2025-2026學年初中數(shù)學評估試題（一）

一、單選題

1.關于X的方程好一6%+3=°,下列說法錯誤的是（）

A.二次項系數(shù)為1B.一次項系數(shù)為-6

C.常數(shù)項為0D.它是一元二次方程

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，解題的關鍵是掌握一元二次方程的一般形式：

ar2+Z2x+c=O（a^O）,其中。叫二次項系數(shù)，Z?叫一次項系數(shù)，c叫常數(shù)項.根據(jù)一元二次方程的一般

形式“一般地，任何一個關于X的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式，這種形式叫一元二次方程

的一般形式，其中以2叫做二次項，。叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項”進行判斷即可得.

【詳解】解：方程V—6%+3=0是一元二次方程，二次項系數(shù)是1,一次項系數(shù)是-6,常數(shù)項是3,

則說法錯誤的是C,

故選：C.

2.如圖，VABC中，NA=65°,AB=6,AC=3,將VABC沿下圖中的虛線剪開，剪下的三角形與原

三角形不相似的是（）

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定.根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可.

【詳解】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意;

B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意；

C、根據(jù)已知條件無法證明兩個三角形相似，故本選項符合題意；

D、這兩個三角形兩邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意.

故選：c.

3.如圖是一架人字梯及其側面示意圖，已知AB〃CE>〃印，AC=50cm,CE=30cm,BD=45cm,

則OR的長為（）

n

AB

A.27cmB.50cmC.72cmD.80cm

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式成為解題的關

鍵.根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式求解即可.

【詳解】解：AB//CD//EF,AC=50cm,CE=30cm,BD=45cm,

ACBD

"~CE~~DF，

.50_45

"30~~DF!

解得：DF=27cm,

故選：A.

4.如圖是2024年11月的月歷表，用一個方框在表中圈出六個數(shù)（如圖所示），若圈出的六個數(shù)中，最小

的數(shù)與最大的數(shù)的乘積為112,求這個最大的數(shù)（）

2024年11問

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用.設這個最大的數(shù)為無，則最小的數(shù)為（X-9）,根據(jù)圈出的

六個數(shù)中最小數(shù)與最大數(shù)的積為112列出一元二次方程求解即可.

【詳解】解：設這個最大的數(shù)為無，則最小的數(shù)為（x-9）,

依題意得：x（x—9）=112,

解得：%=16,々=—7（不合題意，舍去）.

答：這個最大的數(shù)為16.

故選：D.

5.如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm,AC-12cm,動點。從A點出發(fā)到2點止，動點E從C

點出發(fā)到A點止.點。運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm/秒.如果兩點同時運動，那么當

以點A、。、E為頂點的三角形與VA3C相似時，運動的時間是（）

A3秒或4.8秒B.3秒

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

【答案】A

【解析】

【分析】此題考查了相似三角形的性質，解題時要注意此題有兩種相似形式，別漏解；還要注意運用方程

思想解題.

根據(jù)相似三角形的性質，由題意可知有兩種相似形式，△ADEsAA6c和.可求運動的

時間是3秒或4.8秒.

【詳解】解：根據(jù)題意得：設當以點A、D、E為頂點的三角形與VA3C相似時，運動的時間是x秒,

eADAE

①若△ADES^ABC,則——=

ABAC

.x_12-2x

*6-12

解得：x=3；

ATJAp

②若ADE^ACB,?-=-

.x_12-2x

,12-6

解得：x=4.8.

當以點A、。、E為頂點的三角形與VA3C相似時，運動的時間是3秒或4.8秒.

故選：A

6.如圖，尸是RtZXABC的斜邊5c上異于3、C的一點，過點尸作直線截RtZkABC,使截得的三角形

與RtZXABC相似，則過點尸滿足這樣條件的直線最多有（）條.

B

A匕C

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定定理，由于VA3C是直角三角形，過點P作直線截VA3C,則截

得的三角形與VA3C有一個公共角，故只要再作一個直角即可使截得的三角形與Rt/VRC相似，由此

作圖即可得解，熟練掌握相似三角形的判定定理是解此題的關鍵.

【詳解】解：由于VABC是直角三角形，過點尸作直線截VABC,則截得的三角形與VABC有一個公

共角，故只要再作一個直角即可使截得的三角形與RtAv46C相似，

如圖，過點尸可作A5的垂線、AC的垂線、5C的垂線，共3條直線，

故選：C.

7.如圖，N1=N2,添加一個條件能判定△ABCs/viDE的是（）

①“=/￡；

②ZB=ZADE；

ACBC

③——=——；

AEDE

iABAC

④一=——.

ADAE

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵.

先證出ZBAC=NDAE,再由相似三角形的判定方法即可得出結論.

