山東省濟寧市育才中學2024-2025學年高一下學期期中數(shù)學試

卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.J=（2,l）,b=63），〃工人貝何二（）

I313

A.B.—C.D.—

1）?2

2.已知復數(shù)1-21是關于彳的方程￥+以+匕=0（""6]＜）的一個根，貝以苗=（）

A.7B.3C.-3D.-7

3.在VMC中，）8=600,AB=6,BC=5,則=（）

A.-\5B.-30C.-15D.15

4.記VABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,已知o=3,c=7,C

則VABC的面積為（）

A.1'''15

DR?c.UD.

54

2f3\

5.已知cos,則COS7T?r<)

18)15T)

1r

、;B17l/

A.■4-｛亞c.D.

八百

6.底面半徑為3的圓錐被平行底面的平面所截，截去一個底面半徑為1、高為2的圓錐，

所得圓臺的側面積為（）

A.KC5nB.9VGxC.￡5消D.16兀

7.定義運算：的「。2a3，將函數(shù)/rn-V‘的圖像向左平移忘個單位，

IdqIcosmx7

所得圖像對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則②的可能取值是（）

A.—B.C.D.

,4J」

8,已知三棱錐S-ABC底面是邊長為-3的正三角形，SA,平面A3C,且SA-2、弓，則該

三棱錐的外接球的體積為（）

A.：B.C.JfinD.:

二、多選題

9.已知復數(shù)z,z「Z2，%是z的共輾復數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.Z.Z-ZB.若|2=1,則2=±1

C.D.若|z-l|=1,則｝+1的最小值為1

10.已知函數(shù)/（x）=Jisin^x-2）.則下列說法正確的是（）

A./（x）的最小正周期為2兀

B.若/（尤）在區(qū)間（0,機）恰有兩個零點，則機的取值范圍為"X|

C.^f[x]NT,且0WxW2兀，則T'

D.若/（X）在區(qū)間（。,相）恰有兩個極值點，則機的取值范圍為M-

I88I

11.已知點。在AABC所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（）

A.若。為△ABC的外心，AB=6,AC=4,貝以沈欣二10

B.若。為MBC的垂心，ABAC^2,則AO.A8=2

C.若。：+5。」-2O「=u,則AAOB與MLBC的面積之比為1:4

D.若義0+4"（'=mtH\m>iu,^ABO的面積為8,則^ABC的面積為14

三、填空題

12.已知一個VMC利用斜二測畫法畫出直觀圖如圖所示，其中W0'=2,dC=5,。,A=3,

則原VABC的面積為

13.如圖，在直三棱柱ABC-42￡中，E是A8的三等分點（靠近點A）,Q是的中點,

則三棱錐D-B?E的體積與三棱柱ABC-481cl的體積之比是

試卷第2頁，共4頁

14.已知)|=1,小=(1,1),a與■的夾角為T，則°在b方向上的投影向量坐標為

四、解答題

15.已知向量a=(1,1),/?-=(-1,0).

⑴若+的11(勿一+L),求實數(shù)t；

(2)若向量—+必-與2/+b所成角為銳角，求實數(shù)g的范圍.

16.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S-ABC。，該四棱錐的體積為把5.

(1)求該半球的體積；

(2)若從半球中把正四棱錐S-ABC。挖去，求所得幾何體的表面積.

7.已知“一(-1.2、廳)』：(sin?%-cos?尤,sinxcosx),函數(shù)/'(x)=ab-.

川捆數(shù)砸陸

(2)^/^+yl■-,且1vavn,求sina的值；

(3)在銳角VABC中，角A,8,C分別為a,b,c三邊所對的角，若6,；-I.1J「

求VABC周長的取值范圍.

18.如圖，在梯形ABCD中，已知AB=2C￡),A。=CD=1,±DAB=600,點E、尸分別

t?V2ltu__

在直線DC和8c上，且D'E~=AD'C~，連接班＞交題于點P.

試卷第3頁，共4頁

D

(D設AP=ZA二，用入)和表示AF，并求期f的值；

⑵求17-11/的取值范圍.

19.“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三

角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小意大利數(shù)學家托里拆利給出

了解答，當VABC的三個內(nèi)角均小于1200時，使得上AQB=±BOC=上COA=1200的點。即

為費馬點；當VA8C有一個內(nèi)角大于或等于1200時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.試用以上

知識解決下面問題：已知V48C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,6,c,

(1)若csinC-asinA=(c-b)sinB,

①求A;

②Oc=2,設點P為VA3C的費馬點，A.PB+PB,P+P.PA

(2)若cos28+cos2C-cos2A=1,設點P為VABC的費馬點，+|PC|=t\p4，求實數(shù)f的

最小值.

