩角和與差的三角函數(shù)公式.................................................6

題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用...........................................7

題型三：輔助角公式的多種應(yīng)用......................................................7

題型四：給值求值型問題............................................................8

題型五：給角求值型問題............................................................8

題型六：給值求角型問題............................................................9

題型七：正切恒等式的綜合應(yīng)用.....................................................10

題型八：三角函數(shù)式的化簡.........................................................11

題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用...................................................12

04好題賞析（一題多解）..........................................................15

①數(shù)形結(jié)合.......................................................................16

②轉(zhuǎn)化與化歸.....................................................................16

③分類討論.......................................................................17

06課時精練（真題、模擬題）......................................................18

基礎(chǔ)過關(guān)篇........................................................................18

能力拓展篇.......................................................................20

1/21

01課標要求

1、會推導(dǎo)兩角差的余弦公式，會用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.

2、掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應(yīng)用.

3、能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單的

恒等變換.

2/21

02落實主干知識

一、兩角和與差公式

@cos(cr-/?)=cosacosp+s\nasinp；(3)sin(a-fl)=sinacosp-cosasinp；

@cos(a+fl)=cosacos/?-sinasinfi；?sin(a+/?)=sinacos^+cosasinp；

⑤tan(a+/?)=3n"3.變形公式：tana+tanp=tan(a+0)(1-tanatan￡)：

1-tanatanp

tan

⑥tan(<7-/?)=,an。_^:變形公式：tana-tan4=tan(a-/?)(1+tanatanp).

1+tanatan0

二、二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

@cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-I=1-2sin2a:

③tan2a=

1-tan'a

三、降零公式

.1-cos2a

?sin2a=-------------

1+cos2cr

②cos2a=

F

(3)sinacosa=—sin2a.

四、升鬲公式

①l-cos2a=2sin2a,

@1+cos2?=2cos2a：

(3)1+sin2a=(sina+cosa)2,

(4)1-sin=(sina-cosa)2.

3/21

五、輔助角公式

asinx+bcosx=\Ja2+//sin(x+(p).

①其中輔助角9是由方程tan°=2,sin(p=,,CQS(P=,U.決定

a>Ja2+b2>Ja2+b2

②正弦在前，余弦在后(確保系數(shù)4,b不會弄反)

③利用系數(shù)算出所填角度的正切，正弦(余弦)，決定所填角度的確切象限.

④保證A>0,<y>0.

常用二級結(jié)論

1、積化和公式

①sina?cos￡=；[sin(a+￡)+sin(a一/3)]

②cosa?cosp=；[cos(a+/?)+cos(a-p)]

③sina?sinp=g[cos(a-/7)-cos(a+4)]

2、和化積公式

①sina+sin/=2sin"；"ccs"J

②sina-sinp=2cos"”sin———

22

@cosa+cos/?=2cos18s

.a+p.a-p

cosa-cosp=-2sin-^-sm-

3、化簡小技巧：

①l的代換；1-tanq-sin2a十co6。；

4

兀

.…tan—+tanx

cosx+sinx1+tanxA/兀、

@-----------------=------------=-------------------=tan(-+x).

cosx-sinx1-tanx,.4

1-tan—tanx

4

4、兩角互組，兩角互補，兩角互余

①兩角互組：。+6=2兀

4/21

sina=-sin0

cosa=cos/7

tan?=-tanp

②兩角互補：a+。=R

sina=sinp

-cosa=-cos/?

tana=-tanp

③兩角互余：a+/?=]

sina=cos夕

cosa=sin0

I

tana=-------

tanp

5/21

03探究核心題型

題型一：兩角和與差的三角函數(shù)公式

【典例1-1】（2025?海南?模擬預(yù)測）若cos（a-m=Jcos2&=1，且a為銳角，尸為鈍角，貝J

13J

cos(a+/?)=()

口5-2472

A.

3939

12+10V212-10V2

cL/?

3939

7T,且表=忸皿總,則（）

【典例1?2】（2025?高三?云南?期中）己知

2

A.2a+°=]B.2a-￡=：C.2/?+a=|D.2。-a=%

【解題總結(jié)】

⑴使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.

