山東省日照市莒縣第一中學2025-2026學年高三清北班開學考

試模擬(二)數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合人={目￡|"°}，8={也2-3]<0},則4U8=()

A.{x\x<2?￡x>3)B.{A-|-2<X<31C.{A(0<X<2}

D.{x\-2?gx>3|

2.設函數(shù)(。>0且a")在區(qū)間(1,包)上單調遞增，則。的取值范圍是()

A.(1,2]B.[2,+oo)C.1,D.U[2,-HX)

X}

3.己知等差數(shù)列{6}前〃項和為S.,若"當，則9(

)

9「12-74

A.—B.—C.D.

131353

4.已知函數(shù)f*)=log2(x一詞,aeR,則“。工2”是“函數(shù)八刈在(L+8)上單調遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

TTY

5.設函數(shù)/(x)=a(x-l)2-l,g(x)=co:嚎-23若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(T1)上存

在零點，則實數(shù)〃的取值范圍是()

,十小“\(cosx)-lnLrl

6.函數(shù)〃.r=二~在-兀0)50.九]的圖象大致為()

lx+sinx

，I

7.若〃幻的圖象上存在兩點A,8關于原點對稱，則點對［AB］稱為函數(shù)，（x）的“友情點對”

（點對［A8］與［用A］視為同一個，友情點對”.）若/（幻=『?芭丫°恰有兩個“友情點對”,

ax~,x<Q

則實數(shù)a的取值范圍是（）

（1

A.（—1,0）B.（0,1）C.—,0

ke

8.已知等比數(shù)列｛q｝的公比為其前〃項和為S”，且《，胃，生成等差數(shù)列，若對

JJ

2

任意的〃eN.，均有AKS“一不44恒成立，則8—A的最小值為（）

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.命題p:DxeR,A2-2X+1>0,則命題〃的否定為玉WR,X2-2X+1<0

B.“a2>兒2”是成立的充要條件

的最小值是逑

函數(shù)/。）二

2

D.是“函數(shù)/（幻=心-|1咆,印勺零點個數(shù)為2”成立的充要條件

10.直角VA8C中，斜邊ZB=2,P為VA8C所在平面內一點，AP=-sin20-AB+cos26-AC

2

（其中6ER）,則（）

A.揩花的取值范圍是（0,4）

答案第2頁，共22頁

B.點尸經(jīng)過V/WC的外心

C.點P所在軌跡的長度為2

D.夕。?（雨+PB）的取值范圍是一最。

11.已知函數(shù)“X）及其導函數(shù)/'（"的定義域均為R，若/（X）是偶函數(shù),

/（。）=0暗）=0，喑>7,且由蚱1</（中）=，3/（），）一八“，（），），則（）

22

A./（O）=2B.[/（x）]+[r（A-）]=l

2024/\

C./（X+2JC）=/（X）D.￡/不+2桁=-2024

ho12）

三、填空題

12.曲線），=e'在x=0處的切線恰好是曲線y=ln（x+a）的切線，則實數(shù)〃=.

13.若方程sin卜x-g=-磊在（0,兀）上的解為不修，則sin（x+X2）的值為

14.函數(shù)〃%）的定義域為（-co,—）,其導函數(shù)為八防,S/（x）=/（-x）-2sinx,且當;rNO

/\

時，/,（x）>-cosx,則不等式/x+g>/（x）+sinx-cosx的解集為.

乙）

四、解答題

15.定義域為R的函數(shù)〃“=就!是奇函數(shù).

⑴求實數(shù)。，力的值：

⑵若存在此（-2,0）,使得/（/+3太）+/（：-/卜0成立，求實數(shù)攵的取值范圍.

〃4-0

16.記VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin(A+玲=csin---

⑴求A；

⑵已知c=3,b=l,邊BC上有一點。滿足LQ=3SW，求AD.

17.已知數(shù)列｛《,｝,也｝,%=(-1)"+2”,包=a川—陽。＞0),且也“｝為等比數(shù)列.

