3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

一、必備知識基礎(chǔ)

1.已知焦點在X軸上的橢圓的長軸長是8,離心率是點則此橢圓的標準方程是（）

4+勺

C.-+匕=1

6428D9+9

2.橢圓？+2/之與2f獷M的關(guān)系為（）

A.有相同的長軸長與短軸長

B.有相同的焦距

C.有相同的焦點

D.有相同的離心率

3.古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半

軸長與短半軸長的乘積.若橢圓。的中心為原點,焦點￡,￡均在x軸上,面積為2V3n,

且短軸長為2V3,則。的標準方程為（）

222

A.二曠=1B.±+-=l

1243

%2y2%2丫2

C.-+匕=1D.-+匕=1

34163

4.焦點在x軸上,右焦點到短軸端點的距離為2,到最左的點的距離為3的橢圓的標準

方程是（）

A,—+—=1B.二曠二1

434

C.D./X=l

24

22

5.以橢圓3+-=1的長軸端點作為短軸端點,且過點（W1）的橢圓的焦距是（）

94

A.16B.12

C.8D.6

22

6.[2023新高考I,5]設(shè)橢圓/六1(a)l),G彳+六1的離心率分別為&e2.若

包=曲&,則a=()

k.—B.V2

3

C.V3D.V6

22

7.(2025甘肅高二期末)已知曲線三十。三=1表示雙曲線，則實數(shù)力的取值范圍是

2m~3m~5

()

A.(|,5)B.(5,+2

C.(一干|)D.(-3,|)U(5,+2

22

8.(2025甘肅慶陽高二階段性檢測)若雙曲線5=1的右支上一點夕到右焦點的距離

911

為9,則P到左焦點的距離為()

A.3B.12

C.15D.3或15

9.已知橢圓。的對稱中心為坐標原點,對稱軸為坐標軸，。的離心率為右且點月(1,1)到

。的一個焦點的距離為同,求。的標準方程.

二、關(guān)鍵能力提升

10.在手工課上,王老師帶領(lǐng)同學們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近

似看成是兩個大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm,短軸長為

20cm,小橢圓的短軸長為10cm,則小橢圓的長軸長為（）

A.30cmB.20cm

C.10cmD.10V3cm

11.若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°,所得橢圓的短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦

點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓是“對偶橢圓”的是（）

/222

A.—+匕V=1B.—x+匕v=1

8435

2222

C.x-+匕v=1D.-x+匕v=1

6269

22

12.已知橢圓q+2=1（a?>0）的左、右焦點分別為艮（-c,0）,FAc,0）,點夕在橢圓上，

a/

且/冏￡=30°,N陽￡40°,則橢圓的離心率等于（）

A.V2-1B.V3-1

13.如圖,橢圓的中心在原點0,頂點是4,4,8,&焦點為凡凡延長M與44交于P

點，若/“為2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為（）

A.（0,宇B.（筌1）

C.（0,學）D.（萼,1）

14.(多選題)若橢圓上存在點已使得點月到橢圓的兩個焦點的距離之比為2：1,則稱該

橢圓為“倍徑橢圓”，則下列橢圓中為“倍徑橢圓”的是()

22

A./-+匕v=1B.%-2+匕V=1

161589

22

C./-+匕v=1D./-+匕v=1

25213336

22

15.如圖，橢圓三+2=19乂刈的左、右焦點分別為凡凡過橢圓上的點夕作y軸的

a1

垂線,垂足為Q,若四邊形￡￡網(wǎng)為菱形,則該橢圓的離心率為.

16.已知橢圓￡的中心為原點。，兩個焦點分別為N(T,O),8(1,0),一個頂點為〃(2,0).

⑴求橢圓￡的標準方程；

⑵對于x軸上的點Pit,0),橢圓￡上存在點M,使得MPVMH,求實數(shù)t的取值范圍.

三、學科素養(yǎng)創(chuàng)新

17.如圖,凡￡分別是橢圓的左、右焦點,點月是以￡￡為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)

的一個交點,延長用與橢圓交于點a若/郎々/班/，則直線陽的斜率為（）

A.—2B.-1C.-iD.1

2

參考答案

1.A由題意知2a眼解得a4

又冶，即：=I，解得。=3.

444

所以lj=a-c^l.

22

又橢圓的焦點在X軸上，所以橢圓的標準方程為孑十一=1.

167

故選A.