【詳解】解：：N1=N2，

Z1+ZZMC=Z2+ZZMC,

ZBAC=ZDAE,

添加NC=NE,利用兩角對應相等可判定故①符合題意；

添加=利用兩角對應相等可判定AM6cs△ADE,故②符合題意；

添加生=生，無法判定△ABCS&1DE,故③不符合題意；

AEDE

ABAC

添加一=—,利用兩邊對應成比例及其夾角相等可判定△ABCS/KADE,故④符合題意;

ADAE

故選：B.

8.對于實數(shù)a,b定義運算"?"為a的b=b°—ab，例如：302=22-3x2=-2，則關于x的方程

（左—3）應％=左—2的根的情況，下列說法正確的為（）

A.有兩個實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了新定義，根的判別式，根據(jù)新定義，轉化得到一元二次方程，再根據(jù)方程的根的判別

式判斷即可.

詳解】解：a?b=b2—ab

—3)位％=x2—(k—3)x,

(左一3)x=左一2,

—(k—3)x—左+2=0,

A=[_（左_3）f_4x（-Z+2）=左2_2左+1=（左_1）220,

???原方程有兩個實數(shù)根，

故選A.

9.“少年強，則國強”，為豐富校園文化生活，激發(fā)學生參與體育運動的積極性，進一步推動學校體育

活動的健康發(fā)展，以賽促練.我縣計劃組織初中學生籃球賽，若首輪進行單循環(huán)賽（每兩隊之間都賽一

場），則首輪需要安排28場比賽，設共有尤個隊參賽，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）

A.x（x+l）=28B.x（x-l）=28

C.QX（X+1）=28D.5x(l-1)=28

【答案】D

【解析】

【分析】設共有了個隊參賽，根據(jù)首輪需要安排28場比賽列方程即可.

本題考查了一元二次方程的應用，熟練掌握列方程的基本要領是解題的關鍵.

【詳解】解：設共有尤個隊參賽，

根據(jù)題意，得—1）=28.

故選：D.

10.如圖，BD、CE是VA3C的高，兩條高交于點G,AB:AC=6:5,過A作交CE延

長線于點P，連接AG,則下列說法：①CE:BD=5:6；②ZABG=ZACE；③當NE4G=90。時,

920

NBAG=NBCG；④當皿=6,SM=5，%EC=6時，F(xiàn)E1；其中正確的是

A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，直角三角形的性質.

利用相似三角形的判定定理證得.54￡>sC4E,利用相似三角形的性質可得①的結論正確；由

BAD^CAE,利用相似三角形的對應角相等可得②的結論正確；利用相似三角形的性質和等角的余角

9

相等，可得③的結論正確；利用等高的三角形的面積比等于底的比，可得至=區(qū)=g,利用①的比例式

BE-6一4

求得CE的長度，利用相似三角形的判定與性質，列出比例式求得EE的長度，通過計算得出④的結論不正

確.

【詳解】解：；3。、CE是VABC的高,

ZADB=ZAEC=90°.

'：ZBAD=ZCAE,

二BAD^,CAE,

.BDAB_6

,*EC-AC-5'

：.CE:BD=5:6.

二①的結論正確；

；.BAD^,CAE,

ZABG=ZACE.

.?.②的結論正確；

AFAG=90°,

ZFAB+ZBAG^9Q0.

,/AF〃BC,

/.ZFAB=ZABC.

：.ZABC+ZBAG=90°.

'：CE1AB,

:.ZABC+ZBCG=90°,

???/BAG=ZBCG.

二③的結論正確；

.._9_

,S&ABC=5，S6BEC=6，

9

AE_2_3,

由①知：CE:BD=5:6,

BD-6,

/.CE=5.

AFBC,

:.AEFsBEC,

.FE_AE_3

,?五一蔗—"

.FE_3

??一,

54

?.FE——.

4

④的結論不正確.

故選：D.

二、填空題

11.已知—5%-3=0是一元二次方程，則機的值為.

【答案】-3

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，??般地，形如依2+法+C=0（其中小b、c是常數(shù)且

7"-1H0

。/0）的方程叫做一元二次方程，據(jù)此可得（"…解之即可得到答案.

|m+l|=2

【詳解】解：\?（加—1）一刊―5x—3=0是一元二次方程，

m-1^0

|m+l|=2，

m=—3，

故答案為：-3.

12.將一元二次方程（x-2）（2x+l）=xJ4化為一般形式是.

【答案】N-3x+2=0

【解析】

【分析】把方程化為aX^+bx+c=O的形式即可求解.

【詳解】解：（/2）（2尤+1）=尤2一4,

去括號得2x2+x-4x-2=尤2-4,

移項得2x2+x-4x-2-x2+4=0,

合并同類項得x2-3x+2=0.

故答案為：x2-3x+2=0.

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax^+bx+c=O（a,b,c是常數(shù)且存0）特別要注意

。加的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.在一般形式中以2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)

項.其中0,6,c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項.