（2）使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.

3

【變式1?1】（2025?廣東深圳?二模）若cos（a+；卜ae0,—,則sina=()

52

B-嚕CV2

A歷，咚

105

【變式1?2】sin165白cos756cosl5fisinl05的值為()

A.0c女D.1

2

【變式1?3】（2025?山東濰坊?二模）己知角。的頂點與坐標原點O重合，始邊與工軸非負半軸重合，其終

（石7

邊與圓。交于點力（3,4）.若角a終邊沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角氏交圓。于點8-三，、一，則角?？赡転?/p>

()

A.75°B.105°C.375°D.405°

6/21

題型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用

【典例2?1】（2025?廣西?模擬預(yù)測）己知3cos（2a+0—2cos夕=0,則tanatan（a+0=（）

A.-B.5C.—D.-5

55

【典例2?2】(2025?云南?模擬預(yù)測)下列選項中，值為目的是'：)

A.4sinl5°cosl5°B.2(cos46°cos160-sin46°sin16°)

_1+tan15°

C.--------------D.8cos10°cos20°cos400

l-tan!5°

【解題總結(jié)】

逆用公式應(yīng)準確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式.

【變式2-1］（2025?江西?二模）已知cosa-cos/y=g,sina-sin/y=—,則cos（萬-a）=（)

4141,49、49

A.——,B.—C.———D.—

72727272

【變式2?2】（2025?湖南長沙?三模）已知?！辏?匕，/?€(),.],且tana=tan6+介，貝U()

L2)cosfl

A.3aT吟B.2a+/=^C.3a+/7=-D.=

【變式2?3】(2025?四川成都?模擬預(yù)測)已知sin(a-/?)cosa-cos(4-a)sina=g,尸是第三象限角，則

sin［〃十的值為（）

AOB,逆7x/2

c近D.

10101010

【變式2-4］（2025?河北?模擬預(yù)測）V2sin2025°+tan2025°=()

A.2B.1C.0D.-2

題型三：輔助角公式的多種應(yīng)用

【典例3-1】己知sin，+sin（。-。=1,貝ijsin（2e+］兀J=

6

【典例3-2】己知關(guān)于x的方程siM-8立=加在［0,可上有兩個不同的實數(shù)解，則這兩個解的和為

【解題總結(jié)】

對asinx+bcosx化簡時，要清楚如何求輔助角卬的值.

7/21

【變式3?1]已知sina-cos/a—f]=1,則cos（2a—的值為____.

\6；3I3J

【變式3?2】（2025?高三?河北?開學考試）已知實數(shù)為，x2,乂，為滿足：才+貨=4,考+父=9,

不再+必必+42T，則（陽一再）2+（乂-必產(chǎn)的最大值為一.

【變式3?3】（2025?高三?遼寧?開學考試）已知均為正數(shù)，a2+h2=2,則無（2&-旬+2力的最大值

為一

題型四：給值求值型問題

【典例4?1】（2025?黑龍江吉林?模擬預(yù)測）己知tan（a+；卜2,則可2a+：J的值為.

【典例4?2】已知口,滿足sina=巫，tan/?=2,貝I」cos2a+sin2/?=.

3

【解題總結(jié)】

（1）當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知憑”的和或差的形式.

（2）當“已知角”有一個時，“所求角”一般表示為“已知角”與特殊角的和或差.的形式，或者應(yīng)用誘導(dǎo)公式

把“所求角”變成“已知角”.

【變式4?1】（2025?高三?廣東深圳?期木）已知二￡（0,九）,8$（。+e）=嚕，貝"os（2a-￡）=.

【變式4?2】已知。40吟），匹卜去。｝：下手，-半，則的值

為.

【變式4?3】若。和萬都為銳角，cos（a+￡）=^/osasin/=?■，則sin（a-0=.

【變式44】已知0v尸vav巴，cos（＜7-^）=—,cos?cos/?=—,則一------二=___.

