蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)3.3勾股定理的簡單應(yīng)用之螞蟻爬行最短路徑問題同步

練習(xí)

一、圓柱體

1.如圖，一圓柱體的底面圓周長為高48為4cm,8c是上底的直徑，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，

沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,則爬行的最短路程是（）。血.

10

rrzr---+4

A.\41B?兀C.3D.9

2.如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此

時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處,則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為

螞蟻力

。（蜂蜜）

3.如圖所示，一根長為7cm的吸管放在一個(gè)圓柱形杯中，測(cè)得杯的內(nèi)部底面直徑為3cm,高為4

err,則吸管露在杯外面的最短長度為cm.

4.如圖，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到8C的中點(diǎn)S,若8C=8,點(diǎn)P移動(dòng)的最短距離為

5,則圓柱的底面周長為.

5.如圖，一個(gè)圓柱的高為12cm,底面圓的周長為18cm.在圓柱卜底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想

吃到上底面上與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，那么它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少?

B

二、長方體

6.如圖，長方體的長為20cm,寬為15cm,高為10cm,點(diǎn)B離點(diǎn)C為6cm,一只螞蟻如果要沿著長方

體的表面從點(diǎn)力爬到點(diǎn)〃去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（）

A.5、129cmB.25cmc.2^194cmD.4Y141cm

7.如圖，一個(gè)長方體形盒子的長為15cm,寬為10cm,高為20cm,點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離是5cm.一

只螞蟻沿盒的外表面從點(diǎn)A處爬到點(diǎn)B處，那么它爬行的最短路程是多少？

8.如圖所示是長方體透明玻璃魚缸，假設(shè)其長AD=80cm,高AB=60cm,水深A(yù)E=40cm.在水

面上緊貼內(nèi)壁G處有一塊面包屑，G在水面線EF上，且EG=60cm,一只小蟲想從魚缸外的A點(diǎn)沿

魚缸壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)的G處吃面包屑，則小蟲爬行的最短路線長為cm.

9.如圖，在一個(gè)長方形草地上放著一根長方體木塊，其UMB=6m,AD=5mf該木塊較長的邊和

場(chǎng)地寬力O平行，橫截面是邊長為2M的正方形，若點(diǎn)力處有一只螞蟻，它從點(diǎn)”出發(fā)，爬過木塊到達(dá)

點(diǎn)C處去吃面包伸，則它需要走的最短路程是小.

D

C

A一.....B

10.如圖，三級(jí)臺(tái)階的每一級(jí)的長、寬、高分別為8dm、3dm、2dm,點(diǎn)A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)

相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最

短路程為（）dm.

8

A.12R.10C.17D.25

三、多圈纏繞（圓柱體）

11.農(nóng)民麥子大豐收，小彬用3。打印機(jī)制作了一個(gè)底面周長為15cm,高為10cm的圓柱糧倉模型

（如圖所示）.現(xiàn)要在此模型的測(cè)面貼彩色裝飾帶，使裝飾帶從柱底沿圓柱表面均勻地纏繞2圈到達(dá)

柱頂正上方（從點(diǎn)A到點(diǎn)C8為4C的中點(diǎn)），則裝飾帶的長度最短為（)

C.20岫771D.10(10cm

12.國慶節(jié)期間，重慶南開中學(xué)用彩燈帶裝飾了藝術(shù)樓大廳的所有圓柱形柱子.為了美觀，每根柱

子的彩燈帶需要從月點(diǎn)沿柱子表面纏繞兩周到其正上方的3點(diǎn)，如圖所示.若每根柱子的底面周長

均為2米，高均為3米，則每根柱子所用彩燈帶的最短長度為（）

A.、萬米B.、甲米C.g米D.5米

13.臨汾是帝堯之都，有著堯都之稱.堯都華表柱身祥云騰龍，頂蹲沖天吼，底座浮雕長城和黃河

壺口瀑布，是中華民族歷史悠久、文化燦爛的標(biāo)志.如圖，在底面周長約為6米且?guī)в袑訉踊丨h(huán)不

斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面均勻地盤繞2圈到達(dá)柱頂正上方（從點(diǎn)A到點(diǎn)C

8為4c的中點(diǎn)），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約16米，則雕刻在石柱上的巨龍至少為

B

四、多圈纏繞（長方體）

14.如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和3cm,高為5cm.若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過四個(gè)側(cè)面

爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長為<

15.解決下列幾個(gè)問題，并說明它們與本節(jié)課問題的區(qū)別與聯(lián)系.