(1)求4的值；

(2)記數(shù)列｛b?-叫的前〃項和為7；.若7；?兀=15兀(iGN*),求i的值.

答案第4頁，共22頁

18.已知函數(shù)/(幻=產(chǎn)"+公2-30￥+1,acR.

⑴當。=1時，求曲線y=F(x)在x=l處切線的方程;

⑵當時，試判斷/(心在口，十⑼上零點的個數(shù)，并說明理由;

⑶當XNO時，/。)20恒成立，求〃的取值范圍.

19.設函數(shù)/(x)=ln[%+，,xe(O,l).

⑴試判斷r(力的單調性；

(2)證明：對任意而?0,1),有/3”'(與)。」.％)+/(%),當且僅當x=x0時等號成立.

⑶已知XjtRp=l,2,3,…,〃),￡%=1,證明："I(其中

，=i/=iIxi)\n)

n

……%)

《山東省日照市莒縣第一中學2025-2026學年高三清北班開學考試模擬（二）數(shù)學試題》

參考答案

題號12345678910

答案BADBCDDBACABD

題號11

答案BC

1.B

【分析】根據(jù)分式不等式和一元一.次不等式得解法解出復合A4,再按照集合的并集運算即

可.

【詳解】言"O’則（x—2）（x+2）?0,且x+2w（）,解得—2vxW2,

則集合A={X|-2VX42},8={x\X（X-3）<O}={A|O<X<3}

貝IJAU8={X_2<X<3}

故選：B.

2.A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調性計算即可.

2x-a,x>—

【詳解】易知y=|2x-4=,顯然y=|2工一《在+8）上單調遞增,

a-2x,x<—

2

在上單調遞減'

因為“X）在區(qū)間（1，+8）上單調遞增，結合復合函數(shù)的單調性可知4>1,且￡石1，

所以〃w0,2].

故選：A

3.D

【分析】利用等差數(shù)列前”項和的計算公式結合等差數(shù)列的性質可求藪.

13/

$3_5⑼+43,1]3%_13%_4

【詳解】

S，施+%)%加3-

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)/"）在（L-）上單調遞增等價條件，再利用充分條件,

答案第6頁，共22頁

必要條件的定義判斷即得

—<1

【詳解】由函數(shù)/(X)在(L”)上單調遞增，得2一，解得

1-?>0

所以“aV2”是“函數(shù)/(*)在(1,+a))上單調遞增”的必要不充分條件.

故選：B

5.C

【分析】利用函數(shù)零點的定義，轉化為函數(shù)"3=以2+〃_1,G(x)=cos葭在(T1)上的圖

象有公共點求解.

【詳解】由/?*)=/*)一身(X)=。，得。(工一1)2-1=煙￥-2",

依題意，ad+a-1=cos：在(一1,1)上有解，記“(x)ua?+a-i,G(x)=cos寫，

22

因此函數(shù)尸(x),G(x)在(-1J)上的圖象有公共點,0<G(x)<l,如圖,

當a?0時,尸。)=爾+~14-1,顯然函數(shù)戶(x),G(x)在(TD上的圖象無公共點,

當〃>0時，函數(shù)/a),Ga)圖象都關于y對稱,

M⑼即〃一1411

得2加1>。,解A得5<h2,

F(1)>G(I)

所以實數(shù)。的取值范圍是;<。工2.

故選：C

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)宜接法：直接求出_/U)=0的解；(2)圖象法：

作出函數(shù)人幻的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出

這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).

6.D

【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的對稱性排除A,再根據(jù)犬=兀1<1<5對應的函數(shù)值符號排除BC

即可求解.

【詳解】/(X)=(8SX)“叫,XG[-7C,O)U(O,7U]定義域關于原點對稱,

2x+sinx

cos(-x)In|TcosxIn|x|

=-/(A),

-2x+sin(-x)2x+sinx

,“x)=(c°N)"nN是奇函數(shù),排除A；

2x+sinx

當工=兀時，/(兀)=萼<。，排除C；

27r

當1<X<2時，/("=(c°s兇中COSx>0,InW>0,2x+sinx>0,故/(x)>0,排除B.