13.已知直角三角形的三邊長恰好是三個連續(xù)的偶數(shù)，則這個直角三角形的斜邊長是.

【答案】10

【解析】

【分析】本題主要考查了利用勾股定理解直角三角形以及一元二次方程應用，利用勾股定理得到三邊的

關系是解決本題的關鍵，首先設較小的邊長為X,表示出其余兩邊長，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：設較小的邊長為X,則另一邊長為（X+2）,斜邊長為（尤+4）,

（x+2）-+x2=（%+4）一，

2（不合題意，舍去），

解得看=一x2=6,

故斜邊長為6+4=10,

故答案為：10.

14.把方程標―7=0化成（x—“J=m的形式，則相+〃的值是.

【答案】13

【解析】

【分析】本題考查配方法，將方程通過配方法轉化為完全平方形式是解題的關鍵.將方程通過配方法轉

化為完全平方形式，確定加和〃值后再相加即可.

【詳解】X2-4X-7=0.

二.犬―4%=7,

2

X-4X+4=7+4,即（％-2『=11,

則〃=2,m=lL

***m+〃=n+2=i3,

故答案為：13.

15.如圖，在平行四邊形ABC。中，石是邊5C上的一點，AE交BD于F,若區(qū)后=4,EC=3,則

°MBF_

s~-------------------■

\ADF

【解析】

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，三角形面積計算公式，熟練掌握平行四

邊形的性質及相似三角形的性質與判定是解題關鍵.

證明尸即得到B一F=一BE，再根據(jù)等高三角形面積比等于對應底邊的比S得AR不F迎=B；F而，即可

DFADSADFDF

求解.

【詳解】解：在平行四邊形ABCD中，AD//BC,AD=BC=BE+CE=4+3=7,

:.ZDAF=ZBEF,ZADF=ZEBF,

DAFyBEF,

BFBE

"DF~AD

BE=4,

BE4

??—f

AD7

?SABF=BF=BE=4

''sADF

4

故答案為：一.

7

16.在數(shù)學綜合與實踐活動課上，小南提出利用現(xiàn)有的小尺來測量學校旗桿的高度.如圖，小南把手臂水

平向前伸直，手持小尺保持豎直，瞄準小尺的兩端E、F,不斷調整站立的位置，使站在點。處正好看到

旗桿的底部A和頂部B,如果小南的手臂長/=50cm,小尺的長a=15cm,點。到旗桿底部的距離

AD=40m,則旗桿的高度為m.

【答案】12

【解析】

【分析】作SLAB于H,交EF于P,如圖，則CH=ZM=40m,CP=50cm=0.5m,

EF=15cm=0.15m,證明一CE?s_CB4,然后利用相似比計算出A3即可.

本題考查了相似三角形的應用：利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的

邊，利用視點和盲區(qū)的知識構建相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度.

【詳解】解：作SLAB于"，交.EF于P,如圖，

則CH=DA=40m,CP=50cm=0.5m,EF=15cm=0.15m,

:￡CEFsACBA,

EFCP

,AB-CH）

0.150.5

即Bn----=——，

AB40

:.AB=12,

即旗桿的高度為12m.

故答案為：12.

三、解答題

17.解方程：

（1）2（3%-2）2-32=0；

（2）4X2-8X+1=0.

【答案】（1）%=2,xo=~~

（2）x=1+,x=1-

2-2

【解析】

【分析】本題考查了解一元二次方程：

（1）將方程化為（3x-2）2=16,用直接開平方法求解即可；

（2）由a=4,b=—8,c=l,求得△=/—4ac=（—8）2—4x4xl=48>0,再利用公式法求解即可.

【小問1詳解】

解：2（3%-2）2-32=0,

（3%-2）2=16

3x—2=4或3x—2=4

Xj=2,%2-—~?

【小問2詳解】

解：a=4,b=—8,c=1

\=廿—4ac=（-8）2-4x4x1=48>0,

8±7488±4A/3

x----------------，

2x48

"=1+岑,々=1-岑.

18.用合適的方法解下列方程

⑴x2-6x+4=0

⑵2X2-4X=1

【答案】⑴^=3+75,^2=3-75

（2）X1=1+^1,x2=1--

1222

【解析】

【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關鍵:

（1）利用配方法解方程即可；

（2）利用配方法解方程即可.

【小問1詳解】

解:X2-6X+4=0.

%2-6x-—4，

/一6%+9=-4+9，

（x-3）2=5,

A%-3=?百，

玉=3+y[5,x,=3—A/5；

【小問2詳解】

2d-4%=1,

x2-2x=—

2

X2-2X+1=-+1,

2

V6

"T，

，x,一J-

22

19.已知：如圖，在△ABC中，點。，E分別在邊AB,8C上，BA-BD=BC-BE

(1)求證：ABDES^BCA；

(2)如果AE=AC,求證：AC2=AD?AB.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

BDBE

【分析】(1)由得——=—,結合/B=NB,WffiAABC^AEBD；

BCBA

(2)先根據(jù)胡喈。=2。喈e，ZB=ZB,證明△BAES/XBC。，再證明△AOCS/VICB,根據(jù)相似三角形

的對應邊長比例可證明結論.