（1）如圖，圓柱的高為13cm,底面周長為10cm,在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蚊，它想吃

到離上底面1cm的點(diǎn)B處的食物，那么它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？

（2）如圖，一個(gè)長方體形盒子的長、寬、高分別為8cm,8cm,12cm,一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)

A處沿盒的外表面爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)B處，你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的路線嗎?螞蟻爬行的最短路程是

多少？

B

12

8

（3）為了營造節(jié)日氣氛，學(xué)校準(zhǔn)備在大廳圓柱上纏繞彩帶.已知大廳圓柱的高為6m,底面周長為

2m.如果希望彩帶從圓柱底端繞圓柱4圈后正好到達(dá)頂端，那么至少需要彩帶多少米？

五、解答題

16.如圖，已知圓柱底面的周長為12,圓柱的高為8,在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A,C嵌有一圈長度

最短的金屬絲.

（1）現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿人8剪開，所得的圓柱側(cè)面展開圖是

（2）如圖①，求該長度最短的金屬絲的長.

（3）如圖②，若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A,則所需金屬絲最短長度是多少？

（4）如圖③，圓柱形玻璃杯的高九小，底面周長為16c次,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴

蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到

內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）

六、實(shí)踐探究題

17.（1）問題再現(xiàn)：學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，老師給同學(xué)們提出了一個(gè)求代數(shù)式最小值的問題，如,“求代

數(shù)式&2+4+1（8—乃2+16的最小值”.小強(qiáng)同學(xué)發(fā)現(xiàn)&2+4?可看作兩直角邊分別為X和2的直角三

角形斜邊長，麻彳工云可看作兩直角邊分別是8T和4的直角三角形的斜邊長.于是構(gòu)造出如圖

所示，將問題轉(zhuǎn)化為求線段48的長，進(jìn)而求得Ji+4+《8-為2+16的最小值是

A

2

(2)類比計(jì)算：已知a,b均為正數(shù)，目.a+匕=15.求《融+9+(星+25的最小值.

(3)遷移問題：已知平面直角坐標(biāo)系中，P(O，m),42,-3),B(3,5),直接寫出P4+PB的最小

值.

18.(1)問題再現(xiàn)：學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，老師給同學(xué)們提出了一個(gè)求代數(shù)式最小值的問題，如,“求代

數(shù)式&2+4+18-婷+16的最小值”.小強(qiáng)同學(xué)發(fā)現(xiàn)&2+4可看作兩直角邊分別為x和2的直角三

角形斜邊長，河彳工至可看作兩直角邊分別是8-％和4的直角三角形的斜邊長.于是構(gòu)造出如圖

所示，將問題轉(zhuǎn)化為求線段AB的長，進(jìn)而求得(公+4+Mr』+16的最小值是.

(2)類比遷移：已知a,b均為正數(shù)，且Q+b=12.求、％2+4+弋％2+9的最小值.

(3)方法應(yīng)用：已知a,b均為正數(shù)，且,4/十片、以2十匕2,‘爐口接是三角形的三邊長，求

這個(gè)三角形的面積(用含a,b的代數(shù)式表示).

19.綜合與實(shí)踐

【問題情境】

數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長、寬、高分別為5、

3、1,4和8是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn).

【探究實(shí)踐】

老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若％點(diǎn)處有一只螞蟻要到8點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階

爬到8點(diǎn)的最短路程是多少？

圖①

（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法；如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開成平面圖形，連接力當(dāng)經(jīng)過

計(jì)算得到4B長度即為最短路程，則力口二;（直接寫出答案）

圖②

【變式探究】

（2）如圖③，一只圓柱體玻璃杯，若該玻璃杯的底面周長是48厘米，高是7厘米，一只螞蟻從點(diǎn)

4出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)氏求該螞蟻爬行的最短路程是多少厘米?

（3）如圖④，若圓柱體玻璃杯的高1。厘米，底面周長為24厘米，在杯內(nèi)壁離杯底2厘米的點(diǎn)4處

有一滴蜂蜜.此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿1厘米，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)。處，則蛆蟻從外壁

B處到內(nèi)壁4處所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不計(jì)）

有?個(gè)圓柱，它的高為12cm,底面周長為18cm.在圓柱下底面的點(diǎn)力處

有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)力相對(duì)的點(diǎn)6處的食物，螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？

Di無蓋Ci

AB

圖2圖4

【方法探究】對(duì)于立體圖形中求最短路程問題，應(yīng)把立體圖形展開成平面圖形，再確定4B兩

點(diǎn)的位置，依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，結(jié)合勾股定理，解決相應(yīng)的問題.如圖2,在圓柱的側(cè)面展開

圖中，點(diǎn)48對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，利用勾股定理即可求巴螞蟻爬行的最短路程力8的長.

【方法應(yīng)用】

(1)如圖3,圓柱形玻璃容器的高為18cm,底面周長為60cm,在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)S處有

一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點(diǎn)尸處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅

充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長度.