2_

2.D橢圓f+2/之可化為三+7=1,由此可得長軸長為2V2,短軸長為2,焦距為2,離心

率為今且焦點在x軸上;可化為1/I,由此可得長軸長為2,短軸長為魚,焦

2

距為魚,離心率為今且焦點在y軸上.可得A,B,C不正確,D正確.故選D.

勘=咨=2,

3.B由題意可得2匕=2卜II

22

因為橢圓。的焦點在X軸上，所以。的標準方程為早+-=1.故選B.

43

22

4.A根據(jù)題意,設(shè)橢圓的標準方程為今+(aMX),若右焦點到短軸端點的距離為

azbz

2,則D,即aM,則a2

又右焦點到橢圓最左的點的距離為3,則a+c=3,即c=l,則A2=a2-cM-l=3.

22

故橢圓的標準方程為+號=1.故選A.

4D

222

5.D因為橢圓3+-=1的長軸端點為(0,±3),所以可設(shè)所求的橢圓的標準方程為今+

94az

^=1.

9

因為橢圓經(jīng)過點1,1),所以與+衿,解得a?=18,則c=3.

az9

因此,所求橢圓的焦距為6.故選D.

2______________

6.A由題意,在G：管中，a>l,Z?-l,c=\/a2-b2=Va2-1,

CVa^-l

2_________

在Cz：—+y=\,中，a=2,Z?-l,c=>Ja2-b2=V3,

4

V3

??。2==

a21

今英?a=gx-,解得a

2a嗎3

故選A.

7.A解析由題意知，(2必-3)(r甘)。解得|切＜5,所以實數(shù)勿的取值范圍是(|,5).故選

A.

22

8.C解析因為雙曲線方程為［一三二1,所以a?對則a=3.

911

設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為七七

22

又點夕在雙曲線卷一±=1的右支上，且/陽/瑪

所以/歷/~/m/?a=6,則/陽/可4=15.

故選C.

9.解①當焦點廠在x軸上時,設(shè)F(m,0),則/必7=J(m-1)2+(0-1)2=V10,

解得mN或m=-2,則cN或c=2.

當cN時，由￡=得a陽則84pM8,止匕時。的標準方程為三+詈1;

a26448

當cC時，由￡=得aN時,則外a2p2=12,此時,。的標準方程為1+詈L

a21612

②當焦點廠在y軸上時，設(shè)F(0,血，則［PF［=\(0-1)2+(m-1)2=V10,

解得片4或勿=-2,則或c=2.

當cN時，由￡=得a陽則方4P248,止匕時，。的標準方程為1+;

a26448

當ct時，由￡=得aN,則毋4P2:12,止匕時。的標準方程為片+-=1.

a21612

綜上,。的標準方程為"+或蔡+^=1或k+/1或工+^=1.

10.B設(shè)小橢圓的長半軸長為a小.

因為兩個橢圓的扁平程度相同,所以兩個橢圓的離心率相同,所以為=等，

所以小橢圓的長軸長為20cm.故選B.

11.A因為旋轉(zhuǎn)后橢圓的短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，所以26?c,即b=c.

A中，因為a2=8,所以c=a2-Z?M,故b=c\

B中，因為a?%，8=3,所以c=a2-Z72^^3;

C中，因為a=6,所以c=a2-6M^2;

D中，因為4對8=6,所以444=326.

故選A.

12.B,:/PFE%0°,/PBF\$0°JRF/Cc,

△陽月是直角三角形，/空/=c,/陽/Sc.

???由橢圓的定義可得/陽"/空/力a,

.?.居y吟=言=V3-1,故選B.

13.D因為N4出為鈍角，所以用瓦?瓦瓦<0,

2

即(-<?,-Z?),(a,-Z?)<0,整理可得Z?<ac=>a~c-ac<Of

可得/加-1%,解得e彎或

又e?(0,1),所以等<e。故選D.

14.BC假設(shè)橢圓上存在點己使得/歷/?/PF2/,則

/必l+lPF2/?/PF2/+/PF2/=3/陽/與a,

即/坐營,/陽/號.

因為//嗎/》a-c,所以年》a-c,即aW3c.

經(jīng)檢驗,A,D不滿足要求,B,C滿足要求.故選BC.

15.亨根據(jù)題意可得/0￡/=/￡￡/=/9/=。.

在直角三角形魴。中，因為/仍/tc,出。/=6

所以N/OWO°,

所以/杼;/與X2cXcos30°之/c,所以/郎/〃咫/與/c+2cta,

所以6二=:=且.

aV3+12

16.解⑴由題意可得，c=l,a2：,b=V3.

22

???所求橢圓￡的