252tanatan/

題型五：給角求值型問題

【典例5?1】1551年奧地利數(shù)學家、天文學家雷蒂庫斯在《三角學準則》中首次用直角三角形的邊長之比

定義正割，余割和余切.在某直角三角形中，一個銳角。的斜邊與鄰邊的比，叫做。的正割，用$6。。表示；

8/21

其斜邊與對邊的比，叫做。的余割，用CSC。表示；其鄰邊與對邊的比，叫做。的余切，用cote表示，則

cot20°(>/3cot700-l)

see100

A.1B.-1C.2D.-2

如竺二的值為（

【典例5?2】（2025?湖南永州?模擬預(yù)測）)

sin10°

A.2B.4C.-2D.-4

【解題總結(jié)】

給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.

【變式5?1】（2025?重慶?模擬預(yù)測）式子2sml8'c。、：-s"9-1）化簡的結(jié)果為（）

cos6'+sin6

A.2B.1C.2sin9D.2

【變式3.°°+即

.7t2冗3兀47t5兀

【r變式5-3】求值：cos—cos——cos—cos——cos—=

li1111II11

【變式5-4](1+tan1°)(1+tan2°)-???(1+tan44°)(1+tan45°)=

題型六：給值求角型問題

14

【典例6?1】已知a,夕w(0,兀)，且tana=—,cos/=—，則a+/?=()

75

7t_3nr2兀

A.-B.—C.-D.——

4463

4

【典例6?2】已知。仁（0.兀），sin(a+/?)=2cos(a-p),tan(7+tan/?=y,則a+尸=()

re冗_45兀-5兀7冗_43冗

A.-B.一或丁C.—D.一或一

444444

【解題總結(jié)】

針對給定三角函數(shù)值來求解對應(yīng)角度的問題，其核心解決策略為:首先，依據(jù)已知條件

計算出該待求角的某一特定三角函數(shù)（如正弦、余弦或正切等）的函數(shù)值；接著，結(jié)合題目

所給信息明確待求角所在的取值范圍；最后，綜合運用三角函數(shù)的圖象特征以及誘導(dǎo)公式等

工具，準確求出該角度的具體數(shù)值。

9/21

【變式6-1】設(shè)123,1211/?是方程工2+6>/^^+7=0的兩根，且名夕?］一,；>則。+4=（）

兀r2兀八兀TX2兀C2兀

A.-B.------C.-或----D.—

33333

【變式6-2】已知等差數(shù)列｛qj中，/+%=-|"，?2+^+?ii=-又tan6=%,tan（6一a）=%，其中

a,/e（O,;t）,則2a-6的值為（）

Ait3nn_3兀

A.---fik——B.—C.-彳

4444D.

則

【變式6-3］（2025?高三?河北?期口）已知外/T、吟,cos(a-0)=-^,tana-tan/7=5,a+Q=()

兀r不71D.生

A.-B.一C.

3463

【變式6-4】已知a,力€（0,九），且cosa=—?sin(a+夕)=，則a-夕=()

51()

江門37r71_3n

A.-B.—C.D.--

4444

題型七：正切恒等式的綜合應(yīng)用

【典例7?1】(2025?陜西安康?模擬預(yù)測)計算：tan20o+tan40o+J5tan2(nan40o=()

A.—B.IC.冬回D.&

33

【典例7?2】(1+x/3tan80n)(1-^tan20f)=()

A.2B.4C.-1D.-3

【解題總結(jié)】

當4+3+C=4兀時，tanJ+tan5+tanC=tanJ-tan5-tanC

【變式74】(2025?江西?一模)化簡tan35。+tan100。+tan35。tan800=()

A.tan65°B.-tan65°C.1D.-1

【變式7-2】在A/IBC中，taivi+tan5+taiL4tan5=1,則cosC=()

A.一立B,--C.—D.

222~T

【變式7?3】tanl30+tan320+tanl30tan320=()

A.tan19°B.1C.-tan19°D.-i

【變式7-4](2025?河南?模擬預(yù)測)tan80+tan127°+tan80tan233°=(）

10/21

A.-2B.-1C.1D.2

【變式7-5］（2025?全國?模擬預(yù)測）已知正項等差數(shù)列｛%｝滿足tan為tan%+tanas+tan%=l,?6<1,則

卬+%+。6+。8+?！敝禐椋ǎ?/p>

題型八：三角函數(shù)式的化簡

【典例8?1】（多選題）下列式子化簡正確的是（）

A.cosl7cosl3-sin17cos77=—B.cosl5cos60cos75=-

28

l±tanl￡V3

C.V3cos!50-sinl50=V2D.=

l-tanl5=

【典例8?2】（多詵題）下列詵項化簡值為1的有（）

/\if_______

.27T.2兀

A.2cos----sin——B.