22x+sinx

故選：D

7.D

【分析】要求“友情對點”，可把xWO的函數(shù)圖象關于原點對稱，即研究對稱過去的圖象和

x>0的圖象有兩個交點即可.

【詳解】)，=a/(xK0)關于原點對稱的解析式為尸-加。之0).

y=x3Inx(x>0)的圖象與y=-ax2(xN0)的交點個數(shù)即為方程VInx=-ax2(x>0)根的個數(shù),

BP-6/=xln.r?

設y=xlnx,于是，=lnx+l.

當xe0,：)時，y'<0,y=xlnx單調遞減：

當xe(1,+8)時，y'>0,y=xlnx單調遞增:

當x=1時，函數(shù))，=xlnx取最小值

ee

于是作出V=Aln.r的圖象如圖所示：

所以V0,即0<4時y=_a與y=xlnx有兩個交點,

ee

原函數(shù)有兩對“友情對點故實數(shù)。的取值范用是(。，:|.

故選：D

答案第8頁，共22頁

8.B

【分析】由已知可求得工=3-3（-』丫，〃為奇數(shù)時，s?=-+-.f-!-T,根據(jù)單調性可

n23）"22⑶

3443

得：不<S〃KS]=2,〃為偶數(shù)時，5“二9一9；，根據(jù)單調性可得：-=S2<S?<-,

可得s”的最大值與最小值分別為2,p考慮到函數(shù)y=在（0,+8）上單調遞增，即

可得出結論.

【詳解】等比數(shù)列｛&｝的公比為-因為6,胃，％成等差數(shù)列，所以

=解得4乜

3191

當〃為奇數(shù)時，S?=-+-/-T，易得S”單調遞減，且?丫>3,所以]<S"WS1=2；

"22⑶22⑶22

當〃為偶數(shù)時，5"=?工曾"，易得S。單調遞增，且3-2.f"”<2,所以卜SzVS/].

221.3J22l3j232

4

所以S”的最大值與最小值分別為2,

9d/c21_42_1

函數(shù)尸在（。，+8）上單調遞增，所以A&鼠=I_4=_6.

f\〃Zuin—

3

（2）2<1\7

BNS,--=2--=1,所以8—A的最小值1一一工卜工.

ISJgx2I6；6

故選：B.

【點睛】思路點睛：由已知條件求得等比數(shù)列的前〃項卻通過分類討論并利用函數(shù)單

72

調性求得S“的最大值和最小值，再由函數(shù)），=/-，在（0,+8）上單調遞增且AWS“一晨W8,

可求A8取值范圍.

9.AC

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題判斷A,根據(jù)必要條件的定義和不等式的

性質判斷B,

設，=在石，結合對勾函數(shù)性質求函數(shù)的最小值，判斷C,根據(jù)零點的定義，結合指數(shù)函

數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象判斷D.

【詳解】對于A,-./?：3X（1GR,xJ-2x0+l<0,故A正確；

對于B,若a>b,/=0，則ac2=be2，

所以“a/>/它”不是成立必要條件，故B錯誤；

對于C,設公廬^，則公廬^之及，+

設丫=/+；，r>V2?

由對勾函數(shù)的性質可得,函數(shù)）口+；在［&，+動上單調遞增,

所以），之J5十%-乎，當且僅當x=時取等號,

所以當x=0時，/3）取最小值，最小值為逆，故C正確;

2

對于D,令f（x）=臚fogax|=o,則=|log?乂,

當Ovacl時，作出函數(shù)），=#,），=|log“R的圖象,

由圖可知函數(shù)y=。國,y=|log〃x|的圖象有兩個交點，

所以當。va<I時，函數(shù)J（A）=a"一|log“M的零點個數(shù)為2；

當時，作出函數(shù)），=/,y=|log'|的圖象,

由圖可知函數(shù)），=m，y=|k>g,4的圖象有1個或2個或3個交點,

所以當a>1時，函數(shù)/（x）=?"Tlog“H的零點個數(shù)為1或2或3,

答案第10頁，共22頁

所以“Ovavl”是“函數(shù)/。)=膽-|1.4的零點個數(shù)為2”成立的充分不必要條件，

故D錯誤.