試卷第4頁，共4頁

《山東省濟寧市育才中學2024-2025學年高一下學期期中數(shù)學試卷》參考答案

題號12345678910

答案DDCADACAACDBD

題號11

答案BD

1.D

【分析】根據(jù)“_[2即可得出，，1,=0,進行數(shù)量積的坐標運算即可求出x的值.

T

【詳解】，，,山,

T

:j.Z?=2x+3=0,

3

故選：D.

2.D

【分析】將1-2i代入/+ax+b=0,求得。涉,進而得到答案.

【詳解】因為l-2i是關于x的方程/+“+》=0的一個根，所以(l-2iy+a(l-2i)+6=0,

即a+b-3-(2a+4)i=0,所以a+6-3=0且2。+4=0,解得a=-2,b=5,

所以a-b=-1.

故選：D.

3.C

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義計算.

【詳解】i/rl<(-|Uf|/J(cos(i800-6(r)=6x5x(--!-)=-l5.

故選：C

4.A

【分析】利用余弦定理先求出邊6的值，再利用三角形面積公式計算即得.

【詳解】由已知及余弦定理得cosC.'‘81"1.

2ab6b2

解得6=5(負值舍去)，

所以V4BC的面積為Lz6sinC1.s；

故選：A.

5.D

答案第1頁，共12頁

【分析】應用誘導公式及二倍角余弦公式即可求值.

【詳解】由cos（；x+2。）=-cos|jt-（：x+2"H=-cos|：2a）=I2cos

故選：D

6.A

【分析】畫出圖形，由三角形相似比得到尸。，再由兩圓錐的側面積之差計算可得.

【詳解】如圖，設截面圓的圓心為C,截面圓的半徑。=1,底面圓半徑08=3,PC=2,

所以PBPO+OB：.V36+9-1J5.PD-V5

所以原圓臺的側面積為:i（3?“5I?、5卜,

故選：A.

7.C

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求得變換后的解析式，再根據(jù)偶函數(shù)的定義求解.

【詳解】由題可知，/lx）二"sm0"=Gcosg^-sin二2cos，…~.

Icosmr|6

將/（%）的圖像向左平移二1個單位，所得函數(shù)為y=cos（「，一

11A

因為所得圖像對應的函數(shù)為偶函數(shù)，

所以—代左GZ,解彳梟，--k,k￡Z，

X64）

因為左ez,所以二.」I

故選:c.

8.A

【分析】將三棱錐補形成正三棱柱，利用它們有相同的外接球，結合正三棱柱的結構特征求

出球半徑即可.

答案第2頁，共12頁

【詳解】如圖，將三棱錐S—ABC補成三棱柱ABC—AfC,點S與A重合,

正三棱柱ABC—4萬。|外接球也為三棱錐S—ABC的外接球，令球心為O,半徑為R,

記VABC和△4B|G外接圓的圓心分別為。1和。2，其半徑為「，

由正弦定理得：r而。為。。2的中點，則R,'I-1>I

417w

所以該三棱錐的外接球的體積為丫一一*

故選：A

9.ACD

【分析】結合復數(shù)的四則運算，共樞復數(shù)的定義及復數(shù)模長的公式可判斷A；結合特殊值法

可判斷B；結合復數(shù)模長的性質(zhì)可判斷C；結合復數(shù)的幾何意義可判斷D.

【詳解】對于A,設z=a+歷(〃,匕￡R),則z.z=(a+歷)(a—歷)=a2+b2=z[,故A正確；

對于B,令2=i,滿足H=kl=1,故B錯誤；

對于C,設Z]=a+歷（。/WR）,=c+（k{c,dGR）,則

Z[Z2-{a+歷)(c+&)=ac—bd+{ad+be)i,所以

ti

IzizJ=J(ac-Mf+(aJ+Ac)T=J(w『+(AJ『+3f-件j=44b，4l+c-j(||)|>

故C正確；

對于D,設2=a+歷(乎WR),則二|一b一1+歷I)2=1,

即(aT)2+加=1,表示以(1,0)為圓心，半徑為1的圓，

「1\，|”1|減示圓上的點至IJ(T,0)的距離，故L+1的最小值為|,，故D正

確.