【詳解】(1)證明：?:BA，BD=BC，BE.

.BDBE

"~BC~~BA'

:.ABDEs^BCA；

(2)證明："：BA-BD=BC-BE.

.BDBC

??茄—初’

\'ZB=ZB,

MBAEs△BCD,

ZBAE=ZBCD,

'：AE=AC,

：.ZAEC^ZACE,

VZAEC=ZB+ZBAE,ZACE=ZACD+ZBCD,

：.ZB=ZACD.

ZBAC=ZBAC

：.^ADC^AACB,

.AD_AC

*'ACAB-

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握兩三角形相似的判定方法是解題的關鍵.相

似三角形的判定方法有：①對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；②平行于三角形

一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似；③根據(jù)兩角相等的兩個三

角形相似；④兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似判定即可；⑤三邊對應成比例得兩個三角

形相似.

20.已知關于x的一元二次方程%2+(2m+l)x+m-2=0.

(1)求證：無論加取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若方程有兩個實數(shù)根x2,且石+々+3%々=1，求加的值.

【答案】(1)見解析；(2)加=8.

【解析】

【分析】(1)求出△的值即可證明；

X,+x,=—C2)n+1)

(2),根據(jù)根與系數(shù)的關系得到《?°，代入石+x,+3石X,=1,得到關于m的方程，然

石々=7篦-2

后解方程即可.

詳解】(1)證明：依題意可得A=(2〃2+l)2—4(7〃—2)

=4m2+9>0

故無論力取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)由根與系數(shù)的關系可得：

%+%2=~(2m+1)

<

%/=m-2

由石+々+3為々=1，得一(2m+1)+3(〃?-2)=1,解得爪=8.

【點睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式證明根的情況以及一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的

be

根與系數(shù)的關系：xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)的兩根時，xi+x2=---，xiX2=—.

aa

21.“七里山塘，枕河而居”，蘇州市的山塘街是具有江南風貌特色的歷史文化街區(qū)，現(xiàn)在已成為網(wǎng)紅打

卡地.據(jù)統(tǒng)計，2014年10月1日截至21時山塘歷史街區(qū)累計客流量為8萬人次，第三天游客人數(shù)達到

11.52萬人次.

(1)求游客人數(shù)從假期第一天到第三天的平均日增長率；

(2)景區(qū)內某文創(chuàng)小店推出了特色絲綢團扇，每把扇子的成本為7元.根據(jù)銷售經(jīng)驗，每把扇子定價為

25元時，平均每天可售出300把.若每把扇子的售價每降低1元，平均每天可多售出30把.設每把扇子

降價無元.請解答以下問題：

①填空：每天可售出扇子把(用含了的代數(shù)式表示)；

②若該文創(chuàng)小店想通過售出這批扇子每天獲得5760元的利潤，又想盡可能地減少庫存，每把扇子應降價

多少元？

【答案】(1)20%

(2)①300+30%；②6

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，列代數(shù)式.根據(jù)題意正確的列等式方程是解題的關鍵.

(1)設從假期第一天到第三天的平均日增長率為x,依題意得8(1+X)2=1L52,計算求出滿足要求的

解即可；

(2)①由題意知，每天可售出扇子(300+30尤)把，然后作答即可；

②依題意得(25-x-7)(300+30x)=5760,計算求解，然后作答即可.

【小問1詳解】

解：設從假期第一天到第三天的平均日增長率為無，

依題意得，8(1+%)2=11.52,

解得，x=0.2=20%或%=—2.2(舍去)，

/.從假期第一天到第三天的平均日增長率為20%；

【小問2詳解】

①解：由題意知，每天可售出扇子(300+30%)把，

故答案為：300+30%；

②解：依題意得，(25—x—7)(300+30x)=5760,

整理得，(x—2)(x—6)=0,

解得，%=2或%=6,

:想盡可能地減少庫存,

.??每把扇子應降價6元.

22.閱讀下列材料：

方程/+3萬一1=0兩邊同時除以x(xwo),得x+3—：=0,即無一：=一3.因為(X—口=X2+^-2,

所以9+二=

+2=11.

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)已知方程九2—4九一l=O(xwO),則x-L=；X2+4-=

(2)若根是方程2九2—7%+2=0的根，求加+二的值.

m

【答案】⑴4,18

⑵—

4

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，完全平方公式，分式的求值:

(1)仿照題意求解即可;

17

(2)根據(jù)一元二次方程解的定