故選：AC.

10.ABD

【分析】由向量數(shù)量積的兒何意義有髭.泥=震'，結合已知即可判斷A；若。為A5中點，

根據(jù)已知有O，P，C共線，即可判斷B、C；利用向量加法的幾何意義及數(shù)量積的運算律可得

PC(PA+PB)=-2\PC\\PO\,結合基本不等式求范圍判斷D.

inninminnu、,,uutiuuumau

【詳解】^AB-AC=AC?乂斜邊4H=2，則|AC|w(O,2)，則A8-ACw(0,4),A正確;

UL1T]unn

若。為AB中點，則人。=548,故/1戶=$也20/1。+8§2。43，又$訪2。+80::。=1,

所以O,P,C共線，故P在線段OC上，軌跡長為1,又。是V/WC的外心，B正確，C錯誤;

P

AB

由上尸>4+P#=2PO，則pc(px+p*)=2pepo=-2ipciipii,

X|PC|+|PO|=|OC|=I,則|PC||司區(qū)("'CMP°I)2=L,當且僅當|尸口=1網(wǎng)力=:等號成立，

242

所以PC.(/<4+PB)=-21PC\\P()但l-^oj,D正確.

故選：ABD

【點睛】關鍵點點睛：若。為A8中點，應用數(shù)形結合法，及向量線性運算的幾何意義、數(shù)

iniiuuti

量積的幾何意義和運算律判斷?軌跡，求A8-AC、PC(PA^PB).

11.BC

【分析】法一、利用賦值法結合抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性可判定A、B、C選項，

利用C的結論可判定D項；法二、構造函數(shù)/(x)=cosi,利用正、余弦函數(shù)的性質一一判

定選項即可.

【詳解】法一、由題意可知r(?為R上奇函數(shù)，即r(o)=o,r(x)+/'(T)=o,

令x=y=0n/(0)=/⑼./(0)-r(0)r⑼=/(0)/(。)=>/(0)=1

或0(舍去)，故A錯誤；

令)-f(O)=/(x)/(r)-r(Hr(r)=[/(x)了+[/(力了=1，

故B正確；

由條件可知小+升/(X)喝-〃3伺5”,

(嗚卜/㈠)佃_r(_"針尸(川，

貝IJ有/X+]=-/卜，+5)，

所以/'(X+兀)=一/'(一五)=一/(X)，則f(x+2兀)=/(%),故C正確;

由C：/(x+2兀)=/(x)=r"+2兀)=/"(X)，即r(x)的一個周期為2兀,

所以S$+2〃兀)=2025r0=-2025,故D錯誤.

法二、由題意可設〃x)=8sx,則r(x)=-sinx,顯然符合條件，

對于A項，/(0)=1,故A錯誤；

對于B項,[/(x)y+[r(x)}=cosA+sin2x=l,故B正確：

答案第12頁，共22頁

對于C項，/（戈+2兀）=8S（X+2TI）=/（X）,故C正確;

對于D項，/'（二+2E]=一5皿（n+2也]=-1,所以（二+2E）=一2025,

（2）\2/2024I2）

故D錯誤.

故選：BC

【點睛】思路點睛：抽象函數(shù)性質綜合問題一般使用賦值法，通過令x=y=Qx+y=o及構

造了1+9小工+外并判定其是否相等可分別判定A、B、C選項，另外結合函數(shù)的奇偶

性與其導函數(shù)奇偶性的關系可得出最終結果；還可以通過觀察條件構造合適的基礎函數(shù)能更

快捷的得出結果.

12.2

【分析】求出），=e、在x=（）處的切線方程，設出y=ln（x+a）的切點聯(lián)立方程組可解得。=2.