(2)如圖4,長方體的棱長A8=8C=6cm,=14cm,假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)好處開始以1

cnVs的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)4處以相同的速度在盒內(nèi)壁的

側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時(shí)間才能捕捉到昆蟲甲？

答案解析部分

L【答案】A

2.【答案】15

3.【答案】2

4.【答案】6

5.【答案】解：如圖，圓柱體的展開圖為長方形ACDE,

?"AEB=90°,

BE==9cm

由題意可知,AE=12cm；

在R/ABE中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2=122+92=225=152,

AAB=15cm,

???螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是15cm.

6.【答案】D

7.【答案】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第1個(gè)

圖：

???長方體的寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5,

???BD=CD+BC=10+5=15,AD=20,

在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：

?*-AB=、癡2+爐=^'152+202=25;

只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在

的平面形成一個(gè)長方形，如第2個(gè)圖：

10

B5C20D

圖2

???長方體的寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5,

BD=CD+BC=20+S=2S,AD=10,

在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：

???AB=、癡2+=J?+252=5悟

AD2

只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如第3個(gè)圖:

.——

_一

A20D10C

圖3

;長方體的寬為10，高為20,點(diǎn)R離點(diǎn)「的距離是5,

???AC=CD+AD=20+10=30,

在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：

???AB=.IAC2+BC2={3()2+52=5、由；

1??25<5729<5國,

???螞蟻爬行的最短距離是25.

8.【答案】100

9.【答案】54

10.【答案】C

1L【答案】D

12.【答案】D

13.【答案】20

14.【答案】5眄

15,【答案】(1)解：如圖所示，將圓柱側(cè)面從點(diǎn)A開始垂直向上剪開，展開側(cè)面，連接AB,則AB

即為最短路程,

在RSABC中，由勾股定理得，AB』AC2+BC2=52+12?=169=132.

.-.AB=13cm,即螞蟻沿圓柱側(cè)面從點(diǎn)A到點(diǎn)B,最短路程為13cm.

(2)解：螞蟻沿長方體的側(cè)面爬行的兩條路線如以下展開圖所示:

圖1

如圖1,在RtAABC中,

AB

=、旋+0=20(cm)

如圖2,在RSABD中,

=柯+2()2=甸國心tn)

,.?40>20,

???圖1所示的路程最短，且爬行的最短路程是20cm.

(3)解：將圓柱表面切開展開呈長方形，則有螺旋線長為四個(gè)長方形并排后的長方形的對(duì)角線長,

???圓柱高6米，底面周長2米,

x'=(2x4>+6>=64卜36=100,

???彩帶長至少是10m.

16.【答案】(1)A

(2)20

(3)8用

(4)10

17.【答案】(1)10

(2)如圖所示，AC=3,CD=a,DE=b,BE=S,

在△中，也

Rt4CDAD={AC?+CD2=2+±

22

在中R￡ZiBDE,BD=^DE+BE=4-251

.?.杼+9+幅+25=A。+嗎

???要想Id+9+的2+25=A0+80的值最小，則4。+80的值最小,

???當(dāng)A、D、B三點(diǎn)共線時(shí)，AD+80的值最小，最小值為力B,

過點(diǎn)B作研14「交力「延長線于F,

?：EC1AF,BF1ACtBELAC,

...由長方形的性質(zhì)得B尸=CE=CD+DE=15,CF=BE=5,

??..4F=4C+CF=8,

22

：AB=^AF+BF=17f

???J。？+9+好+25的最小值為17,

（3）過點(diǎn)A作y軸的對(duì)稱點(diǎn)力‘，連接B4'，交y軸于點(diǎn)P,如圖，

由對(duì)稱性知，PA=PAf

/.PAIPB=PA+PR,

???當(dāng)P、4B三點(diǎn)共線時(shí)，P4+PB=P/+P8的值最小，最小值為48的長,

-,-.4(2-3),

??/(-2,-3),

又B⑶5),

...A‘8=^(-2-3)2+(-3-5)2=<89,

.?.PA+P8的最小值為、麗

3心

-ab

18.【答案】(1)10；(2)13；(3)2

19.【答案】解：(1)由題意得：BC=S,AC=(1+3)X3=12,

???AB=^AC2+BC2=yil22+52=13,

故答案為：13；

A

CB

圖②

（2）將圓柱體側(cè)面展開，如下U：

AC=-x48=24C?K”.

由題意得：2,BC=7cm,

2222

AB=^AC4-BC=x'24+7=25c叫

???該螞蟻爬行的最短路程25座米；

（3）如下圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作8關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)8：作B'DLAE,交4E延長線于點(diǎn)。，連接

DE