I1212；41sin20。cos20。,

3-sin70。

tan200+4sin20°

*4-2COS210°

【解題總結(jié)】

（1）三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.

（2）三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、互余、互補等），尋

找式子和三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點.

【變式8?1】（多選題）（2025?廣東佛山?模擬預(yù)測）下列化簡正確的是（）

tan480+tan720

A.

l-tan48°tan720

B.cos820sin520+sin820cosl280=-■-

2

QQ

C.sin210+sin220+sin23°+???+sin289°=—

2

n1V3.

sin10°cosl0°

【變式8?2】（多選題）下列化簡正確的是（）

Atan480+tan72°_

'tan48otan720

B.cos82°sin520+sin82°cosl280=——

2

11/21

QQ

C.sin210+sin220+sin23°+???+sin289°=—

2

D.=4

sinlO0coslO0

【變式8?3】(多選題)下列化簡結(jié)果正確的是()

A.cos((z+/?)-cos(a-/?)=2sinasinp

B.sina+cosa=5/2cos^a

C.tan500+tan70°-73tan500tan70°=V3

D.cosa-y/3s\na=-2sinla--

I6)

【變式8-4］（多選題）下列計算或化簡正確的是（）

1+tan105°_\J3

A.cos495°=-—B.

l-tanl050-T

2

1cos(9cosctsina_

C.若sinecose=：,則tane+%=5D.若。為第二象限角，則,二°

5sin”vl-sin'crv1-cosa

題型九：三角恒等變換的綜合應(yīng)用

tan(a-0)+tan￡_sin2a

【典例9-11（1）求證:

1-tan(<z-/y)tan/71+cos2a

(2)已知sin(a+/?)=g,^^-=5,求sin(a-/?)的值.

【典例9-2］已知a=(cosa,sina),書=(cos夕,sin/?),a,夕€(0,習，ab=—,tana-tan/7=-1.

⑴求cos(a-0,cos(a+夕)的值;

⑵求sin2a的值.

【解題總結(jié)】

12/21

進行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮?shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公

式的逆用和變形使用.

【變式9-1】已知cosa=-,ae(-四,0).

52

⑴求sin("-a)的值；

6

⑵若加①+⑶=-*,*“,.，求A的值.

【變式9?2］已知cos(,-a)=-孚,sin/?=罌，且均為銳角.

(I)求sin2a+1)的值；

(2)求a+/的值.

【變式9?3】已知。，?為銳角，sin(a+夕)=；,sinacos/二;.

(1)求證：tana=2tan/7；

(2)求co$(a-/7)的值.

13/21

【變式9-4】己知函數(shù)/(x)=sinmx-Vicos5(其中/>0,xwR)的最小正周期為27r.

/⑷

⑴若tana=26，求/的值;

I2)

(2)已知/(。)=,求sin。的值.

14/21

04好題賞析（一題多解）I

1.己知二，夕是函數(shù)/(X)=sinx+cosx-；在［0,2外上的兩個零點，則cos(a-/)=()

8V2

A.-IB.一一C.-------D.0

92

2.若sin(a+2)+cos(a+￡)=2夜cos(a+C)sin￡,則()

4

A.tan(ar+/?)=-!B.tan(?+/?)=1c.tan(a-/?)=-!D.tan(c?-/?)=1

3.已知xc0,f,sirw+cosx=,則=()

L4j5I4)

A.3B.-3C.-75D.2

4.已知aw(0,f),2sin2a=cos2a+1,則sina=()