【詳解】對于），=/，易知），'=e\切線斜率為〃=e°=l,切點為（（）」）；

則曲線y=e'在x=0處的切線為y=x+l,

顯然g'（x）=；g，設切點（與11】（%+4））,

1,

=1%=T

由天+〃，解得管=2,

ln（x0+?）=x0+l

故答案為：2

13.g/0.5

2

【分析】根據(jù)題意，得到不，/關于4=工對稱，得到須+再=乎，即可求解.

126

【詳解】令2x-[=E+±ZwZ,即“x）=sin（2x-』對稱軸為x=工+”入Z,

因為XG（O.JT）,可得2工-；e，

JJJ

因為sin,q）=-2在?兀）上的解為小石，可得X，W關于x=*'j稱，

所以X]+%=葛，則sin（石+&）=sin?.

故答案為：

【分析】構造Mx)=〃x)+sinx,得到其在R上為偶函數(shù)，且在42)上單調遞端

fX+/>/⑴+sinx-cosx變形得到〃(若)>/心?)，從而得到x+］>N，求出答案.

【詳解】令力(x)=/(x)+sinx,則〃(T)=f(r)-sinx,

又/(X)=/(T)-2sinX,所以得/(*)+sinx=/(-x)-sinx,

即h(-x)=h(x),所以//(r)為R上的偶函數(shù)，

又xN0時，〃(x)=r(x)+COSX>0,所以h(x)在［0,+00)上單調遞增,

又刈同為R上的偶函數(shù)，所以〃(X)在(e,0］上單調遞減,

得小+升

由/x+—>/(x)+sinx-cosx,COSA>/(.v)+sinx,

所以小+理

>/(x)+sin.v,

即所以得x+?>|x|，解得：X>-^,

\2724

所以不等式/1+/)>/3+5由％-85%的解集為,：收

故答案為：

【點睛】利用函數(shù)“X)與導函數(shù)r(x)的相關不等式構造函數(shù)，然后利用所構造的函數(shù)的

單調性解不等式，是高考?？碱}目，以卜.是構造函數(shù)的常見思路:

比如：若〃x)+r(x)>0,則構造g(x)=e*./(%),

若〃“一:(”>0,則構造g(x)=《D,

若f(x)+xf\x)>0，則構造g(X)=xf(x),

若.二(力>0,貝IJ構造g(.r)=#.

15.(l)fl=2,Z?=l

⑵1<女<2

【分析】(1)方法一：由奇函數(shù)性質列方程求解，并檢驗；方法二：由奇函數(shù)的性質得恒等

式，進而求解；

(2)利用奇函數(shù)、減函數(shù)的性質結合題意可得/+:>公一3k在/?-2,0)上有解，進一步可

得—2>&2-34,由此即可得解.

答案第14頁，共22頁

【詳解】（1）方法一：是奇函數(shù)，.?.〃0）=0,即大了二°，解得》=1，

又由/（1）=一/（一1）知：①1=一衛(wèi)士1,解得。=2.

4+aI+a

L，,“\___2A+1f（x__2-A+1_（一2+1）2_—1+2'_w（、

此時?f（x）=+2J（-"）=2-'+,+2=（2，,"+2）2,=2+2?川=一/（"），

且/（戈）的定義域（全體實數(shù)）關于原點對稱，

所以是奇函數(shù).

故"=2力=1.

方法二：???/（力是奇函數(shù),

-2-x+b-2x+h-\+b-2'

.?J(%)+/(r)=^T^+-----；=—；1---------=--0---,

乙ICc2一叫。2川+〃2+。2

/.(2VIZ?)(2Ia2X)?(1I〃2、)(22\a)=0,

即（2/?—4）?22'+2（々。-2）,2'+2〃一々=0恒成立.

2b-a=0a=2a=-2

ab-2=0"lb=l或1=-l'

當,:二:時，/（x）=9■三的定義域為何"（）｝，舍去，

當〃=2/=1時，/⑴二^±1J（r）;^±1二片:+乎；Zl±^.=一/⑺,

1+,J+X

口HJ，,\，2+2八2+2（2~+2\22+2八八

且/（x）的定義域（全體實數(shù)）關于原點對稱，

所以/（“是奇函數(shù).