故選：ACD

答案第3頁，共12頁

10.BD

【分析】根據(jù)周期公式可判斷A的正誤，根據(jù)整體法結合正弦函數(shù)性質(zhì)可判斷B、D的正

誤；通過舉特殊值求解可判斷C.

【詳解】對于A,/（x）最小正周期為兀，故A錯誤；

對于B,x￡（0,根）時，2x

4（44）

若八x）在區(qū)間（0,昉恰有兩個零點，則冗<2恤;4211，解得根故B正確；

對于C,當x=2兀時，/（11\,'2sin|]I,滿足不等式/（x）之一1,故C錯誤；

I4，

對于D,%￡（0,相）時，2x:.:]用:，若f（x）在區(qū)間（。,相）恰有兩個極值點，則

Y.,解得機''1，n.故D正確.

242\H8

故選：BD.

11.BD

nilI.Ulimi?miuir

【分析】對A,利用向量線性運算可得JO=；（18.U根據(jù)向量數(shù)量積運

“Ar，，,，一,,uuuruuuruuuruuuruuuruuur,,A------r

算律求解判斷；對B,由A8.AC=AB.OC+AO.AB，結合A8.0<=0W解；對C,由奔馳

uuuruuuruuurr

定理得解；對D,將條件式利用向量運算轉(zhuǎn)化為（3+機）04—m05+40。=0,再由奔馳定理

得解.

----1---mi1nninr,Iiiarmr

【詳解】對于A,由A［，=A5+B（）?A（）—A（,+Crj,則〃11|?

iiirIBITImrmr.mriuuutr.HIT

:.AOfiC=”?AC）BC?：（BO?COyBC

iiuruar.mriur.\uuuruir.mrmr

=+（OC-OB）

iiiir”Iutr*mr*i

Jf</卜iOBv油）-I".故A錯誤；

uuuruuuruuur/uuuruuur\uuuruuuruuuruuur

對于B,由243.人。二人員（0。一。4）二245.。。+4。工3=2,又45,。（二0,

所以%?工"=2,故B正確；

對于C,因為37+537-T—2b7=ii，由奔馳定理可得；--二二，故C錯誤;

1*5-22

1MBa▲*4VBM<AM<AAJ.Ktu<aaau

對于D,由30」；'m.4B（iw>0）,則

,uuuruuuruuurrS44

即（3+m）x04—機05+40。=0,由奔馳定理可得.’‘二，二二一，

/3+桁一州+47

答案第4頁，共12頁

又S4Aso=8，則鼠15c=14，故D正確.

故選：BD.

12.21

【分析】由直觀圖還原出原圖形，并得出相應線段的長度，然后計算三角形面積.

【詳解】由直觀圖還原原圖形VABC,如圖，OB=2,OC=5,=6,

則S-ABC-—,7-6-2I'

故答案為：21.

13.2:9

【分析】根據(jù)SABQE=S矩形ABB1A1%4向。一^/\ADE—/\EBBX,求得3/\￡)砂一15/^向，再根據(jù)二棱

I

錐的換底性可得向二匕-1力c—A向G，由此可得答案.

【詳解】?S&B、DE=S矩形ABB[4-SAAQQ~^AADE~^/\EBB,，

E是A8的三等分點(靠近點A),D是的中點，

:三棱錐D—BGE的體積與三棱柱ABC—48G的體積之比為2:9.

故答案為：2:9.

(I\}

【分析】直接根據(jù)向量的投影公式求解即可.

【詳解】因為之=(1,1),所以8-<2,

答案第5頁，共12頁

[>12\(1.1)

則〃在b方向上的投影為

故答案為：；.

rz工）

15.1111

2

⑵US，）

【分析】⑴先根據(jù)向量坐標運算得《一+砂=（1T,1）,如+4=（1,2）,結合1"~叫（"+&），

求得實數(shù)旌

（2）根據(jù)向量a+kb與2〃+b所成角為銳角，（。+協(xié)）.（加+b）＞0,解得女＜3.結合4

時（a+以）ll（如+b）,可得實數(shù)人的范圍.

【詳解】(1)a+的=(1—4,l),2a+b~=(1,2),

：(7+如)ll(勿■力「J一[,解得A二-

(2)由(1)知，a+砂=(1—it,l),26z+b-=(1,2),

:向量Q+kb與2〃+b所成角為銳角，

：(。+kb).(3+Z?)=(1—k,1).(1,2)=l—k+2>0,解得左<3.