,1R亞2X/5

/1?—B?C-—DN?------

5535

15/21

①數(shù)形結(jié)合

1.如圖所示，cos2408=（）

2.在平面直角坐標系式0中，第一象限內(nèi)的點4%,切）和第二象限內(nèi)的點8（看,為）都在單位圖。上，

ZAOx=a,Z.AOB=0,其中sind=-，cos0=￡,若％=百，則須的值為（）

小

16335663

A.—B.—C.—D.—

65656565

3.已知正〃邊形的邊長為“，內(nèi)切圓的半徑為廠外接圓的半徑為R，則R+〃=U，其中戶=（）

2tanp

7T7T

—D.一

3〃4〃

②轉(zhuǎn)化與化歸

16/21

11

A.-B.5c2D.3

3

2i

5.已知sin(2a+/?)=§,cosacos(cr+/?)=—,則tana+tan(a+/7)=()

32八34

A.-B.—C.D.

2343

6.若iane=2lana,sin(0--a)=—,則cos2(6+a)=()

4

111\_

A.——B.C.D.

4884

③分類討論

7.已知cos2a=4sin'/?,sin2a=2sin2/7,貝ijcos(2a+夕)=()

x/3

A.0B.—C.1D.

2~T

8.已知sin2a=2sin2〃，cos2a=4s加尸，則cos(2a+夕)=()

A.0B.@C.1

D.

22

9.已知a,月都是銳角，且tan(ztan/?=l+〃，則()

cosp

A.2a=P+冗B.la-n-PC.3a=冗+0D.3a二兀-B

17/21

[06課時精練（真題、模擬即）Q

基礎(chǔ)過關(guān)篇

已知0<a<乃,cos4=@,則sin(a-1]=()

1.（2025年高考全國二卷數(shù)學真題）

2514j

A."B.也「3夜n7x/2

1()51010

2.（2024年新課標全國I卷數(shù)學真題）已知cos（a+夕）=/〃,tanatan夕=2,則cos（a-夕）=（

A.—3wB.——C.-D.3m

3

3.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)已知一C°Sa=V3,則tan[a+：]=()

cosa-sina\4)

A.2百+1B.2出-1C.—D.1-V3

2

4.(2023年新課標全國I卷數(shù)學真題)已知sin(a—p)=±cosasin/?=L,則cos(2a+2￡)=().

5.(2023年新課標全國II卷數(shù)學真題)已知。為銳角，cosa=Lu￡,則sin[=().

42

A3-石口-1+石「3-V5八7+下

A----------B------------C.---------D.-----------

8844

/\

6.(2022年新高考全國H卷數(shù)學真題)sin(cr+/?)+cos(?+ft)=2x/2cosa+—sin/?,則()

I

A.tan(a-夕)二1B.tan(a+夕)=1

C.tan(a-^)=-lD.(an(?+/?)=-!

7.（2024年新課標全國H卷數(shù)學真題）已知々為第一象限角，〃為第三象限角，tana+tan//=4,

tanatan/?=\/2+1,則sin（a+〃）=.

8.（2023年上海秋季高考數(shù)學試題（網(wǎng)絡(luò)收集版））已知lana=3,則tan2a=.

9.（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）若3sina-sin夕=加,q+夕=?,貝ijsina=,cos2fl=

10.（2025?湖南長沙?模擬預(yù)測）若關(guān)于X的方程COS2…sinx=（）在（落）上有2個實根，則機的取值范

圍是（）

18/21

A.(-1,0)B.[-1,0]C.(0,1)D.[0,1]

,,7t,cos(2tz+-)

11.（2025?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預(yù)測）已知tana=e(0<a則________2__()

乙sin(7t-a)

222c2e

2

后+1°，Ve+IVe2+1Ve2+1

12.(2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測)t^tan(a+4)=3,lan(a-￡)=l,則sin4/?=()

234

A.-c.D.

545

//\

1=g,則sinc兀

cosa-2a+—

13.（2025?甘肅白銀?一模）已知16,J=()

227_7

A.-B.——C.D.

339~9

n、|=7,則sin2a的值是（

14.（2025?吉林長春?模擬預(yù)測）已知tana+—)

k4,

1224

Ac.D.

-\2525

用.(25n.q=

15.（2025?安徽蚌埠?三模）已知cos0+，則6)

k2

A..逑B?陪_V2

c.