故〃=2力=1滿足題意.

（2）由（1）知/（x）=Z^±L=—_L+_^_,

則由復合函數(shù)單調性可知/（戈）在R上為減函數(shù)，

又/（“是奇函數(shù)，由〃，+3女）+/（；-公卜0得:

（\\（i\

f（t+3k）＜-f--k2=fk2--,

[fJtJ

_1即/+；＞犬一32在/e（—2,0）上有解,

t+3k>k2

???/€（-2,0）,/+；=-1—/+5）4一2'-/.5=一2當且僅當-/=9，即/=—1時等號成立,

--y=/+；在，w(-2,0)上的最大值為-2,

:.-2>k2-3k,即伏-1)伏-2)vO,「.lvNv2.

16.⑴4=^

(2)AD=—

4

【分析】（1）根據(jù)三角形內角和定理、誘導公式，結合正弦定理、正弦的二倍角公式進行求

解即可;

（2）根據(jù)三角形面積公式，結合余弦定理進行求解即可.

【詳解】(l)tasin(A+B)=csin,由正弦定理，WsinAsin(A+B)=sinCsin

22

A

即sin4sinC=sinCcos—,

2

AAAA

又sinCoO,即有sinA=cos—,2sin—cos—=cos—,

2222

Ait.A八.A1Anxz471

V—e(0,-),cos—*0,所以故人=二.

(2)設N3AA=a,ZJ\DC=n-a,由(1)知A=],

在△ABC中，由余弦定理/=〃+c2一窈ccosA,可知

802=9+1-2x3x1x1,:?BC=不

2

乂SJBD=3SMDC，可知3D=3QC=」一，

4

在△AB。中，AB1=BD1AD1-2BDADcosa,

g|J9=—+AD2-AD-cosa,①

162

在AACZ)中，1=2~+人廳--AD-cos(^-a)，

162

即1=工+A。?AOcosa,②

162

聯(lián)立①②解得A。=空.

4

答案第16頁，共22頁

A

(2)2

【分析】(1)計算出6=1,%=5,火=7,4=17.,進而得到々也也，根據(jù)等比數(shù)列得

到方程，求出2=2,驗證后得到答案；

(2)求出"H=_3X(T)”?〃2,分〃為偶數(shù)和〃為奇數(shù)時，得到7；,7；??。?,又

(?兀2=157；“故7；討＞0,所以，?為偶數(shù)，從而得到方程，求出i=2.

【詳解】(1)因為%=(T)"+2",則q=l,應=5,%=7,%=17.

又"=%一也,則a二%一之％=5-4,by-ay-Aa2=1-5A,b3=a4-=\1-1A.

因為也｝為等比數(shù)列，則片=仇也,所以(7-5團2=(5-團(17-7幻，

整理得萬一九―2=0,解得丸=—1或2.

因為4＞0,故4=2.

當4=2時，b,=—2a.=(-l)rt+,+2向一2[(—1)"+21

=(-1)x(-1)°+2"*—2x(-1)"-2'川=-3x(-1)".

b_Qxf—11d+l

則券==f故也｝為等比數(shù)列，所以2=2符合題意?

勿-；3x(,-1)"”

(2)〃"=-3x(-1)”./,

22222222

當"為偶數(shù)時，Tn=-3X[-1+2-3+4-5+6----m-l)+/z]

3

=-3x(1+2+…+〃)=--n(w+1)；

323

當〃為奇數(shù)時，Tn="be(n+=--(?+1)(〃+2)+3(〃+\)=-n(n+1).

3

—n(n+\),n=2k-1,2wN*

2

綜上，4=

3

——〃(〃+1),〃=2k,keN*

2

因為小心＞0,又工?小=15J,

故加＞0,所以i為偶數(shù).

所以一3卻+葉,奧+2)(i+3)=l5x|(z+l)(/+2),

22

整理得尸+3"10=0,解得i=2或，=-5(舍)，所以i=2.