又當k二?時，[a+版)11(為+Z?-),可得實數(shù)左的范圍為|「r[

16.(1)1^

3

12)6it+4\i^34

【分析】（1）根據(jù)球的半徑與正四棱錐棱長關系，求出球的半徑，進而求出半球的體積.

（2）根據(jù)幾何體的特征，求出半球的表面積，求出棱錐的側面積和底面積，即可求得幾何

體的表面積.

【詳解】（1）連接AC,8。交點為O,設球的半徑為R,

由題意可知S。=A。=OC=?！辏?。8=R，則.R,

四棱錐的體積為V.解得R-v12,

則該半球的體積為V-

答案第6頁，共12頁

(2)由題意知JACW-a

所得幾何體的表面積為

2黨：+/-(拒町+4』戊人0八$?1：

=3"(可?2(5.4仲卜當

=64+4石-4

17.(h/(^)*2sm|2x^2]

\6J

”卜1^2-^3

I2)sina=-----------

6

(3乂3.，3,34]

【分析】(1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算公式，結合三角恒等變換化簡即可；

(2)結合同角三角函數(shù)關系式及兩角差的正弦公式化簡可得解；

(3)根據(jù)函數(shù)解析式可得3,再由正弦定理及三角函數(shù)性質(zhì)可得取值范圍.

【詳解】(1)由d=(I.2v3|,b-(sin2x-cos2x,sinxcosx),

貝U函iI-i：八一cos2x-sin2x*2Csinxcosx-Wsin2x+cos2x=2sin二1

C6/

(2)由(1)得1|=2sin|>

則力：，：」sin(a+斗-空，

L122/I3)3

日n?【<'v(3

即sm“，=,

13>3

T7匚匚[、

又——5x?an,所以1——7H“一一w?4——"?

6ARI

所以cos,4."I,

則

答案第7頁，共12頁

,JiIfX&

-1,即sin；2/i?\

(3)由(1)/⑻=2sin2?--

I6

又Befop,

I2J6166yl

所以28"-,即81,

6h1

又在VABC中，由正弦定理可知u

即〃=2sinA,b=2sinC=2sin(1,?=sinA忙CtcosA,

則三角形VABC的周長為4+b+c=3sinA-、,cosA-6=2^5sin，｝J

0<^<"

又，2,即

0<x——4v—

32

所以工、:4+L：江，

161

2￡sin0.1k&??&3叼.

即〃+b+c-

gpvABC周長的取值范圍為

一.2--2--3

18.(I)/尸二,t=—

334

【分析】(1)建立平面直角坐標系，結合題意求得又“、1［、￡7的坐標，然后求出

HiAl4ti.8八g,結合平面向量基本定理求向"和入方一表示「一的

式子，再根據(jù)8、P、D三點共線，列式算出實數(shù)f的值；

(2)根據(jù)平面向量的坐標運算法則求出一,1/--丸、,然后根據(jù)向量模的公式，

?U3,

答案第8頁，共12頁

結合二次函數(shù)的性質(zhì)求出求I的取值范圍.

【詳解】(1)以A為坐標原點，AB所在直線為尤軸，過點A作A8的垂線為y軸，建立平

面直角坐標系，

根據(jù)平面向量的加法法則，可得」/

、“I}

設」AJ/<?V,1/1|、[卜

---IRw*Iv*3(l

則根據(jù)8、尸、D三點共線，可知存在實數(shù)如使”

I如+1■夕

所以，2'l，解得t=--

J3(l—掰)^3tI

2=T-

(2)因為存上孚—上"；.當卜"|.0h]?機外

I，S\*//N)

答案第9頁，共12頁

所以'IF的取值范圍為|八"「，.

?I3J

卜L11]①A;：②T

12）2+26

【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，然后利用余弦定理來求解；②利用等面積法列方程，

結合向量數(shù)量積運算求得正確答案；

（2）由（1）結論可得上AP8=上5尸。=上84-y.m\PA\,\PC\^n\PA\,\PA\^x,

推出根+w=f,利用余弦定理以及勾股定理即可推出機+n+2=mn,再結合基本不等式即可

求得答案.

【詳解】（1）①由正弦定理得d—/=（c一份。,即加+/—笳=/，

所以cosA"a,人?!，又A￡（0,兀），