18.(l)y=0

(2)1個，理由見解析

⑶(51

【分析】(1)根據(jù)題意，由導數(shù)的幾何意義代入計算，即可求解;

(2)根據(jù)題意，將函數(shù)零點問題轉化為導函數(shù)極值點問題，再由零點存在定理代入計算,

即可判斷;

(3)根據(jù)題意,分與討論,利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，然后再由八0)=e"-3a

的正負分情況討論，代入計算，即可求解.

【詳解】(1)當《=1時，/(x)=eA-1+x2-3x+l,則#x)=ei+2x—3,

所以曲線＞=/(A)在x=I處切線的斜率k=/'⑴=0.

又因為/(1)=0,所以曲線產(chǎn)/(幻在x=l處切線的方程為產(chǎn)0.

(2)/⑴=ej—2a+l,令〃z(x)=/'(x)=/一"+2以-3.,貝1」/()=e5—a,

當〃＞1時，/(6=。~+為＞0,則/'(X)在(1,+8)上單調遞增.

因為/71)=e?-a<eM-1=0,f\a)=\+2a2-3a=(2a-1)(a-l)>0,

所以存在唯一的小€(l,a),使得/(%)=0.

當工?1,飛)時，所以/")在［Lx。)上單調遞減：

當工￡伍,+8)時，所以/(力在(％,+00)上單調遞增.

又/(l)=e~—2a+lve°—2+l=0,所以/(%))v/(D〈。，又.〃3)=+1＞0,

所以當a＞1時，在口,內)上有且只有一個零點.

答案第18頁，共22頁

(3)①當時，/(l)=e?—2〃+l<e°—2+1=0,與當x20時，矛盾，a>1不

滿足題意.

②當時，/(())=e-w+I>(),f\x)=&x~a-3a,

令向司=/'(X),則〃?'(力=產(chǎn)"+2。，?/(())=e-a+2a.

Tv

記函數(shù)<7(.r)=e+2xtx41,則q'(x)=-e+2,

當xe(-ln2,l)時,當x)>0,所以虱幻在(Tn2,1)單調遞增;

當xw(-oo,-ln2)時,q(x)<0t所以式x)在(一》,一加2)單調遞減,

所以式6N虱一In2)=2-2In2>0,所以加(0)>0.

乂因為加(同在)上單調遞增，

所以加(力>77/(0)>0,所以r(力在10,+8)上單調遞增.

(i)若/,(0)=e-<,-3a>0,

則f\x)>尸(0)>0,所以/(%)在[0,-KO)上單調遞增，

則/。)”(0)>0,符合題意;

(ii)若/'(())=/。-3。<0,可得〃>(),則OvaWl.

因為/'⑴=e'--?>(),且/'(工)在[0,-KO)上單調遞增，

所以存在唯一的內￡(。,1],使得f(xJ=O.

當xe(0小)時，/'(x)<0,所以/(x)在(0小)上單調遞減，

當。?%,+0。)時,r(x)>o,所以/⑶在(％,+oo)上單調遞增,

其中X《(0,1],且爐-“+2時-3a=0.

所以fM2/(z)=爐一"+ai；-3axl+1

=3a-2ax}+ar；-3ar1+1=濾-5axt+3a+1=a(x；-5%+3)+1,

因為內w(0,l],所以x；-5內+3w[-1,3).

又因為ae(O,l],所以〃卜；—5X1+3)N—1,

所以/（x）NO,滿足題意.

結合①②可知，當。41時，滿足題意.

綜上，。的取值范圍為（TO1］.

【點睛】關鍵點點睛：第三間，應用分類討論，結合導數(shù)問題中隱零點的處理方法判斷區(qū)間

函數(shù)值符號為關鍵.

19.（l）/'（x）在（0」）上單調遞增.

（2）證明見解析

⑶證明見解析

【分析】（1）利用二次求導即得；

⑵令g（x）=/3-［/'（/）"一題）+/（/）］,則g'（x）=r（x）-/'（/），由（】）得&㈤在

（0,1）上的單調性,進而g（%）Zg（%）=0,即可證明;

〃1>/??In(zz+—

（3）將原不等式轉化為￡l